第10讲 椭圆的标准方程-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

第10讲 椭圆的标准方程 1．了解椭圆的实际背景．　 2．经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程． 知识点一 椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距． 知识点二 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图　形 焦点坐标 (－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 考点一：椭圆的定义 例1 (1)椭圆＋＝1的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为________； (2)椭圆＋＝1的两焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝6，则∠F1PF2的大小为________． 【总结】 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a； (2)涉及焦点三角形的面积时，可把|PF1|·|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解． 变式 如图所示，已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，则椭圆的标准方程为________________． 考点二：求椭圆的标准方程 例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别是F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P到两个焦点的距离的和等于10； (2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3)． 【总结】 确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面 (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式； (2)“定量”是指确定a2，b2，c2的具体数值，常根据条件列方程求解． 变式 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)经过两点(2，－)，； (2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点． 考点三：与椭圆有关的轨迹方程问题 例3 已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18．求这个三角形的顶点A的轨迹方程． 【总结】 解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法 (1)直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0； (2)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可； (3)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法． 变式 已知A(－1,0)，B是圆C：(x2－1)＋y2＝8上一动点，线段AB的垂直平分线交BC于P，则动点P的轨迹方程为____________． 考点四：直线与椭圆的公共点问题 例4如图，求直线l：y＝－x＋1与椭圆C：＋y2＝1的公共点坐标． 【总结】 求直线与椭圆公共点坐标的方法 联立直线与椭圆的方程，组成方程组，该方程组的解对应的实数对(x，y)即为直线与椭圆的公共点的坐标． 变式 已知椭圆C：＋y2＝1，直线l：x－y＋＝0，判断直线l与椭圆公共点个数，并求出公共点的坐标． 1．椭圆＋＝1的焦点坐标是(　　) A．(±5,0) B．(0，±5) C．(0，±12) D．(±12,0) 2．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的方程为(　　) A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 3．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段 B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆 4．若△ABC的两个顶点坐标分别为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程