21.2 .4 一元二次方程根的判别式 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根的判别式，从配方法推导求根公式的过程切入，引导学生观察方程变形中\(b^2 - 4ac\)的作用，搭建从求根公式到判别式应用的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探索，通过分类讨论Δ的三种情况培养推理意识，例题采用“一化二找三算四判”步骤强化模型意识，课堂小结系统梳理知识。帮助学生提升数学思维和应用能力，教师可借助结构化内容提高教学效率。

一元二次方程根的判别式 一元二次方程 1 1. 能运用根的判别式，判断方程根的情况和 进行有关的推理论证； 2. 会运用根的判别式求一元二次方程中字母 系数的取值范围. 学习目标 我们用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到 2＝ . （✻） 当 b2－4ac ≥ 0 时，直接开平方，得 ＝ . 也就是说，只有当一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的系数 a、b、c 满足条件 b2 – 4ac ≥ 0 时才有实数根. 因此，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况. 新课导入 观察方程： 2＝ . （✻） 我们发现有如下三种情况： 你有什么发现？ （1）当 b2－4ac > 0 时，方程 （✻）的右边是一个正数，它 有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根： ＝ ， ＝. 探索新知 （2）当 b2 – 4ac = 0 时，方程 （✻）的右边是 0，因此方程有两个相等的实数根： x1 = x2 =－ . （3）当 b2 – 4ac < 0 时，方程 （✻）的右边是一个负数，而对于任何实数 x，方程左边 因此方程没有实数根. 概 括 式子 b2－4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c ＝0 (a ≠ 0) 根的判别式. 通常用符号“Δ”来表示，即 Δ ＝ b2－4ac. “Δ”是希腊字母，读作 delta. 用它可以直接判断一元二次方程的实数根的情况. Δ = b2－4ac 的大小 方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的根的情况 Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 例 7 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）3x2 = 5x－2； （2）4x2 － 2x + = 0； （3）4(y2 + 1)－ y = 0. 解 （1）原方程可变形为 3x2－5x + 2 = 0. 因为 Δ = (－5)2－4×3×2 = 25－24 = 1 > 0， 所以方程有两个不相等的实数根. 计算判别式时，方程必须化为一元二次方程的一般形式. （2）4x2 － 2x + = 0； （3）4(y2 + 1)－ y = 0. （2）因为 Δ = _________________________， 所以方程________________________. （3）原方程可变形为___________________. 因为 Δ =_____________________________， 所以方程______________. (－2)2－4×4× = 4－4 = 0 有两个相等的实数根 4y2 – y + 4 = 0 (– 1)2 – 4×4×4 = 1 – 64 = – 63 没有实数根 一元二次方程 (x + 1)(x－1)＝ 2x + 3 的根的情况是 (　 ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 思路分析 (x + 1)(x－1) = 2x + 3 1x2－2x －4 = 0 一化 a b c 二找 Δ = b2－4ac = 20 > 0 三算 四判 有两个不相等的实数根 A 试一试 已知关于 x 的方程 2x2 – (3 + 4k)x + 2k2 + k = 0. （1）当 k 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）当 k 取何值时，方程有两个相等的实数根？ （3）当 k 取何值时，方程没有实数根？ 解：因为 Δ = [– (3 + 4k)]2 – 4×2×(2k2 + k) = 16k + 9. 当 16k + 9 > 0，即 k > － 时，方程有两个不相等的实数根. 试一试 已知关于 x 的方程 2x2 – (3 + 4k)x + 2k2 + k = 0. 当 16k + 9 = 0，即 k = － 时，方程有两个相等的实数根. 当 16k + 9 < 0，即 k < － 时，方程没有实数根. 用公式法解下列方程： 【选自教材第33页 练习 第1题】 （1）3x2 + 5x = 4； （2）2x － x2 － 2 = 0； 解:（1）原方程可变形为 3x2 + 5x－4 ＝ 0. 因为Δ ＝52 －4×3×(－4)＝ 25 + 48＝73 > 0， 所以方程有两个不相等的实数根. （2）原方程可变形为 x2 －2x + 2 ＝ 0. 因为 Δ ＝ (－2)2 －4×1×2 ＝－4 < 0， 所以方程没有实数根. （3）4(y2－y)+1 = 0； （4）2(x+1)2 = 5x. （3）原方程可变形为 4y2 －4y + 1 ＝ 0. 因为Δ ＝(－4)2 －4×4×1 ＝ 0， 所以方程有两个相等的实数根. （4）原方程可变形为 2x2 －x + 2 ＝ 0. 因为 Δ ＝(－1)2 －4×2×2 ＝－15 < 0， 所以方程没有实数根. 2. 小明告诉同学，他发现了一种简便方法，可以判断一类 方程必有实数根：若一元二次方程 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的系数 a、异号（即两数为一正负)，那么这个方程一定有 两个不相等的实数根. 他的说法是否正确？为什么？ 解: 正确. 理由:因为 Δ ＝ b2 －4ac，当 a、c 异号时， 则 Δ > 0，所以方程一定有两个不相等的实数根. 2.用判别式判定一元二次方程根的情况 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程没有实数根. 1. 根的判别式 Δ = b2 – 4ac 课堂小结 $