第二十五章 一元二次方程 单元测试·基础卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册数学第二十五章一元二次方程基础通关单元卷，覆盖定义、解法、根的判别式及应用等核心知识点，通过基础巩固与梯度设计，适配单元复习，培养运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、配方法、根的判别式|基础概念辨析，如第1题定义判断，夯实抽象能力| |填空题|6/18|根与系数关系、实际问题建模|结合月历表（第16题）等生活情境，发展模型意识| |解答题|9/72|解方程、综合应用、创新定义|分层设计，如第22题销售增长问题（运算能力）、第21题“联合方程”（推理与创新意识）|

2026-2027学年九年级上册数学单元检测卷 第二十五章 一元二次方程·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：，满足所有条件，是关于的一元二次方程； 选项B：是分式方程，不是整式方程，不符合定义，排除； 选项C：中，未说明，当时不是二次方程，排除； 选项D： 化简，得， 整理得，是一元一次方程，不符合定义，排除． 2．将关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为，把原方程先去括号，然后移项，合并同类项，化为一般式即可得到答案． 【详解】解： ， ∴将关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为， 故选B． 3．用配方法将二次三项式变形的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 4．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．以上全对 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，先求出一元二次方程的判别式，即可确定根的情况，得到答案． 【详解】解：， 即， 方程有两个相等的实数根， 故选：C． 5．一元二次方程有一根为，则m的值为（    ） A． B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解的应用．把代入方程求出m的值，即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为， ∴把代入得：， 解得：， 故选：B． 6．若a，b是方程的两个根，那么（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程（，a，b，c为常数）的两个实数根，则，，首先根据根与系数得到，再把转化为，最后整体代值计算． 【详解】解：∵a，b是方程的两个根， ∴， ∴， 故选：D． 7．一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用发信息的总数微信群里好友的人数微信群里好友的人数，即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 8．若关于的方程有实数根，是实数的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】分方程是一元一次和一元二次两种情况求解即可． 【详解】解：当时，，解得， 当时，，解得，且， 综上，实数的取值范围是； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，一元二次方程的根的判别．解题的关键在于分方程是一元一次和一元二次两种情况求解． 9．在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽．中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．若丝绸花边的面积为，设丝绸花边的宽为，根据题意，可列方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意，根据丝绸花边的面积为得到等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解： ①横向长方形的面积为，竖向两个长方形的面积和为，需减去两个重合正方形的面积，得丝绸花边的面积，即，故B错误； ②根据平移的方法，剩余图形的面积为， 即，故D正确，A，C错误； 故选：D． 10．关于的一元二次方程一个实数根为，则方程一定有实数根(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入方程得，两边同时除以得 ：，即，所以一定有实数根． 【详解】解：∵是一元二次方程一个实数根， ∴， 两边同时除以得 ：，即：， ∴一定有实数根． 故选：D 【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解一元二次方程根的定义，得到 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．方程化成一般式是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，即（a，b，c是常数且）．将方程左边展开，通过移项、合并同类项化为（a，b，c是常数且）的形式即可．解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式． 【详解】 ． 故答案为：． 12．已知 ，是方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 根据一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．已知是一元二次方程的一个根，则的值是 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，根据题意可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴ ∴， 14. 是关于x的一元一次方程，则 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义、绝对值，由是关于x的一元一次方程可得到关于a的一元一次不等式组，求解即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴， 解得：． 15.（25-26八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 【答案】且 【分析】本题需要同时满足两个条件，一是一元二次方程要求二次项系数不为0，二是方程有两个实数根要求根的判别式，求解两个不等式后取交集即可得到的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，即， 又∵方程有两个实数根， ∴，即， 解得：， 综上，的取值范围是且． 16．如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为 ． 【答案】144 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可． 【详解】根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为x+16，根据题意得出： x（x+16）=192， 解得：x1=8，x2=-24（不合题意舍去）， 故最小的三个数为：8，9，10， 下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17， 第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24， 故这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144． 故答案为144. 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用、数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解方程 (1)； (2)． 【答案】 (1)，； (2)，． 【分析】 （1）利用因式分解法法求解即可； （2）利用公式法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 【详解】 （1）解：， ， 或 ∴，； （2）解： ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 18．（1）解方程：； （2）阅读材料，并回答问题： 王佳在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：   ①   ②   ③   ④ 或  ⑤ ，  ⑥ 问题： 上述解答过程中，从________步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是________； 请写出这个方程正确的解________． 【答案】（1），；（2）②，等式右边没有加4；， 【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法和配方法． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）配方时，先将二次项系数化为1，然后移项，使常数项放在等号的右边，然后给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，并将方程左边化为带有未知数的平方的形式，然后用直接开平方法求解． 【详解】解：（1）， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （2）上述解答过程中，从②步开始出现了错误，发生错误的原因是等式右边没有加4； 故答案为：②，等式右边没有加4； ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 故答案为：，． 19．一元二次方程的两根为，，利用两根与系数的关系，求下列式子的值： (1)； (2)； 【答案】 (1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，求解代数式的值，熟记根与系数的关系是解本题的关键； （1）把化为，再整体代入计算即可； （2）由，再整体代入计算即可； 【详解】 （1）； （2）； 20．已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为，，求代数式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求出，即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，将所求代数式变形为，整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：由题意可得： ， ， ， ， ， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵该方程的两个实数根为，， ∴，， ∴ ， ， ， ， ． 21．定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”． (1)判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由； (2)已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值． 【答案】(1)该方程是“联合方程”，见解析 (2)的值为，的值为6 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组，正确理解一元二次方程的解得概念是解题的关键． （1）根据“联合方程”的定义进行计算即可； （2）根据题意得到二元一次方程组，解方程即可． 【详解】（1）解：该方程是“联合方程”，理由如下： 在一元二次方程中，，，， ， 一元二次方程是“联合方程”； （2）解：是关于的“联合方程”， ， 是此“联合方程”的一个根， ， 即， 解得， 的值为，的值为6． 22．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2、3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2、3两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2、3两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价1元，其销售量增加12个．这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利4800元？ 【答案】(1) (2)38元 【分析】（1）设2，3两个月这种台灯销售量的月均增长率为，利用三月份的销售量一月份的销售量月均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每台售价定为元，则每台的销售利润为元，四月份可售出台，利用总利润每台的销售利润四月份的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：2，3两个月的销售量月平均增长率为． （2）设这种台灯售价定为元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元， 依题意，得：， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．本题运用了一题多解的思路． 23．关于x的方程． (1)求证：一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)设、是方程的两根，且．求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，进而可证得结论； （2）利用根与系数的关系可得出，，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值． 解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合找出关于的一元二次方程． 【详解】（1）证明：，，． ∴， ∴无论m取任何实数，一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵，为方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．用总长的木板制作矩形置物架（如图）．已知该置物架上面部分为正方形，下面部分是两个全等的矩形和矩形，中间部分为矩形．已知．    (1)当正方形边长为80时，的长为______； (2)若设正方形的边长．置物架的高的长为______（用含x的代数表示）； (3)在（2）的条件下，为了便于放置物品，的高度不小于，若矩形的面积为，求x的值． 【答案】(1)30 (2) (3)70 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正方形及矩形的性质： （1）根据矩形和正方形的性质直接计算即可； （2）同（1）求出，根据即可求解； （3）结合（2）列出一元二次方程，解方程，根据的高度不小于，判断求出的解是否符合题意． 【详解】（1）解：由题意知，，， ， 故答案为：30； （2）解：由题意知，，， ， ， 故答案为：； （3）解：由（2）得， 由题意得， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； x的值为70． 25．小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值．于是小慧给出一个定义：关于x的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称，例如关于对称．请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于_______对称； (2)关于x的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了配方法的应用，解一元二次方程： （1）利用配方法把原多项式变形为，根据得到当，即时，多项式有最小值，据此可根据题意求出答案； （2）利用配方法把原多项式变形为，进而得到当，即时，多项式有最小值，最小值为，则，解方程求出a、c，进而解方程可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴当，即时，多项式有最小值， ∴多项式关于对称， 故答案为：； （2）解： ， 同理可得当，即时，多项式有最小值，最小值为， ∵关于的多项式关于对称，且最小值为3， ∴， ∴， ∴方程即为方程， ∴， 解得． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元检测卷 第二十五章 一元二次方程·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．将关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为（    ） A． B． C． D． 3．用配方法将二次三项式变形的结果是（　　） A． B． C． D． 4．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．以上全对 5．一元二次方程有一根为，则m的值为（    ） A． B．11 C．12 D．13 6．若a，b是方程的两个根，那么（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程(    ) A． B． C． D． 8．若关于的方程有实数根，是实数的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 9．在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽．中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．若丝绸花边的面积为，设丝绸花边的宽为，根据题意，可列方程为（    ）    A． B． C． D． 10．关于的一元二次方程一个实数根为，则方程一定有实数根(    ) A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．方程化成一般式是 ． 12．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知 ，是方程的两个实数根，则 ． 13．已知是一元二次方程的一个根，则的值是 14. 是关于x的一元一次方程，则 15.（25-26八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 16．如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解方程 (1)； (2)． 18．（1）解方程：； （2）阅读材料，并回答问题： 王佳在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：   ①   ②   ③   ④ 或  ⑤ ，  ⑥ 问题： 上述解答过程中，从________步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是________； 请写出这个方程正确的解________． 19．一元二次方程的两根为，，利用两根与系数的关系，求下列式子的值： (1)； (2)； 20．已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为，，求代数式． 21．定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”． (1)判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由； (2)已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值． 22．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2、3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2、3两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2、3两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价1元，其销售量增加12个．这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利4800元？ 23．关于x的方程． (1)求证：一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)设、是方程的两根，且．求m的值． 24．用总长的木板制作矩形置物架（如图）．已知该置物架上面部分为正方形，下面部分是两个全等的矩形和矩形，中间部分为矩形．已知．    (1)当正方形边长为80时，的长为______； (2)若设正方形的边长．置物架的高的长为______（用含x的代数表示）； (3)在（2）的条件下，为了便于放置物品，的高度不小于，若矩形的面积为，求x的值． 25．小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值．于是小慧给出一个定义：关于x的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称，例如关于对称．请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于_______对称； (2)关于x的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元检测卷 第二十五章 一元二次方程·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．将关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为（    ） A． B． C． D． 3．用配方法将二次三项式变形的结果是（　　） A． B． C． D． 4．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．以上全对 5．一元二次方程有一根为，则m的值为（    ） A． B．11 C．12 D．13 6．若a，b是方程的两个根，那么（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程(    ) A． B． C． D． 8．若关于的方程有实数根，是实数的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 9．在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽．中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．若丝绸花边的面积为，设丝绸花边的宽为，根据题意，可列方程为（    ）    A． B． C． D． 10．关于的一元二次方程一个实数根为，则方程一定有实数根(    ) A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．方程化成一般式是 ． 12．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知 ，是方程的两个实数根，则 ． 13．已知是一元二次方程的一个根，则的值是 14. 是关于x的一元一次方程，则 15（25-26八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 16．如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解方程 (1)； (2)． 18．（1）解方程：； （2）阅读材料，并回答问题： 王佳在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：   ①   ②   ③   ④ 或  ⑤ ，  ⑥ 问题： 上述解答过程中，从________步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是________； 请写出这个方程正确的解________． 19．一元二次方程的两根为，，利用两根与系数的关系，求下列式子的值： (1)； (2)； 20．已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为，，求代数式． 21．定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”． (1)判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由； (2)已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值． 22．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2、3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2、3两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2、3两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价1元，其销售量增加12个．这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利4800元？ 23．关于x的方程． (1)求证：一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)设、是方程的两根，且．求m的值． 24．用总长的木板制作矩形置物架（如图）．已知该置物架上面部分为正方形，下面部分是两个全等的矩形和矩形，中间部分为矩形．已知．    (1)当正方形边长为80时，的长为______； (2)若设正方形的边长．置物架的高的长为______（用含x的代数表示）； (3)在（2）的条件下，为了便于放置物品，的高度不小于，若矩形的面积为，求x的值． 25．小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值．于是小慧给出一个定义：关于x的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称，例如关于对称．请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于_______对称； (2)关于x的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元检测卷 第二十五章 一元二次方程·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C B D C A D D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13． 14． 15．且 16．144 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．【详解】 （1）解：， ， 或 ∴，；..........................3分 （2）解： ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，．..........................6分 18． 【详解】解：（1）， ∴， ∴， ∴或， ∴，；.........................3分 （2）上述解答过程中，从②步开始出现了错误，发生错误的原因是等式右边没有加4； 故答案为：②，等式右边没有加4； ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 故答案为：，．..........................6分 19． 【详解】 （1）；..........................3分 （2）；..........................6分 20． 【详解】（1）证明：由题意可得： ， ， ， ， ， ∴该方程总有两个实数根；..........................3分 （2）解：∵该方程的两个实数根为，， ∴，， ∴ ， ， ， ， ．..........................6分 21． 【详解】（1）解：该方程是“联合方程”，理由如下： 在一元二次方程中，，，， ， 一元二次方程是“联合方程”；..........................3分 （2）解：是关于的“联合方程”， ， 是此“联合方程”的一个根， ， 即， 解得， 的值为，的值为6．..........................8分 22． 【详解】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：2，3两个月的销售量月平均增长率为．..........................3分 （2）设这种台灯售价定为元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元， 依题意，得：， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元．..........................8分 23． 【详解】（1）证明：，，． ∴， ∴无论m取任何实数，一元二次方程总有两个不相等的实数根；..........................3分 （2）解：∵，为方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴．..........................8分 24． 【详解】（1）解：由题意知，，， ， 故答案为：30；.........................2分 （2）解：由题意知，，， ， ， 故答案为：；..........................7分 （3）解：由（2）得， 由题意得， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； x的值为70．..........................12分 25． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴当，即时，多项式有最小值， ∴多项式关于对称， 故答案为：；..........................5分 （2）解： ， 同理可得当，即时，多项式有最小值，最小值为， ∵关于的多项式关于对称，且最小值为3， ∴， ∴， ∴方程即为方程， ∴， 解得．.........................12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $