21.2. 2. 配方法（课件）--2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦配方法解一元二次方程，先通过回顾完全平方公式搭建基础，再以例4引导学生将方程转化为完全平方形式，衔接直接开平方法，形成从公式到应用的学习支架，帮助学生理解配方原理。 其亮点在于分层设计习题，从基础填空到综合应用，强化推理能力与运算能力。如解答题规范二次项系数不为1的解题步骤，配方法求最值题培养模型意识，助力学生夯实技能，教师可通过清晰流程提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 华东师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第21章 一元二次方程 21.2. 2. 配方法 2026年8月4日 华东师大版九年级上册21.2.2 配方法练习题 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 用配方法将$$x^2+6x$$配方，需加上的常数是（） A.3 B.6 C.9 D.36 2. 将方程$$x^2-4x-1=0$$配方变形，正确的是（） A.$$(x-2)^2=5$$ B.$$(x-2)^2=3$$ C.$$(x+2)^2=5$$ D.$$(x+2)^2=3$$ 3. 用配方法解一元二次方程的核心目的是（） A.消去一次项 B.化为直接开平方法形式 C.消去常数项 D.降低方程次数 4. 将$$2x^2-8x+1=0$$配方，第一步需要进行的操作是（） A.移项 B.二次项系数化为1 C.配方 D.直接开平方 5. 方程$$x^2+2x-3=0$$配方后得到的方程是（） A.$$(x+1)^2=4$$ B.$$(x-1)^2=4$$ C.$$(x+1)^2=2$$ D.$$(x-1)^2=2$$ 6. 代数式$$x^2-6x+5$$配方后为（） A.$$(x-3)^2-4$$ B.$$(x-3)^2+4$$ C.$$(x+3)^2-4$$ D.$$(x-6)^2-31$$ 二、填空题（每题4分，共24分） 1. 配方：$$x^2-10x+$$________$$=(x-$$________$$)^2$$。 2. 方程$$x^2+4x=5$$配方可得$$(x+2)^2=$$________。 3. 用配方法解方程$$x^2-2x-2=0$$，配方后为________。 4. 二次项系数不为1的方程配方时，必须先________。 5. 代数式$$x^2+8x$$配上常数________可构成完全平方式。 6. 方程$$2x^2-4x-6=0$$化为二次项系数为1的方程是________。 三、解答题（共52分） 13.（12分）将下列各式配方成完全平方式： (1)$$x^2-12x$$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (2)$$x^2+3x$$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (3)$$x^2-5x+1$$ 14.（12分）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程： (1)$$x^2-6x+8=0$$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (2)$$x^2+2x-5=0$$ 15.（14分）用配方法解方程$$2x^2-8x+2=0$$，写出完整规范解题步骤。 16.（14分）利用配方法求代数式$$x^2-4x+7$$的最小值，并求出此时$$x$$的值。 参考答案 1.C &nbsp;2.A &nbsp;3.B &nbsp;4.B &nbsp;5.A &nbsp;6.A 7.$$25、5$$ &nbsp;8.$$9$$ &nbsp;9.$$(x-1)^2=3$$ &nbsp;10.将二次项系数化为1 &nbsp;11.$$16$$ &nbsp;12.$$x^2-2x-3=0$$ 13.解：(1)原式$$=(x-6)^2-36$$ (2)原式$$=\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}$$ (3)原式$$=\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{21}{4}$$ 14.解：(1)移项：$$x^2-6x=-8$$，配方：$$x^2-6x+9=1$$ $$(x-3)^2=1$$，解得$$x_1=4，x_2=2$$ (2)移项：$$x^2+2x=5$$，配方：$$(x+1)^2=6$$ 解得$$x_1=-1+\sqrt{6}，x_2=-1-\sqrt{6}$$ 15.解：二次项系数化为1：$$x^2-4x+1=0$$，移项：$$x^2-4x=-1$$ 配方：$$x^2-4x+4=3$$，即$$(x-2)^2=3$$ 开方得$$x-2=\pm\sqrt{3}$$，解得$$x_1=2+\sqrt{3}，x_2=2-\sqrt{3}$$ 16.解：原式$$=(x^2-4x+4)+3=(x-2)^2+3$$ 因为$$(x-2)^2\ge0$$，所以当$$x=2$$时，代数式最小值为3。 命题说明（约420字） 本套练习题对应华东师大版九年级上册21.2.2配方法，承接上一节直接开平方法，完全沿用整套试卷统一题型、分值与难度梯度，适合课后巩固与小节检测。配方法是解一元二次方程的核心基础方法，也是推导公式法、后续二次函数配方的必备技能。 习题设计由浅入深，层层递进。选择题重点考查完全平方公式配方规则、方程配方变形正误、配方解题步骤，纠正学生“配方时常数漏加、二次项不为1直接配方”的典型错误；填空题侧重基础配方填空、方程标准变形与步骤识记，夯实基本功；解答题涵盖整式配方、基础方程配方、带系数复杂方程求解、配方法求最值四大必考题型，全面覆盖本节重难点。 本节核心解题步骤清晰固定：先移项，再将二次项系数化为1，两边同时加上一次项系数一半的平方，写成完全平方形式后开方求解。整套习题精准训练学生规范解题流程，强化配方思维，规避符号错误、漏项、配方不标准等问题，帮助学生扎实掌握配方法，为公式法求解、二次函数顶点式学习筑牢核心基础。 （全文约1050字） 1. 使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方 法解一元二次方程. 2. 在配方法的应用过程中体会“转化”的思想， 掌握一些转化的技能. 学习目标 回顾因式分解的完全平方公式 a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 知识回顾 例 4 解方程： x2 + 2x = 5. 要用直接开平方法求解，首先希望能将方程化为 ( )2 = a 的形式，那么，怎么实现呢？ 思 考 探索新知 例 4 解方程： x2 + 2x = 5. 通常设法在方程两边同时加上一个适当的数，使左边配成一个含有未知数的完全平方式（右边是一个常数）. x2 + 2x + 1 = 5 + 1 两数和的平方公式 a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 探索新知 例 4 解方程： x2 + 2x = 5. 解 原方程两边都加上 1 ，得 x2 + 2x + 1 = 6. 即 (x + 1)2 = 6. 直接开平方，得 x + 1 = 所以 x = 即 x1 = ，x2 = －1－ . 探索新知 1星题 夯实四基 4 2 举一反三 2．[安徽安庆期末]把代数式2x2－4x－1化成a(x＋m)2＋k的形式为__________________． 2(x－1)2－3　 举一反三 概 括 将一元二次方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解. 这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 例 5 用配方法解方程： （1）x2－4x + 1 = 0；（2）4x2－12x－1 = 0. 解 （1）原方程可化为 x2－4x = －1. 在左边配上什么数能成为完全平方？ x2－2·x·2 + □2 = (x－□)2 配方（两边同时加上 4），得 x2－2·x·2 + 22 = －1 + 22 ， 即 (x－2)2 = 3. 直接开平方，得 x－2 = . 所以 x1 = 2 + ，x2 = 2－ . （2）4x2－12x－1 = 0. （2）移项，得 4x2－12x = 1. 两边同时除以 4，得 x2－3x = . 配方，得 x2－2·x· + 2= + 2 ， 即 2 = 直接开平方，得 x－ = ， 所以 x1 = + ， x2 = － . 这里应该怎样配方？ 思 考 （2）4x2－12x－1 = 0. 4x2 = (2x)2 ，方程移项后可以写成 (2x)2－2·2x·3 = 1 可以怎样配方？试一试，并完成解答. (2x)2－2·2x·3 + 32 = 1 + 32 (2x－3)2 = 10 2x－3 = x1 = + ， x2 = － . 知识点2用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 3.知识初练用配方法解方程：x2＋6x＋4＝0. 解：将常数项移到方程右边， 得x2＋6x＝________， 配方，得x2＋6x＋______＝－4＋______， 即(x＋______)2＝______， 由此得x1＝__________，x2＝__________． －4 9 9 3 5 举一反三 4．用配方法解方程x2－10x＋7＝0，配方后得到的方程为 (　　) A．(x－5)2＝－7 B．(x＋5)2＝18 C．(x－5)2＝18 D．(x－5)2＝25 C 举一反三 5．用配方法解方程x2－8x－1＝0，若配方后结果为(x＋m)2＝17，则m的值为(　　) A．±4 B．4 C．－4 D．8 C 举一反三 用配方法解下列方程: （1）x2 + 4x－6 ＝ 0； （2）4x2 + 12x－5＝0. 解 （1）移项，得 x2 + 4x ＝ 6. 配方，得 x2 + 2·x·2 + 22＝6 + 22，即 (x + 2)2 = 10. 直接开平方，得 x + 2 ＝± . 所以 x1 ＝ ，x2 ＝ . （2）移项，得 4x2 + 12x ＝ 5. 两边同除以 4，得 x2 + 3x ＝ . 配方，得 x2 + 2·x · + ＝ + . 即 ＝ . 直接开平方，得 x + ，所以 x1 = ，x2 = . 用配方法解下列方程: （1）x2 + 4x－6 ＝ 0； （2）4x2 + 12x－5＝0. 试一试 用配方法解关于 x 的方程： x2 + px + q = 0（p2 – 4q ≥ 0）. 解 配方，得 x2 + 2·x · + 2＝ + 2. 即 ＝ . 直接开平方，得 x + ， 所以 x1 = ，x2 = . 1. 填空，将下列方程左边的多项式配成完全平方式： 【选自教材第27页 练习 第1题】 （1）x2 + 6x + ( ) = (x + )2； （2）x2 － 8x + ( ) = (x － )2； （3）x2 + x + ( ) = (x + )2； （4）4x2 － 6x + ( ) = 4(x － )2 = (2x－ )2 . 9 3 16 4 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 练 习 （1）x2 + 8x－2 = 0； （2）x2 －5x－6 = 0； （3）3x2 + 2x－3 = 0. 2. 用配方法解下列方程： 【选自教材第28页 练习 第2题】 解:（1）移项，得 x2 + 8x ＝ 2， 配方，得 x2 + 2·x·4 + 42 ＝ 2 + 42 ， 即 (x + 4)2 ＝18. 直接开平方，得 x + 4 ＝±3； 所以 x1 ＝－4 + 3，x2 ＝－4－3. （1）x2 + 8x－2 = 0； （2）x2 －5x－6 = 0； （3）3x2 + 2x－3 = 0. 2. 用配方法解下列方程： 【选自教材第28页 练习 第2题】 （2）移项，得 x2 － 5x ＝ 6， 配方，得 x2 － 2·x· + 2＝ 6 + ， 即 2＝ . 直接开平方，得 x － ，所以 x1 = 6，x2 = －1. （1）x2 + 8x－2 = 0； （2）x2 －5x－6 = 0； （3）3x2 + 2x－3 = 0. 2. 用配方法解下列方程： 【选自教材第28页 练习 第2题】 （3）移项，得 3x2 + 2x ＝ 3， 两边同除以 3，得 x2 + x ＝ . 配方，得 x2 + 2·x · + 2＝ 1 + . 即 2＝ . 直接开平方，得 x + ，所以 x1 = ，x2 = . 6．[安徽合肥期中]用配方法解下列方程： (1)x2－4x＝3； 举一反三 (2)y2＋y－1＝0. 举一反三 知识点3 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 7．知识初练用配方法解方程：3x2＋6x＋2＝0. 解：移项，得________________， 二次项系数化为1，得__________________， 配方，得______________________， 开平方，得__________________， 所以x1＝____________，x2＝____________． 3x2＋6x＝－2 举一反三 8．如图，用配方法解方程 x2－x－2＝0的四个步骤中，开始出现错误的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ D 举一反三 9．用配方法解下列方程： (1)3x2－5x＋2＝0； 举一反三 举一反三 10.(高阶思维·批判性思维)在解方程3x2＋12x－7＝0时，对方程进行配方，对于甲、乙两人的做法，下列说法正确的是(　　) A．两人都正确 B．甲正确，乙不正确 C．甲不正确，乙正确 D．两人都不正确 A 2星题 提升四能 举一反三 11．若方程x2＋6x＋2＝0能配方成(x＋p)2＋q＝0的形式，则直线y＝px＋q不经过的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B 举一反三 12．用配方法解下列方程： (1)3x2＋2x＋1＝8x－1； 举一反三 (2)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7. 解：去括号，得4x2－4x＋1＝3x2＋2x－7， 移项、合并同类项，得x2－6x＝－8， 配方，得x2－6x＋9＝－8＋9，即(x－3)2＝1， 开平方，得x－3＝±1，所以x1＝2，x2＝4. 举一反三 13.【新设问】已知m是不等式5(a－2)＋8＜6(a－1)＋7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2＋2mx＋m＋1＝0. 举一反三 即时练透 用配方法求最值 【方法指导】用配方法求二次三项式的最值，需要把二次三项式配方成a(x＋h)2＋k的形式，当a<0，x＝－h时，该二次三项式有最大值k；当a>0，x＝－h时，该二次三项式有最小值k. 举一反三 【例题】 求代数式y2＋4y＋8的最小值． 解：配方，得____________．因为____________≥0，所以y2＋4y＋8的最小值是____________． 【针对练习】 1．当x＝________时，代数式x2－2x＋6的值最小，这个最小值是________． (y＋2)2＋4 (y＋2)2 4 1 5 举一反三 2．利用配方法求－m2＋2m＋4的最大值． 解：配方，得－(m－1)2＋5. 因为(m－1)2≥0，所以－(m－1)2≤0， 所以－(m－1)2＋5≤5，故－m2＋2m＋4的最大值是5. 举一反三 用配方法解一元二次方程的一般步骤: 一般步骤 方法 示例：2x2－4x－6 = 0 一移 移项 二化 二次项系数 化为 1 三配 配方 四开 开平方 五解 解两个一元 一次方程 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 方程左、右两边同时除以二次项系数 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 利用平方根的意义直接开平方 移项、合并同类项 2x2－4x = 6 x2－2x = 3 x2－2x + 1= 3 + 1 即 (x－1)2 = 4 x－1 = ±2 x1 = 3，x2 = －1 课堂小结 谢谢观看 THANKS 知识点1配方的方法 1.填空： (1)x2－4x＋________＝(x－________)2； (2)x2＋7x＋＝(x＋________)2； (3)x2－x＋________＝(x－________)2； (4)x2＋bx＋__________＝(x＋________)2. －3＋ －3－ 解：配方，得x2－4x＋4＝3＋4，即(x－2)2＝7， 开平方，得x－2＝±，解得x1＝2＋，x2＝2－. 解：移项，得y2＋y＝1， 配方，得y2＋y＋＝1＋，即＝， 开平方，得y＋＝±，解得y1＝，y2＝. x＋1＝± －1 －－1 x2＋2x＝－ (x＋1)2＝ 解：二次项系数化为1，得x2－x＋＝0， 移项，得x2－x＝－，配方，得x2－x＋＝－＋， 即＝，解得x1＝1，x2＝. (2)x2－x－4＝0. 解：二次项系数化为1，得x2－4x－16＝0， 移项，得x2－4x＝16， 配方，得x2－4x＋4＝16＋4，即(x－2)2＝20， 解得x1＝2＋2，x2＝2－2. 解：移项，得3x2＋2x－8x＝－1－1， 合并同类项，得3x2－6x＝－2， 两边同除以3，得x2－2x＝－， 配方，得x2－2x＋1＝－＋1，即(x－1)2＝， 所以x－1＝±，所以x1＝1＋，x2＝1－. 解：解不等式5(a－2)＋8＜6(a－1)＋7，得a＞－3， 所以该不等式的最小整数解为－2，所以m＝－2. 将m＝－2代入方程x2＋2mx＋m＋1＝0，得x2－4x－2＋1＝0，配方，得(x－2)2＝5，直接开平方，得x－2＝±，解得x1＝2＋，x2＝2－. $