第2章 锐角的正弦、余弦、正切（知识清单，6考点+11易错+易错训练）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学知识清单系统梳理了“锐角的正弦、余弦、正切”章节内容，涵盖三角函数定义、特殊角值、同角及互余角关系、解直角三角形及应用五大知识范畴，搭建了从基础概念到关系推导再到实际应用的递进式学习支架。 清单通过“知识点+易错点+对点训练”三维结构呈现知识体系，如将“三角函数定义中对边邻边混淆”列为易错点并配例题，培养学生的几何直观和推理意识。特殊角值配有“正弦递增1、2、3”记忆口诀，解直角三角形明确“画图建模→选三角函数”步骤，不同层次学生可高效掌握，教师能据此设计分层教学，提升课堂实效。

第二章 锐角的正弦、余弦、正切 知识点一 锐角三角函数的定义 1. 正弦：在Rt△ABC中，，的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即。 2. 余弦：在Rt△ABC中，，的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即。 3. 正切：在Rt△ABC中，，的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即。 4. 锐角三角函数的取值范围：，，。 5. 增减性：当角度在至之间增大时，增大，减小，增大。 知识点二 特殊角的三角函数值 ，，； ，，； ，，。 记忆口诀：正弦递增1、2、3（分子、、），余弦递减3、2、1，正切、、。 知识点三 同角三角函数关系 1. 勾股关系：（由勾股定理两边同除以得到）。 2. 商的关系：（由定义直接推出）。 3. 应用：已知一个三角函数值，可求同角的其他三角函数值。 知识点四 互余两角的三角函数关系 1. 若，则，。 2. 即，。 3. （互余两角正切之积为1）。 4. 应用：将不同角的三角函数转化为同角的三角函数进行计算。 知识点五 解直角三角形 1. 概念：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程。 2. 基本关系：三边关系；两锐角关系；边角关系（三角函数定义）。 3. 解题策略：已知两边求第三边用勾股定理，求角用三角函数；已知一边一角求其他边用三角函数。 4. 构造直角三角形：对非直角三角形，通过作高将其分割为直角三角形求解。 知识点六 解直角三角形的应用 1. 仰俯角：从水平线向上看目标的角为仰角，向下看目标的角为俯角。 2. 方位角：以正北（或正南）方向为基准，目标方向与基准方向的夹角（偏东或偏西）。 3. 坡度（坡比）：，其中为铅直高度，为水平距离，为坡角。 4. 解题步骤：画图建模→找直角三角形→选三角函数→列式求解→检验作答。 易错点1 三角函数定义中对边、邻边混淆 易错提醒 1. 在Rt△中，对边和邻边是相对于某个锐角而言的，同一个直角边对于不同的角可能是对边也可能是邻边，解题时必须先明确是针对哪个角。 2. 斜边始终是直角所对的边（最长边），不随角的改变而改变；正切是对边比邻边，不含斜边，不要与正弦、余弦混淆。 【对点训练】1．（25-26九年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，解题的关键是熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：∵， A、 ，∴，故A错误； B、 ，∴，故B错误； C、，∴，故C正确； D、，∴，故D错误． 故选：C． 易错点2 特殊角三角函数值记忆错误 易错提醒 1. 与容易混为一谈，关键是理解互余关系：，与互余，所以。 2. ，（不是），；注意与互为倒数，不要记反。 【对点训练】2．的值等于（     ） A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】将特殊角的三角函数值，代入后按实数运算法则计算即可得到结果. 【详解】解：原式 . 【对点训练】3．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）若α为锐角，且，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值． 根据求出，进而计算的值即可． 【详解】解：∵α为锐角，且， ∴， ∴． 故答案为：． 易错点3 同角关系求值时忽略角的范围 易错提醒 1. 利用求值时，开方要取正值（锐角三角函数值均为正），不能出现负值。 2. 已知或求时，需先求另一个函数值再作商，过程中不能遗漏锐角条件导致符号判断错误。 【对点训练】4．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）为锐角，若，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的计算，设，则根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：设，则 ∵，即 ∴ ∴ ∴ ∴， 即 故答案为：． 易错点4 互余关系使用条件不清 易错提醒 1. 只在两角互余时成立，不能随意将转化为；使用前必须确认两角之和为。 2. 在直角三角形中两锐角互余，可以直接使用；但在非直角三角形中不能直接套用，需先构造直角三角形。 【对点训练】5．（25-26九年级上·湖南益阳·期末）已知，如图，在中，，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦与余弦的定义是解题关键． 根据正弦的定义可得，再根据余弦的定义即可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【对点训练】6．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）已知锐角满足，则______． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形． 根据构造直角三角形，进而计算即可． 【详解】解：如图，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 易错点5 解直角三角形时选错三角函数 易错提醒 1. 选择三角函数的原则：已知和未知涉及的边决定用哪个函数——涉及斜边用或，不涉及斜边用。 2. 列式时注意求谁设谁：若求对边，用变形为，不要除反。 【对点训练】7．如图，在中，,，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点A作于点D，利用和分别求出、长，再利用勾股定理求出长，从而求解的长． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ， 在中，， ， 解得：， ， 在中，， ， 解得：， ． 易错点6 仰俯角、方位角建模错误 易错提醒 1. 仰角和俯角都是视线与水平线的夹角，不是与铅垂线的夹角；画图时先画水平线，再画视线，标注角度位置。 2. 方位角以正北或正南为起始方向，北偏东是从正北方向顺时针转，不是从正东方向转；建模时注意方向基准。 【对点训练】8．如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（     ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据俯角的定义及平行线的性质得出 ，在 中，利用正弦函数的定义 即可求出的长，最后代入近似值计算即可． 【详解】解：由题意可知，水平视线与地面平行， 在 中，，， ， ． 【对点训练】9．如图，一艘海轮位于灯塔北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向的处． (1)求灯塔到航线的距离； (2)求灯塔到处的距离．结果保留根号 【答案】(1)灯塔到航线的距离是海里 (2)灯塔到处的距离是海里 【分析】（1）作于，解，即可求得的长； （2）在中，，，则可求出． 【详解】（1）解：作于， 由题意可得出：，海里， 故（海里）． 故灯塔到航线的距离是海里； （2）解：在中，，， （海里）， 故灯塔到处的距离是海里． 易错点7 坡度问题中i与α的关系混淆 易错提醒 1. 坡度（铅直高度比水平距离），不是；坡角是坡面与水平面的夹角，不是与铅垂面的夹角。 2. 题目给坡度时，表示，即，所以；不要把比的前后项搞反。 【对点训练】10．如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角为，两树间的坡面距离，则这两棵树的水平距离约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示作出辅助线，得到，再利用余弦的定义，得到，即可解答． 【详解】解：如图所示，过点作平行于水平面，过点作于点，则为所求， 由题意可知：， 则，即， ∴ 则这两棵树的水平距离约为． 【对点训练】11．河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡度是，则的长是________米． 【答案】 【分析】根据迎水坡的坡度是计算即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡度是，， ∴， ∵， ∴， ∴． 一、单选题 12．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图（见解析），设网格中每个小正方形的边长为1，先得出的长，再计算正弦即可． 【详解】解：设网格中每个小正方形的边长为1， 由图可知，， ∴， ∴． 13．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长，交网格于格点，连接，设网格小正方形边长为1，利用勾股定理求出，，，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，根据三角函数的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，延长，交网格于格点，连接， 设网格小正方形边长为1， ∴，，， ∵，即， ∴是直角三角形，， ∴． 14．如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为，则，利用正方形性质求出、的长及，在中利用正切定义求解． 【详解】解：连接，如图： 设， ∵四边形和是正方形，， ∴，，， ∴，， ∵、分别是正方形、的对角线， ∴，， ∴， ∴在中，． 15．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段检测）在中，所对的边分别为a，b，c，且和均为锐角，若，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角函数，等腰三角形的判定，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 过点A作于点D，则，推导出，得到是线段的垂直平分线，继而推断出，则是等腰三角形，即可解答． 【详解】解：过点A作于点D，则 ， ∴． ∴ ， 是线段的垂直平分线， ， 即， 是等腰三角形． 故选C． 16．（24-25九年级上·广西梧州·期末）已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握互为余角的正余弦关系：一个角的正弦值等于这个锐角的余角的余弦值． 利用互余两角的三角函数关系，得出，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 17．在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用互余两角的三角函数关系求解，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系，解题关键是掌握一个角的正弦值等于它的余角的余弦值． 18．如图，在中，，，．的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余得到，则，根据题意可得，，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴，， ∴． 19．为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图，架在消防车上的云梯可伸缩，也可绕点转动，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为，若，则此时云梯顶端离地面的高度的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，比较简单，掌握正切的定义是解题的关键． 根据的正切可得，而，进而即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，， ， 根据题意可得：， ， 故选：A． 20．如图，人字梯、的长都为2米．当时，人字梯顶端离地面的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：由题意可知，则为直角三角形， 在中，，，， ， ． 21．在中，，如果，，那么的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示： ∵ ，，， ∴ 由勾股定理得 ， ∵ ， ∴ ． 二、填空题 22．计算______． 【答案】 【详解】解：． 23．计算：________． 【答案】5 【分析】先分别计算式子中每一项的值，首先回忆特殊角的三角函数值，因为需要计算，所以确定的取值后代入计算该项．计算负整数指数幂项，因为负指数幂的运算规则是（），所以用该规则计算．计算绝对值项，因为负数的绝对值是它的相反数，所以据此计算．化简二次根式项，因为可分解为，所以根据二次根式的性质化简该项．最后将所有项的计算结果进行加减运算，得到最终结果． 【详解】 原式 ． 24．一天正午，太阳光与水平地面的夹角为．身高为的小明站在水平地面上，此时他的影长为________．（参考数据，，） 【答案】 【分析】本题将实际问题转化为直角三角形问题，利用锐角正切的定义求解，小明身高垂直地面，影长为水平直角边，结合太阳光与地面的给定夹角，代入参考正切值即可计算出影长． 【详解】解：设此时小明的影长为， 由题意可得，小明身高垂直于水平地面，身高、影长与太阳光构成直角三角形，其中太阳光与水平地面的夹角为，该角的对边为小明身高，邻边为影长， 根据正切的定义得，将代入得， 解得． 25．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，，，则中线的长为______． 【答案】/ 【分析】过点A作于点，得到，然后解，得到，然后根据线段和差以及三角形中线得到，则，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点A作于点， ， ， ， ∵， ， ， ， 是中线， ， ． 三、解答题 26．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，的平分线交于点D，，求． 【答案】 【分析】求出的值，可知，根据角平分线的定义得到，根据计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 平分， ， 在中，， ． 27．年长沙国际工程机械展览会上，一台国产新型高空作业平台正在进行安全测试．工作人员在地面处观测平台顶端的仰角为，沿直线向平台方向行进至处，测得顶端B的仰角为．若点，，在同一水平线上，求该平台的高度．（结果保留根号） 【答案】该平台的高度为． 【分析】设该平台的高度为，根据等腰直角三角形的性质，得到，根据，求出，即可． 【详解】解：设该平台的高度为， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， 解得：， ∴． 答：该平台的高度为． 28．（25-26九年级下·湖南长沙·开学考试）如图，正在执行巡航任务的海警船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． (1)求的度数； (2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海警船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】(1) (2)海警船继续向正东方向航行安全 【分析】（1）作交的延长线于点，利用平行线的性质和角之间的关系，计算即可； （2）设海里，利用三角函数可得海里，海里，列出方程，求出，从而可得，与25比较即可求解． 【详解】（1）解：如图，作交的延长线于点， 由题意可知，，，，， 则， ，， ； （2）海警船继续向正东方向航行安全，理由如下， 设海里， 在中，，即， 则海里， 在中，，即， 则海里， （海里）， ， 即，解得， ， 海警船继续向正东方向航行安全． 29．（24-25九年级上·湖南永州·期末）周末，九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，最高点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链． (1)求点到地面的距离； (2)当王明用力将李亮从处推出后到最高点处，此时，求点到地面的距离．（参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意得，把数值代入，求出，故，即可作答． （2）过点作，求出，在中，，再把数值代入进行计算，得出，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵安全链与铅垂线夹角为， ∴ 过点作 在中，， ， ∴， ， 点到地面的距离为； （2）解：过点作， ， ， 在中，， ， ， ， 由（1）得， ， 点到地面的距离为． 30．（2025·江西吉安·二模）某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，．（结果精确到） (1)求点G到支撑脚的垂直距离． (2)如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点G到点A的水平距离为，求背垫旋转的度数． （参考数据：，，，）． 【答案】(1) (2)背垫旋转的度数为 【分析】此题考查三角函数的实际应用， （1）过点G作于点H，利用正弦公式求出即可； （2）过点G作，交的延长线于点M，由题意得，得到，在中，根据余弦求出，由此得到，进而得到背垫旋转的度数 【详解】（1）解：过点G作于点H， 在中，， ∴， ∴ ∴点G到支撑脚的垂直距离约为． （2）过点G作，交的延长线于点M， 由题意得 ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴背垫旋转的度数为 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 锐角的正弦、余弦、正切 知识点一 锐角三角函数的定义 1. 正弦：在Rt△ABC中，，的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即。 2. 余弦：在Rt△ABC中，，的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即。 3. 正切：在Rt△ABC中，，的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即。 4. 锐角三角函数的取值范围：，，。 5. 增减性：当角度在至之间增大时，增大，减小，增大。 知识点二 特殊角的三角函数值 ，，； ，，； ，，。 记忆口诀：正弦递增1、2、3（分子、、），余弦递减3、2、1，正切、、。 知识点三 同角三角函数关系 1. 勾股关系：（由勾股定理两边同除以得到）。 2. 商的关系：（由定义直接推出）。 3. 应用：已知一个三角函数值，可求同角的其他三角函数值。 知识点四 互余两角的三角函数关系 1. 若，则，。 2. 即，。 3. （互余两角正切之积为1）。 4. 应用：将不同角的三角函数转化为同角的三角函数进行计算。 知识点五 解直角三角形 1. 概念：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程。 2. 基本关系：三边关系；两锐角关系；边角关系（三角函数定义）。 3. 解题策略：已知两边求第三边用勾股定理，求角用三角函数；已知一边一角求其他边用三角函数。 4. 构造直角三角形：对非直角三角形，通过作高将其分割为直角三角形求解。 知识点六 解直角三角形的应用 1. 仰俯角：从水平线向上看目标的角为仰角，向下看目标的角为俯角。 2. 方位角：以正北（或正南）方向为基准，目标方向与基准方向的夹角（偏东或偏西）。 3. 坡度（坡比）：，其中为铅直高度，为水平距离，为坡角。 4. 解题步骤：画图建模→找直角三角形→选三角函数→列式求解→检验作答。 易错点1 三角函数定义中对边、邻边混淆 【对点训练】1．（25-26九年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 易错点2 特殊角三角函数值记忆错误 【对点训练】2．（26-27九年级上·全国·单元测试）的值等于（     ） A．0 B．2 C． D． 【对点训练】3．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）若α为锐角，且，则_______． 易错点3 同角关系求值时忽略角的范围 【对点训练】4．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）为锐角，若，则的值为________． 易错点4 互余关系使用条件不清 【对点训练】5．（25-26九年级上·湖南益阳·期末）已知，如图，在中，，若，则______． 【对点训练】6．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）已知锐角满足，则______． 易错点5 解直角三角形时选错三角函数 【对点训练】7．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，在中，,，，则的长为（     ） A． B． C． D． 易错点6 仰俯角、方位角建模错误 【对点训练】8．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（     ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 【对点训练】9．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，一艘海轮位于灯塔北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向的处． (1)求灯塔到航线的距离； (2)求灯塔到处的距离．结果保留根号 易错点7 坡度问题中i与α的关系混淆 【对点训练】10．（2022·吉林长春·模拟预测）如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角为，两树间的坡面距离，则这两棵树的水平距离约为（     ） A． B． C． D． 【对点训练】11．（22-23九年级上·吉林长春·开学考试）河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡度是，则的长是________米． …… 一、单选题 12．（2022·贵州贵阳·模拟预测）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（      ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（     ） A． B． C． D． 14．（2026·陕西·中考真题）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 15．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段检测）在中，所对的边分别为a，b，c，且和均为锐角，若，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 16．（24-25九年级上·广西梧州·期末）已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（   ） A． B． C． D． 17．（22-23九年级下·上海普陀·期中）在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 18．（2026·陕西·中考真题）如图，在中，，，．的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 19．（2024·山东聊城·三模）为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图，架在消防车上的云梯可伸缩，也可绕点转动，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为，若，则此时云梯顶端离地面的高度的长是（    ） A． B． C． D． 20．（2022·吉林长春·模拟预测）如图，人字梯、的长都为2米．当时，人字梯顶端离地面的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 21．（21-22八年级下·山东泰安·期末）在中，，如果，，那么的值是（       ） A． B． C． D． 二、填空题 22．（2022·宁夏石嘴山·一模）计算______． 23．（2024·山东潍坊·模拟预测）计算：________． 24．（2026·广东深圳·中考真题）一天正午，太阳光与水平地面的夹角为．身高为的小明站在水平地面上，此时他的影长为________．（参考数据，，） 25．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，，，则中线的长为______． 三、解答题 26．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，的平分线交于点D，，求． 27．（2026·湖南长沙·二模）年长沙国际工程机械展览会上，一台国产新型高空作业平台正在进行安全测试．工作人员在地面处观测平台顶端的仰角为，沿直线向平台方向行进至处，测得顶端B的仰角为．若点，，在同一水平线上，求该平台的高度．（结果保留根号） 28．（25-26九年级下·湖南长沙·开学考试）如图，正在执行巡航任务的海警船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． (1)求的度数； (2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海警船继续向正东方向航行是否安全？ 29．（24-25九年级上·湖南永州·期末）周末，九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，最高点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链． (1)求点到地面的距离； (2)当王明用力将李亮从处推出后到最高点处，此时，求点到地面的距离．（参考数据：，） 30．（2025·江西吉安·二模）某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，．（结果精确到） (1)求点G到支撑脚的垂直距离． (2)如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点G到点A的水平距离为，求背垫旋转的度数． （参考数据：，，，）． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $