江苏扬中市第二高级中学2026年暑假新高三数学复习自测练习卷-圆锥曲线

**基本信息** 2026年暑假高中数学圆锥曲线复习自测练习，以篮球轮廓、光学装置等现实与科技情境为载体，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖椭圆、双曲线、抛物线核心性质，强化数学眼光与思维应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|椭圆方程条件（第1题）、双曲线离心率（第2题）|结合篮球轮廓情境（第2题）| |多选题|3/18|椭圆离心率范围（第10题）、抛物线焦点弦性质（第11题）|多选项辨析核心概念| |填空题|3/15|椭圆焦半径最值（第12题）、抛物线与圆相切（第13题）|聚焦几何量计算| |解答题|5/77|抛物线定点证明（15题）、双曲线渐近线与面积定值（17题）|多问递进，综合几何直观与逻辑推理（17题）|

2026年暑假高中数学（圆锥曲线）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．“”是“方程表示椭圆”的 （ A ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2．从某个角度观察篮球（如图1）可以得到一个对称的平面图形（如图2），篮球的外轮廓为圆，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为 （ A ） A. B. C. D. 3．已知抛物线经过点，点到抛物线的焦点的距离为3，则抛物线的准线方程为 （ A ） A. B. C. D. 4．已知椭圆()的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点为，则直线的斜率为 （ A ） A. B. C. D. 1 5．设抛物线上一点到轴的距离为，点为圆任一点，则的最小值为 （ C ） A B. 2 C. 3 D. 4 6．椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆两点，已知 ，则椭圆的离心率为 （ A ） A. B. C. D. 7．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒：若，则的长轴长与的实轴长之比为 （ C ） A. B. C. D. 【详解】设椭圆方程为，双曲线方程为，由图①可得，其中，故上面两式相减得，由图②可得， 故，由题意得，即， 即，解得，故的长轴长与的实轴长之比为.故选：C 8．如图， 设直线与抛物线 (为常数) 交于不同的两点， 且当时， 抛物线的焦点到直线的距离为. 过点的直线交抛物线于另一点， 且直线过点， 则直线过点 （ A ） A. B. C. D. 【详解】直线，即，依题意，到直线的距离为，所以抛物线方程为，直线， 由消去并化简得，，且， 设，则.由， 直线的方程为，所以，即， 则，故，所以，所以， 直线的方程为，即，则，故，所以，也即直线过定点.故选：A. 【点睛】方法点睛：求抛物线的标准方程的方法有：根据焦点或准线来求、根据抛物线的定义来求、利用待定系数法来求、通过已知条件列等量关系式，化简后得到抛物线的标准方程.求解直线和抛物线的交点，可通过联立方程组来求解. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知曲线：，则 （ABD） A. 时，则的焦点是， B. 当时，则的渐近线方程为 C. 当表示双曲线时，则的取值范围为 D. 存在，使表示圆 10．已知椭圆： 的左右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是 （ABD） A. 离心率的取值范围为 B. 当时，的最大值为 C. 存在点，使得 D. 的最小值为1 【详解】对于A项：因为点在椭圆内部，所以，得，所以得：，故A项正确；对于B项：由椭圆定义知，当在轴下方时，且，，三点共线时，有最大值，由，得，，所以得， 所以最大值，故B项正确；对于C项：设，若，即：，则得，即点在以原点为圆心，半径为的圆上， 又由A项知：，得，又因为，得，所以得：，所以该圆与椭圆无交点，故C项错误；对于D项：由椭圆定义得，所以， 当且仅当时取等号，故D项正确.故选：ABD. 11．过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若直线的斜率分别是，则 （ABD） A. 以为直径的圆与轴相切； B. C. D. 分别过两点作抛物线的切线相交于点，则点在上. 【详解】由题意，取的中点为，分别过作准线的垂线，垂足分别为，如下图： 对于A，由抛物线，则，焦点，准线， 易知以为直径的圆的圆心为，半径， 由图可知， 由圆心到轴的距离，则圆与轴相切，故A正确； 对于B，由题意易知直线的斜率存在，则设直线方程为， 联立可得，消去可得，由，设，则，，， ， 由A选项的图中可知，， 所以，故B正确； 对于C，由选项B可知，故C错误； 对于D，由题意作图如下： 由，求导可得，由选项B，可得直线的斜率分别为， 所以直线的方程分别为，， 联立，两个方程分别乘可得消去可得，由在直线上，则，化简可得，由，， 则，所以，故D正确.故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最小值为 ． 13．已知抛物线：（）和圆：，若倾斜角为的直线过的焦点且与相切，则__6____． 【详解】由题得抛物线的焦点坐标为， 设直线l的方程为， 由已知得圆的圆心，半径， 因为直线l与圆相切，所以圆心到直线的距离，即，解得或（舍去）．所以．故答案为：6． 14．过双曲线C：（b>a>0）焦点F1作以焦点F2为圆心的圆的一条切线，切点为M，的面积为，其中c为半焦距，线段MF1恰好被双曲线C的一条渐近线平分，则双曲线C的离心率为______2_____. 【详解】由题意，可得图像如图：∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴或4，又b>a>0，所以，所以.故答案为：2. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．如图，已知抛物线的焦点为F，点为坐标原点，一条直线过定点与抛物线相交于A，B两点，且. （1）求抛物线方程； （2）连接AF，BF并延长交抛物线于C，D两点，求证：直线CD过定点 15．解：（1）设直线的方程为，直线与抛物线的交点分别为 ， 联立方程组，整理得， 所以， 因为，可得，即， 所以，即，即，解得， 所以抛物线的方程为. （2）设点的纵坐标分别为， 设直线的方程为， 联立方程组，整理得，所以， 同理可得：， 由（1）知，所以， 设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则有，解得，即直线的方程为， 所以直线恒过点. 16．已知左、右顶点分为A，B，其离心率为，两焦点与短轴两顶点围成的四边形面积为4． （1）求椭圆C的标准方程： （2）过点作直线PQ交椭圆C于P，Q两点（点P，Q异于A，B），若直线AP和BQ的交点为N．求证：为定值． 16．解：（1）由题意得：，， 即，，又，则有，， 则椭圆C的标准方程为：． （2）由题意知：直线PQ的斜率不为0， 设，由，得， 设，，， 则，，． 因为，，则． 则①， 直线②，直线③， 由②③得：， 则④ 将①代入④得：，则， 则． 【说明】本题来源于资料改编，考查椭圆方程和性质；考查直线与椭圆位置关系；考查定值问题处理方法；考查运算推理能力． 17．如图，双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，焦点到渐近线的距离为动直线l分别交双曲线C的两条渐近线于M，N，其中点M在第一象限，点N在第四象限，且与双曲线C只有一个公共点 （1）求双曲线C的标准方程; （2）证明：点P为线段MN的中点; （3）过点P分别作两条渐近线的平行线交渐近线于E，F，求证：四边形OEPF的面积为定值，并求出该定值. 17．解：（1）设双曲线C的焦点坐标为， 因为实轴长是虚轴长的2倍，则， 又因为焦点到渐近线的距离为1， 则，可得，解得，， 所以双曲线C的标准方程： （2）当直线l斜率不存在时， P点为MN的中点； 当直线l的斜率存在时，设直线MN的方程：， 联立方程，得， 因为直线l分别交双曲线C的两条渐近线于M，N， 其中点M在第一象限，点N在第四象限，且与双曲线C只有一个公共点P， 所以，即：， 双曲线两条渐近线方程为：， 联立方程，解得， 联立方程，解得， 则MN的中点坐标：，即， 代入得，， 所以MN的中点坐标满足双曲线方程，即MN的中点在双曲线上， 又因为直线l与双曲线C只有一个公共点P， 可知点P为线段MN的中点； 综上所述：点P为线段MN的中点. （3）由题意可知：， 坐标原点到直线l的距离：， 则， 代入得. 所以平行四边形OEPF面积为定值 【点睛】易错点点睛：第二问中注意讨论直线l的斜率存在与不存在两种情况，以及由动直线l与双曲线C恰有1个公共点，直曲联立后由得到参数k、m的关系. 18．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的离心率为2，左、右顶点分别为A，B，且 （1）求的方程; （2）直线l与的左、右两支分别交于点C，D，记直线BC，BD的斜率分别为，，且 （i）求证：直线l过定点; （ii），直线OP与BD交于点Q，判断并证明直线AQ与BC的位置关系. 18．解：（1）设双曲线的焦距为2c，则，且，解得，， 所以，所以的方程为：； （2）（ⅰ）设直线l的方程为，，，， 联立与，消去y，得， 所以，， 由，得， 整理得， 所以， 整理得，所以或， 当时，直线l的方程为，过点，不符，故舍去；当时，直线l的方程为，过点， 所以直线l过定点； （ⅱ）直线AQ与直线BC的位置关系是平行，理由如下： 因为，所以直线OP方程为：， 又直线BD方程为：，联立与， 解得，，即， 因为，所以直线AQ的斜率为，由， 得直线BD的斜率，所以 19．已知椭圆（）的长轴为，短轴长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线l：与椭圆交于不同两点； ①若，求直线的方程． ②已知点，，连接交椭圆于另一点，连接交椭圆于另一点，求证三点共线. 19．解：（1）由已知长轴为，短轴长为， 可得，， 则椭圆的标准方程为：； （2）①依题意，解得， 因为，可得， 且， 因为， 解得， 所以直线的方程为：． ②证明：设， ， 联立，消去整理得： ， ， 又， 代入整理得：， ， ， 同理可得， ， 而 所以有， 整理得， ， ， 因此∥，故三点共线. 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年暑假高中数学（圆锥曲线）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．“”是“方程表示椭圆”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2．从某个角度观察篮球（如图1）可以得到一个对称的平面图形（如图2），篮球的外轮廓为圆，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为 （ ） A. B. C. D. 3．已知抛物线经过点，点到抛物线的焦点的距离为3，则抛物线的准线方程为 （ ） A. B. C. D. 4．已知椭圆()的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点为，则直线的斜率为 （ ） A. B. C. D. 1 5．设抛物线上一点到轴的距离为，点为圆任一点，则的最小值为 （ ） A B. 2 C. 3 D. 4 6．椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆两点，已知 ，则椭圆的离心率为 （ ） A. B. C. D. 7．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒：若，则的长轴长与的实轴长之比为 （ ） A. B. C. D. 8．如图， 设直线与抛物线 (为常数) 交于不同的两点， 且当时， 抛物线的焦点到直线的距离为. 过点的直线交抛物线于另一点， 且直线过点， 则直线过点 （ A ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知曲线：，则 （ ） A. 时，则的焦点是， B. 当时，则的渐近线方程为 C. 当表示双曲线时，则的取值范围为 D. 存在，使表示圆 10．已知椭圆： 的左右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是 （ ） A. 离心率的取值范围为 B. 当时，的最大值为 C. 存在点，使得 D. 的最小值为1 11．过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若直线的斜率分别是，则 （ ） A. 以为直径的圆与轴相切； B. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最小值为 ． 13．已知抛物线：（）和圆：，若倾斜角为的直线过的焦点且与相切，则_ ___． 14．过双曲线C：（b>a>0）焦点F1作以焦点F2为圆心的圆的一条切线，切点为M，的面积为，其中c为半焦距，线段MF1恰好被双曲线C的一条渐近线平分，则双曲线C的离心率为___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．如图，已知抛物线的焦点为F，点为坐标原点，一条直线过定点与抛物线相交于A，B两点，且. （1）求抛物线方程； （2）连接AF，BF并延长交抛物线于C，D两点，求证：直线CD过定点 16．已知左、右顶点分为A，B，其离心率为，两焦点与短轴两顶点围成的四边形面积为4． （1）求椭圆C的标准方程： （2）过点作直线PQ交椭圆C于P，Q两点（点P，Q异于A，B），若直线AP和BQ的交点为N．求证：为定值． 17．如图，双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，焦点到渐近线的距离为动直线l分别交双曲线C的两条渐近线于M，N，其中点M在第一象限，点N在第四象限，且与双曲线C只有一个公共点 （1）求双曲线C的标准方程; （2）证明：点P为线段MN的中点; （3）过点P分别作两条渐近线的平行线交渐近线于E，F，求证：四边形OEPF的面积为定值，并求出该定值. 18．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的离心率为2，左、右顶点分别为A，B，且 （1）求的方程; （2）直线l与的左、右两支分别交于点C，D，记直线BC，BD的斜率分别为，，且 （i）求证：直线l过定点; （ii），直线OP与BD交于点Q，判断并证明直线AQ与BC的位置关系. 19．已知椭圆（）的长轴为，短轴长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线l：与椭圆交于不同两点； ①若，求直线的方程． ②已知点，，连接交椭圆于另一点，连接交椭圆于另一点，求证三点共线. 4 学科网（北京）股份有限公司 $