因式分解作业设计2025-2026学年人教版八年级数学上册

本单元系统涵盖因式分解的基本概念、提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法及分组分解法等核心知识，通过分层作业从基础认知到综合应用逐步递进，帮助学生构建“概念-方法-应用”的逻辑知识网络。 该资料以分层设计为特色，基础层10道选择题强化抽象能力与符号意识，中等层13道题（填空+解答）提升运算能力与推理意识，综合层2道题培养应用意识与创新意识。如综合题结合试根法与实际求值，实现个性化复习，助力学生巩固知识体系，为教师提供精准复习教学支持。

初中数学因式分解分层作业 作业说明： 1.本作业分为三个层次：基础（10道选择题）、中等（5道填空题+8道解答题）、综合（2道解答题） 2.基础层次建议用时15-20分钟，中等层次25-30分钟，综合层次15-20分钟 3.请独立完成所有题目，认真思考，规范书写。 第一层：基础题目 考察要点：因式分解的基本概念、提公因式法、简单公式法（平方差公式、完全平方公式） 一．选择题 1.下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. (x+3)(x-3) = x² - 9 B. x² - 9 = (x+3)(x-3) C. x² - 9 + 2x = (x+3)(x-3) + 2x D. x² - 5x + 6 = x(x-5) + 6 2.多项式 12x³y - 18x²y² 的公因式是（ ） A. 6x²y B. 3x²y C. 6xy² D. 3xy² 3.将多项式 6a²b - 9ab² 分解因式，结果正确的是（ ） A. 3ab(2a - 3b) B. 3ab(2a + 3b) C. 3a²b²(2b - 3a) D. 3a²b²(2b + 3a) 4.下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ） A. x² + 4 B. -x² - 4 C. x² - 4 D. x² + 2x + 4 5.将 x² - 16 分解因式的结果是（ ） A. (x-8)² B. (x-4)² C. (x+4)(x-4) D. (x+8)(x-8) 6.下列多项式是完全平方式的是（ ） A. x² + 4x + 4 B. x² + 2x + 4 C. x² + 4x - 4 D. x² + 4 7.多项式 9x² - 12x + 4 分解因式的结果是（ ） A. (3x-2)² B. (3x+2)² C. (9x-4)² D. (9x+4)² 8.将 3a(m-n) - 2b(m-n) 分解因式的结果是（ ） A. (m-n)(3a-2b) B. (m-n)(3a+2b) C. 3a(m-n) - 2b(m-n) D. (3a-2b)(m+n) 9.下列因式分解正确的是（ ） A. x² + y² = (x+y)² B. x² - y² = (x-y)² C. x² + 2xy + y² = (x+y)² D. x² - 2xy - y² = (x-y)² 10.将 2x² - 8 分解因式的结果是（ ） A. 2(x² - 4) B. 2(x-2)² C. 2(x+2)(x-2) D. (2x+4)(x-2) 第二层：中等难度（5道填空题，8道解答题） 考察要点：十字相乘法、分组分解法、综合运用提公因式和公式法、较复杂的因式分解 二、填空题 11.分解因式 x² + 5x + 6 = ________ 12.分解因式 2x² - 8x + 8 = ________ 13.分解因式 x² - 4xy + 4y² = ________ 14.分解因式 3x² + 11x + 6 = ________ 15.分解因式 x³ - 4x = ________ 三、解答题 16. 分解因式 2x² - 5x - 3，并写出详细的步骤。 17. 分解因式 ax + ay + bx + by，并说明所用的方法。 18. 分解因式 x² - y² - 2x + 1 19. 分解因式 3x³ - 12xy² 20. 分解因式 (x+y)² - 4(x+y) + 4 21. 分解因式 x⁴ - 16（提示：连续使用平方差公式） 22. 分解因式 2x² + 7xy + 3y² 23. 分解因式 a² - b² + 2bc - c² 第三层：综合难度（2道解答题） 考察要点：综合运用多种因式分解方法，处理复杂多项式，解决实际问题 24. 分解因式 x³ - 2x² - 5x + 6（提示：先尝试分组分解法或试根法） 25.已知 a + b = 5，ab = 6，求 a³b + 2a²b² + ab³ 的值。（提示：先分解因式，再代入求值） 答案解析 第一层：基础题目答案解析 1.答案：B 解析：因式分解的定义是把一个多项式化为几个整式的积的形式。只有选项B符合定义。A选项是整式乘法，C和D选项右边不是积的形式。 2.答案：A 解析：找公因式的方法：系数取最大公约数，字母取各项都含有的相同字母的最低次幂。系数：12和18的最大公约数是6；字母：两项都含有x和y，x的最低次幂是x²，y的最低次幂是y。所以公因式是 6x²y。 3.答案：A 解析：提公因式法：先找出公因式 3ab，然后提取：6a²b - 9ab² = 3ab·2a - 3ab·3b = 3ab(2a - 3b)。注意符号：提取后第二项是负号，所以括号内是减号。 4.答案：C 解析：平方差公式：a² - b² = (a+b)(a-b)，要求多项式是两项且符号相反。A：两项，但都是正号；B：两项，但都是负号；C：两项，符号相反，符合 x² - 2²；D：三项，不是平方差形式。 5.答案：C 解析：平方差公式：a² - b² = (a+b)(a-b)。x² - 16 = x² - 4² = (x+4)(x-4)。注意：16是4的平方，不是8的平方。 6.答案：A 解析：完全平方式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)²。A：x² + 4x + 4 = x² + 2·x·2 + 2²，符合 a=x, b=2；B：中间项应为 2·x·2 = 4x，但实际是2x；C：常数项应为正数；D：只有两项。 7.答案：A 解析：完全平方公式：a² - 2ab + b² = (a-b)²。9x² - 12x + 4 = (3x)² - 2·3x·2 + 2² = (3x-2)²。注意：第一项是 (3x)²，不是 (9x)²；中间项系数是负的，所以括号内是减号。 8.答案：A 解析：提公因式法：公因式是 (m-n)。3a(m-n) - 2b(m-n) = (m-n)(3a - 2b)。注意：多项式整体有公因式时，可以提取整体公因式。 9.答案：C 解析：A错误：(x+y)² = x² + 2xy + y² ≠ x² + y²；B错误：(x-y)² = x² - 2xy + y² ≠ x² - y²；C正确：完全平方公式；D错误：(x-y)² = x² - 2xy + y²，但原式是 x² - 2xy - y²，常数项符号不同。 10.答案：C 解析：分解因式要彻底：先提公因式，再用公式法。2x² - 8 = 2(x² - 4) = 2(x+2)(x-2)。A选项没有分解彻底，B和D选项分解错误。 第二层：中等难度题目答案解析 11.答案：(x+2)(x+3) 解析：十字相乘法：常数项6分解为2×3，且2+3=5（一次项系数）。所以 x² + 5x + 6 = (x+2)(x+3)。 12.答案：2(x-2)² 解析：先提公因式：2x² - 8x + 8 = 2(x² - 4x + 4)。再用完全平方公式：x² - 4x + 4 = (x-2)²。所以 2x² - 8x + 8 = 2(x-2)²。 13.答案：(x-2y)² 解析：完全平方公式：a² - 2ab + b² = (a-b)²。这里 a = x, b = 2y。所以 x² - 4xy + 4y² = x² - 2·x·(2y) + (2y)² = (x-2y)²。 14.答案：(3x+2)(x+3) 解析：十字相乘法：二次项系数3分解为3×1，常数项6分解为2×3。交叉相乘：3×3 + 1×2 = 9+2 = 11（一次项系数）。所以 3x² + 11x + 6 = (3x+2)(x+3)。 15.答案：x(x+2)(x-2) 解析：先提公因式：x³ - 4x = x(x² - 4)。再用平方差公式：x² - 4 = (x+2)(x-2)。所以 x³ - 4x = x(x+2)(x-2)。 16.答案：(2x+1)(x-3) 解析：十字相乘法：二次项系数2分解为2×1，常数项-3分解为1×(-3)。交叉相乘：2×(-3) + 1×1 = -6+1 = -5（符合一次项系数）。所以 2x² - 5x - 3 = (2x+1)(x-3)。 也可以用配方法：2x² - 5x - 3 = 2(x² - 5/2 x) - 3 = 2[(x-5/4)² - 25/16] - 3 = 2(x-5/4)² - 49/8 = (2x+1)(x-3)。 17.答案：(x+y)(a+b) 解析：分组分解法。分组：(ax + ay) + (bx + by)。分别提公因式：a(x+y) + b(x+y)。再提公因式 (x+y)：(x+y)(a+b)。所以 ax + ay + bx + by = (x+y)(a+b)。 18.答案：(x+y-1)(x-y-1) 解析：分组分解法。x² - y² - 2x + 1 = (x² - 2x + 1) - y²。前面三项是完全平方式：x² - 2x + 1 = (x-1)²。所以原式 = (x-1)² - y²。再用平方差公式：= [(x-1)+y][(x-1)-y] = (x+y-1)(x-y-1)。 19.答案：3x(x+2y)(x-2y) 解析：先提公因式3x：3x³ - 12xy² = 3x(x² - 4y²)。括号内是平方差形式：x² - 4y² = x² - (2y)²。用平方差公式：= (x+2y)(x-2y)。所以 3x³ - 12xy² = 3x(x+2y)(x-2y)。 20.答案：(x+y-2)² 解析：换元法或直接看作完全平方式。把 (x+y) 看作一个整体，设为 t。原式 = t² - 4t + 4。这是完全平方式：t² - 4t + 4 = (t-2)²。代回 t = x+y：= (x+y-2)²。所以 (x+y)² - 4(x+y) + 4 = (x+y-2)²。 21.答案：(x² + 4)(x+2)(x-2) 解析：连续使用平方差公式。x⁴ - 16 = (x²)² - 4²。第一次用平方差公式：= (x² + 4)(x² - 4)。第二次对 x² - 4 用平方差公式：x² - 4 = (x+2)(x-2)。所以 x⁴ - 16 = (x² + 4)(x+2)(x-2)。注意：x² + 4 在实数范围内不能再分解。 22.答案：(2x+y)(x+3y) 解析：十字相乘法（二元二次）。把y看作常数，对x进行因式分解。二次项系数2分解为2×1，常数项 3y² 分解为 y × 3y。交叉相乘：2×3y + 1×y = 6y + y = 7y（符合xy项系数）。所以 2x² + 7xy + 3y² = (2x+y)(x+3y)。 23.答案：(a+b-c)(a-b+c) 解析：分组分解法。观察多项式：四项，后三项可以分组。a² - b² + 2bc - c² = a² - (b² - 2bc + c²)。括号内是完全平方式：b² - 2bc + c² = (b-c)²。所以原式 = a² - (b-c)²。再用平方差公式：= [a+(b-c)][a-(b-c)] = (a+b-c)(a-b+c)。 第三层：综合难度题目答案解析 24.答案：(x-1)(x-3)(x+2) 解析：试根法（因式定理）。令 f(x) = x³ - 2x² - 5x + 6。试根：f(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0，所以 (x-1) 是原式的一个因式。用多项式除法或综合除法：x³ - 2x² - 5x + 6 ÷ (x-1) = x² - x - 6。再分解 x² - x - 6 = (x-3)(x+2)。所以 x³ - 2x² - 5x + 6 = (x-1)(x-3)(x+2)。 25.答案：150 解析：先因式分解，再代入求值。a³b + 2a²b² + ab³ = ab(a² + 2ab + b²)（提公因式ab）= ab(a+b)²（完全平方公式）。已知 a + b = 5，ab = 6。所以 a³b + 2a²b² + ab³ = ab(a+b)² = 6 × 5² = 6 × 25 = 150。 学科网（北京）股份有限公司 $