集合、不等式、函数 阶段专项练习-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦集合、函数核心模块，以题载法构建“概念理解-性质应用-综合创新”三阶训练体系，强化数学运算与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合运算|6题|交并补定义法、数轴法|从基础运算到含不等式集合，构建集合关系认知链| |函数性质|8题|奇偶性判定、周期性推导、图象识别|以函数三要素为起点，延伸至性质综合应用| |导数应用|5题|极值点分析、分离参数法、切线方程|从导数几何意义到零点问题，形成导数工具链| |新定义问题|2题|概念迁移、分类讨论|结合幂函数定义，培养创新思维与知识迁移能力|

姓名： 班级： 2027届高考数学阶段练习【集合、不等式、函数】 一、单选题（本大题共8小题） 1．已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（    ） A．{−2，3} B．{−2，2，3} C．{−2，−1，0，3} D．{−2，−1，0，2，3} 3．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．函数在的图像大致为 A． B．C． D． 5．已知集合,,则（ ） A． B． C． D． 6．已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|x+1∈A},则A∩B= (　　) A．{1,2,3} B．{3,4,5} C．{1,2,3,4} D．{2,3,4,5} 7．函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   8．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题） 9．若函数 的定义域是D，对于 ，定义集合 （ ） A．若 ，则 B．若 ，且 ，则 C．若 ，且 ，则 D．若 ，当 时， ，则 10．已知函数，，则（    ） A．函数的图象的对称中心为 B．若，则存在两个极值点 C．若有三个不同的零点，则a的取值范围是 D．若，且，是的两个极值点，则 11．已知定义在R上的函数，满足是奇函数，且是偶函数.则下列命题正确的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3小题） 12．若函数有两个零点，则的取值范围是________. 13．函数所有零点的和为__________． 14．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若是平面内三个不同的单位向量，且满足，，则的取值范围为_________． 四、解答题（本大题共5小题） 15．已知函数. （1）求证：的图象关于对称； （2）若过点可作出曲线的三条切线，求的取值范围； （3）若存在极值点，且，其中，求的值. 16．的内角的对边分别是，已知． （1）求； （2）若点在边上，为的平分线且长度为1，求； （3）若是边上的一点，且，求的面积的最大值． 17．已知函数． （1）若，求在区间上的值域； （2）若方程有实根，求实数的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 18．若定义在R上的函数的导函数为，． (1)若，判断和的奇偶性；（直接写出结论即可） (2)将在上的所有极值点按由小到大顺序排列构成数列，证明：是递增数列； (3)对任意，都有，求正整数k的最小值． 19．若函数为幂函数，则称与互为“和幂函数”；若函数为幂函数，则称与互为“积幂函数”． （1）函数与是否互为“和幂函数”?请说明理由； （2）已知函数与互为“积幂函数”． ①求函数在上零点的个数； ②已知函数在上单调递增，在上单调递减，若函数在上有两个零点，求实数的取值范围． 参考答案 【知识点】补集与全集 【特色标签】数学运算 1．【答案】B 【详解】因为集合，， 所以. 【知识点】交、并、补的综合运算 2．【答案】A 【详解】由题意可得：，则. 故选A. 【知识点】交集及其运算、对数函数的定义域 【特色标签】数学运算 3．【答案】B 【详解】因为，, 又，所以. 故选B. 【知识点】函数图象的识别 【特色标签】数形结合思想、数学运算 4．【答案】B 【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B． 【知识点】交集及其运算 【特色标签】数学运算 5．【答案】A 【详解】由，得且，即或，所以.又，所以，故选A. 【知识点】交集及其运算 【特色标签】数学运算 6．【答案】C　 【命题点】集合的交集运算 【详解】因为A={1,2,3,4,5,9},B={x|x+1∈A}={0,1,2,3,4,8},所以A∩B={1,2,3,4},故选C． 【知识点】函数图象的识别 【特色标签】逻辑推理、数学建模 7．【答案】D 【详解】对于函数，定义域为， 因为， 所以函数为偶函数，故B，C错误， 当时，， 又在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递增，故A错误，D正确． 故选D． 【知识点】函数周期性、函数奇偶性的应用 【特色标签】数学运算 8．【答案】D 【详解】[方法一]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． [方法二]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选D． 【知识点】由对数函数的单调性求参数、由指数函数的单调性求参数 【特色标签】数学运算、逻辑推理 9．【答案】ABD 【详解】解：对于 ，由 可得 ，所以A正确； 对于B，因为 为增函数， ，所以 ， ，所以 正确； 对于C，因为 是偶函数，且在 上单调递减，在 上单调递增， 等价于 ， ， ，所以 不正确； 对于D，因为 是偶函数，且在 的单调性由a决定， ， ， 因为 ，所以当 时， 的解集包含 的解集， 所以 在 单调递减，即 正确． 故选： 【知识点】函数对称性、利用导数解决函数零点问题、含参数的函数求极值（极值点） 【特色标签】数学运算、逻辑推理 10．【答案】ABD 【详解】A：对任意，有， 因此函数的图象的对称中心为，故A正确， B：由题设，若，则有两个不同的实数根， 显然是导数的两个变号零点，所以函数存在两个极值点，故B正确， C：令，得，显然不是方程的解， 所以可分离参数得，设， 求导得，令，解得， 当时，，在上单调递增，且时，时， 当时，，在上单调递增，且时， 当时，，在上单调递减，且时， 函数在处取得极大值， 要使有三个不同的零点，即直线与函数的图象有三个交点，必须满足，故C错误， D：当时，，， 是的两个极值点，即是方程的两根，所以，则， 所以，故D正确. 【知识点】三角函数的图象和性质的综合应用、函数奇偶性的应用 【特色标签】数学运算 11．【答案】ABD 【详解】是奇函数，，，①， 是偶函数，， ，②， 联立①②可得，， 选项A，，故选项A正确； 选项B，，故选项B正确； 选项C，， ，此时不恒等于，故选项C错误； 选项D，，， ，故选项D正确. 故选ABD. 【知识点】已知零点情况确定参数的值或范围 【特色标签】数学运算 12．【答案】 【详解】函数有两个零点，即方程有两个不同的实数根.令，方程化为，即（提示：通过换元转化成一元二次方程根的问题），又，所以方程有两个不同的正根，，则，可得，且，故，即的取值范围为. 【一题多解】 令 ，则有两个零点，即方程有两个不同的实数根.易知，，由基本不等式得，当且仅当即时等号成立，且当 时， ；当 时， .故当时，方程有两个不同的实数根，故的取值范围为. 【知识点】函数图象的应用、函数零点的分布、正弦函数的图象及应用 【特色标签】数形结合思想、数学运算、逻辑推理 13．【答案】22 【详解】由，得，则所有零点的和等价于函数的图象与直线所有交点的横坐标之和． 易得的图象与直线均关于点（2，0）对称． 又， 结合的图象与直线可知， 的图象与直线在内共有5个交点， 则的图象与直线共有11个交点，且关于点对称， 则这11个交点的横坐标之和为，即所有零点的和为22．    【知识点】函数性质的综合运用、数量积的计算 【特色标签】数学运算、逻辑推理 14．【答案】 【详解】当时，，故， 因为是定义在上的奇函数，所以，故，， 当时，，故， 又，故，， 又， 所以， ，， 故，，，故，，， 不妨设，， 由得，由得， 又，故，解得， 故，结合，可得， ， 因为，所以. 【知识点】函数对称性、含参数的函数求极值（极值点）、已知切线与直线（切线）的位置关系求值或求参 【特色标签】数学运算、逻辑推理 15．【答案】（1）见详解； （2）； （3）. 【详解】（1）证明：由， 令， 又，所以的图象关于原点对称， 且的图象是的图象向左平移1个单位，再向上平移个单位而得到. 所以的图象关于对称． （2）解：因为，所以， 设切点为， 则切线的斜率， 切线方程为 因切线过点，可得， 令， 由条件可知与有三个交点， 令， 当，，所以在上单调递减； 当，，所以在上单调递增； 当，，所以在上单调递减， 当时，取得极小值；当时，取得极大值．如图： 因为过点可作出曲线的三条切线， 所以． （3）解：， 当，在R上单调递增，无极值； 当，由，解得或； 由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，因为存在极值点，所以，得， 由，即 ，， ， ， 因为，得，即. 所以. 【知识点】周长与面积最值或范围、基本不等式在最值问题中的应用、已知三边或三边关系解三角形、正弦定理及其公式的变形 【特色标签】数学运算 16．【答案】（1） （2） （3） 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 整理可得，由余弦定理可得 ，所以， 因为，故． （2）因为为的平分线，所以， 因为，即， 又因为，所以，故． （3）因为，所以，即， 所以， 即， 即，当且仅当即当时等号成立， 所以， 即面积的最大值为． 【知识点】指数函数性质的综合应用、指数型复合函数 【特色标签】换元法、逻辑推理、数学运算 17．【答案】（1） （2） （3） 【详解】（1）当时，， 令，因为，所以， 所以可得一个二次函数，所以当，函数单调递增， 当时，有最小值， 当时，有最大值，所以. 所以时，在区间上的值域为. （2）由（1）知当令，，， 则，即有实数根，此时实数根大于零， 所以可得，解得：. 所以方程有实根，实数m的取值范围为. （3）由题意得， 若对任意的，总存在，使得，可得, 由函数可得当时单调递减，当时单调递增，函数为增函数， 所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增， 所以当时，有最小值， 由（2）知当令，，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数在时均单调递增， 所以函数在时单调递增，所以， 所以，即， 则实数m的取值范围为. 【知识点】函数奇偶性的判断与证明、利用导数解决不等式恒成立问题、单调性、求不含参函数的极值（极值点） 【特色标签】数学运算、逻辑推理 18．【答案】(1)是偶函数，是奇函数； (2)依题意，，解得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 令函数，求导得 ， 函数，求导得，函数在上单调递增， 而，则，， 又，因此，函数在上单调递增， 则， 即，所以是递增数列. (3) 【详解】（1）函数，，函数为偶函数； 依题意，，即，因此， 则，由，得，于是， 所以是奇函数. （2）略 （3）由（2）同理得数列是递减数列，由函数在上递减，在上递增， 当时，， ，，则， 令函数，求导得 ，函数在上单调递增，则， 即，因此，依题意，， 所以正整数k的最小值是1. 【知识点】函数新定义问题 【特色标签】新定义问题、数学运算、逻辑推理 19．【答案】（1）是；理由见详解 （2）①1；② 【详解】（1）对任意的，， 所以，、恒成立， 所以，函数、的定义域均为， ， 故函数与互为“和幂函数”； （2）①， 由函数与互为“积幂函数”， 则，即，故， 则与， 则， 令，即，令， 由函数在上单调递增，在上单调递减， 故在定义域内单调递增， 又，当， 故在上存在唯一零点， 即函数存在负零点，且负零点唯一； ②，则， 又，则当时，， 由在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增，则当时， 在上单调递增，在上单调递减， 函数在上有两个零点， 则在上有两个不同根， 当时，；当时，，最大值为， 故. 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $