第13章 数学活动 讲义 2026-2027学年人教版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦三角形内角与外角知识的应用，通过探究五角星五个尖角角度关系及利用三角形稳定性设计结构，衔接已学的三角形内角和与外角性质，构建从理论到实践的学习支架，帮助学生深化对几何图形与实际应用的理解。 资料以“观察-推理-实践”活动链为特色，通过五角星角度转化培养几何直观与推理能力，借助四边形加斜撑实验强化模型观念。课中助力教师引导学生动手探究与规范推理，课后通过经典例题和检测题帮助学生巩固知识，查漏补缺，体现数学与现实的联系。

人教版数学八年级上册（2025秋版）｜第十三章 数学活动 第13章《数学活动》讲义 2026—2027学年｜数学活动课讲义｜建议课时：1课时 活动主题　用三角形的内角与外角知识研究五角星角度关系，并用三角形稳定性完成一个结构设计。 一、学习目标与素养指向 1. 经历观察、标注、分解、推理和交流的过程，解释五角星五个尖角的数量关系。 1. 能选择三角形内角和或外角性质组织推理，体会“一题多法”。 1. 利用三角形稳定性设计简单结构，说明数学原理与实际功能的联系。 素养指向　几何直观、推理能力、模型观念、应用意识、合作交流和创新意识。 二、活动一：五角星五个尖角的和 图1　五角星的五个尖角分别记为∠A、∠B、∠C、∠D、∠E 问题　不使用量角器，探究并说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。 材料 打印的五角星图、直尺、铅笔、彩笔；量角器只用于最后检验，不作为证明依据。 任务1 观察 找出图中的三角形和外角，尝试把五个尖角转化到同一个三角形中。 任务2 推理 选择三角形外角性质，写出中间角与尖角之间的等量关系。 任务3 交流 比较不同小组的辅助标记和推理路径，检查是否有遗漏或重复。 活动结论 五角星五个尖角的和等于180°。这个结论与五角星是否规则无关，只要图形保持通常的五角星连接关系即可。 一种推理思路：选取五角星内部适当的两个交点，把其中两个中间角分别看作有关三角形的外角；根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，可把四个尖角合并为这两个中间角。再与第五个尖角一起组成一个三角形的三个内角，因此五个尖角的和为180°。 活动规范　测量结果只能作为检验。小组汇报必须说明：使用了哪一个三角形、哪个角是外角、每一步的依据是什么。 三、活动二：给四边形框架加斜撑 情境 四根硬纸条用图钉首尾连接成四边形框架。轻推一个顶点，观察框架是否容易变形。 设计 增加一根硬纸条作为斜撑，使框架内部出现三角形。 验证 用相同大小的力再次轻推，比较加斜撑前后的形变情况。 解释 三角形具有稳定性；斜撑把容易变形的四边形分成三角形，从而增强结构稳定性。 安全 图钉或打孔工具由教师统一管理；操作时不把尖锐端朝向自己或他人。 跨学科连接　在工程设计中，结构稳定还受到材料强度、连接方式和受力大小等因素影响。本活动只研究“几何结构”这一因素。 四、重点与高频考点 ★ 重点1 从复杂图形中识别三角形和外角，把分散的角转化为三角形的内角。 ★ 重点2 实验—猜想—证明—检验的活动链：测量不是证明，证明后可再用测量检查。 ★ 高频 五角星尖角和问题中，利用外角性质逐步“合角”，最终落到三角形内角和。 ★ 易错 不要默认五角星是正五角星；结论不依赖五个尖角相等。 经典例题｜不规则五角星 题目　一个五角星的五个尖角中，四个角分别为25°、32°、41°、38°，求第五个尖角。 分析　五角星五个尖角的和为180°。 解　第五个尖角为180°-25°-32°-41°-38°=44°。 经典例题｜结构选择 题目　用木条制作一个简易相框，现有矩形框和在矩形框内加一根对角斜撑的框架。哪一个更不容易变形？说明理由。 分析　判断是否形成三角形结构。 解　加一根对角斜撑的框架更不容易变形。斜撑把矩形分成两个三角形，利用了三角形的稳定性。 课堂效果检测（3—5分钟） 1. 五角星五个尖角的和是________。 1. 若其中四个尖角的和为143°，第五个尖角是________。 1. 判断：量角器测得五个尖角的和是180°，这就构成了对一般结论的证明。（　　） 1. 四边形支架中增加斜撑，主要利用三角形的________。 检测答案　1. 180°；2. 37°；3. ×；4. 稳定性。 本课小结 复杂图形中的角度关系，可以通过识别三角形、寻找外角来化繁为简。 数学活动既需要动手，也需要用规范的推理说明结论。 三角形稳定性把数学图形与工程结构联系起来，体现数学的应用价值。 活动评价量规 评价维度 达成表现 改进方向 图形观察 能准确标出三角形、尖角和外角。 标记有序，避免遗漏或重复。 推理说明 能写出外角与不相邻内角之间的关系。 每一步注明所用结论。 动手实践 能完成斜撑结构并比较形变。 控制变量，安全规范操作。 合作交流 分工明确，能回应同伴质疑。 用图形语言和符号语言共同表达。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $