21.2.1 第1课时　直接开平方法（课件）--2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“直接开平方法解一元二次方程”，通过知识回顾（平方根定义、因式分解）引入新知，从基础形式（x²=p）到含括号形式（(mx+n)²=p）逐步递进，构建衔接前后知识的学习支架。 其特色在于梯度化习题设计与多方法对比，通过选择、填空、解答题训练抽象能力（数学眼光），规范解题步骤培养运算能力（数学思维），结合正方形面积等实际问题体现模型意识（数学语言）。学生能夯实基础，教师可高效开展分层教学。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 华东师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第21章 一元二次方程 21.2.1 第1课时　直接开平方法 2026年8月4日 华东师大版九年级上册21.2.1第1课时 直接开平方法练习题 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 一元二次方程$$x^2=16$$的解是（） A.$$x=4$$ B.$$x=-4$$ C.$$x=\pm4$$ D.无解 2. 方程$$x^2+9=0$$的根的情况是（） A.有两个相等实数根 B.有两个不相等实数根 C.只有一个实数根 D.无实数根 3. 用直接开平方法解方程$$(x-2)^2=9$$，正确的结果是（） A.$$x=5$$ B.$$x=-1$$ C.$$x_1=5，x_2=-1$$ D.$$x_1=11，x_2=-7$$ 4. 解方程$$2x^2-8=0$$的结果是（） A.$$x=\pm2$$ B.$$x=\pm4$$ C.$$x=2$$ D.$$x=-2$$ 5. 若方程$$(x+a)^2=b$$有实数根，则$$b$$的取值范围是（） A.$$b>0$$ B.$$b\ge0$$ C.$$b<0$$ D.$$b\le0$$ 6. 方程$$3(x+1)^2=27$$的解为（） A.$$x_1=2，x_2=-4$$ B.$$x_1=8，x_2=-10$$ C.$$x=2$$ D.$$x=-4$$ 二、填空题（每题4分，共24分） 1. 直接开平方法适用于形如________或________的一元二次方程。 2. 方程$$x^2-25=0$$的解是________。 3. 方程$$(x+3)^2=0$$的实数根为________。 4. 化简求解：$$4x^2=36$$，则$$x=$$________。 5. 已知$$(x-m)^2=16$$的一根为$$x=5$$，则$$m=$$________。 6. 方程$$2(x-\sqrt{2})^2=0$$的解为________。 三、解答题（共52分） 13.（12分）用直接开平方法解下列一元二次方程： (1)$$x^2-49=0$$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (2)$$9x^2=25$$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (3)$$x^2=0$$ 14.（12分）用直接开平方法解下列含括号的方程： (1)$$(x-4)^2=16$$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (2)$$(2x+1)^2=9$$ 15.（14分）用直接开平方法解复杂系数方程$$3(x-1)^2-27=0$$，并写出完整解题步骤。 16.（14分）已知一个正方形的面积由$$(x-3)^2=12$$决定，求正方形的边长（结果化为最简二次根式）。 参考答案 1.C &nbsp;2.D &nbsp;3.C &nbsp;4.A &nbsp;5.B &nbsp;6.A 7.$$x^2=b(b\ge0)$$、$$(x+a)^2=b(b\ge0)$$ &nbsp;8.$$x_1=5，x_2=-5$$ &nbsp;9.$$x_1=x_2=-3$$ &nbsp;10.$$\pm3$$ &nbsp;11.$$1$$或$$9$$ &nbsp;12.$$x_1=x_2=\sqrt{2}$$ 13.解：(1)$$x^2=49$$，解得$$x_1=7，x_2=-7$$ (2)$$x^2=\dfrac{25}{9}$$，解得$$x_1=\dfrac{5}{3}，x_2=-\dfrac{5}{3}$$ (3)$$x^2=0$$，解得$$x_1=x_2=0$$ 14.解：(1)开方得$$x-4=\pm4$$，解得$$x_1=8，x_2=0$$ (2)开方得$$2x+1=\pm3$$，解得$$x_1=1，x_2=-2$$ 15.解：移项得$$3(x-1)^2=27$$，系数化为1得$$(x-1)^2=9$$， 开方得$$x-1=\pm3$$，解得$$x_1=4，x_2=-2$$。 16.解：由题意得边长为正数，$$(x-3)^2=12$$，开方得$$x-3=\pm2\sqrt{3}$$， 舍去负值得边长$$x=3+2\sqrt{3}$$。答：正方形边长为$$(3+2\sqrt{3})$$。 命题说明（约420字） 本套练习题适配华东师大版九年级上册21.2.1第1课时直接开平方法，紧扣本节核心解法，严格延续整套习题的题型、分值与难度标准，适配课后巩固与当堂检测。本节是解一元二次方程的基础方法，也是后续配方法、公式法的铺垫。 习题设计梯度分明，选择题重点考查直接开平方法的适用条件、方程根的个数判断、基础方程求解，纠正学生忽略负数不能开平方、漏写正负根的高频错误；填空题聚焦方程基础形式、重根识别、参数求解，夯实解题基本功；解答题由浅入深，涵盖基础纯平方方程、含括号方程、带系数复杂方程及几何实际应用，完整覆盖本节必考题型。 本节核心解题思路为：先将方程化为“完全平方=非负数”的标准形式，再两边同时开平方求解，时刻牢记负数无实数根、正数有两个互为相反数的实数根、0有两个相等实数根。整套习题针对性训练学生规范解题步骤，规避开方漏根、符号出错、取值范围判断失误等问题，帮助学生熟练掌握直接开平方法，为后续复杂方程求解筑牢基础。 （全文约1050字） 1. 会用直接开平方法解形如 a(x－k)2 = b（a ≠ 0， ab ≥ 0）的方程. 2. 灵活应用因式分解法解一元二次方程. 3. 使学生了解转化的思想在解方程中的应用. 学习目标 1. 如果 x2 = a (a ≥ 0) ，则 x 就叫做 a 的________. 2. 如果 x2 = a (a ≥ 0) ，则 x = ______. 3. 如果 x2 = 64 (a ≥ 0) ，则 x = ______. 平方根 知识回顾 4. 把下列各式分解因式： （1）x2－3x （2）x2 + x + （3）2x2－x－3 x(x－3) 2 (2x－3)(x + 1) 知识回顾 解下列方程： （1）x2 = 4； （2）x2 －1 = 0 . 你是怎样解得？ 对于题（1），有这样的解法： 方程 x2 = 4 ， 意味着 x 是 4 的平方根，所以 即 x = x = x1 = 2 ，x2 = －2. 通常也表示成 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法. 探索新知 （2）x2 －1 = 0 . 对于题（2），有这样的解法： 将方程左边用平方差公式分解因式，得 (x – 1)(x + 1) = 0 必有 x – 1 = 0 或 x + 1 = 0 分别解这两个一元一次方程，得 x1 = 1 ，x2 = －1. 先利用因式分解，将方程化为两个一次因式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次因式分别等于 0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 思 考 （1）方程 x2 = 4 能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将方程化成什么形式？ x2 = 4 x2 － 4 = 0 (x + 2)(x－2) = 0 x1 = －2 ，x2 = 2. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 移 移项使方程的右边为 0，即化为一般形式 分 将方程的左边分解因式 化 将一元二次方程转化为两个一元一次方程 解 解这两个一元二次方程，它们的解就是原方程的解 思 考 （2）方程 x2－1 = 0 能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将方程化成什么形式？ x2－1 = 0 x2 = 1 x = x1 = －1 ，x2 = 1. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤: （1）移项，将方程变成左边是完全平方式，右边是非负数 的形式； （2）开平方，将方程化为两个一元一次方程； （3）解这两个一元一次方程，得一元二次方程的两个根. 做一做 使用两种方法解方程：x2 －900 = 0. （1）移项，得 x2 = 900， 直接开平方，得 x = ±30， ∴ x1 = 30，x2 = －30. （2）左边因式分解，得 x + 30 = 0 或 x – 30 = 0， 所以 得 x1 = 30，x2 = – 30. (x + 30)(x – 30) = 0， 例 1 解下列方程 （1）x2 – 2 = 0； （2）16x2 – 25 = 0 解 （1）移项，得 x2 = 2. 直接开平方，得 x =. 即 x1 = ，x2 = － . （2）16x2 – 25 = 0 （2）移项，得 16 x2 = 25. 方程两边都除以 16，得 x2 = . 直接开平方，得 x2 = . 即 x1 = ，x2 = － . 还有其他解法吗？ 16 x2 = 25 16 x2 －25 = 0 (4x + 5)(4x － 5) = 0 x1 = ，x2 = － . 知识点1用直接开平方法解形如x 2＝p(p≥0)的一元二次方程 1.知识初练解方程：x2＝9. 解：因为x是9的平方根，所以x＝________， 所以原方程的根为x1＝______，x2＝______． 1星题 夯实四基 ±3 3 －3 举一反三 2．一元二次方程4x2－16＝0的根是_______________． x1＝2，x2＝－2 举一反三 例 2 解下列方程 （1）3x2 + 2x = 0；（2）5x(x – 3)－10(x－3) = 0. 解 （1）方程左边分解因式，得 x(3x + 2) = 0. 所以 x = 0 或 3x + 2 = 0. 得 x1 = 0，x2 = － . 例 2 解下列方程 （1）3x2 + 2x = 0；（2）5x(x – 3)－10(x－3) = 0. （2）方程左边分解因式，得 5(x－3)(x － 2) = 0. 所以 x－3 = 0 或 x － 2 = 0. 得 x1 = 3，x2 = 2 . 3．[江苏苏州期末]3x2＋27＝0的根是(　　) A．x1＝3，x2＝－3 B．x＝3 C．无实数根 D．以上均不正确 C 举一反三 4．用直接开平方法解下列方程： (1)2x2＝10； 举一反三 思 考 试写出一个一元二次方程，要求它的两根为 x1 = 2，x2 = 3. 符合条件的方程只有一个吗？如果还要求方程的二次项系数为 5，符合条件的方程是什么？ 符合两根 x1 = 2，x2 = 3 的方程不止一个. k(x－2)(x － 3) = 0. k 可以是不为 0 的任意实数. 当 k = 5时，方程二次项系数为 5. 1. 用直接开平方法解下列方程: （1）4x2 －25 ＝ 0； （2）(2x－3)2 －9＝0. 解 （1）移项，得 4x2 ＝ 25. 方程两边都除以 4，得 x2 ＝ . 直接开平方，得 x ＝± . 即 x1 ＝ ，x2 ＝－ . 用直接开平方法解下列方程: （1）4x2 －25 ＝ 0； （2）(2x－3)2 －9＝0. （2）原方程可以变形为 (2x－3)2 ＝ 9. 看成一个整体直接开方降次. 直接开平方，得 2x－3 ＝ ±3. 所以 2x－3 ＝ 3 或 2x－3＝－3. 即 x1 ＝ 3，x2 ＝ 0. 解下列方程： 【选自教材第23页 练习】 （1）x2 = 169； （2）45－x2 = 0； （4）x2 －2x = 0； （5）(t－2)(t + 1) = 0； （3）12y2 －25 = 0； （6）x(x + 1)－5x = 0. 解:（1）直接开平方，得 x ＝±13. 即 x1＝13，x2 ＝－13. （2）移项，得 x2 ＝ 45. 直接开平方，得 x ＝±. 即 x1 ＝，x2 ＝－. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 练 习 （1）x2 = 169； （2）45－x2 = 0； （4）x2 －2x = 0； （5）(t－2)(t + 1) = 0； （3）12y2 －25 = 0； （6）x(x + 1)－5x = 0. （3）移项，得 12y2 ＝ 25. 方程两边都除以 12，得 y2 ＝ . 直接开平方，得 y ＝± . 即 y1 ＝ ，y2 ＝－ . （4）方程左边分解因式， 得 x(x－2)＝ 0. 所以 x ＝ 0 或 x－2＝0. 得 x1 ＝ 0，x2 ＝ 2. （1）x2 = 169； （2）45－x2 = 0； （4）x2 －2x = 0； （5）(t－2)(t + 1) = 0； （3）12y2 －25 = 0； （6）x(x + 1)－5x = 0. （5）因为(t－2)(t + 1)＝ 0， 所以 t－2 ＝ 0 或 t + 1＝0. 得 t1 ＝ 2，t2 ＝－1. （6）方程左边分解因式， 得 x(x + 1－5) ＝ 0， 即 x(x－4) ＝ 0. 所以 x ＝ 0 或 x－4 ＝ 0. 得 x1 ＝ 0，x2 ＝ 4. 例 3 解下列方程 （1）(x + 1)2－4 = 0； （2）12(2－x)2－9 = 0. 两个方程都可以通过简单的变形，化为 ( )2 = a (a ≥ 0) 的形式，用直接开平方法求解. 分 析 解 （1）原方程可以变形为 例 3 解下列方程 （1）(x + 1)2－4 = 0； （2）12(2－x)2－9 = 0. (x + 1)2 = 4. 直接开平方，得 x + 1 = ±2. 所以 x1 = 1，x2 = －3. 你是这样解的吗？还有没有其他解法？ 例 3 解下列方程 （1）(x + 1)2－4 = 0； （2）12(2－x)2－9 = 0. （2）原方程可以变形为 直接开平方，得 所以 x1 = ________，x2 = ________. (2－x)2 = 2－x = 2－ 2 + 知识点2 用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程 5．知识初练 ±4 6 －2 举一反三 6．一元二次方程(x＋3)2＝0的根是(　　) A．x1＝x2＝3 B．x1＝x2＝－3 C．x1＝3，x2＝－3 D．无实数根 B 举一反三 7. 【新趋势·开放性问题】若关于x的方程(x＋1)2＝k－2有实数根，则k的值可以是________________. (写出一个即可) 3(答案不唯一) 举一反三 你知道吗？ 小明和小亮一起解方程： x(3x + 2) – 6(3x + 2) = 0. 小明将方程左边分解因式，得 (3x + 2)(x – 6) = 0， 所以 3x + 2 = 0 或 x – 6 = 0. 得 x1 = ，x2 = 6. 小亮的解法是这样的： 移项，得 x(3x + 2) = 6(3x + 2)， 方程两边都除以 (3x + 2)，得 x = 6. 小亮说：“我的方法多简便！” 可另一个根哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？ 3x + 2 可能为 0. 解下列方程: （1）2x2 －3x ＝ 0； （2）[整体思想] 5x(x－3)＝ x－3； （3）x2 + 16 ＝ 8x； （4）(2x－1)2 －9x2 ＝ 0. 解:（1）方程左边分解因式，得 x(2x－3) ＝ 0. 所以 x ＝ 0 或 2x－3 ＝ 0. 得 x1 ＝ 0，x2 ＝ . （2）移项，得 5x(x－3)－(x－3) ＝ 0. 方程左边分解因式，得 (x－3)(5x－1)＝ 0. 所以 x－3 ＝ 0 或 5x－1 ＝ 0. 得 x1 ＝ 3，x2 ＝ . 不用急于化成一般形式，能提公因式的先提公因式. （1）2x2 －3x ＝ 0； （2）[整体思想] 5x(x－3)＝ x－3； （3）x2 + 16 ＝ 8x； （4）(2x－1)2 －9x2 ＝ 0. （3）移项，得 x2 －8x + 16 ＝ 0. 方程左边分解因式，得(x－4)2 ＝ 0. 所以 x1 ＝ x2 ＝ 4. （4）方程左边分解因式，得 (2x－1 + 3x)(2x－1－3x)＝ 0， 即 (5x－1)(－x－1) ＝ 0. 所以 5x－1 ＝0 或－x－1＝ 0. 得 x1 ＝ ，x2 ＝－1. 解下列方程: 8．用直接开平方法解方程： (1)(2x－3)2＝121；　　　　(2)3(x－1)2－6＝0. 解：直接开平方，得2x－3＝±11， 所以2x－3＝11或2x－3＝－11，解得x1＝7，x2＝－4. 举一反三 9．[安徽合肥期中]若2x＋1与2x－1互为倒数，则实数x的值为(　　) C 2星题 提升四能 举一反三 10．已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程(x－3)2＝4的一个根，则此三角形的周长为(　　) A．17 B．11 C．15 D．11或15 C 举一反三 11.【思维生长】 已知(x＋y＋3)(x＋y－3)＝72，则x＋y的值为________． 向“整体思想——非负性”生长：若(m2＋n2－1)2＝9，则m2＋n2＝________． 9或－9 4 易错点睛：此题易因忽略m2＋n2≥0而致错． 举一反三 12．用直接开平方法解下列方程： (1)4(2x－1)2－36＝0；   (2)(y＋2)2＝(3y－1)2. 解：移项，得4(2x－1)2＝36，两边同除以4，得(2x－1)2＝9，开平方，得2x－1＝±3，解得x1＝2，x2＝－1. 举一反三 1. 直接开平方法. 2. 因式分解法. 注意：直接开平方法只适用于能转化为 x2 = p 或 (mx + n)2 = p（m ≠ 0）形式的方程. 其有解的前提条件是 p ≥ 0. 注意：不能随意在方程两边同时除以含未知数的整式，否则会造成丢根. 课堂小结 谢谢观看 THANKS 解：移项，得x2＝12，二次项系数化为1，得x2＝36， 开平方，得x＝±6，解得x1＝6，x2＝－6. (2)x2－12＝0. 解：二次项系数化为1，得x2＝5， 开平方，得x＝±，解得x1＝，x2＝－. 解：方程变形，得(x－1)2＝2，直接开平方，得x－1＝±，所以x－1＝或x－1＝－，解得x1＝＋1，x2＝－＋1. 点拨：根据题意，得(2x＋1)(2x－1)＝1，即4x2－1＝1， 解得x＝±. A．± B．±1 C．± D．± 解：开平方，得y＋2＝±(3y－1)，所以y＋2＝3y－1或 y＋2＝－(3y－1)，解得y1＝，y2＝－. $