21.1　认识一元二次方程（课件）--2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的定义、一般形式、系数识别、方程的根及实际问题列方程，通过矩形绿地面积、图书馆图书增长率等现实问题抽象方程，结合方程的解、一元一次方程复习对比引入新知，构建知识支架。 其亮点在于通过判断表格辨析方程类型培养抽象能力，梯度练习融入逆向思维和分类讨论发展推理意识，实际问题与杨辉田亩问题等数学文化强化模型意识。学生能夯实基础，教师可高效教学，提升学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界的能力。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 华东师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第21章 一元二次方程 21.1　认识一元二次方程 2026年8月4日 华东师大版九年级上册21.1 认识一元二次方程练习题 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（） A.$$2x+1=0$$ B.$$x^2-2x=0$$ C.$$x^2+y=1$$ D.$$x^3+x^2=2$$ 2. 一元二次方程$$3x^2-5x+1=0$$的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（） A.3、-5、1 B.3、5、1 C.-3、-5、1 D.3、-5、-1 3. 已知关于$$x$$的方程$$(m-2)x^2+3x+1=0$$是一元二次方程，则$$m$$的取值范围是（） A.$$m e2$$ B.$$m=2$$ C.$$m>2$$ D.$$m<2$$ 4. 下列方程是一元二次方程的一般形式的是（） A.$$x^2=4x$$ B.$$x^2-4x+2=0$$ C.$$2x^2+3x=1$$ D.$$(x-1)^2=3$$ 5. 若$$x=1$$是一元二次方程$$x^2+ax-2=0$$的一个根，则$$a$$的值为（） A.1 B.2 C.-1 D.-2 6. 将方程$$2x(x-1)=3(x+2)$$化为一般形式后，常数项为（） A.6 B.-6 C.2 D.-2 二、填空题（每题4分，共24分） 1. 只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是______的整式方程，叫做一元二次方程。 2. 方程$$x^2-6x=0$$的一次项系数是________，常数项是________。 3. 把方程$$(x+2)(x-3)=1$$化为一元二次方程的一般形式为________。 4. 已知$$x=2$$是方程$$x^2-bx+2=0$$的根，则$$b=$$________。 5. 若方程$$(a+1)x^2-2x+3=0$$是一元二次方程，则$$a$$的取值范围是________。 6. 已知一个一元二次方程的二次项系数为2，一次项系数为-3，常数项为5，则这个方程是________。 三、解答题（共52分） 13.（12分）判断下列方程是否为一元二次方程，是的化为一般形式，不是的说明理由。 (1)$$4x^2=9$$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (2)$$3x+2=x^2$$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (3)$$x^2+2y=1$$ 14.（12分）将下列一元二次方程化为一般形式，并分别写出二次项系数、一次项系数和常数项。 (1)$$3x(x-2)=2(x+1)$$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (2)$$(x-1)^2=4x$$ 15.（14分）已知$$x=3$$是一元二次方程$$x^2-2mx+3=0$$的一个根，求$$m$$的值以及方程的另一个根。 16.（14分）根据题意列一元二次方程（无需解方程）：一个矩形的长比宽多2cm，面积是48cm²，设矩形的宽为$$x\mathrm{cm}$$，列出对应的一元二次方程，并化为一般形式。 参考答案 1.B &nbsp;2.A &nbsp;3.A &nbsp;4.B &nbsp;5.C &nbsp;6.B 7.一、2 &nbsp;8.-6、0 &nbsp;9.$$x^2-x-7=0$$ &nbsp;10.3 &nbsp;11.$$a e-1$$ &nbsp;12.$$2x^2-3x+5=0$$ 13.解：(1)是，一般形式：$$4x^2-9=0$$ (2)是，一般形式：$$x^2-3x-2=0$$ (3)不是，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程定义。 14.解：(1)一般形式：$$3x^2-8x-2=0$$，二次项系数3，一次项系数-8，常数项-2 (2)一般形式：$$x^2-6x+1=0$$，二次项系数1，一次项系数-6，常数项1 15.解：将$$x=3$$代入方程得：$$9-6m+3=0$$，解得$$m=2$$。 原方程为$$x^2-4x+3=0$$，解得另一根为$$x=1$$。 16.解：宽为$$x\mathrm{cm}$$，长为$$(x+2)\mathrm{cm}$$，由题意得：$$x(x+2)=48$$ 化为一般形式：$$x^2+2x-48=0$$。 命题说明（约420字） 本套练习题紧扣华东师大版九年级上册21.1认识一元二次方程的核心知识点，围绕一元二次方程的定义、一般形式、各项系数识别、方程的根、根据实际问题列方程五大核心考点设计，题型、分值与前文二次根式系列习题保持统一，适配课后巩固与课堂检测。 习题梯度清晰、重难点突出，基础选择题聚焦一元二次方程的定义判定、二次项系数不为0的限制条件、方程根的代入求值，重点纠正学生混淆一元一次、一元二次、二元方程的概念错误；填空题侧重方程一般形式转化、各项系数辨析，夯实基础概念；解答题层层递进，包含方程判定与化简、系数识别、利用方程根求参数、实际应用列方程，全面覆盖本节必考题型。 本节是一元二次方程整章的入门基础，核心是掌握一元二次方程的三大特征：整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2。所有习题针对性训练学生规范整理方程一般形式、准确识别各项系数、利用方程根的定义解题的能力，规避概念模糊、整理方程漏变号等高频错误，为后续解方程、方程应用等内容筑牢知识根基。 （全文约1050字） 1. 知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次 方程整理成一般形式 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）. 2. 在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题 转化为数学模型（一元二次方程）的过程中， 使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具， 增加对一元二次方程的感性认识. 学习目标 什么是方程的解？ 使方程左右两边相等的未知数的值，就叫做方程的解. 什么叫做一元一次方程？ 只含有一个未知数，并且未知数的次数为“1”的整式方程，叫做一元一次方程. 它的一般形式是：ax + b﹦0 (a，b 为常数，a ≠ 0). 问题 1 绿苑小区准备在两幢楼房之间设置一块面积为 900 m² 的矩形绿地，并且长比宽多 10 m. 求绿地的长和宽. x x + 10 设长方形绿地的宽为 x 米，列出方程： x ( x + 10 ) = 900， 整理得 x2 + 10x－ 900 = 0 . ① 问题 2 学校图书馆去年年底有图书 5 万册，预计到明年年底增加到 7.2 万册. 求这两年的年平均增长率. 分析 设这两年的年平均增长率为 x . 去年年底图书数_____万册 今年年底图书数_________万册 明年年底图书数______________万册 即 7.2 万册. 5 5(1 + x) 5(1 + x)(1 + x) 问题 2 学校图书馆去年年底有图书 5 万册，预计到明年年底增加到 7.2 万册. 求这两年的年平均增长率. 列出方程： 5 (1+ x)2 = 7.2， 整理得 5x2 + 10x－ 2.2 = 0 . ② 这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们又有什么共同特点呢？ x2 + 10x－ 900 = 0 . ① 5x2 + 10x－ 2.2 = 0 . ② 思 考 （1）都是整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是 2. 知识点1一元二次方程的定义 1.【思维生长】 下列方程中，一定是一元二次方程的是 (　　) A．x2＋1＝0 B. ＋2x＝5 C．y＝x2 D．ax2＋2x＋1＝0 1星题 夯实四基 A 举一反三 向“逆向思维”生长：若关于x的方程(a－1)x2＋ax＋1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是__________． 向“(分类讨论思想”生长：若关于x的方程(m＋1)x|m－1|＋2x－1＝0是一元二次方程，则m＝________. a≠1 3 举一反三 知识点2一元二次方程的一般形式 2.填表： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3y2－4y＝3         2x(x－4)＝0         (x＋2)(x－3)＝－x         方程 一般形式系数 二次项系数 一次项系数 常数项 3y2－4y＝3 3y2－4y－3＝0 3 －4 －3 2x(x－4)＝0 2x2－8x＝0 2 －8 0 (x＋2)(x－3)＝－x x2－6＝0 1 0 －6 举一反三 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程 . 概 念 一元二次方程的一般形式： ax2 + bx + c = 0 (a、b、c 是已知数，a ≠ 0) 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 指出方程①②的二次项系数、一次项系数和常数项. x2 + 10x－ 900 = 0 . ① 5x2 + 10x－ 2.2 = 0 . ② 10 – 900 1 10 – 2.2 5 知识点3一元二次方程的根 3.已知一元二次方程x2－3x＋m＝0的一个根为1，则m＝________． 2 举一反三 4．下列各数：－2，0，1，2，3，其中是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根的是________． 1和3 举一反三 知识点4列一元二次方程 5.[安徽滁州期末]两个连续奇数的积为99，设其中较小的奇数为x，则可列方程为__________________________． x(x＋2)＝99 举一反三 1. 下列方程：①8x2 = x；②x2 = 3y + 1；③ax2 + 2x－3 = 0； ④ = 5；⑤x(2x－3) = 2x(x－1)；⑥ = x－1. 其中一定是一元二次方程的是______.（填序号） 序号 判断理由 结论 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 满足一元二次方程的三个条件 含有两个未知数 x、y a 的值有可能为 0，此时未知数的最高次数是 1 分母含有未知数，不是整式方程 整理后未知数的最高次数是 1 根号内含有未知数，不是整式方程 √ × × × × × ① 2. 将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的 二次项系数、一次项系数和常数项: （1）x2 + 2x ＝1；　 （2）3x2 ＝－2； （3）x(2x－1)＝ 2x； （4）(1－2x)(1 + 2x)＝ 2x2－4. 解（1）x2 + 2x－1 = 0，二次项系数为 1，一次项系数为 2，常数项为 －1. （2）3x2 + 2 = 0，二次项系数为 3，一次项系数为 0， 常数项为 2. 2. 将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的 二次项系数、一次项系数和常数项: （1）x2 + 2x ＝1；　 （2）3x2 ＝－2； （3）x(2x－1)＝ 2x； （4）(1－2x)(1 + 2x)＝ 2x2－4. （3）2x2 － 3x = 0，二次项系数为 2，一次项系数为 －3，常数项为 0. （4）6x2 － 5 = 0，二次项系数为 6，一次项系数为 0， 常数项为 －5. 将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项： 【选自教材第19页 练习】 （1）3x2－x = 2； （2）7x－3 = 2x2； （3）x(2x－1) －3x(x－2) = 0； （4）2x(x－1) = 2(x + 5)－4. 解（1）3x2 － x－2 = 0，二次项系数为 3，一次项系数为 －1，常数项为 －2. （1）3x2－x = 2； （2）7x－3 = 2x2； （3）x(2x－1) －3x(x－2) = 0； （4）2x(x－1) = 2(x + 5)－4. （2）2x2 － 7x + 3 = 0，二次项系数为 2，一次项系数为 －7， 常数项为 3. （3）x2 － 5x = 0，二次项系数为 1，一次项系数为 －5， 常数项为 0. （4）2x2 － 5x－11 = 0，二次项系数为 2，一次项系数为 －5， 常数项为 －11. 6.(数学文化).南宋末年，田地形状复杂多样，包括水田、圩田、梯田等，传统的计算方法难以满足精确计算田亩面积的需求．杨辉的《田亩比类乘除捷法》通过大量实际的田亩问题，丰富了田亩计算的理论和方法．其中有一个问题大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各为多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意可列方程为 __________________________． x(x＋12)＝864 举一反三 7.(易错题)若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋5x＋m2－4＝0的常数项为0，则m的值为________． －2 2星题 提升四能 易错点睛：容易忽略二次项系数不等于0而直接得出m＝±2. 举一反三 8.【思维生长】 若关于x的一元二次方程ax2－bx－3＝0满足a＋b－3＝0，则方程必有一根为(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．无法确定 B 举一反三 向“整体思想”生长：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋5＝0(a≠0)有一根为x＝24，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＝－5必有一根为(　　) A．x＝22 B．x＝23 C．x＝24 D．x＝25 B 举一反三 举一反三 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程 . 一元二次方程的一般形式： ax2 + bx + c = 0 (a、b、c 是已知数，a ≠ 0) 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 课堂小结 谢谢观看 THANKS 向“代数推理”生长：已知x＝a是一元二次方程x2－26x－3＝0的一个根，求a2－25a－－1的值． 解：将x＝a代入方程x2－26x－3＝0，得a2－26a－3＝0， 所以a2－3＝26a，a2－26a＝3， 所以a2－25a－－1＝a2－25a－－1 ＝a2－25a－a－1＝a2－26a－1＝3－1＝2. $