2.4 第2课时 坡度与坡角、方向角问题（word导学案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（湘教版·新教材）

该初中数学导学案聚焦解直角三角形应用中的坡度与坡角、方向角问题，通过预习导学填空引导学生理解坡度（升高高度与水平距离比，i=h:l）和坡角（坡度为坡角正切）的内涵，巩固锐角三角函数知识，为实际问题解决搭建学习支架。 资料以合作探究（如坡度1:2求坡角与上升高度）和展示提升（水库大坝、海轮方向角等情境）为核心，引导学生用数学眼光抽象实际问题为直角三角形模型，通过推理计算培养数学思维，学后反思设计促进自主学习，有效提升分析解决问题能力与应用意识。

1.4 解直角三角形的应用 第2课时 坡度与坡角、方向角问题 【学习目标】   1.巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于坡度和坡角，方向角有关的问题． 2.逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法． 3.培养学生用数学的意识. 重点：理解坡角和坡度的内涵及表示方法. 难点：实际问题中，坡度与正切，正弦等的综合运用. 【预习导学】 学生通过自主预习教材P80-P81完成下列知识点. 如图，从山坡脚下点P上坡走到点N时，升高的高度h（即线段MN的长）与水平前进的距离l（即线段PM的长）的比叫做 ，用字母i表示，即i= ，坡度通常写成1：m的形式. 图中的∠MPN叫做 ，显然坡度等于坡角的 . 即i= .坡度越大，山坡越陡. 【探究展示】  (一)合作探究 山坡的坡度为i=1：2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C，这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到0.010，长度精确到0.1m） 分析：已知山坡的坡度为1：2，其实就是告诉我们=1；2，即tanA=1：2.由此可得出∠A的度数；又知AC的长，要求BC的长，可以利用∠A的正弦值求得. 解：由题意可得tanA= ，因此∠A≈26.570 在Rt∆ABC中，∠B=900，∠A=26.570，AC=240m， 所以sinA= 所以BC= （m） 答：这座山坡的坡角约为26.570，小刚上升了约07.3m. (二)展示提升 1. 如图，某水库大坝横断面迎水坡AB的坡度是，堤坝高BC=50m，求坡面AB的长. 2.如图所示，某水库大坝横断是梯形ABCD，坝宽CD=3m，斜坡AD=16m，坝高8m，斜坡BC的坡度i=1：3.求斜坡AD的坡角和坝宽AB（结果保留根号）. 3.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？ 【知识梳理】 坡度其实就是坡角的正切，因此知道了坡度，就可以利用锐角三角函数，求出坡角的度数.从而也能求得山坡的高度或水平长度. 【当堂检测】 1.如图所示，沿水库拦水坝（横断面为梯形ABCD）的背水坡AB将坝顶AD加宽2米，背水坡的坡度由原来的1：2改为1：2.5.已知坝高6m，求加宽部分横断面AFEB的面积. 2.C市位于B市的正东方，分别从B，C两处测得国家级风景区中心A的方位角如图所示，风景区中心A位于B城市的北偏东45°方向，位于C城市的北偏西30°方向，A，C两地相距100km. （1）求∠BAC的度数； （2）求A，B两地的距离．（结果保留根号） 【学后反思】 通过本节课的学习， 1.你学到了什么？ 2.你还有什么样的困惑？ 3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改进？ 学科网（北京）股份有限公司 $