21.2 一元二次方程的解法 课件 2026-2027学年数学华东师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的解法，涵盖直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法及根的判别式、根与系数的关系，通过“逐点导讲练”流程，衔接平方根、因式分解等旧知，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是讲练结合，每种方法含概念辨析、步骤总结与例题变式，如因式分解法强调“降次”依据，配方法突出公式应用，培养运算能力与推理意识。课堂小结整合解法选择策略，助教师高效教学，学生形成结构化知识体系。

21.2 一元二次方程的解法 学习目标 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 直接开平方法 因式分解法 配方法 公式法 一元二次方程根的判别式 一元二次方程的根与系数的关系 学习目标 知识点 直接开平方法 知1－讲 1 1. 直接开平方法  对于形如x2＝a(a≥0) 的方程，根据平方根的定义，得x＝±，通常表示成x1＝，x2＝－ (一元二次方程的两个根通常表示为x1，x2).这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 感悟新知 知1－讲 2. 可用直接开平方法求解的几种基本形式 (1)x2＝a(a≥0)，可转化为x＝±. (2)(x＋a)2＝b(b≥0)，可转化为x＋a＝±. (3)(ax＋b)2＝c(c≥0)，可转化为ax＋b＝±. (4)(ax＋b)2＝(cx＋d)2，可转化为ax＋b＝±(cx＋d). 感悟新知 知1－讲 特别警示 直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点： 1. 不要只取正的平方根而遗漏负的平方根； 2. 只有非负数才有平方根，所以用直接开平方法解方程的前提是x2＝p中p ≥ 0. 感悟新知 知1－练 例 1 用直接开平方法解下列方程： (1)9x2－81＝0；(2)2(x－3)2－50＝0. 解题秘方：先把方程化为x2＝a的形式，再利用直接开平方法求解. 感悟新知 知1－练 (1)9x2－81＝0； 解：移项，得9x2＝81. 方程两边都除以9，得 x2＝9. 直接开平方，得 x＝±3. 即x1＝3，x2＝－3 . 将方程变成左边是完全平方，右边是非负数的形式(如果方程右边是负数，那么这个方程无实数根）. 感悟新知 知1－练 (2)2(x－3)2－50＝0. 解：移项，得 2(x－3)2＝50. 方程两边都除以2，得(x－3)2＝25 . 直接开平方，得 x－3＝±5. 即x1＝8，x2＝－2 . 把x－3看成一个整体，求平方根 . 感悟新知 知1－练 1-1. 用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数根的方程为( ) A. x2－1＝0 B. x2＝0 C. x2＋4＝0 D. －x2＋3＝0 C 感悟新知 知1－练 1-2. 若关于x的代数式2x2＋2与2x2－10互为相反数，则x的值为( ) A. －2 B. ±2 C. D. ± D 感悟新知 知2－讲 知识点 因式分解法 2 1. 因式分解法  利用因式分解，将方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，则这两个一次式至少有一个等于0，从而得到两个一元一次方程，分别求解后得到原一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做因式分 解法. 感悟新知 知2－讲 2. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)整理方程，使其右边为0； (2)将方程左边分解为两个一次式的乘积； (3)令两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； (4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程 的解. 感悟新知 知2－讲 知识储备 1. 常用的因式分解的方法：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b). 2. 用因式分解法解一元二次方程的依据： 若两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个等于0，即“ 若 ab＝0，则a＝0或b＝0” . 感悟新知 知2－练 用因式分解法解下列方程 . (1) 3x2－18x＝－27； (2)(x－5)(x－6)＝x－5； (3)[一题多解]4(x－3)2－25(x－2)2＝0； 例 2 解题秘方：按方程的特点选择恰当的因式分解的方法 . 感悟新知 知2－练 解：移项，得3x2－18x＋27＝0. 方程左边分解因式，得3(x－3)2＝0， 所以x1＝x2＝3. (1) 3x2－18x＝－27； 感悟新知 知2－练 解：移项，得(x－5)(x－6)－(x－5)＝ 0. 方程左边分解因式，得(x－5)(x－7)＝0. 所以x－5＝0 或 x－7＝0. 得 x1＝5，x2＝7. (2)(x－5)(x－6)＝x－5； 方程的两边不能同时除以x－5，这样会使方程丢一根 . 感悟新知 知2－练 解：(方法一)原方程可化为[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0. 方程左边分解因式，得[2(x－3)＋5(x－2)][2(x－3)－ 5(x－2)]＝0，即(7x－16)(－3x＋4)＝0. 所以7x－16 ＝0或－3x＋4＝0. 得 x1＝，x2＝. (3)4(x－3)2－25(x－2)2＝0； 感悟新知 知2－练 (方法二)移项，得4(x－3)2＝25(x－2)2. 方程两边开平方，得2(x－3)＝±5(x－2)， 即2(x－3)＝5(x－2)或2(x－3)＝－5(x－2)， 得x1＝，x2＝. 感悟新知 知2－练 2－1. 用因式分解法解下列方程： (1)x2－7x＝0； (2)x(x－3)＝5x； 解：方程左边分解因式，得x(x－7)＝0. ∴x＝0或x－7＝0，得x1＝0，x2＝7． 移项，得x(x－3)－5x＝0. 方程左边分解因式，得x(x－8)＝0. ∴x＝0或x－8＝0，得x1＝0，x2＝8. 感悟新知 知2－练 (3)4x2－20x＋25＝0； (4)(x＋1)2－4＝0； 解：方程左边分解因式，得(2x－5)2＝0. ∴x1＝x2＝． 方程左边分解因式，得(x＋1＋2)(x＋1－2)＝0， 即(x＋3)(x－1)＝0. ∴x＋3＝0或x－1＝0，得x1＝－3，x2＝1． 感悟新知 知2－练 (5)(x＋1)(x＋2)＝2x＋4． 解：由(x＋1)(x＋2)＝2x＋4， 得(x＋1)(x＋2)＝2(x＋2), 移项，得(x＋1)(x＋2)－2(x＋2)＝0， 方程左边分解因式，得(x＋2)(x＋1－2)＝0， 即(x＋2)(x－1)＝0， ∴x＋2＝0或x－1＝0，得x1＝－2，x2＝1. 感悟新知 知识点 配方法 知3－讲 3 1. 定义 通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 感悟新知 知3－讲 2. 用配方法解一元二次方程的一般步骤 一般步骤 方法 示例(2x2－7x＋3＝0) 一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边 2x2－7x＝－3 二化 二次项系数化为1 左、右两边都除以二次项系数 x2－x＝－ 感悟新知 知3－讲 一般步骤 方法 示例(2x2－7x＋3＝0) 三配 配方 左、右两边都加上 一次项系数的绝对 值的一半的平方 x2－x＋()2＝－＋ ()2，即(x－)2＝l 四开 开平方 利用平方根的定义 直接开平方 x－＝± 五解 解两个一元一次方程 移项、合并同类项 x1＝3，x2＝ 感悟新知 知3－讲 特别解读 配方的依据是完全平方公式a2±2ab＋b2＝(a±b)2，其实质是将a看成未知数，b看成常数，则b2即是一次项系数一半的平方. 感悟新知 知3－讲 特别提醒 一元二次方程的配方与二次三项式的配方的区别： 一元二次方程的配方是方程的两边都除以二次项系数 a，而二次三项式的配方是提取二次项系数a，要注意区分. 感悟新知 知3－练 例 3 用配方法解一元二次方程： (1)x2＋4x＋3＝0；(2)x2－x－＝0； (3)2x2－4x－1＝0；(4)(1＋x)2＋2(1＋x)－3＝0. 解题秘方：先将方程配方化为(x＋n)2＝p的形式，再用直接开平方法求解. 感悟新知 知3－练 (1)x2＋4x＋3＝0； 解：移项，得x2＋4x＝－3 . 配方，得x2＋4x＋22＝－3＋22，即(x＋2)2＝1. 直接开平方，得x＋2＝±1. 所以x1＝－1，x2＝－3 . 感悟新知 知3－练 (2)x2－x－＝0； 解：移项，得x2－x＝. 配方，得x2－x＋()2＝＋()2，即(x－)2＝1. 直接开平方，得x－＝±1. 所以x1＝，x2＝－. 感悟新知 知3－练 (3)2x2－4x－1＝0； 解：移项，得2x2－4x＝1. 两边都除以2 ，得x2－2x＝. 配方，得x2－2x＋12＝＋12，即(x－1)2＝. 直接开平方，得x－1＝±.所以x1＝1＋，x2＝1－. 一定要先把二次项系数化为1. 感悟新知 知3－练 (4)(1＋x)2＋2(1＋x)－3＝0. 解：移项，得(1＋x)2＋2(1＋x)＝3 . 配方，得(1＋x)2＋2(1＋x)＋12＝3＋12， 即(1＋x＋1)2＝4. 直接开平方，得1＋x＋1＝±2 . 所以x1＝0，x2＝－4. 将1＋x看成一个整体进行配方，可达到简化效果 . 感悟新知 知3－练 3-1. 用配方法解一元二次方程3x2＋6x－1＝0时，将它化为(x＋a)2＝b的形式，则a＋b的值为( ) A. B. C. 2 D. B 感悟新知 知3－练 3－2. 解下列方程： (1)x2＋4x＝7； 解：配方，得x2＋4x＋22＝7＋22，即(x＋2)2＝11． 直接开平方，得x＋2＝±． ∴x1＝－2＋，x2＝－2－． 感悟新知 (2)3x2－6x－2＝0； 知3－练 解：移项，得3x2－6x＝2． 两边都除以3，得x2－2x＝． 配方，得x2－2x＋12＝＋12，即(x－1)2＝．直接开平方，得x－1＝±．∴x1＝1＋，x2＝1－. 感悟新知 (3)(x－2)(x－5)＋1＝0． 知3－练 解：原方程整理，得x2－7x＋11＝0. 移项，得x2－7x＝－11. 配方，得x2－7x＋()2＝－11＋()2 ，即(x－)2＝. 直接开平方，得x－＝±. ∴x1＝, x2＝. 感悟新知 知识点 公式法 知4－讲 4 1. 公式法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x＝ (b2－4ac≥0).将一元二次方程的系数a， b，c的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 感悟新知 知4－讲 2. 用公式法解一元二次方程的一般步骤 (1)把一元二次方程化成一般形式； (2)确定公式中 a，b，c的值； (3)求出b2－4ac的值； (4)若b2－4ac ≥ 0，则把a，b及b2－4ac的值代入求根公式求解 . 感悟新知 知4－讲 3. 合理选择一元二次方程的解法 (1)若方程具有(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，可用直接开平方法求解； (2)若一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一次式的乘 积，可用因式分解法求解； (3)当以上两种方法均不适用时，可选用配方法或公式法. 感悟新知 知4－讲 特别提醒 1. 公式法是解一元二次方程的通用解法(也称万能法)，它适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法. 2. 只有当方程ax2＋bx＋c＝0中的a≠0，b2－4ac ≥0时，才能使用求根公式 . 3. 解一元二次方程的基本思路：将二次方程化为一次方程，即降次. 感悟新知 知4－练 用公式法解下列方程 . (1)2x2－7x＋4＝0； (2)－3x2－5x＋2＝0； (3)3x2－2x＝－1. 解题秘方：按照用公式法解一元二次方程的步骤求解. 例 4 感悟新知 知4－练 (1)2x2－7x＋4＝0； 解：这里a＝2，b＝－7，c＝4， b2－4ac＝(－7)2－4×2×4＝17 ＞0 ， ∴ x＝＝， 即x1＝，x2＝. 求b2－4ac的值时，若代入的字母值是负数，则需将其用括号括起来，不能漏掉“－”号 . 感悟新知 知4－练 (2)－3x2－5x＋2＝0. 解：这里a＝－3，b＝－5，c＝2， b2－4ac＝(－5)2－4×(－3)×2＝49＞0 ， ∴ x＝＝，即x1＝－2 ，x2＝. 感悟新知 知4－练 (3)3x2－2x＝－1； 解：将方程化为一般形式，得3x2－2 x＋1＝0. ∵b2－4ac＝(－2)2－4×3×1＝ 0， ∴ x＝， 即x1＝x2＝. 一定要整理成一般形式后，再确定求根公式中的a，b，c. 感悟新知 知4－练 活用巧记 观察方程选解法，先看能否开平方， 再看是否能分解，左分降次右化零， 求根公式最后用，系数符号要看清. 感悟新知 知4－练 4-1. 在用公式法解方程x2＋4 x＝2时，b2－4ac的值是( ) A. 16 B. 4 C. 32 D. 64 D 感悟新知 4-2. 用公式法解下列方程 ： (1)y2－2y－2＝0； 知4－练 感悟新知 知4－练 (2)3x2－2x＝4； 感悟新知 知4－练 (3)5x2－2x＋1＝0. 感悟新知 知4－练 解下列方程 . (1)4x2－64＝0；(2)x2＋10x－2＝0； (3)2x2－7x－6＝0； (4)x(x＋3)＝2x＋6. 解题秘方：根据方程的特点，选择适当的方法解一元二次方程 . 例 5 感悟新知 知4－练 (1)4x2－64＝0； (2)x2＋10x－2＝0； 解：移项，得4x2＝64.方程两边都除以4，得x2＝16. 直接开平方，得x＝±4，即x1＝4，x2＝－4. 移项，得x2＋10x＝2. 配方，得x2＋10x＋52＝2＋52，即(x＋5)2＝27. 直接开平方，得x＋5＝±3. ∴x1＝－5＋3，x2＝－5－3. 感悟新知 知4－练 (3)2x2－7x－6＝0； (4)x(x＋3)＝2x＋6. 解：这里a＝2，b＝－7，c＝－ 6，∵b2－4ac＝97＞0， ∴ x＝. 即x1＝，x2＝. 方程可变形为x(x＋3) －2(x＋3) ＝0. 方程左边分解因式，得(x＋3)(x－2) ＝0. ∴x＋3＝0或x－2＝0，得x1＝－3，x2＝2. 感悟新知 知4－练 5－1. [期末·周口]用适当的方法解下列方程： (1)x2－4x－2＝0； 解：移项，得x2－4x＝2. 配方，得x2－4x＋22＝2＋22，即(x－2)2＝6. 直接开平方，得x－2＝±. 所以x1＝2＋，x2＝2－. 感悟新知 知4－练 (2)(x－2)2＝2x－4； 解：移项，得(x－2)2－2x＋4＝0， 即(x－2)2－2(x－2)＝0. 方程左边分解因式，得(x－2)(x－4)＝0. 所以x－2＝0或x－4＝0，得x1＝2，x2＝4. 感悟新知 知4－练 (3)x2－3x－2＝0； 解：这里a＝1, b＝－3, c＝－2， 因为b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－2)＝17>0， 所以x＝＝， 即x1＝, x2＝. 感悟新知 知4－练 (4)(x＋3)2－16＝0. 解：移项，得(x＋3)2＝16. 直接开平方，得x＋3＝±4. 所以x1＝1, x2＝－7. 感悟新知 知识点 一元二次方程根的判别式 知5－讲 5 1. 一元二次方程根的判别式 式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ＝b2－4ac. 希腊字母，读作delta. 感悟新知 知5－讲 2. 一元二次方程根的情况与根的判别式的关系 (1)Δ>0方程ax2＋bx＋c＝0(a ≠ 0)有两个不等的实数根. (2)Δ＝0方程ax2＋bx＋c＝0(a ≠ 0)有两个相等的实数根. (3)Δ<0方程ax2＋bx＋c＝0(a ≠ 0)没有实数根. 感悟新知 知5－讲 特别提醒 确定根的判别式时，需先将方程化为一般形式，确定a，b，c后再计算；使用一元二次方程根的判别式的前提是二次项系数不为0. 感悟新知 知5－练 不解方程，判断下列关于x的方程的根的 情况： (1)x2＋2＝2x；(2)3x2－2x＝－9； (3)x2－2(k＋1)x－k2＋2k－1＝0. 解题秘方： 先计算根的判别式的值， 再根据其正负性判断根的情况. 例 6 感悟新知 知5－练 解：(1) 原方程可化为x2－2x＋2＝0， ∵Δ＝(－2)2－4×1×2＝0， ∴方程有两个相等的实数根. (2)原方程可化为3x2－2x＋9＝0， ∵Δ＝(－2)2－4×3×9＝－104<0，∴方程没有实数根. 先化为一般形式. 感悟新知 知5－练 (3) Δ＝[－2(k＋1)]2－4×1×(－k2＋2k－1)＝8＋8k2. ∵8k2≥0，∴8＋8k2＞0，即Δ＞0. ∴方程有两个不相等的实数根. 感悟新知 知5－练 6－1.[中考·安徽]下列方程中，有两个不相等的实数根的是( ) A. x2＋1＝0 B. x2－2x＋1＝0 C. x2＋x＋1＝0 D. x2＋x－1＝045 D 感悟新知 知5－练 若关于x的一元二次方程3x2－6x＋n＝0无实数根，则反比例函数y＝的图象所在的象限为( ) A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 例 7 感悟新知 知5－练 解题秘方： 先根据一元二次方程无实数根的条件求出n的取值范围，再确定反比例函数系数的符号，从而判断图象所在的象限. 解： ∵关于x的一元二次方程3x2－6x＋n＝0无实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝36－12n＜0，解得n＞3.∴3－n＜0. ∴反比例函数y＝的图象所在的象限为第二、四象限. 答案： C 感悟新知 知5－练 7－1. [中考·上海]已知关于x的一元二次方程2x2＋x－m＝0 没有实数根，则m的取值范围是________. m<－ 感悟新知 知识点 一元二次方程的根与系数的关系 知6－讲 6 1. 一元二次方程的根与系数的关系 (1)设二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根为x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q. (2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a ≠ 0)，当b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根，设这两个实数根分别为x1，x2，这两个根与系数的关系是x1＋x2＝－，x1x2＝. 感悟新知 知6－讲 特别提醒 一元二次方程的根与系数的关系存在的前提是a ≠ 0，b2－4ac ≥ 0. 感悟新知 知6－讲 2. 与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形 (1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2； (2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； (3)＋＝； (4)＋＝. 感悟新知 知6－讲 (5)|x1－x2|＝＝； (6)x1x22＋x12x2＝x1x2(x2＋x1). 感悟新知 知6－讲 3. 拓展 以x1，x2为根的一元二次方程(未知数为x，二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0. 感悟新知 知6－练 设x1，x2是方程 4x2－7＝2x2＋8x的两个实数根，则 x1＋x2＝_______，x1x2＝_______. 解题秘方：先把一元二次方程化为一般形式，再根据一元二次方程的根与系数的关系求值. 4 － 例 8 感悟新知 知6－练 解：将方程化为一般形式，得2x2－8x－7＝ 0. ∴ x1＋x2＝－＝－＝4，x1x2＝＝＝－ . 感悟新知 知6－练 8－1.[中考·河北]若一元二次方程x(x＋2)－3＝0 的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 C 感悟新知 知6－练 已知方程x2－6x＋q＝0有一个根为 2，求方程的另一个根和q的值 . 思路导引： 例 9 感悟新知 知6－练 解：设这个方程的另一个根为 m， 则m＋2＝6，2m＝q， 解得 m＝4，q＝8. 即方程的另一个根为4，q的值为8 . 另解：把x＝2代入方程，求得q＝8，再解x2－6x＋8＝0，求得另一个根为 4. 感悟新知 知6－练 9－1.[中考·苏州]已知x1，x2是关于x的一元二次方程 x2＋ 2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则 x2＝______ . －3 感悟新知 知6－练 已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是( ) A. x2－7x＋12＝0 B. x2＋7x＋12＝0 C. x2＋7x－12＝0 D. x2－7x－12＝0 解题秘方：以 x1，x2为根的一元二次方程(未知数为x，二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0. 例10 感悟新知 知6－练 答案：A 解：所求方程是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0， 即x2－7x＋12＝0. 感悟新知 知6－练 10－1. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程 时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是 6 和 1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5.则原来的方程是( ) A. x2＋6x＋5＝0 B. x2－7x＋10＝0 C. x2－5x＋2＝0 D. x2－6x－10＝0 B 感悟新知 一元二次方程的解法 解一元二次方程 直接开平方法 转化 配方法 公式法 因式分解法 根的判别式 根与系数的关系 课堂小结 解：这里a＝1，b＝－2，c＝－2， ∵b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－2)＝12＞0， ∴y＝＝1±， 即y1＝1＋，y2＝1－. 解：将方程化为一般形式，得3x2－2x－4＝0. ∵b2－4ac＝(－2)2－4×3×(－4)＝52＞0， ∴x＝＝，即x1＝，x2＝. 解：这里a＝5，b＝－2，c＝1， ∵b2－4ac＝(－2)2－4×5×1＝0， ∴x＝，即x1＝x2＝. $