21.3第2课时　用一元二次方程解平均变化率、利润问题（课件）--2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的实际应用，核心知识点为平均变化率与利润问题，承接上一节图形面积应用题，通过生活实例（如商品涨价、工厂产值增长）导入，搭建从具体问题到方程建模的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于分层设计练习题与探究活动，通过“问题3”剪正方形折叠长方体等操作，培养数学眼光中的几何直观与创新意识，结合“总利润=单件利润×销量”等模型，强化数学思维的推理能力与数学语言的模型意识。学生能提升实际问题建模能力，教师可借助分层训练高效落实教学目标。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 华东师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第21章 一元二次方程 21.3第2课时　用一元二次方程解平均变化率、利润问题 2026年8月4日 华东师大版九年级上册21.3第2课时 用一元二次方程解平均变化率、利润问题练习题 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 某商品原价100元，经过两次涨价，每次涨价的百分率均为$$x$$，两次涨价后售价为121元，列方程正确的是（） A.$$100(1+x)=121$$ B.$$100(1+x)^2=121$$ C.$$100(1+2x)=121$$ D.$$100+100x^2=121$$ 2. 某店铺售卖纪念品，每件进价20元，售价30元，每件利润为（） A.10元 B.20元 C.30元 D.50元 3. 某工厂产值两年内从50万元增长到72万元，设年均增长率为$$x$$，下列方程正确的是（） A.$$50(1+x)=72$$ B.$$50(1+x)^2=72$$ C.$$50(1+2x)=72$$ D.$$50+50(1+x)^2=72$$ 4. 一件商品每件盈利40元，每天可售出20件，若每件降价$$x$$元，则每件盈利和每天销量分别为（） A.$$(40-x)$$元，$$(20+x)$$件 B.$$(40+x)$$元，$$(20+x)$$件 C.$$(40-x)$$元，$$(20-x)$$件 D.$$(40+x)$$元，$$(20-x)$$件 5. 某种病毒感染人数连续两次下降，每次下降百分率为$$x$$，初始人数为100人，两次下降后为64人，方程为（） A.$$100(1-x)^2=64$$ B.$$100(1+x)^2=64$$ C.$$100-2x=64$$ D.$$100(1-x^2)=64$$ 6. 商场销售一批服装，每件进价80元，售价120元，每天卖30件，每件降价1元多卖2件，若降价$$x$$元，总利润的表达式为（） A.$$(40-x)(30+2x)$$ B.$$(120-x)(30+2x)$$ C.$$(40+x)(30-2x)$$ D.$$(80-x)(30+2x)$$ 二、填空题（每题4分，共24分） 1. 平均增长率公式：初始量为$$a$$，年均增长率为$$x$$，经过两年增长后量为$$b$$，则方程为________。 2. 商品总利润=单件利润×________；单件利润=售价－________。 3. 某产品原价200元，连续两次降价，百分率均为$$x$$，两次降价后价格为128元，可列方程________。 4. 某商店每件商品盈利30元，每天可售出40件，若每件涨价$$x$$元，每天少卖2件，则现在每天销量为________件。 5. 某企业年产值逐年增长，第一年产值100万元，第三年产值144万元，则年均增长率为________。 6. 每件商品进价50元，原售价70元，每天售100件，每件降价$$x$$元，则单件利润为________元。 三、解答题（共52分） 13.（12分）列一元二次方程解决增长率、下降率基础问题： (1)某超市营业额逐年增长，2023年营业额为25万元，2025年营业额为36万元，求这两年的年均增长率。 (2)某种药品原价每盒100元，经过两次相同百分率降价后售价为81元，求每次降价的百分率。 14.（12分）基础利润问题：某文具进价每件6元，售价每件10元，每天可卖出200件。若每件涨价1元，每天少卖10件，设每件涨价$$x$$元，若每天总利润为960元，求每件涨价多少元？ 15.（14分）某工厂节能减排成效显著，一月份用电量为1000度，三月份用电量为640度，若二、三月份月平均下降率相同，求每月的平均下降率。 16.（14分）综合利润应用题：某服装店销售一批卫衣，每件进价40元，售价60元，平均每天可售出30件。经市场调查发现，每件降价1元，日均销量增加5件，若想要日均获利800元，每件卫衣应降价多少元？ 参考答案 1.B &nbsp;2.A &nbsp;3.B &nbsp;4.A &nbsp;5.A &nbsp;6.A 7.$$a(1+x)^2=b$$ &nbsp;8.销售总量、进价 &nbsp;9.$$200(1-x)^2=128$$ &nbsp;10.$$40-2x$$ &nbsp;11.$$20\%$$ &nbsp;12.$$20-x$$ 13.解：(1)设年均增长率为$$x$$，由题意得：$$25(1+x)^2=36$$ 解得$$x_1=0.2=20\%$$，$$x_2=-2.2$$（舍去）。答：年均增长率为20%。 (2)设每次降价百分率为$$x$$，$$100(1-x)^2=81$$ 解得$$x_1=0.1=10\%$$，$$x_2=1.9$$（舍去）。答：每次降价10%。 14.解：设每件涨价$$x$$元，单件利润$$(4+x)$$元，销量$$(200-10x)$$件。 列方程：$$(4+x)(200-10x)=960$$，整理得$$x^2-16x+16=0$$ 解得$$x_1=4，x_2=12$$。答：每件涨价4元或12元。 15.解：设每月平均下降率为$$x$$，$$1000(1-x)^2=640$$ 解得$$x_1=0.2=20\%$$，$$x_2=1.8$$（舍去）。答：每月平均下降率为20%。 16.解：设每件降价$$x$$元，单件利润$$(20-x)$$元，日均销量$$(30+5x)$$件。 列方程：$$(20-x)(30+5x)=800$$，整理得$$x^2-14x+40=0$$ 解得$$x_1=4，x_2=10$$。答：每件卫衣应降价4元或10元。 命题说明（约420字） 本套练习题适配华东师大版九年级上册21.3第2课时平均变化率、利润问题，承接上一节图形面积应用题，沿用整套试卷统一的题型、分值与难度梯度，是一元二次方程实际应用的两大核心必考题型，为中考基础应用题高频考点。 习题设计分层递进、重难点精准聚焦。选择题重点考查增长率、下降率通用公式，利润问题核心数量关系，纠正学生混淆一次变化与两次变化、利润公式套用错误、销量与价格增减关系颠倒的高频问题；填空题侧重核心公式记忆、数量关系列式、基础求值，夯实应用题建模基础；解答题涵盖增长率、下降率、涨价利润、降价利润四大经典题型，完全贴合课本例题与课后习题考法。 本节核心解题思路固定：变化率问题套用$$a(1\pm x)^2=b$$公式，增长取“+”，下降取“-”；利润问题紧扣“总利润=单件利润×销售量”，先表示变化后的单件利润与销量，再列方程求解，最后结合实际舍去不合理的根。整套习题针对性训练学生实际问题建模能力，规范解题步骤，规避取值误区，完善一元二次方程应用知识体系。 （全文约1050字） 问题 3 小明把一张边长为 10 cm 的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子. （1）如果要求长方体的底面积为 81 cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？ x x (10－2x)2 = 81 x = 0.5 探索新知 （2）如果按下表列出的长方体底面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折叠成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？ 折叠成的长方体 底面积（cm2） 81 64 49 36 25 16 9 4 剪去的正方形 边长（cm） 折叠成的长方体 侧面积（cm2） 底面积：(10－2x)2 0.5 18 1 32 1.5 42 2 48 2.5 50 3 48 3.5 42 4 32 以剪去的正方形边长为自变量，折叠成的长方体侧面积为它的函数，在平面直角坐标系中画出相应的点. 观察折叠成的长方体侧面积会不会有最大的情况？ 探 索 设减去的正方形边长为 x cm. 折叠成的长方体侧面积为 y cm2. y = 4·x·(10－2x) （0 < x < 5） 当 x = 2.5 时，y 有最大值 50. 1.安阳市滑县道口镇特产道口烧鸡非常有名，某超市道口烧鸡供不应求，经过两次涨价，由每千克16元上涨到每千克25元．若两次涨价的百分率相同，设这个百分率为x，则可列出关于x的方程为(　　) A．16(1＋x)2＝25 B．16(1－x)2＝25 A 举一反三 2．河南是著名的“茶乡”之一，信阳毛尖产业十分兴旺．据了解，某品牌信阳毛尖3月份销售额为50万元，此后每月销售额按相同的增长率增长，3～5月份累计销售收入为200万元．设销售额的增长率为x，则可列方程为______________________________． 50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝200 举一反三 如图，在一个长 10 cm、宽 6 cm 的矩形铁皮的四角各截去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体盒子.设截去的小正方形的边长为 x cm. （1）若长方体盒子的底面积是 32 cm2，求 x 的值. 6 10 x x 解:（1）根据题意，得 (10－2x)(6－2x) ＝ 32， 解得 x1 ＝ 1，x2 ＝ 7 (不合题意，舍去). 则 x 的值为 1. （2）用含 x 的式子表示长方体盒子的侧面积为___________cm2 . （3）长方体盒子的侧面积随着截去的小正方形的边长的变化 而变化时，是否存在最大的侧面积？若存在，求出最大 的侧面积. 6 10 x x (－8x2 + 32x) （3）存在. 由（2）知，－8x2 + 32x ＝－8(x－2)2 + 32. 因为－8(x－2)2 ≤ 0，所以－8(x－2)2 + 32 ≤ 32. 所以当 x ＝ 2 时，侧面积有最大值，最大值为 32，所以最大的侧面积为 32 cm2. 3.(立德树人·关注民生)为了减轻百姓医疗负担，河南某制药厂将一种本地特色中草药的价格逐年降低．前年这种药物每盒的价格为200元，今年该种药物每盒的价格为98元． (1)求前年到今年这种药物每盒的价格的年平均下降率； 解：设前年到今年这种药物每盒的价格的年平均下降率为x，根据题意，得200(1－x)2＝98， 解得x1＝0.3＝30%，x2＝1.7(不符合题意，舍去)． 答：前年到今年这种药物每盒的价格的年平均下降率为30%. 举一反三 (2)若该制药厂计划明年对此药物按此下降率继续降价，预计明年该种药物每盒的价格为多少元？ 举一反三 问题 4 某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的平均年增长率为多少？ 你是怎么理解的？ 翻一番 翻两番 翻三番 2 倍 22 倍 23 倍 解：设平均年增长率为 x. (1 + x)2 = 2 x1 =，x2 = （舍） 所以 x = ≈ 0.414 = 41.4%. 探 索 如果调整计划，两年后的产值为原产值的 1.5 倍、1.2倍……那么两年中的平均年增长率 分别应调整为多少？ 解：设平均年增长率为 x . (1 + x)2 = 1.5 (1 + x)2 = 1.2 x = ≈ 0.225 = 22.5%. x = ≈ 0.095 = 9.5%. 又如果第二年的增长率为第一年的 2 倍，那么第一年的增长率为多少时，可以实现两年后的产值翻一番？ (1 + x) (1 + 2x) = 2 解：设第一年的增长率为x. 移项，得 2x2 + 3x－1 = 0 解得 ＝ = ≈ 0.281 = 28.1%. 芯片目前是全球紧缺的资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业来发展新兴产业. 某芯片公司 引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片 100 万个，第三季度生产芯片 144 万个. 试解决下列问题: （1）求前三季度生产量的平均增长率； （2）按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到 175 万个，则该目标能否实现？ 解:（1）设前三季度生产量的平均增长率为 x. 根据题意，得 100 (1 + x)2 ＝ 144， 解得 x1 ＝ 0.2 ＝ 20％ ，x2 ＝－2.2 (不合题意，舍去). 答:前三季度生产量的平均增长率为 20％ . （2）第四季度的芯片生产量为 144 × (1 + 20％)＝ 172.8 (万个). 因为 172.8 < 175，所以该目标不能实现. 1. 某花生种植基地原有花生品种每公顷产量为 3000 kg，出油率为 55%. 改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油 2025 kg. 已知新品种花生的每公顷产量和出油率都比原有品种 有所增加，其中出油率的增长率是每公顷产量增长率的一半， 求两者的增长率. (精确到 1%) 【选自教材第43页 练习 第1题】 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 练 习 解: 设每公顷产量的增长率为 x，则出油率的增长率为 . 由题意，得 3000 (1 + x) · 55％ · (1 + ) ＝ 2025， 解得 x1 ≈ 0.14 ＝ 14％ ，x2 ≈－3.14 (不合题意，舍去). 故 ＝ 7％ . 答: 每公顷产量的增长率约为 14％ ，出油率的增长率约为 7％ . 2. 某商店准备购进一种季节性小家电，每台进价为 40 元. 经市场 预测，销售定价为 52 元时，可售出 180 台；销售定价每增加 (或降低) 1元，销售量将减少（或增多) 10 台. 商店若希望获利 2000 元，则应进货多少台？销售定价为多少？ 【选自教材第43页 练习 第2题】 （1）本题如何设未知数较合适？需要列出哪些相关量的代数式？ （2）所列方程的解是否都符合题意？如何解释？ （3）请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则应进货多少台？销售定价为多少？ 解:（1）设销售定价增加 x 元较合适，需要列出的代数式有: 每台利润为 (52 + x－40)元，销售量为 (180－10x)台. （2）由题意，得 (52 + x－40)(180－10x) ＝ 2000， 解得 x1 ＝－2，x2 ＝ 8. 当 x ＝－2 时，销售定价为 52－2 ＝ 50 (元)， 销售量为 180－10×(－2)＝ 200 (台)， 当 x ＝ 8 时，销售定价为 52 + 8 ＝ 60 (元)， 销售量为 180－10×8 ＝ 100 (台). 故都符合题意. （3）设利润为 w 元，则 w ＝ ( 52 + x － 40)( 180 － 10x ) ＝－10(x－3)2 + 2250 . 因为 (x－3)2 ≥ 0，所以 －10(x－3)2 ≤ 0， 所以当 x ＝ 3 时，w最大＝ 2250. 故应进货 180－3×10 ＝150 (台)， 销售定价为 52 + 3 ＝ 55 (元). 3. 某市人均居住面积为 43.8 m²，计划在两年后达到 54 m². 在 预计每年住房面积的增长率时，还应考虑人口的变化因素等， 请你把问题补充完整，再给出解答. 【选自教材第43页 练习 第3题】 知识点2利润问题 4.【新情境】河南开封汴绣手帕极具中原文化特色，深受游客喜爱．一商场以每块20元的进价购进一批汴绣手帕，以每块30元的价格售出，平均每周可卖出500块，经过市场调查发现，每块价格每涨1元，平均每周就少卖10块． (1)若每块汴绣手帕涨价x元出售，则涨价后每块汴绣手帕获利________元，平均每周可售出汴绣手帕__________ 块；(用含x的代数式表示) (10＋x) (500－10x) 举一反三 (2)若该商场计划一周销售汴绣手帕的利润达到8 000元，则可列方程为__________________________，则每块汴绣手帕应涨价________元． (10＋x)(500－10x)＝8 000 10或30 举一反三 5．山西临汾期末 某商店以每件25元的价格购进一批商品，物价局限定每件商品的利润不得超过30%，若每件商品的售价为a元，则可卖出(400－10a)件．若商店计划盈利500元，则每件商品应定价为(　　) A．30元 B．32.5元 C．30元或35元 D．35元 A 举一反三 6．商场销售某种商品，每件的进价为200元，每件的售价为250元，平均每天售出30件，经调查发现：当每件商品售价每降低1元时，平均每天可多售出2件．为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利可达到2 100元？ 解：设每件商品降价x元，则现在每件的利润是(250－x－200)元，平均每天售出的数量是(30＋2x)件， 根据题意，得(250－x－200)(30＋2x)＝2 100，解得x1＝20，x2＝15，因为要让顾客得到更多的实惠， 所以x＝20，即每件商品降价20元． 举一反三 7．“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一个月销售量为a辆，第二个月销售量的增长率为x，则可列出的方程是(　　) A．a(1＋x)2＝3a B．a(1＋2x)2＝3a C．a(1＋2x)(1＋3x)＝3a D．a(1＋x)(1＋2x)＝3a D 2星题 提升四能 举一反三 8．漳州素有水果之乡的美誉，有许多特有的水果．平和的柚子是其中比较出名的水果，皮薄汁多，甜度高，还有药用价值．某水果批发店以每盒30元对外销售柚子，为了减少库存，同时回馈广大市民的厚爱，决定降价销售．经过两次降价后，优惠价为每盒19.2元． (1)求平均每次降价的百分率； 解：设平均每次降价的百分率为x，则30(1－x)2＝19.2. 解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(不符合题意，舍去)． 答：平均每次降价的百分率为20%. 举一反三 (2)小张准备以优惠价买100盒柚子送给朋友，该水果批发店给出以下两种优惠方案：①打9.5折；②不打折，送100元的代金券(本次可直接使用)．哪种方案更优惠？ 解：方案①价格为19.2×0.95×100＝1 824(元)； 方案②价格为19.2×100－100＝1 820(元)． 因为1 820<1 824，所以方案②更优惠． 举一反三 1. 利用一元二次方程探究图形的相关问题时，要注意结合 图形的相关性质，从中找出等量关系，进而列出方程求解， 这体现了数形结合思想. 2. a 为起始量，b 为终止量，n 为增长(或降低)的次数， 平均增长率公式: a(1 + x)n ＝ b (x 为平均增长率)； 平均降低率公式: a(1－x)n ＝ b (x 为平均降低率). 课堂小结 谢谢观看 THANKS C．16＝25 D．16＝25 解：98×＝68.6(元)． 答：预计明年该种药物每盒的价格为68.6元． $