21.2. 4. 一元二次方程根的判别式（课件）--2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根的判别式，通过配方法推导求根公式的过程导入，搭建从已有知识到判别式定义及根的情况判定的学习支架，帮助学生理解Δ=b²-4ac与根的关系。 其亮点是结合基础题、提升题及中考题，通过逆向推理、参数分析等环节培养运算能力和推理意识，如“试一试”中根据判别式求参数取值范围。课堂小结系统梳理知识，学生能夯实基础提升应用能力，教师使用可高效教学。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 华东师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第21章 一元二次方程 21.2. 4. 一元二次方程根的判别式 2026年8月4日 华东师大版九年级上册21.2.4 一元二次方程根的判别式练习题 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 一元二次方程根的判别式$$\Delta=b^2-4ac$$，对于方程根的情况，下列说法正确的是（） A.$$\Delta>0$$，方程有两个相等实数根 B.$$\Delta=0$$，方程无实数根 C.$$\Delta\lt0$$，方程有两个不相等实数根 D.$$\Delta\ge0$$，方程有实数根 2. 一元二次方程$$x^2-5x+3=0$$的根的判别式的值为（） A.13 B.19 C.37 D.7 3. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（） A.$$x^2-2x=0$$ B.$$x^2+4x-1=0$$ C.$$2x^2-3x+2=0$$ D.$$x^2-9=0$$ 4. 若方程$$x^2-4x+k=0$$有两个相等的实数根，则$$k$$的值为（） A.2 B.4 C.-4 D.16 5. 已知关于$$x$$的一元二次方程$$(m-1)x^2+2x+1=0$$有实数根，则$$m$$的取值范围是（） A.$$m\le2$$ B.$$m\le2$$且$$m e1$$ C.$$m\ge2$$ D.$$m\ge2$$且$$m e1$$ 6. 方程$$2x^2+3x-1=0$$的根的情况是（） A.两个不相等的实数根 B.两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法判断 二、填空题（每题4分，共24分） 1. 一元二次方程$$3x^2-2x-5=0$$的判别式$$\Delta=$$________。 2. 若方程$$x^2+mx+1=0$$有两个相等实数根，则$$m=$$________。 3. 当$$\Delta$$________0时，一元二次方程有两个不相等的实数根。 4. 已知方程$$2x^2-6x+m=0$$没有实数根，则$$m$$的取值范围是________。 5. 若一元二次方程$$ax^2+4x+1=0$$有两个实数根，则$$a$$的取值范围是________。 6. 方程$$x^2-2\sqrt{3}x+3=0$$的根的情况是________。 三、解答题（共52分） 13.（12分）不解方程，判断下列一元二次方程根的情况： (1)$$x^2+3x+2=0$$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (2)$$2x^2-4x+2=0$$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (3)$$x^2-2x+5=0$$ 14.（12分）已知关于$$x$$的一元二次方程$$x^2-(k+2)x+2k=0$$，求证：方程总有实数根。 15.（14分）已知一元二次方程$$2x^2-4x+t=0$$有两个不相等的实数根，求$$t$$的取值范围，并写出满足条件的$$t$$的一个整数解。 16.（14分）已知方程$$(m-2)x^2-2mx+m+1=0$$是一元二次方程，且有两个实数根，求$$m$$的取值范围。 参考答案 1.D &nbsp;2.A &nbsp;3.C &nbsp;4.B &nbsp;5.B &nbsp;6.A 7.$$64$$ &nbsp;8.$$\pm2$$ &nbsp;9.$$>$$ &nbsp;10.$$m>\dfrac{9}{2}$$ &nbsp;11.$$a\le4$$且$$a e0$$ &nbsp;12.有两个相等的实数根 13.解：(1)$$\Delta=9-8=1>0$$，方程有两个不相等的实数根。 (2)$$\Delta=16-16=0$$，方程有两个相等的实数根。 (3)$$\Delta=4-20=-16\lt0$$，方程无实数根。 14.证明：$$\Delta=(k+2)^2-8k=k^2+4k+4-8k=k^2-4k+4=(k-2)^2$$ ∵无论$$k$$取何实数，$$(k-2)^2\ge0$$，即$$\Delta\ge0$$，∴方程总有实数根。 15.解：由题意得$$\Delta=16-8t>0$$，解得$$t\lt2$$。 满足条件的整数解可取$$t=1$$（答案不唯一）。 16.解：由题意得$$\Delta=4m^2-4(m^2-m-2)=4m+8\ge0$$$$m\ge-2$$$$m$$$$m\ge-2$$$$m e2$$$$\Delta=b^2-4ac$$$$a、b、c$$ 1. 能运用根的判别式，判断方程根的情况和 进行有关的推理论证； 2. 会运用根的判别式求一元二次方程中字母 系数的取值范围. 学习目标 我们用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到 2＝ . （✻） 当 b2－4ac ≥ 0 时，直接开平方，得 ＝ . 也就是说，只有当一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的系数 a、b、c 满足条件 b2 – 4ac ≥ 0 时才有实数根. 因此，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况. 新课导入 观察方程： 2＝ . （✻） 我们发现有如下三种情况： 你有什么发现？ （1）当 b2－4ac > 0 时，方程 （✻）的右边是一个正数，它 有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根： ＝ ， ＝. 探索新知 （2）当 b2 – 4ac = 0 时，方程 （✻）的右边是 0，因此方程有两个相等的实数根： x1 = x2 =－ . （3）当 b2 – 4ac < 0 时，方程 （✻）的右边是一个负数，而对于任何实数 x，方程左边 因此方程没有实数根. 概 括 式子 b2－4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c ＝0 (a ≠ 0) 根的判别式. 通常用符号“Δ”来表示，即 Δ ＝ b2－4ac. “Δ”是希腊字母，读作 delta. 用它可以直接判断一元二次方程的实数根的情况. Δ = b2－4ac 的大小 方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的根的情况 Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 知识点1一元二次方程根的判别式 1.【思维生长】 一元二次方程x2－5x＋2＝0的根的判别式的值是(　　) 1星题 夯实四基 C 举一反三 向“逆向推理”生长：已知关于x的方程2x2＋ax＋1＝0的根的判别式的值为4，则a＝______． 举一反三 例 7 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）3x2 = 5x－2； （2）4x2 － 2x + = 0； （3）4(y2 + 1)－ y = 0. 解 （1）原方程可变形为 3x2－5x + 2 = 0. 因为 Δ = (－5)2－4×3×2 = 25－24 = 1 > 0， 所以方程有两个不相等的实数根. 计算判别式时，方程必须化为一元二次方程的一般形式. （2）4x2 － 2x + = 0； （3）4(y2 + 1)－ y = 0. （2）因为 Δ = _________________________， 所以方程________________________. （3）原方程可变形为___________________. 因为 Δ =_____________________________， 所以方程______________. (－2)2－4×4× = 4－4 = 0 有两个相等的实数根 4y2 – y + 4 = 0 (– 1)2 – 4×4×4 = 1 – 64 = – 63 没有实数根 知识点2用根的判别式判断方程根的情况 2.知识初练 已知一元二次方程x2＋x＋1＝0的根的判别式的值为__________，它________0(填“＞”“＜”或“＝”)，故这个方程根的情况为______________． －3 < 没有实数根 举一反三 3.【思维生长】 一元二次方程x2＋4x＋5＝0的根的情况是(　　) A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 A 举一反三 向“参数分析”生长：关于x的方程x2＋mx－2＝0的根的情况是(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 A 举一反三 一元二次方程 (x + 1)(x－1)＝ 2x + 3 的根的情况是 (　 ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 思路分析 (x + 1)(x－1) = 2x + 3 1x2－2x －4 = 0 一化 a b c 二找 Δ = b2－4ac = 20 > 0 三算 四判 有两个不相等的实数根 A 试一试 已知关于 x 的方程 2x2 – (3 + 4k)x + 2k2 + k = 0. （1）当 k 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）当 k 取何值时，方程有两个相等的实数根？ （3）当 k 取何值时，方程没有实数根？ 解：因为 Δ = [– (3 + 4k)]2 – 4×2×(2k2 + k) = 16k + 9. 当 16k + 9 > 0，即 k > － 时，方程有两个不相等的实数根. 试一试 已知关于 x 的方程 2x2 – (3 + 4k)x + 2k2 + k = 0. 当 16k + 9 = 0，即 k = － 时，方程有两个相等的实数根. 当 16k + 9 < 0，即 k < － 时，方程没有实数根. 用公式法解下列方程： 【选自教材第33页 练习 第1题】 （1）3x2 + 5x = 4； （2）2x － x2 － 2 = 0； 解:（1）原方程可变形为 3x2 + 5x－4 ＝ 0. 因为Δ ＝52 －4×3×(－4)＝ 25 + 48＝73 > 0， 所以方程有两个不相等的实数根. （2）原方程可变形为 x2 －2x + 2 ＝ 0. 因为 Δ ＝ (－2)2 －4×1×2 ＝－4 < 0， 所以方程没有实数根. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 练 习 （3）4(y2－y)+1 = 0； （4）2(x+1)2 = 5x. （3）原方程可变形为 4y2 －4y + 1 ＝ 0. 因为Δ ＝(－4)2 －4×4×1 ＝ 0， 所以方程有两个相等的实数根. （4）原方程可变形为 2x2 －x + 2 ＝ 0. 因为 Δ ＝(－1)2 －4×2×2 ＝－15 < 0， 所以方程没有实数根. 2. 小明告诉同学，他发现了一种简便方法，可以判断一类 方程必有实数根：若一元二次方程 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的系数 a、异号（即两数为一正负)，那么这个方程一定有 两个不相等的实数根. 他的说法是否正确？为什么？ 解: 正确. 理由:因为 Δ ＝ b2 －4ac，当 a、c 异号时， 则 Δ > 0，所以方程一定有两个不相等的实数根. 4．上海中考 以下一元二次方程有两个相等实数根的是 (　　) A．x2－6x＝0 B．x2－9＝0 C．x2－6x＋6＝0 D．x2－6x＋9＝0 D 举一反三 5．不解方程，判断下列方程根的情况： (1)3z2－2 z＝－2； 举一反三 (2)4t(t－1)＝3. 解：整理，得4t2－4t－3＝0， 所以Δ＝(－4)2－4×4×(－3)＝64＞0， 所以方程4t(t－1)＝3有两个不相等的实数根． 举一反三 知识点3根据方程根的情况确定字母的值(取值范围) 6.若关于x的一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0没有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是(　　) A 举一反三 7.【易错题】已知关于x的一元二次方程(m－2)x2＋4x＋2＝0有两个实数根，则m的取值范围是(　　) A．m≤4 B．m≥4 C．m≥－4且m≠2 D．m≤4且m≠2 D 举一反三 8．河南中考 若关于x的方程 x2－x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为_________________________． 举一反三 9.【新趋势·开放性问题】已知方程□x2＋4x－1＝0，在“□”中添加一个合适的数字，使该方程有两个不相等的实数根，则添加的数字可以是 ______________.(写出一个即可) 1(答案不唯一) 举一反三 A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 2星题 提升四能 C 举一反三 11．若关于x的一元二次方程x2＋(m－1)x＋3c＋1＝0有两个相等的实数根，则c的最小值是______． 举一反三 12.【新趋势·代数推理】关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况，有以下四种表述： ①当a<0，b＋c>0，a＋c<0时， 方程一定没有实数根；②当a<0，b＋c>0，b－c<0时，方程一定有实数根； ③当a>0，a＋b＋c<0时，方程一定没有实数根； ④当a>0，b＋4a＝0，4a＋2b＋c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是________． ② 举一反三 13.【新考法】定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知两个关于x的一元二次方程x2－(2＋a)x＋2a＝0和(a－1)x2－a2x－a＋2＝0互为“联根方程”，那么a的值为______． －2 举一反三 14．已知关于x的一元二次方程x2－mx＋m－1＝0. (1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； 证明：因为Δ＝(－m)2－4×1×(m－1)＝m2－4m＋4＝(m－2)2≥0， 所以无论m取何值，方程总有两个实数根． 举一反三 (2)若▱ABCD的两邻边AB，AD的长是该方程的两个实数根．当m取何值时，▱ABCD是菱形？求出此时菱形的边长． 解：因为四边形ABCD是菱形， 所以AB＝AD，即关于x的一元二次方程x2－mx＋m－1＝0有两个相等的实数根，所以Δ ＝(m－2)2＝0，所以m＝2，所以原方程变为x2－2x＋1＝0， 所以x1＝x2＝1，所以此时菱形的边长为1. 举一反三 2.用判别式判定一元二次方程根的情况 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程没有实数根. 1. 根的判别式 Δ = b2 – 4ac 课堂小结 谢谢观看 THANKS A．33 B．23 C．17 D. ±2 解：移项，得3z2－2z＋2＝0， 所以Δ＝(－2)2－4×3×2＝0， 所以方程3z2－2z＝－2有两个相等的实数根． 10．对于一元二次方程x2－3x＋c＝0，当c＝时，方程有两个相等的实数根．若将c的值在的基础上减小，则此时方程根的情况是(　　) － $