21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习导入环节回顾方程一般形式、判别式及求根公式，为新知学习搭建旧知支架，引导学生从已学知识自然过渡到根与系数关系的探究。 其亮点在于采用“猜想-证明-应用”的探究式教学，通过合作探究中解方程填表引导学生自主发现规律，结合求根公式严谨证明，培养学生的抽象能力与推理意识。随堂练习设计梯度问题，如已知方程求两根和积、变形计算等，强化应用意识，帮助学生深化理解，教师可直接利用资料开展高效教学。

21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 1. 掌握一元二次方程根与系数的关系，能不解方程求出一元二次方程的两根之和与两根之积.（重点） 2.能利用一元二次方程根与系数的关系来判断已知两数是否是原方程的根，能灵活解决一些简单的有关一元二次方程的问题.（难点） 学 习 目 标 （1）一元二次方程的一般形式是什么？ 复 习 导 入 ax2+bx+c=0(a≠0) （2）一元二次方程的根的判别式是什么？ =b2-4ac 判别式的值 根的情况 ＞0 有两个不相等的实根 ＝0 有两个相等的实根 ＜0 没有实数根 （3）一元二次方程的求根公式是什么? 合 作 探 究 思考：一元二次方程的两根x1+ x2，x1 x2与对应的一元二次方程哪里有关系呢？ 1.用合适的方法解下列一元二次方程并填空. 方 程 2 3 2 -1 2 -3 1 5 4 4 3 1 合 作 探 究 猜想：当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为x1,, x2. ； 思考：如何验证我们的猜想呢？ 证明： 由一元二次方程的求根公式可得： , 合 作 探 究 二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系 : 设一元二次方程x2+ px+q=0的两根为 x1 、x2 ,那么 x1+ x2= - p , x1x2=q. 新 知 小 结 例1 不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： (1)x2＋3x－5＝0； (2)2x2－3x－5＝0. 解： (1) 设两根为x1、x2， 由上述二次项系数为1的 一元二次方程根与系数的 关系，可得 x1＋x2＝－3，x1x2＝－5. （2） 方程两边同除以2，得 x2－x－＝0 设两根为x1、x2，可得 x1x2=. 典 例 精 析 思考：x1+ x2，x1x2与对应的一元二次方程的系数与前面的关系还一样吗?你的发现又是什么？ 方 程 x1x2 9x2-6x+1=0 3x2-4x-1=0 3x2+7x+2=0 -2 2.下面的一元二次方程用什么方法计算快？请完成并填空. 合 作 探 究 猜想 当二次项系数不为1时，方程 的两根为,则有 合 作 探 究 分层设计 数学 HS 九年级 全 例2 试探索一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 ( a≠0，b2－4ac≥0)的根与系数的关系． 解：方程两边同除以a，得x2＋x＋＝0 由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系， 可得 . 这就是一般情形下一元二次方程的根与系数的关系，前面概括的结论是它的特征(二次项系数为1)．利用这个结论，我们可以直接写出例1中题(2)的答案： 典 例 精 析 分层设计 数学 HS 九年级 全 1．已知x1、x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个根，则x1·x2等于(　 　) A．－4　　　B．－1　　　C．1　　　D．4 2．若α、β是一元二次方程x2＋2x－6＝0的两根，则α2＋β2＝(　 　) A．－8 B．32 C．16 D．40 C C 随 堂 练 习 3.方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2，则 (x1-1)(x2-1)=_________。 【解析】 -2 随 堂 练 习 4.已知关于x的一元二次方程 x2+(2m-1)x+m2=0有两个实数根x1，x2.， （1）求实数m的取值范围；（2）当x12-x22=0时，求m的值。 【解析】（1）由题意,得=(2m-1)2-4m2 ≥0； 解得m≤，即实数m的取值范围是m≤. (2)由x1²-x2²=0得(x1+x2)(x1-x2)=0,若x1+x2=0, 即-(2m-1)=0,解得m=>，所以m=不合题意，舍去. 若x1-x2=0,即x1=x2,△=0,由(1)知m=； 故当x1²-x2²=0时，m=. 随 堂 练 习 分层设计 数学 HS 九年级 全 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 ( a≠0，b2－4ac≥0) 根与系数的关系 ， 课 堂 总 结 谢谢 课 堂 总 结 $