21.1 认识一元二次方程 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“一元二次方程”概念、一般形式及根的认识，通过知识回顾（方程定义、一元一次方程等）搭建学习支架，结合绿地面积、图书增长率等实际问题引导学生发现新方程，实现从旧知到新知的自然过渡。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光（如从矩形绿地问题抽象数量关系），通过类比定义发展数学思维（推理一元二次方程特征），借助一般形式和例题强化数学语言表达（模型意识）。随堂演练互动性强，帮助学生巩固知识，教师可通过结构化内容提升教学效率。

21.1 认识一元二次方程 课堂小结 例题讲解 获取新知 随堂演练 知识回顾 第21章 一元二次方程 知识回顾 没有未知数 1.下列式子哪些是方程？ 2+6=8 2x+3 5x+6=22 x+3y=8 x-5＜18 代数式 一元一次方程 二元一次方程 不等式 分式方程 2.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程. 3.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程. 获取新知 绿苑小区准备在两幢楼房之间设置一块面积为900 m2的矩形绿地，并且长比宽多10 m，求绿地的长和宽. 分析：我们已经知道可以运用方程解决实际问题． 设绿地的宽为x m，可列出方程 x(x＋10)＝900， 整理得 x2＋10x－900＝0. ① 方程①中未知数的个数和最高次数各是多少？ 数学来源于生活,生活中处处有数学.我们一起探究下面的方程是怎样的方程. 问题1 Administrator (A) - 通过此类问题的解决，使学生进一步体会方程思想：当我们需要确定某些未知量的值时，可以从实际问题中抽象出等量关系，然后利用方程模型解决问题。 分析：设这两年的年平均增长率为x. 已知去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5(1＋x)万册． 同样，明年年底的图书数又是今年年底图书数的(1＋x)倍， 即5(1＋x)(1＋x)＝5(1＋x)2 (万册)． 可列得方程 5(1＋x)2＝7.2， 整理可得 5x2＋10x－2.2＝0. ② 方程②中未知数的个数和最高次数各是多少？ 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册．求这两年的年平均增长率． 问题2 有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，再将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 解：设切去的正方形的边长为x cm， 则盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm， 根据方盒的底面积为3600 cm2，得 化简，得 (100-2x)(50-2x)=3600. x2-75x+350=0. ③ x x 100cm 50cm 3600cm2 问题3 方程③中未知数的个数和最高次数各是多少？ 由上述三个问题，得到三个方程 x2＋10x－900＝0. ① 5x2＋10x－2.2＝0. ② x2-75x+350=0. ③ 类似方程①②③这样，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程. 类比一元一次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.你能给方程①②③取一个合适的名字，并给出一个定义吗？ 概括 Administrator (A) - 这里出现整式方程的概念，目的是排除分式方程和无理方程，因为某些分式方程和无理方程经过变形之后可以化为一元二次方程，但他们不是一元二次方程。 判断下列各式是否为一元二次方程. (1)4x2=81;　　(2)2(x2-1)=3y. ① 是整式方程; ② 只含有一个未知数; ③ 未知数的最高次数是2. 同时要注意二次项系数不能为0. 一个方程是一元二次方程需同时满足三个条件: 解：(1)是. 因为：①是整式方程; ②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2；　(2)不是. 因为含有两个未知数. a x²+b x+ c =0 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax²+bx+c=0 (a≠0)，这种形式叫做一元二次方程的一般形式 . 其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项. 二次项系数 一次项系数 a≠0 二次项 一次项 常数项 指出方程各项的系数时要带上前面的符号. 一元二次方程二次项系数a ≠ 0 往往被同学们忽略，要在练习中加以强化。 9 Administrator (A) - 要给学生强调方程各项的系数要包括前面的符号，这是学生最容易出现的问题 为什么规定a≠0，b，c可以为0吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ，b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ，c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 归纳：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 10 判断未知数的值x= -1,x=0,x=2是不是一元二次方程x2-2=x的根. 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根). x= -1,x=2是x2-2=x的根， x=0不是x2-2=x的根 通过这个问题不仅让学生们认识到一元二次方程根的概念，同时让学生发现一元二次方程存在不直一个根，感受与一元一次方程的根的情况的区别. 例题讲解 例1 将方程3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10. 注意：系数包含前面的符号 1.一元二次方程的一般形式的特点是方程的右边为0,左边是关于未知数的二次整式. 2.一元二次方程的项或系数是针对一元二次方程的一般形式而言的,所以写项或系数时,要先化成一般形式,并且项或系数都包括前边的符号. 填空： 4x2-3x=0 x2-2x-8=0 x2-x-6=0 4 -3 0 1 -2 -8 1 -1 -6 例2 已知关于x的方程(a2－1)x2＋(1－a)x＋a－2＝0. (1)当a为何值时，该方程为一元二次方程？ (2)当a为何值时，该方程为一元一次方程？ 并求一元一次方程的解． 解： (1)由题意得a2－1≠0，即当a≠±1时，该方程 为一元二次方程． (2)由题意得a2－1＝0且1－a≠0，解得a＝－1. 此时方程为2x－3＝0，解得 随堂演练 D 1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是(　　) A．ax2＋bx＋c＝0 B．x2＋1－x2＝0 C．x2＋ ＝2 D．x2－x－2＝0 2. 据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程 . 75 (1 + x )2 = 108 或25x2 + 50x - 11 ＝ 0 3．把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 解：将原方程化简为： 　　9x2＋12x＋4＝4(x2－6x＋9) 9x2＋12x＋4＝4 x2 －24x ＋36 9x2－ 4x2＋ 12x＋ 24x＋4－36＝0 二次项系数为 5，一次项系数为 36，常数项为－32 5x2 ＋ 36 x － 32＝0 4. 已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+20的值. 解：由题意得 课堂小结 一元二次方程 概念 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是2. 一般 形式 ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中a≠0是一元二次方程的必要条件 $