21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过旧知回顾（一般形式、求根公式、根的判别式）衔接新知，以“试一试”“自主探究”引导学生从具体方程观察猜想，逐步推导一般形式，构建学习支架。 其亮点在于以问题驱动引导学生用数学眼光观察规律，通过求根公式推导培养数学思维中的推理能力，结合例题、仿例、变例让学生用数学语言表达应用。例如从二次项系数为1的方程到一般形式的推导，以及不解方程求两根和积等。帮助学生发展探究与应用意识，为教师提供结构化教学流程和多样化练习资源。

华师版 九年级 数学（上） 第21章 一元二次方程 21.2 一元二次方程的解法 21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 1 情景导入 旧知回顾： 1．一元二次方程的一般形式是什么？ 2．一元二次方程的求根公式是什么？ 3．一元二次方程的根的情况怎样确定？ 知识模块一　一元二次方程的根与系数的关系 自学互研 求出一元二次方程 x2 + 3x – 4 = 0的两根 x1 和 x2，计算 x1 + x2 和 x1·x2 的值. 它们与方程的系数有什么关系？ 试一试 x2 + 3x – 4 = 0 的两根为 x1 = 1 和 x2 = – 4，于是 x1 + x2 = – 3， x1·x2 = – 4. x2 + 3x – 4 = 0 二次项系数为 1 一次项系数 常数项 相反数 相等 对于任何一个二次项系数为 1 的一元二次方程，是否都有这样的结果呢？ 自 探 主 究 填表，观察、猜想： 方程 x1，x2 x1＋x2 x1x2 x2－2x＋1＝0 x2＋3x－10＝0 x2＋5x＋4＝0 1，1 2 1 2，－5 －3 －10 －1，－4 －5 4 问题：你发现什么规律？ (1)用语言叙述你发现的规律； (2)用式子表示你发现 x2＋px＋q＝0的两根x1，x2的规律． 探索 我们来考察方程 x2 + px + q = 0（p2 – 4q ≥ 0）. 由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为 x1＝，x2＝ ； 所以 x1 + x2 =＋ =－ p ； x1·x2=· = = q 概括 二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系： 设一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根为x1、x2，那么 x1 + x2 = – p ，x1·x2 = q. 例8 不解方程，求出方程的两根之和和两根之积： （1）x2 + 3x – 5 = 0； （2）2x2 – 3x – 5 = 0； 解 （1）设两根为 x1、x2，由上述二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系，可得 x1 + x2 = – 3 ，x1·x2 = – 5 . （2）方程两边同除以 2 ，得 设两根为 x1、x2 ，可得 先将方程化为二次项系数为1的形式. x2 – x – = 0. x1 + x2 = –(– ) = ，x1·x2 = – . 例9 试探索一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b2 – 4ac ≥ 0)的根与系数的关系. 解 方程两边同除以 a ，得 由二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系，可得 x2＋x＋＝0， x1＋x2＝－，x1x2＝. 这就是一般情形下一元二次方程的根与系数的关系. 前面概括的结论是它的特例（二次项系数为1）. x1＋x2＝－，x1x2＝. 知识模块二　一元二次方程的根与系数的关系的运用 自学互研 1.一元二次方程根与系数的关系前提条件是方程有实数根，所以根与系数关系通常和方程的判别式结合使用． 2．能够利用完全平方公式对代数式进行灵活变形，是学习使用根与系数关系的必要条件． 合 探 作 究 范例：不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积． (1)x2－2x－15＝0；　　(2)x2－6x＋4＝0；　　 (3)2x2＋3x－5＝0； (4)3x2－7x＝0；　　　 (5)2x2＝5. 解：设方程的两根为x1，x2. (1)x1＋x2＝2，x1x2＝－15. (2)x1＋x2＝6，x1x2＝4. (3)x1＋x2＝－，x1x1＝－. (4)x1＋x2＝，x1x2＝0. (5)x1＋x2＝0，x1x2＝－. 仿例：若α，β是一元二次方程x2－2x－1＝0的两根，求＋的值． 解：∵α＋β＝2，αβ＝－1， ∴原式＝＝ ＝＝－6. ∴＋的值为－6. 变例：已知关于x的方程2x2－4x＋3m＝0的一根为1－，求另一根及m的值． 解：设方程的另一根为x2. ∵方程2x2－4x＋3m＝0的一根为1－， ∴1－＋x2＝－＝2，(1－)x2＝. ∴x2＝＋1，m＝－. ∴方程的另一个根为1＋，m的值为－. 课堂小结 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b2 – 4ac ≥ 0)的根与系数的关系： x1＋x2＝－，x1x2＝. 随堂练习 1.不解方程，判断下列方程是否有实数根，如果有实数根的话，那么求出方程的两根之和与两根之积: (1)x2＋4x－3＝0；　　(2)3x2－4x＝0；　　 (3) (x＋)2 ＝ x； (4) ＝. 解：(1)这里a＝1， b＝4， c＝－3 ∴Δ＝42－4×1×(－3) ＝16＋12 ＝28>0； ∴这个方程有两个不相等的实数根. ∴x1＋x2＝－ ，x1x2＝. (2)这里a＝3， b＝ － 4， c＝0 ∴Δ＝(－4) 2－4×3×0＝16>0； ∴这个方程有两个不相等的实数根. ∴x1＋x2＝－ ＝，x1x2＝. (3)先化为一般形式: x2＋4 =0， 这里a＝1， b＝0， c＝4 ∴Δ＝02－4×1×4 ＝－16＜0； ∴这个方程没有实数根. (1)先化为一般形式: 3x2＋9x－2 =0， 这里a＝3， b＝9， c＝ －2 ∴Δ＝92－4×3×(－2)＝81＋24 ＝105＞0； ∴这个方程有两个不相等的实数根. ∴x1＋x2＝－ ＝－，x1x2＝. 2.试解答下列问题，并和同学讨论一下，有哪些不 同的解法: (1)已知关于x的方程x2+mx+2n=0的两个根是1和－3，求m和n的值; (2)已知关于x的方程x2+mx－20=0的一个根是－4， 求它的另一个根和m的值. 解：（1）方法一：韦达定理 对于一元二次方程 x2+mx+2n=0 ， 这里 a=1, b=m, c=2n ∴x1＋x2＝1+(−3)​= − ​ ∴x1x2＝ 1×(−3) ​= ∴ = − ​ ∴m =2​ 方法二：代入法 联立方程组： 1+m+2n=0 9−3m+2n=0​ 解得： m=2 = − ​ 将根 x=1 和 x=−3 分别代入方程： 代入 x=1：12+m×1+2n=0⟹1+m+2n=0 代入 x=−3：(−3)2+m×(−3)+2n=0⟹9−3m+2n=0 （2）方法一：韦达定理 设另一个根为 x2​，x2 ​=−4，a=1, b=m, c=−20 先利用两根之积求 x2 ​：(−4)× x2 = 再利用两根之和求 m： −4+5​= − ​ 解得：x2 =5 ​ 解得： m=−1 ​ 方法二：代入法 将 x=−4 代入方程：(−4)2+m×(−4)−20=0， 解得：m=−1 此时方程为 x2 −x−20=0，因式分解： (x−5)(x+4)=0 解得另一个根 x=5. 所以另一个根为 5，m=−1 $