22.1 成比例线段课件 2026-2027学年数学华东师大版九年级上册

该初中数学课件围绕“成比例线段”展开，涵盖相似图形、比例性质、黄金分割及平行线分线段成比例等核心知识点，通过实例导入相似图形，衔接线段比与比例线段，搭建从图形认识到数量关系的学习支架。 其亮点在于采用“逐点导讲练”模式，结合手机黄金分割、地图比例等生活实例，培养数学眼光中的几何直观与应用意识，通过一题多解和分类讨论提升数学思维的推理能力，助力学生夯实基础，教师可高效开展分层教学。

22.1 成比例线段 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 相似图形 成比例线段 比例的基本性质 黄金分割 平行线分线段成比例的基本事实及推论 学习目标 知识点 相似图形 知1－讲 1 1. 定义 我们把具有相同形状的图形称为相似图形 . 特别解读 1. “形状相同”是判定相似图形的唯一条件 . 2. 两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、大小无关 . 感悟新知 知1－讲 2. 两个关系 (1)相似图形之间的关系：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到 . (2)相似与全等的关系：当两个图形的形状相同、大小也相同时，它们是全等图形，全等图形是相似图形的特殊情况，即全等图形一定是相似图形，但相似图形不一定是全等图形，只有相似图形的大小相同时，它们才全等 . 感悟新知 知1－练 例 1 下列图形不是相似图形的是( ) A. 同一底版打印出来的两张大小不同的照片 B. 用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案 C. 某人的侧身照片和正面照片 D. 大小不同的两张同版本的中国地图 感悟新知 知1－练 解题秘方：紧扣“相似图形的定义及相似图形之间的关系”解答 . 解：用“排除法”：B符合相似图形之间的关系；A，D符合相似图形的定义，因此A，B，D都是相似图形 . 故选C. 答案：C 感悟新知 知1－练 1-1. 形状相同的图形是相似图形．下列图形不一定是相似图形的是( ) A. 关于直线对称的两个图形 B. 两个正三角形 C. 两个等腰三角形 D. 两个半径不等的圆 C 感悟新知 知2－讲 知识点 成比例线段 2 1. 两条线段的比 在同一单位长度下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比 . 线段a与线段b的比记作“”或“a∶b”. 感悟新知 知2－讲 2. 对于给定的四条线段a，b，c，d，如 果其中两条线段的长度之比等于另外两 条线段的长度之比，如＝(或a∶b＝c∶d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 . 此时也称这四条线段成比例 . 感悟新知 知2－讲 特别解读 1. 在通常情况下，四条线段a，b，c，d的单位应该一致，但有时为了计算方便，也可以使a与b的单位一致，c与d的单位一致 . 2. 线段a，b，c，d成比例，只可以写成＝或a∶b＝c∶d，即四条线段a，b，c，d成比例是有顺序的，不能随便更改位置 . 感悟新知 知2－练 下列各组不同长度的线段中，是成比例线段的是( ) A. 3 cm，6 cm，7 cm，9 cm B. 2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cm C. 3 cm，9 cm，1.8 dm，6 cm D. 1 cm，2 cm，3 cm，4 cm 例 2 感悟新知 知2－练 解题秘方：判断四条线段是否成比例的方法： 感悟新知 知2－练 解： 选项 一化 二排 三算 四判断 A 3 cm，6 cm，7 cm，9 cm ≠ 否 B 0.6 dm＝6 cm 2 cm，5 cm，6 cm，8 cm ≠ 否 C 1.8 dm＝18 cm 3 cm，6 cm，9 cm，18 cm ＝ 是 D 1 dm，2 dm，3 dm，4 dm ≠ 否 答案：C 感悟新知 知2－练 2-1. [期末·南阳]已知线段a＝0.3 m，b＝18 cm，c＝0.4 m，d＝24 cm，下列说法中正确的为( ) A. b，d，c，a成比例 B. d，b，a，c成比例 C. b，d，a，c成比例 D. b，c，d，a成比例 C 感悟新知 知3－讲 知识点 比例的基本性质 3 1. 比例的基本性质 如果＝，那么ad＝bc；如果ad＝bc，那么＝. 变式应用 若a，b，c，d满足ad＝bc， 则＝，＝，＝. 感悟新知 知3－讲 2. 比例的基本性质推广 (1)合比性质：＝＝或＝(a＋b≠0， c＋d≠0)； (2)分比性质：＝＝或＝(a≠b，c≠d)； 感悟新知 知3－讲 (3)等比性质：＝＝＝…＝＝k(b＋d＋f＋…＋n ≠ 0) ＝＝k. 感悟新知 知3－练 已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中 a＝2 cm，b＝4 cm，c＝5 cm，则d等于( ) A. 1 cm B. 10 cm C. cm D. cm 例 3 解题秘方：紧扣“四条线段成比例的顺序性”列比例式求解 . 感悟新知 知3－练 解：因为线段a，b，c，d是成比例线段，所以＝， 即＝，所以d＝10cm. 答案：B 感悟新知 知3－练 3-1. 已知三个数2，，4， 如果再添加一个数，使这四个数成比例，那么添加的数可以是( ) A. 2 B. 2或 C. 2，4或8 D. 2，或4 D 感悟新知 知3－练 [一题多解]已知＝＝ ≠ 0，求的值 . 解题秘方：紧扣“比例的性质”用消元法或参数法求解 . 例 4 感悟新知 知3－练 解：(方法一)由＝，得b＝，由＝，得c＝， ∴原式 ＝＝＝. (方法二)设＝ ＝ ＝k(k ≠ 0)， 则a＝3k，b＝4k，c＝5k，∴原式 ＝＝. 感悟新知 知3－练 4-1. [期末·南阳]若＝，则的值为( ) A. B. C. D. 4-2. 已知x∶y∶z＝3∶4∶6， 则的值为______. D 感悟新知 知4－讲 知识点 黄金分割 4 黄金分割 如图22.1－1，将一条线段AB分成两条线段AP和PB(AP＞PB)，使AP2＝AB·PB，我们称AP为AB和PB的比例中项，点P为线段 AB的黄金分割点，将线段AB黄金分割. 由于＝≈0.618，所以长为1的线段的黄金分割点，与一个端点的距离大约为0.618． 感悟新知 知4－讲 特别提醒 一条线段有两个黄金分割点，如图22.1-2，线段AB有两个黄金分割点，点C和点D，则＝，＝ ，且AD＝BC. 感悟新知 知4－练 如图22.1－3，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求AC和DC的长. 例 5 感悟新知 知4－练 解：∵点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点， ∴＝. ∵AB＝80 cm，∴＝，解得AC＝(40－40)cm. 同理BD＝(40－40)cm. ∴DC＝AC＋BD－AB＝2×(40－40)－80＝(80－160)cm. 感悟新知 知4－练 5-1. 手机作为现代生活的必需品，更新换代越来越快，外观设计吸引人的手机往往会更加畅销．某款手机以的黄金比例将较短的摄像区和较长的握持区进行明确的划分，已知该手机总长为18 cm，那么摄像区的长度为__________cm． (27－9) 感悟新知 知识点 平行线分线段成比例的基本事实及推论 知5－讲 5 平行线分线段成比例的基本事实及其推论 感悟新知 知5－讲 文字语言 图示 符号语言 基 本 事 实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. (简称“平行线分线段成比例”) 如图，若直线l3∥ l4∥l5，则有＝，＝，＝.若AB＝BC，则DE＝EF 感悟新知 知5－讲 文字语言 图示 符号语言 推论 平行于三角形 一边的直线截 其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成 比例 如图，若DE∥BC， 则有＝，＝，＝， 感悟新知 知5－讲 要点解读 1. 所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关； 2. 利用平行线分线段成比例的基本事实写比例式时，一定要注意对应线段写在对应的位置上 . 感悟新知 知5－练 如图22.1-4，已知AB∥CD∥EF，下列结论中，错误的是( ) A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 例 6 感悟新知 知5－练 解题秘方：利用平行线分线段成比例的基本事实解题 . 解：∵ AB∥CD∥EF，∴＝，＝，＝， 故选项 A，B，D 正确，C 错误 . 答案：C 感悟新知 知5－练 6-1. [期中·郑州外国语中学]已知线段a，b，c，作线段x，使ax＝ bc，则下列作法正确的是( ) B 感悟新知 知5－练 如图22.1-5， 直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交这三条直线于点A，B，C，直线DF分别交这三条直线于点D，E，F，若AB＝3，DE＝3.5，EF＝4，求BC的长 . 例 7 感悟新知 知5－练 解题秘方：紧扣平行线分线段成比例的基本事实，找出已知线段和未知线段之间的关系 . 解：∵直线l1∥l2∥l3， ∴＝， 又∵AB＝3，DE＝3.5，EF＝4， ∴ BC＝＝＝. 感悟新知 知5－练 7-1. 如图，l1∥l2∥l3，若＝，DF＝15，则DE＝_____. 6 感悟新知 知5－练 如图22.1-6，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O. 若＝，AD＝10，则 AO＝______. 解题秘方：利用平行线分线段成比例的推论解题 . 解：∵ AB∥CD， ∴＝＝，即＝，解得 AO＝4. 4 例 8 感悟新知 知5－练 8-1. 如图，在△ABC中， 点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是______. 感悟新知 知5－练 如图22.1-7，在△ABC中，D是AB上 一点，E是△ABC内一点，DE∥BC，过点D作AC 的平行线交 CE的延长线于点F，CF与 AB相交于点P. 求证：＝ . 解题秘方：紧扣平行线分线段成比例的推论，利用中间量进行等量转化. 例 9 感悟新知 知5－练 证明：∵ DE∥BC，∴＝. ∴ PD·PC＝PE·PB. ∵ DF∥AC，∴＝ ∴ PD·PC＝PF·PA. ∴ PE·PB＝PF·PA，∴＝ . 感悟新知 知5－练 9-1. 如图，在△ABC中，MD//AB，MN//AE. 求证：＝. 感悟新知 成比例线段 成比例 线段 比例的基本性质 两条线段的比 黄金分割 平行线分线段成比例 课堂小结 应用 利用平行线分线段成比例求线段长 1 如图22.1－8，l1∥l2∥l3，AB＝3，AD＝2，DE＝ 4，EF＝7.5.求BC，BE的长. 例10 综合应用创新 解题秘方：紧扣平行线分线段成比例，根据已知线段长求出未知线段长. 解：∵l1∥l2∥l3， ∴＝＝，即＝＝，∴BC＝6，FB＝BE， 又∵FB＋BE＝EF＝7.5， ∴BE＋BE＝7.5，∴BE＝5. 综合应用创新 方法点拨 本题是三条直线被一组平行线所截，根据平行线分线段成比例的基本事实可以列出多个比例式，解决这类问题的关键是从图形中分离出“A”型或“X”型图形，从而列出对应比例式 综合应用创新 应用 利用平行线分线段成比例证明线段的等积式 2 如图22.1－9，E为平行四边形ABCD的边CD的延长线上的一点，连结 BE，交 AC于点O，交 AD于点F.求证：BO2＝OF·OE. 例11 综合应用创新 解题秘方：找平行线，利用平行线分线段成比例证明等积式. 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AF∥BC，AB∥CE， ∴＝，＝. ∴＝，∴BO2＝OF·OE. 综合应用创新 方法点拨 当所要证明的比例式(等积式)不能直接得出时，往往通过联立两个比例式得出结论. 综合应用创新 应用 利用平行线分线段成比例证明线段的数量关系 3 [一题多解]如图22.1－10，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点M为AD的中点，CM的延长线交AB于点K. 求证：AB＝3AK. 例12 综合应用创新 解题秘方：作平行线构造平行线分线段成比例的模型，利用平行线分线段成比例的推论得到线段的关系. 综合应用创新 证明：(方法一) 如图22.1－11①，过点B作BG∥ CK交AD的延长线于点G， 则＝，＝ . ∵AB＝AC，AD⊥BC，∴ BD＝CD，∴ MD＝GD. ∵点M为AD的中点，∴ MD＝AM，∴ AG＝3AM. ∴＝. ∴ AB＝3AK. 综合应用创新 (方法二) 如图22.1－11②，过点D作DE∥CK交AB于点E， 则＝，＝. ∵AB＝AC，AD⊥BC，∴ BD＝CD.∴BE＝KE. ∵点M为AD的中点，∴ AM＝MD ， ∴AK＝KE，∴ AK＝KE＝EB.∴AB＝3AK. 综合应用创新 方法点拨 本题运用转化思想，通过作平行线的方法将一条直线上的两条线段的比转换为另一条直线上的两条线段的比，从而解决问题. 综合应用创新 另解 如图22.1－12，过点A作AI∥CK交BC 的延长线于点I，则＝，＝ . ∵点M为AD的中点，∴AM＝MD，∴CD＝CI. ∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD. ∴ BD＝CD＝CI. ∴ BC＝2CI. ∴ BK＝2AK. ∴AB＝3AK. 综合应用创新 易错点 没有分类讨论而漏解 在△ABC中，AB＝6，AC＝9，点D在边AB所在的直线上，且AD＝2，过点D作DE∥BC交边AC所在的直线于点E，则CE的长为______. 例13 6或12 综合应用创新 错解：6 正解：当点D在边AB上时，如图22.1－13所示. ∵DE∥BC，∴ ＝. 又∵AD＝2，AB＝6，AC＝9， ∴＝，解得AE＝3. ∴CE＝AC－AE＝9－3＝6. 综合应用创新 当点D在边BA的延长线上时，如图22.1－14 所示. ∵DE∥BC，∴ ＝. 又∵AD＝2，AB＝6，AC＝9. ∴＝，解得AE＝3. ∴CE＝AC＋AE＝9＋3＝12. 易知点D在AB延长线上的情况不存在. 综上所述，CE的长为6或12. 综合应用创新 诊误区： 由平行线分线段成比例的推论可知，平行于三角形一边的直线与其他两边所在的直线相交的情况有三种，当没有明确是哪种位置关系时，应分类讨论解答. 不要忽略了点D在边BA的延长线上这种情况. 综合应用创新 证明：∵MD∥AB，∴＝. ∵MN∥AE，∴＝. ∴＝＝，即＝. $