20.2.3二次根式的除法（课件）--2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次根式的除法，核心内容包括除法公式（a≥0,b>0）、商的算术平方根性质、最简二次根式及分母有理化。通过回顾二次根式乘法，以“根式相除如何计算”“商的算术平方根等于什么”设问，搭建前后知识衔接的学习支架。 其亮点是分层设计1星夯实基础、2星提升能力、3星发展素养的题目，结合几何边长计算、物理电流公式等实例，培养学生抽象能力、推理意识和模型意识。学生能系统掌握运算规范，教师可通过多样化题型高效检测教学效果。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 华东师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第20章 二次根式 20.2.3二次根式的除法 2026年8月4日 华东师大版九年级上册20.2.3二次根式的除法练习题 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 二次根式除法公式$$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$$成立的条件是（） A.$$a\ge0，b>0$$ B.$$a\ge0，b\ge0$$C.$$a>0，b>0$$ D.$$a、b$$为任意实数 2. 计算$$\dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}}$$的结果是（） A.$$4$$ B.$$2$$ C.$$\sqrt{4}$$ D.$$12$$ 3. 下列计算正确的是（） A.$$\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{2}{3}$$ B.$$\sqrt{\dfrac{-4}{-9}}=\sqrt{\dfrac{-4}{9}}$$ C.$$\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=9$$ D.$$\sqrt{\dfrac{2}{5}}=\dfrac{2}{5}\sqrt{5}$$ 4. 化简$$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$$的结果为（） A.$$\dfrac{1}{3}$$ B.$$\sqrt{3}$$ C.$$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$ D.$$\dfrac{3}{\sqrt{3}}$$ 5. 化简$$\dfrac{4\sqrt{12}}{2\sqrt{3}}$$的结果是（） A.$$2$$ B.$$4$$ C.$$8$$ D.$$16$$ 6. 若$$\sqrt{\dfrac{x-1}{x-2}}=\dfrac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-2}}$$，则$$x$$的取值范围是（） A.$$x\ge1$$ B.$$x>2$$ C.$$1\le x<2$$ D.$$x e2$$ 二、填空题（每题4分，共24分） 1. 计算：$$\sqrt{\dfrac{36}{25}}=$$________。 2. 计算：$$\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}=$$________。 3. 化简：$$\sqrt{\dfrac{27}{4}}=$$________。 4. 计算：$$-\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}=$$________。 5. 化简分母有理化：$$\dfrac{1}{\sqrt{2}}=$$________。 6. 已知长方形面积为$$\sqrt{75}\mathrm{cm^2}$$，长为$$\sqrt{5}\mathrm{cm}$$，则宽为________$$\mathrm{cm}$$。 三、解答题（共52分） 13.（12分）利用二次根式除法法则计算： (1)$$\dfrac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}}$$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (2)$$\sqrt{\dfrac{49}{16}}$$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (3)$$\sqrt{\dfrac{2}{9}}$$ 14.（12分）计算并化简（含系数除法运算）： (1)$$\dfrac{6\sqrt{20}}{3\sqrt{5}}$$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (2)$$\dfrac{\sqrt{27}\times\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$$ 15.（14分）已知长方形面积为$$9\sqrt{6}\mathrm{m^2}$$，其中一边长为$$3\sqrt{2}\mathrm{m}$$，求另一边长。 16.（14分）先化简$$\sqrt{\dfrac{12}{5}}-\sqrt{\dfrac{3}{5}}$$，再利用二次根式除法性质验证化简过程，保证结果为最简二次根式。 参考答案 1.A &nbsp;2.B &nbsp;3.A &nbsp;4.C &nbsp;5.B &nbsp;6.B 7.$$\dfrac{6}{5}$$ &nbsp;8.$$4$$ &nbsp;9.$$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$$ &nbsp;10.$$-6$$ &nbsp;11.$$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$ &nbsp;12.$$\sqrt{15}$$ 13.解：(1)原式$$=\sqrt{\dfrac{80}{5}}=\sqrt{16}=4$$ (2)原式$$=\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}}=\dfrac{7}{4}$$ (3)原式$$=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$$ 14.解：(1)原式$$=2\sqrt{\dfrac{20}{5}}=2\sqrt{4}=4$$ (2)原式$$=\sqrt{\dfrac{27\times12}{3}}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$$ 15.解：另一边长$$=9\sqrt{6}\div3\sqrt{2}=3\sqrt{\dfrac{6}{2}}=3\sqrt{3}(\mathrm{m})$$ 答：长方形另一边长为$$3\sqrt{3}$$米。 16.解：原式$$=\dfrac{\sqrt{60}}{5}-\dfrac{\sqrt{15}}{5}=\dfrac{2\sqrt{15}}{5}-\dfrac{\sqrt{15}}{5}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}$$，利用根式除法统一分母、化简分子，最终结果为最简二次根式，验证成立。 命题说明（约420字） 本套练习题严格对应华东师大版九年级上册20.2.3二次根式的除法知识点，以核心除法公式$$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}(a\ge0,b>0)$$为中心设计，题型结构、分值设置与前两节保持一致，形成完整的根式乘除训练体系。 习题梯度由浅入深，选择题重点考查除法公式的取值条件，区分分母不为0、被开方数非负的双重限制，纠正学生混用乘除公式条件的易错问题，同时辨析基础除法计算正误；填空题聚焦根式化简、分母有理化、简单几何计算，立足基础运算，强化最简二次根式的转化能力；解答题涵盖纯根式除法、带系数混合除法、几何边长计算、分式根式化简验证，全面覆盖本节必考重难点。 二次根式除法与之前的乘法、积的算术平方根互为逆运算，是根式混合运算、化简求值的关键基础。本套习题贴合教材例题与课后习题难度，适配课堂训练、课后巩固与小节检测，针对性训练学生规范运用除法公式、正确分母有理化、化简最简根式的能力，规避常见计算误区，夯实二次根式运算体系，为后续混合运算学习做好铺垫。 （全文约1050字） 1. 理解 和 ， 并运用它们进行计算. 2. 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是 最简二次根式的化成最简二次根式. 学习目标 （a ≥ 0，b ≥ 0） 二次根式的乘法规定 及逆向公式 （a ≥ 0，b ≥ 0） 两个根式相除，怎样进行计算呢？ 商的算术平方根又等于多少？ 知识回顾 （1） = 化简： （2） = （3） = 你发现了什么规律？ 探索新知 规 律 利用计算器计算填空： 一般地，有 概 括 这里为什么要求 a ≥ 0，b > 0？ 分母不能为 0. 这就是说，两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根. 1星题 夯实四基 6 3 18 2 3 12 3 6 举一反三 举一反三 举一反三 例 3 计算： 解 （1） （1）； （2）. （2） 还可以怎么化简？ （2） 上述“概括”中的等式，也可以写成 这就是说，商的算术平方根，等于各因式算术平方根的商. 利用这个性质可以进行二次根式的化简. 例 4 化简 ，使分母中不含二次根式， 解 = 并且被开方数中不含字母. 二次根式的被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将分母“配”成完全平方，再“开方”出来。 = = = . 举一反三 A 举一反三 举一反三 按照书中例题化简要求，化简后的二次根式有这些特点： （1）被开方数中不含分母； （2）被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于 2. = = 2 像这样的二次根式称为最简二次根式. 哪些是最简二次根式： ，，， 二次根式的除法，要化去分母中的根号，只要将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式就可以了. 如例 4， 分母有理化 化简： （2）； 解（1）原式 = = = ； （2）原式 = = = （1）3； （4） （3）； （3）原式 = =； （4）原式 = = =. 1. 化简： ； ； ； . 解（1）原式 = =3 ； （2）原式 = = ； 【选自教材第8页 练习 第1题】 （3）原式 = = ； （4）原式 = = . 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 练 习 2. 计算： ； . 【选自教材第8页 练习 第2题】 解（1）原式 = × =× =× = （2）原式 = = = = 3. 现有一张 A4 纸，其尺寸是 210 mm×297 mm，欲从中剪下一个面积为其一半的正方形，问：剪下的正方形的边长是多少？（先用最简二次根式表示，再用计算器计算，精确到 0.1 mm） 【选自教材第8页 练习 第3题】 正方形的边长 = = = = = = = A 举一反三 第三步 举一反三 举一反三 2星题 提升四能 B 举一反三 B 举一反三 2 举一反三 举一反三 举一反三 举一反三 小点和小训两人的解法都正确吗？请你再给出一种不同于上面两人的解法． 举一反三 3星题 发展素养 举一反三 (2)在如图所示的4×4的方格图内结合勾股定理画出△ABC，使它的顶点都在格点上(每个小方格的边长均为1)； 如图所示(答案不唯一)． 举一反三 (3)求点A到边BC的距离． 举一反三 二次根式的除法 反过来， 二次根式的化简 1. 被开方数有分母时，注意分母的取值范围； 2. 进行二次根式乘除运算或化简时，结果要 尽可能化简. 课堂小结 谢谢观看 THANKS 知识点1二次根式的除法 1.知识初练计算： (1)＝＝________； (2)÷＝＝________； (3)÷＝＝________． 2．计算：÷＝________． (2)原式＝＝4. (3)原式＝＝－. 3．计算： (1)；　(2)÷；　(3). (1)原式＝＝3. 知识点2商的算术平方根 4.知识初练化简：＝＝________． 5．下列各式成立的是(　　) A.＝＝ B.＝ C.＝ D.＝＋＝3 (2)原式＝＝＝. (3)原式＝＝＝. (4)原式＝＝＝. 6．化简： (1)； (2)； (3)； (4). (1)原式＝＝. 知识点3最简二次根式 7.【思维生长】 下列二次根式中，属于最简二次根式的是(　　) A. B. C. D. 向“逆向思维”生长：写一个大于3且小于4的最简二次根式：______________． (答案不唯一) 8. 如图是小明将进行分母有理化的过程，开始出现错误的步骤是______． 　 ＝第一步 ＝第二步 ＝第三步 ＝.第四步 (2)＝＝. (3)＝＝. 9．化简： (1)；　　　(2)；　　　(3). (1)＝＝＝. 10．黑板上的各式中(如图)，是最简二次根式的有(　　) ①；②；③；④；⑤. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．若mn>0，m＋n<0，则化简÷等于(　　) A．m B．－m C．n D．－n 12.(跨学科·物理 山东青岛期中)电流通过导线时会产生热量，电流I(单位：A)、导线电阻R(单位：Ω)、通电时间t(单位：s)与产生的热量Q(单位：J)满足I＝，已知导线的电阻为10 Ω、1 s时间导线产生40 J的热量，则电流I是__________A. 13．计算： (1)－×2÷； 解：原式＝－×2÷＝× ＝－8＝－. (2)÷·. 解：原式＝＝x. 14.【新情境】练习课上，学习小组的同学在黑板上写出下面一道题：已知＝a，＝b，用含a，b的代数式表示. 小点和小训两人走上讲台，板书了下面两种解法： 解：都正确．解法如下： 因为＝＝＝，所以＝＝＝＝×＝. 2 2 15.【新考法】已知△ABC中，AB＝2，AC＝4，BC＝. (1)化简：4＝______，＝______； 如图，过点A作AD⊥BC于点D，过点C作CE⊥AB， 交BA的延长线于点E.∵AB＝2，CE＝2， ∴S△ABC＝AB×CE＝2. ∵BC＝2，且S△ABC＝BC×AD＝2，∴AD＝， 即点A到边BC的距离为. $