20.2.1 二次根式的乘&20.2.2 积的算术平方根（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“二次根式的乘除”，核心知识点为二次根式的乘法法则与积的算术平方根。通过关联二次根式概念导入，以基础达标（分知识点练习）、能力提升（条件限制与化简应用）、思维拓展（规律探究）为学习支架，衔接前后知识脉络。 资料特色体现在分层设计与素养导向，基础题巩固运算能力，易错点强调被开方数非负培养严谨思维，实际应用题（如阴影面积计算）提升应用意识，思维拓展题引导规律发现发展推理意识，助力学生用数学思维解决问题。

20.2 二次根式的乘除 20.2.1 二次根式的乘法 20.2.2 积的算术平方根 01基础达标 知识点一 二次根式的乘法法则： 1. 计算的结果是（　　） A. 4 B. ± C. 2 D. 2. 下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，与的积是无理数的是（ ） A. B. C. D. 4. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点二 积的算术平方根： 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 下列各式正确的是( ) A. B. C. D. 8. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． ◎易错点 忽视被开方数不能小于零 9. 要使等式＝0成立的x的值为（　　） A. 3 B. ﹣1 C. 3或﹣1 D. 以上都不对 02能力提升 10. 成立的条件是（ ） A. B. C. D. 或 11. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 若是整数，刚正整数n的最小值是( ) A. 3 B. 7 C. 21 D. 189 13. 把式子中根号外的移到根号内，结果是（ ） A. B. C. D. 14. 计算： （1）； （2）． 15. 如图，从一个大正方形中裁去面积分别为和的两个小正方形，求剩余部分（阴影部分）的面积． 03思维拓展 16. 观察下列各式，，，…按照上述三个等式及其变化过程，完成下列各题： （1）写出第4个等式是__________． （2）试猜想第个等式为__________． （3）证明（2）中你猜想的结论． 20.2 二次根式的乘除 20.2.1 二次根式的乘法 20.2.2 积的算术平方根 01基础达标 知识点一 二次根式的乘法法则： 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式==2， 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型． 【2题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，利用二次根式乘法法则计算各选项，即可判断出正确结果． 【详解】解：二次根式乘法法则为，据此计算各选项. A、，A计算错误，不符合题意； B、，B计算错误，不符合题意； C、，C计算错误，不符合题意； D、，与等式右边一致，D计算正确，符合题意． 【3题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查二次根式的乘法．根据二次根式的乘法进行计算逐一判断即可． 【详解】解：A、，不是无理数，本选项不符合题意； B、，是无理数，本选项符合题意； C、，不是无理数，本选项不符合题意； D、，不是无理数，本选项不符合题意， 故选：B． 【4题答案】 【答案】（1） （2）6 （3）8 （4） 【解析】 【分析】（1）~（4）本题考查二次根式的乘法运算，运用二次根式的乘法法则直接计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 知识点二 积的算术平方根： 【5题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，利用二次根式的性质，将被开方数分解出完全平方因数后开方即可得到结果． 【详解】解： ． 【6题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，运用二次根式的乘法运算性质即可求解. 【详解】解：根据二次根式的运算性质化简原式： 因此化简结果为． 【7题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的计算法则依次判断即可． 【详解】解：A、，二次根式的被开方数不能是负数，选项计算错误，不符合题意； B、选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算错误，不符合题意； D、，选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】题目主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 【8题答案】 【答案】（1）30 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）~（4）本题考查二次根式的乘法运算，运用二次根式的乘法法则直接计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． ◎易错点 忽视被开方数不能小于零 【9题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】且 解得 或 或（舍） 故选A 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，以及与0相乘的数等于0，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 02能力提升 【10题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数必须为非负数，列出所有被开方数满足的不等式组，求解即可得到结果. 【详解】解：要使等式成立，所有二次根式的被开方数都需为非负数，据此列不等式组： ∵ 对于，需满足 ， 对于，需满足 ， 对于右侧，需满足 ， 解得， 解得， 当时，，，满足， ∴ 不等式组的解集为 ，即等式成立的条件为. 【11题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算性质和有意义的条件，根据二次根式乘法法则和化简规则逐一判断即可. 【详解】解：A、A计算错误，不符合题意； B、和有意义时，，根据二次根式乘法法则，可得，等式成立. B正确，符合题意； C、，C计算错误，不符合题意； D、等式右侧成立需要且，即；而等式左侧有意义的条件是或，等式不是对所有使左侧有意义的都成立，因此原式错误. D错误，不符合题意． 【12题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质求出结论即可． 【详解】解：∵， ∴要使是整数，n的最小正整数为21． 【13题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质的应用，先根据二次根式有意义的条件求出，再根据二次根式的性质把根号外的因式平方后移入根号内，即可得出答案． 【详解】∵要是根式有意义，必须， ∴， ∴， 故选：C． 【14题答案】 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）系数乘系数，再将被开方数相乘，最后化简; （2）将被开方数利用平方差公式计算，再化简. 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：． 【点睛】本题考查了二次根式的计算，解决本题的关键是熟练掌握运算法则. 【15题答案】 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的应用，先分别求出两个小正方形的边长，得到大正方形的边长，即可得到阴影部分的面积，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，两个小正方形的边长分别为，， ∴大正方形的边长为， ∴剩余部分的面积是． 03思维拓展 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3）证明：左边 右边． 【解析】 【分析】（1）观察已知等式的数字规律，写出第个等式； （2）根据规律猜想第个等式； （3）通过二次根式的化简运算证明猜想． 【小问1详解】 解：观察已知等式规律： 第个： 第个： 第个： 根号内整数部分依次为，分数部分分母依次为（即整数部分），等号右边系数依次为  （即整数部分） 因此第个等式中，整数部分为，分数分母为，右边系数为 第个等式是：  【小问2详解】 解：根据上述规律，第个等式中： 根号内整数部分为，分数部分分母为，等号右边系数为 第个等式为： 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $