20.2.3二次根式的除法课件2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次根式的除法，涵盖除法法则、商的算术平方根性质、分母有理化及最简二次根式判定。通过复习乘法公式计算对比引出除法，构建类比迁移的学习支架，衔接新旧知识脉络。 其亮点是以类比推理为主线，引导学生自主推导法则培养抽象能力，结合例题与新定义运算发展推理意识，课堂小结采用自主梳理与教师辨析结合强化知识结构化。学生能提升运算与转化能力，教师可借分层作业和清晰板书提高教学效率。

第二十章 二次根式 20.2.3二次根式的除法 01 教学目标 02 新知导入 03 新知讲解 04 典例分析 05 课堂练习 06 课堂小结 07 作业布置 08 板书设计 01 02 03 04 01 教学目标 类比二次根式乘法的探究方法，自主推导二次根式除法法则与商的算术平方根性质，牢记公式对应的取值限制条件; 熟练运用除法法则完成根式除法计算,掌握分母有理化方法,能将含分母根号的式子化为最简二次根式; 明确最简二次根式两条判定标准,规范完成各类根式化简,区分乘除两类公式的使用场景; 体会类比推理、转化化简的数学思想,能用根式除法解决简单实际面积计算问题. 02 新知导入 复习回顾 ①写出二次根式乘法及积的算术平方根公式,并计算. 乘法法则:, 逆用； 。 ②类比乘法,计算​​与​​,对比结果. ,两式结果相等。 02 新知导入 递进设问:式子被开方数含有分母,直接书写不规范,如何去掉分母中的根号? 分子分母同乘5,把分母化为完全平方数,再拆分根号化简. 03 新知讲解 活动一:二次根式的除法法则 两个二次根式相除,怎样进行运算呢?商的算术平方根又等于什么?试参考前面的研究,和同学讨论,提出你的见解. 概括:一般地,有. 思考:这里为什么要求? 因为二次根式的被开方数大于等于0,分母不能为零. 03 新知讲解 活动一:二次根式的除法法则 例3 计算:(1); (2). 解:(1). (2). 小题(2)也可以先将分子化简为,从而容易算得结果. 03 新知讲解 方法总结 1.除法正向公式:,硬性条件,分母不能为0或负数； 2.基础除法两步法:先套用公式合并根号,再约分化简被开方数； 3.简便运算技巧:可先单独化简分子、分母根式,再做除法,降低大数计算难度； 4.取值判断优先:计算前先确认被开方数非负、分母大于0,不满足则不能直接套用公式。 03 新知讲解 活动二:最简二次根式和分母有理化 上面"概括"中的等式,也可以写成: . 利用这个性质可以进行二次根式的化简. 03 新知讲解 活动二:最简二次根式和分母有理化 解:. 例4 化简,使分母中不含二次根式,并且被开方数中不含分母. 这里,二次根式的被开方数中含有分母,通常可以利用分数(或分式)的基本性质,先将分母"配"成完全平方,再"开方"出来. 03 新知讲解 活动二:最简二次根式和分母有理化 按照例2和例4的要求,化简后的二次根式被开方数中不含分母,并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2,像这样的二次根式称为最简二次根式. 二次根式的除法,要化去分母中的根号,只要将分子,分母都乘以一个恰当的二次根式就可以了. 如例4,将分子,分母都乘以,得. 通常将这种化简过程称为分母有理化. 03 新知讲解 总结归纳 1.逆用公式:,用于拆分含分母的根式； 2.分母有理化通用步骤:分子分母同乘分母中的根式,利用消去分母根号； 3.最简二次根式判定两条标准:①被开方数不含分母；②被开方数无指数的因式； 4.完整化简流程:逆用公式拆分→分母有理化→提取完全平方因数→检验是否达到最简。 05 课堂练习 1.计算的结果是( ) A. B.3 C. D. 2.下列根式属于最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 3.化简的结果为( ) A. B. C. D. B A C 05 4.对于两个实数,定义一种新运算“⊕”:.例如,则=　 . 5.计算:(1); (2). 课堂练习 解:(1). (2). 05 6.已知,有下列各式:①,②,③.其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 7.计算:=　　. 8.计算并把结果化为最简二次根式:=　　. 课堂练习 B 05 9.若,且为奇数,求的值. 课堂练习 解:, 解得, 又为奇数,. , 当时,原式. 06 课堂小结 1.学生自主梳理设问: ①写出二次根式除法法则与商的算术平方根公式,说明取值条件? 除法正向:​​；逆向化简:​​；要求. ②什么是分母有理化,通用操作方法是什么? 化去分母中根号的过程叫做分母有理化；给分子、分母同时乘以分母中的二次根式,利用消去分母根号. 06 课堂小结 1.学生自主梳理设问: ③最简二次根式必须满足哪两个条件? ①被开方数不含分母； ②被开方数中所有因式的指数都小于2,无完全平方因数。 06 课堂小结 积的算术平方根只需； 商的算术平方根分母b必须大于0,分母不能为0、负数。 2.教师补充辨析设问: 积与商的算术平方根取值条件有什么不同? 07 作业布置 课后作业 必做题:1.计算:​​. 2.化简:（1）；（2）​​​ 07 作业布置 课后作业 选做题:1.计算并化为最简二次根式:. 2.已知成立,求实数的取值范围. 07 作业布置 解：对于，根据二次根式有意义的条件，被开方数须大于等于0， 且分母不能为0，可得到不等式组:解得 1. 对于，被开方数0，且分母 可得到不等式组:. 要使等式=成立，需要同时满足等式两边的条件， 即取1和 1或1的交集，得到1. 综上，实数x的取值范围是1. 08 板书设计 $