阶段测试卷（范围：集合与简易逻辑、不等式、导数、平面向量、复数、三角函数、解三角形）-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以七大核心模块为载体，通过题型分层与解法归纳，系统整合知识逻辑，强化数学抽象、逻辑推理与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与简易逻辑|1题|交并补运算|集合概念→运算性质→实际应用| |复数|1题|四则运算与相等条件|复数定义→代数形式→运算规则| |平面向量|2题|基底表示与数量积|向量概念→线性运算→几何应用| |三角函数与解三角形|4题|恒等变换、正余弦定理|三角函数定义→图像性质→解三角形应用| |导数与函数|5题|单调性分析、构造函数|函数概念→导数工具→极值与零点问题| |不等式|2题|基本不等式与恒成立|不等式性质→求解方法→最值应用|

2027高三一轮复习阶段测试卷 （范围：集合与简易逻辑、不等式、导数、平面向量、复数、三角函数、解三角形） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则（    ） A． B． C．2 D．4 3．在梯形中，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．若，则（    ） A． B． C． D． 5．设是定义在上的函数且满足，当时，，则函数在区间上的零点个数为（ ） A． B． C． D． 6．已知函数，对，且，都有不等式，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．函数是定义域为的偶函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．记的内角，，的对边分别为，，，已知，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则． B．设，，则． C．若，则的最小值为． D．若，则的最大值为2． 10．如图，在中，，，，点为的中点，点在上，且，线段与相交于点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 11．函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．是的极小值点 C．当时，函数有个零点 D．不等式的解集为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若存在实数使得成立，则实数的取值范围是______ 13．在中，为边上一点，，，，且的面积为，则的值为__________． 14．已知，关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求． (2)若，，求边上的角平分线的长． 16．已知函数， (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数在上的最大值为；求的值； (3)设，若，，使得，求的取值范围． 17．已知函数，其中． (1)若的最小正周期为，且的最大值为3，求的值及的单调递增区间； (2)在（1）的条件下，把函数的图象向左平移个单位长度得到偶函数的图象，求函数的对称中心； (3)若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若点D满足，且，求△ABC面积的最大值． 19．对任意正整数，定义集合．设，定义：，． (1)（填“”或“”）；（填“”或“⊈”）； (2)设，证明：； (3)设，，，，求； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A D C A B A BD ABD 题号 11 答案 AB 1．B 【详解】，， 故. 2．C 【分析】根据复数的乘法和除法运算，结合复数相等求解即可. 【详解】因为， 所以， 解得， 所以. 3．A 【分析】将、用、作为基底表示，利用平面向量基本定理列方程求解、，再计算. 【详解】由题意，可得， 则 ， ， 将上述两式代入，整理得： ， 由于、为不共线的非零向量，根据平面向量基本定理，等式两边对应向量的系数相等， 得： 解得，则， 因此. 4．D 【分析】利用两角和差的正切公式可得，利用两角和差公式以及倍角公式结合齐次式问题运算求解. 【详解】因为， 所以 . 5．C 【分析】首先求出函数在区间上的零点，再利用周期性求解在区间的零点. 【详解】当时，， 在区间内的零点为和，共个零点. 由得，则函数在区间上的零点为共6个. 6．A 【分析】由条件推理判断函数在上为增函数，利用分段函数的单调性建立不等式组，求解即得参数范围. 【详解】对，且，都有不等式， 可知函数在上为增函数， 即，解得. 故选：A. 7．B 【分析】构造辅助函数，先证为偶函数，由时得在递增；将原不等式整理为，利用偶函数单调性转化为，平方化简解得． 【详解】设， 由题意，，得， 所以是偶函数， 当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减， 由，得 所以， 所以等价于，解得． 8．A 【分析】根据给定条件，逆用和角的正弦化简求出关系，再利用正弦定理边化角，二倍角的余弦公式及对勾函数单调性求出范围. 【详解】在中，由，得，则， 于是，即， 因,则,则或， 当时，即，此时,则，与题意不符； 则，即，， 由,可得，则， 由正弦定理得， ， 令，函数在上单调递减，则， 因此，所以的取值范围为. 9．BD 【分析】根据题意，利用不等式的性质，作差比较法，以及基本不等式，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，，则，所以A不正确； 对于B，由 因为，可得，所以， 可得，所以，所以B正确； 对于C，若，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C错误； 对于D，若且， 由，即，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 因为，所以， 即的最大值为，所以D正确. 10．ABD 【分析】选项A根据余弦定理求解；选项B由向量线性运算用基底表示；选项C先将向量用基底表示，利用向量数量积公式求解；选项D利用三点共线的充要条件求解. 【详解】在中，，，， ， 选项A正确； ，， 选项B正确； 点为的中点，， ， ， 选项C错误； 设， 因为三点共线，三点共线， 所以，解得， ，选项D正确. 11．AB 【分析】对于A：根据奇函数定义和性质求函数的解析式；对于B：求导，利用导数分析函数在内的单调性和极值；对于CD：根据奇函数的定义结合选项B可得函数的图象，根据图象分析判断. 【详解】对于A：因为函数是定义域为的奇函数，则， 当时，则，可得，故A正确. 对于B：当时，，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增；在内单调递减， 所以是的极小值点，故B正确； 对于C： 当时，由选项B可知：在内单调递增；在内单调递减， 则，且当x趋近于时，趋近于0， 结合奇函数性质可得函数的图象，如图所示，    由图像可知：当时，与有3个不同的交点，即函数有3个零点，故C错误； 对于D：由可得或， 由图象可得：或， 所以不等式的解集为，故D错误. 12． 【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意， 当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则 ，解得， 综上可得. 13． 【分析】由三角形面积得到，由余弦定理得，利用正弦定理得到答案 【详解】，，， 故，解得，    由勾股定理得，故， 所以，， 设，则，在中，由余弦定理得 ，即， 解得，负值舍去， 所以， 在中，由正弦定理得， 即，所以 14． 【分析】先作出函数的图象，结合图象可把问题转化为在上有两个不同实根，，数形结合即可求得答案． 【详解】作出函数图象如图所示： 令，则可化为， 若有6个根， 结合图象可知方程在上有2个不相等的实根， 不妨设，， 则，解得， 故m的取值范围为. 15．(1) (2) 【分析】（1）先根据正弦定理将边化角，再结合和角的正弦公式，特殊角的三角函数值即可求出； （2）结合（1）中的值，根据余弦定理得到的值，再根据角分平线的性质，及三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）由， 则由正弦定理得， 又在中，有， 则， 所以， 即， 又，则，即， 所以，即， 又，则，所以，解得． （2）结合（1）有， 则由余弦定理有， 又，，则，解得， 又边上的角平分线为，则， 又， 则， 即，解得． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出导函数，再代入得出导数值即可得出斜率，最后点斜式得出切线方程即可； （2）先求出导函数，再分类讨论函数的单调性结合定义域得出最值即可求解参数； （3）先根据任意及存在得出，结合导数得出函数单调性即可列式计算求解参数范围 【详解】（1），，， ，，所以切线的斜率为2， 所以切线方程为 （2）依题意可得， 当时，，此时在上单调递增； 当时，由得，得， 则在上单调递增，在上单调递减； 由以上分析知，当或时，在上单调递增； 所以，得（舍去）； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，得； 综上，若函数在上的最大值为，则， （3）由已知转化为， 又时，， 由（1）知，当时，在上单调递增，值域为，不合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，解得， 综上，的取值范围是． 17．(1)，单调递增区间为； (2)的对称中心为； (3). 【分析】（1）通过诱导公式和二倍角公式将函数化为最简形式，通过余弦函数的单调区间求出单调区间； （2）通过平移得函数解析式，由余弦函数求解函数对称中心； （3）函数在区间上单调递增得到范围小于或等于半个周期，再由函数的范围求出的范围. 【详解】（1）因为 所以， 的最小正周期为，所以，所以， 的最大值为3，所以，解得， 所以， 令，解得 所以，函数单调递增区间为，. （2）由（1）得：，所以， 为偶函数，所以，，解得，， 因为，所以令， 则， 令，，解得，， 的对称中心为，. （3） 因为，所以， 函数在区间上单调递增， 所以且， 解得，且，即， 所以， 所以的取值范围为. 18．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理，把含角的比式转化为边的关系，再与余弦定理比较，即可求出. （2）由可知，点将边按内分，以点为起点表示，利用 和得到关于的约束，再求乘积的最大值，从而得到△ABC面积的最大值. 【详解】（1）因为，所以， 整理得，则， 因为 ，所以. （2）以点为起点，记，则 且由，有， 因为， 所以， 由，得， 解得， 即，则，即， 当且仅当，即时取等号， 则， 故△ABC面积的最大值为. 19．(1) (2)设，则有： ，，，， ，，， 所以． (3) 【分析】（1）（2）根据集合新定义判断、证明即可； （3）首先根据定义得，然后分类讨论即可求解； 【详解】（1）因为，，，，所以， 因为集合中元素的每个坐标绝对值都不超过，显然不超过，因此； （2）略 （3）设，则有，． 由，所以必为偶数，因此， 当时，，但，不可能； 当时，，但，不可能； 所以，， 因为，同理得，， 所以，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $