21.3 第2课时 平均变化率、销售问题（教学设计）-2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程的概念、一般形式及实际应用，涵盖图形变换与面积、平均变化率、销售问题等核心知识点。通过复习旧知（如一元一次方程、面积公式），结合校园道路、照片边框等生活情境导入，搭建新旧知识支架，梳理知识脉络。 资料以三大核心素养为导向，通过图形动态演示（如道路平移转化）培养几何直观与空间观念（数学眼光），增长率、利润问题建模过程强化推理能力与模型意识（数学思维），规范解题步骤与参数问题处理提升数学表达（数学语言）。分层练习与易错点总结助力教师教学，提升学生建模与几何分析能力。

第2课时 平均变化率、销售问题21.3 图形变换和面积问题 教案 一、教材分析 《图形变换和面积问题》是一元二次方程实际应用的重点专题课，是学生掌握解方程、根的判别式、根与系数关系后的综合应用课时。本节课主要利用一元二次方程解决初中高频几何题型，包含矩形、正方形、道路平移、边框宽度、图形裁剪等经典面积模型。面积问题是中考必考题型，实现了代数运算与几何图形的有机结合，充分体现数形结合思想。学好本节课，既能巩固一元二次方程的解法，又能提升学生几何建模、图形分析、等量提取的能力，为后续二次函数几何综合题、动态几何问题奠定重要基础。 二、学情分析 九年级学生已熟练掌握一元二次方程的四种解法，具备基础的几何图形面积公式，能够处理简单的几何计算问题。但学生在几何应用题中普遍存在思维短板：不会通过平移、割补、转化简化图形；无法准确表示变化后的图形边长；容易忽略边长为正数的实际取值限制；建模能力薄弱，难以从复杂图形中提取“面积等量关系”。同时学生习惯算术思维，对动态变化、图形平移类问题分析不全面，容易出现列式错误、解出增根不会取舍等问题。 三、教学目标 1. 知识与技能：掌握利用一元二次方程解决常见图形面积、道路平移、边框宽度、裁剪拼接等问题；学会通过平移、割补法转化不规则图形，准确建立面积等量关系；能根据实际意义舍去不合理的负根或超范围根。 2. 过程与方法：经历“观察图形—分析变化—设元列式—解方程检验”的完整建模过程，体会数形结合、转化思想，提升学生几何识图能力、代数建模能力和综合运算能力。 3. 情感态度与价值观：感受代数方法解决几何问题的便捷性，体会数形结合的数学魅力，培养严谨的审题习惯、规范的解题思维和实事求是的取值态度，增强学生解决综合应用题的信心。 四、教学重难点 重点：掌握常见面积模型的等量关系，能列出一元二次方程求解图形变换、面积计算问题。 难点：利用平移、割补转化复杂图形；准确表示变化后的边长；根据实际几何意义对方程的根进行合理取舍。 五、教学准备 多媒体课件、几何动态演示图、分层练习题、典型模型错题素材 六、教学过程 （一）复习旧知，情境导入（5分钟） 复习常见几何图形面积公式：矩形、正方形面积计算公式，回顾一元二次方程解法及实际问题根的取舍原则。创设生活情境：校园草坪修建道路、照片加边框、纸片裁剪拼接，提问学生：图形发生平移、加宽、裁剪变化后，如何准确求出变化的宽度、边长？引出本节课课题：图形变换和面积问题，开启一元二次方程几何应用专题学习。 （二）探究新知，模型突破（22分钟） 1. 模型一：道路平移问题（核心必考） 出示经典题型：一块矩形草坪长、宽已知，中间修建等宽十字道路，剩余草坪面积为定值，求道路宽度。教师重点讲解平移转化思想：将横竖道路向边缘平移，剩余草坪拼接为完整新矩形，避免复杂分步计算。引导学生设道路宽为x，准确表示新矩形的长和宽，利用“新矩形面积=已知面积”列方程。着重强调：平移前后空白面积不变，简化运算，是解决道路问题的最优方法。 2. 模型二：边框宽度问题 以照片镶边、桌面包边题型为例：已知原图长宽，四周加等宽边框，整体总面积已知，求边框宽度。引导学生分析：边框等宽，设宽度为x，整体长宽均增加2x，根据整体面积减去原图面积等于边框面积列方程，规范设元与列式步骤。 3. 模型三：图形裁剪与增减面积问题 讲解正方形、矩形裁剪拼接题型，通过边长变化引发面积变化，找准变化前后的边长关系，利用面积差建立等量，列出一元二次方程求解。 4. 例题精讲与取值取舍 示范完整解题流程：审题识图—图形转化—设未知数—列方程—解方程—检验取舍。重点突破易错点：几何边长必须为正数，且变化后边长不能小于0，超出范围的根必须舍去，杜绝数学解合格、实际意义不合理的错误。 5. 高频易错点汇总 易错点：平移后边长表示错误、边框只加x不加2x、忽略边长为正的实际条件、不舍去增根、等量关系列反。通过错题辨析、图形对比，强化学生建模准确性。 （三）分层练习，巩固提升（10分钟） 基础练习：简单矩形边框、单方向道路面积问题，夯实基础模型；提升练习：十字道路、双向图形变换综合题型，训练图形转化能力；拓展练习：裁剪拼接、面积增减综合应用题，提升建模综合能力。学生独立完成，小组互查，教师针对边长表示错误、不会平移转化、不会取舍根等共性问题集中讲评。 （四）课堂小结，梳理模型（3分钟） 引导学生总结三大几何模型解题技巧：道路平移法、边框整体法、裁剪等量法；梳理解题核心步骤：转化图形、找准边长、列出方程、实际取舍。教师升华：数形结合、割补转化是解决几何面积问题的核心思想，实现代数与几何的完美融合。 （五）布置作业（2分钟） 基础作业：完成教材几何面积应用题，熟练三大基础模型；拓展作业：整理图形面积题型解题模板，总结边长易错点与根的取舍规则，整理错题。 七、板书设计 21.3 图形变换和面积问题 1. 核心思想：平移转化、割补法、数形结合 2. 三大模型： 道路平移：空白部分拼接成新矩形 边框问题：长宽均增加2x 裁剪问题：利用面积变化找等量 3. 解题关键：列式准确 + 实际取舍（边长>0） 4. 易错点：漏乘2、边长为负、不舍根 八、教学反思 本节课以几何模型为载体，结合一元二次方程求解，突出数形结合思想，题型经典、针对性强，贴合中考考情。通过图形动态转化、模型归纳、例题示范，多数学生能够掌握基础面积模型的建模方法，理解平移转化的解题技巧，能够独立完成基础应用题。课堂教学中发现，学生最大的难点是几何识图和边长表示，容易在边框、平移题型中出现边长列式错误，且普遍不重视根的实际意义，忘记取舍增根。后续教学中，需多借助图形演示帮助学生建立空间图形认知，强化边长列式专项训练，严格规范“解方程—检验—取舍”的完整步骤，提升学生几何建模与实际应用的综合能力。 21.1 认识一元二次方程 教案 一、教材分析 《认识一元二次方程》是九年级上册一元二次方程章节的开篇内容，是学生在掌握一元一次方程、分式方程、整式运算等知识基础上的全新方程学习内容。一元二次方程是初中数学核心方程类型，是后续学习方程求解、根的判别式、根与系数关系以及二次函数、圆的计算问题的重要基础，广泛应用于增长率、面积、运动变化等实际问题。本节课主要完成一元二次方程概念的建立、一般形式的归纳、相关项与系数的识别，是整个章节的奠基课，在初中代数知识体系中具有承前启后的关键作用。 二、学情分析 九年级学生已经熟练掌握一元一次方程的定义、一般形式和解的概念，具备良好的列方程、整式整理的能力，拥有一定的观察、对比、归纳总结的数学思维。学生能够快速类比旧知学习新知，但也存在明显认知短板：容易混淆一元一次方程与一元二次方程的次数特征，对“二次项、一次项、常数项”的识别不熟练，尤其容易忽略一般形式中二次项系数不为0的核心条件，在含参数方程的判断中极易出错。同时，学生整理方程形式时容易出现移项不变号、未按降幂排列等不规范问题，需要通过实例辨析、规范步骤逐一突破。 三、教学目标 1. 知识与技能：理解一元二次方程的定义，准确把握方程的三大特征；掌握一元二次方程的一般形式，能够熟练将任意一元二次方程化为标准一般形式；精准识别二次项、一次项、常数项以及对应系数，能根据定义判断含参数的一元二次方程。 2. 过程与方法：通过实际问题列方程、对比旧知、归纳共性的探究过程，经历一元二次方程概念的形成过程，培养数学抽象、类比迁移和归纳概括能力，提升整理、化简代数式与方程的运算能力。 3. 情感态度与价值观：感受方程模型在解决实际问题中的重要作用，体会数学建模思想，通过规范解题、辨析纠错培养严谨的数学思维，激发学生探究代数方程的学习兴趣。 四、教学重难点 重点：一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式，各项及系数的识别。 难点：理解一般形式中二次项系数a≠0的核心条件，规范整理一元二次方程的标准形式，准确解决含参数的一元二次方程判定问题。 五、教学准备 多媒体课件、课堂分层练习题、易错点错题素材 六、教学过程 （一）复习旧知，情境导入（5分钟） 首先回顾一元一次方程的定义与特征：只含一个未知数、未知数最高次数为1、整式方程。随后展示两个生活实际问题，引导学生列方程：1. 已知正方形面积为25平方米，设边长为x，列方程得$$x^2=25$$；2. 矩形花圃长比宽多2米，面积为48平方米，设宽为x，列方程得$$x(x+2)=48$$。引导学生观察所列方程，对比一元一次方程，发现未知数最高次数为2的新特征，顺势引出本节课课题——认识一元二次方程。 （二）探究新知，构建概念（22分钟） 1. 归纳一元二次方程定义 引导学生观察、对比导入环节的方程，归纳共同特征：都是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2。由此得出定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。教师重点拆解三大核心判定条件：整式方程、一元、二次，缺一不可，结合反例$$\frac{1}{x^2}+1=0$$、$$x^2+y=1$$进行辨析，规避认知误区。 2. 探究一般形式 引导学生将多个一元二次方程整理、化简，统一结构，归纳得出一元二次方程的一般形式：$$ax^2+bx+c=0（a≠0）$$。教师着重强调核心要点：方程右边必须为0，左边按未知数降幂排列；$$a≠0$$是关键条件，若$$a=0$$，方程变为$$bx+c=0$$，即为一元一次方程，不再是一元二次方程。同时明确各项定义：$$ax^2$$是二次项，a是二次项系数；$$bx$$是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 3. 例题精讲，规范步骤 设置梯度例题，规范解题流程。例1：判断各式是否为一元二次方程，强化三大判定条件；例2：将方程$$3x(x-1)=2(x+2)$$化为一般形式，并写出各项及对应系数；例3：已知方程$$(m-2)x^2+3x+1=0$$是一元二次方程，求m的取值范围。通过例题示范，让学生掌握“去括号、移项、合并同类项、降幂排列”的标准化整理步骤，熟练掌握参数取值问题的解题思路。 4. 易错点专项辨析 汇总学生高频易错问题：一是忽略整式方程要求，误将分式方程、根式方程判定为一元二次方程；二是整理方程时右边未归零、未按降幂排列；三是忽略二次项系数a≠0的条件；四是识别系数时遗漏负号。通过典型错题对比辨析，强化学生规范解题意识。 （三）分层练习，巩固提升（12分钟） 设计三层课堂练习，层层突破重难点。基础题：判断方程是否为一元二次方程，识别简单方程的各项系数；提升题：将复杂整式方程化为一元二次方程一般形式；拓展题：根据一元二次方程定义，求解含参数方程中字母的取值范围。学生独立完成后小组互评，教师针对共性错误集中讲评，重点纠正整理不规范、忽略系数条件、符号出错等问题。 （四）课堂小结，梳理脉络（5分钟） 引导学生自主梳理核心知识：一元二次方程的三大判定特征、一般形式及a≠0的核心条件、各项与系数的识别方法、方程标准化整理步骤。教师补充总结类比迁移的数学思想，串联一元一次方程与一元二次方程的异同，帮助学生构建完整的方程知识体系。 （五）布置作业（3分钟） 基础作业：完成教材课后对应习题，熟练掌握一元二次方程判定、一般形式整理及系数识别；拓展作业：整理本节课易错题型，对比总结一元一次方程与一元二次方程的区别，完善错题笔记。 七、板书设计 21.1 认识一元二次方程 1. 定义：整式方程、一元、二次（三大条件） 2. 一般形式：$$ax^2+bx+c=0（a≠0）$$ 3. 相关定义：二次项、一次项、常数项；对应系数 4. 核心考点：a≠0、方程标准化整理、参数取值 八、教学反思 本节课以旧知迁移为切入点，结合生活实际问题建模导入，遵循“观察—对比—归纳—应用”的认知规律，贴合九年级学生的学习特点。课堂通过概念辨析、例题示范、分层练习，有效落实了教学重难点，大部分学生能够准确识别一元二次方程，熟练整理方程一般形式并识别各项系数。但教学中发现，部分学生对“二次项系数不为0”的核心条件记忆不牢固，在含参数题型中容易出错；同时学生整理方程时存在移项符号错误、排列不规范等问题。后续教学中，需强化核心条件的专项训练，严格规范解题步骤，增加参数题型变式练习，进一步提升学生的审题能力和解题严谨性。 1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题． 2．会解有关“增长率”及“销售”方面的实际问题． 一、情境导入 月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？ 二、合作探究 探究点：用一元二次方程解决增长率问题 【类型一】增长率问题 某工厂一种产品2027年的产量是100万件，计划2029年产量达到121万件．假设2027年到2029年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2027年到2029年这种产品产量的年增长率； (2)2028年这种产品的产量应达到多少万件？ 解析：(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增长率，代入2028年产量的表达式即可解决． 解：(1)设这种产品产量的年增长率为x，根据题意列方程得100(1＋x)2＝121，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)． 答：这种产品产量的年增长率为10%. (2)100×(1＋10%)＝110(万件)． 答：2028年这种产品的产量应达到110万件． 方法总结：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为a(1＋x)n；而增长率为负数时，则降低后的结果为a(1－x)n. 某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元；从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平． (1)求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率； (2)购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？(累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费) 解析：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x，根据题意建立等量关系，即3个月之和为364万元，解方程时要对结果进行合理取舍；(2)根据题意，建立不等关系：前三个月的生产收入＋以后几个月的收入减去一次性支付640万元大于或等于旧设备几个月的生产收入－每个月的维护费，然后解不等式． 解：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x，根据题意有100＋100(1＋x)＋100(1＋x)2＝364，即25x2＋75x－16＝0，解得，x1＝－3.2(舍)，x2＝0.2，所以2月，3月生产收入的月增长率为20%. (2)设m个月后，使用新设备所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据题意有364＋100(1＋20%)2(m－3)－640≥90m－5m，解得，m≥12.所以，使用新设备12个月后所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润． 方法总结：根据实际问题中的数量关系或是题目中给出的数量关系得到方程，通过解方程解决实际问题，当方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解． 【类型二】利润问题 一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？ 解析：根据条件设该校共购买了x棵树苗，根据“售价＝数量×单价”就可求解． 解：∵60棵树苗售价为120元×60＝7200元<8800元，∴该校购买树苗超过60棵．设该校共购买了x棵树苗，由题意得x[120－0.5(x－60)]＝8800，解得x1＝220，x2＝80.当x1＝220时，120－0.5(220－60)＝40＜100，∴x1＝220不合题意，舍去；当x2＝80时，120－0.5(80－60)＝110＞100，∴x2＝80，∴x＝80. 答：该校共购买了80棵树苗． 方法总结：根据实际问题中的数量关系或题目中给出的数量关系得到方程，当求出的方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解． 【类型三】方案设计问题 菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的价格对外批发销售．由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售． (1)求平均每次下调的百分率； (2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由． 分析：第(1)小题设平均每次下调的百分率为x，列一元二次方程求出x，舍去不合题意的解；第(2)小题通过计算进行比较即可求解． 解：(1)设平均每次下调的百分率为x，由题意，得5(1－x)2＝3.2，解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(舍去)．∴平均每次下调的百分率为20%； (2)小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000＝14400(元)；方案二所需费用为：3.2×5000－200×5＝15000(元)，∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠． 三、板书设计 教学过程中，强调解决有关增长率及利润问题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍. 学科网（北京）股份有限公司 $