2.4 第2课时 坡度问题（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（湘教版·新教材）

该初中数学课件聚焦解直角三角形的坡度与方位角应用，通过“哪条路更陡”的情境导入，从直观观察过渡到用坡度（h/l=tanα）量化，衔接锐角三角函数知识，为解决实际问题搭建学习支架。 其亮点是以生活情境（山坡、大坝）和实际问题（航行安全）为载体，通过实例分析培养数学眼光（抽象现实问题）、数学思维（推理与运算）和数学语言（符号表达）。小结清晰梳理知识，学生能提升应用能力，教师可高效开展教学。

第2课时 坡度问题 2.4 解直角三角形的应用 第2章 锐角的正弦、余弦、正切 ÷ 九年级上册数学（湘教版） 如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BD，哪条路比较陡？ 如何用数量来刻画哪条路更陡呢？ 【观察与思考】 A D B 由图可知，右边的路 BD 陡些. 情境导入 坡度问题 　　如上图所示，从山坡脚下点 A 上坡走到点 B 时，升高的高度 h（即线段 BC 的长度）与水平前进的距离 l（即线段 AC 的长度）的比叫作坡度，用字母 i 表示，即 （坡度通常写成 1 : m 的形式）． 1 探究新知 3 坡度越大，山坡越陡． 　　在下图中，∠BAC 叫作坡角（即山坡与地平面的 夹角），记作 α，显然，坡度等于坡角的正切，即 1. 斜坡的坡度是 ，则坡角 α =___度. 2. 斜坡的坡角是 45°，则坡比是 _____. 3. 斜坡长是 12 米，坡高 6 米，则坡比是_______. α l h 30 1 : 1 练一练 例 1 如图，一山坡的坡度为 i = 1∶2. 小华从山脚 A 出发，沿山坡向上到达点 B，已知 A，B 两点间的直线距离为 240 m，问：他从点 A 到点 B 高度上升了多少米(tan26.57°≈0.5，sin26.57°≈0.447，结果精确到 0.1 m)？ i = 1:2 典例精析 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，∠A = 26.57°， AC = 240 m， 解： 用 α 表示坡角的大小，由题意可得 因此 α ≈ 26.57°. 答：这座山坡的坡角约为 26.57°，小刚上 升了约 107.3 m． 从而 BC = 240×sin26.57° ≈ 107.3（m）． 因此 解： 斜坡 CD 的坡度 i = tanα = 1∶2.5 = 0.4， 由计算器可求得 α ≈ 22°. 故斜坡 CD 的坡角 α 约为 22°. 例2 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 23 m，斜坡 AB 的坡度 i = 1∶3，斜坡 CD 的坡度 i = 1∶2.5，求： (1) 斜坡 CD 的坡角 α (精确到 1°)； A D B C i = 1:2.5 23 6 α i = 1 : 3 解：分别过点 B，C 作 BE⊥AD 于 E，CF⊥AD 于 F . 由题意可知 BE = CF = 23 m， EF = BC = 6 m. 在 Rt△ABE 中， (2) 坝底 AD 与斜坡 AB 的长度 (精确到 0.1 m). E F A D B C i = 1:2.5 23 6 α i = 1:3 = 69 + 6 + 57.5 = 132.5 (m). 在Rt△ABE中，由勾股定理可得 在 Rt△DCF 中， 故坝底 AD 的长度为 132.5 m，斜坡 AB 的 长度为 72.7 m. E F A D B C i = 1:2.5 23 6 α i = 1:3 4.如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的 B 点出发时，测得坡面 AB 的坡度为 1 : 2，走 　　米到达山顶 A 处．这时，他发现山的另一坡面 AC 的最低点 C 的俯角是 30°．请求出点 B 和点 C 的水平距离． A C B D 30° 答案：点 B 和点 C 的水平距离为 米. 练一练 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角，叫作方位角. 如图所示： 30° 45° B O A 东 西 北 南 45° 45° 西南 O 东北 东 西 北 南 西北 东南 北偏东30° 南偏西45° 解与方位角有关的问题 2 例 3 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65° 方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到 0.01 n mile）？ 65° 34° P B C A 典例精析 解：如图 ，在 Rt△APC 中， PC = PA·cos(90°－65°) = 80×cos25° ≈ 72.505. 在 Rt△BPC 中，∠B = 34°， 因此，当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向时，它距离灯塔 P 大约 129.66 n mile． 65° 34° P B C A 14 例4 如图，一艘船以 20 km/h 的速度向正东方向航行，在 A 处测得灯塔 C 在北偏东 45° 方向上，继续航行 0.5 h 到达 B 处，这时测得灯塔 C 在北偏东 30° 方向上，已知在灯塔 C 的 20 km 内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？ 北 东 A B C 45° 30° 分析 这艘船继续向东航行是否安全，取决于灯塔 C 到 AB航线的距离是否大于 20 km. D 北 东 A B C 45° 30° 解 作CD⊥AB，交 AB 的延长线于点 D. 设 CD = x km. 在Rt△ACD 中，因为 所以 同理，在Rt△BCD 中， 因为 AB = AD - BD， 所以 解得 又 因此，这艘船继续向东航行是安全的. 1. 如图，A，B 两城市相距 200 km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路 (即线段 AB)，经测量，森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30° 和 B 城市的北偏西 45° 的方向上．已知森林保护区的范围在以 P 点为 圆心，100 km 为半径的圆形区 域内，请问：计划修筑的这条 高速公路会不会穿越保护区(参 考数据： ≈1.732， ≈1.414)？ 200 km 练一练 200km 解：过点 P 作 PC⊥AB 于点 C， 则∠APC＝30°，∠BPC＝45°， AC＝PC · tan30°，BC＝PC · tan45°． ∵ AC＋BC＝AB， ∴ PC·tan30°＋PC·tan45°＝200， 即 PC＋PC＝200， 解得 PC ≈ 126.8 km＞100 km. 答：计划修筑的这条高速公路不 会穿越保护区． C 1. 如图，河坝横断面迎水坡 AB 的坡比是1 : ，坝高 BC = 3 m，则坡面 AB 的长度是 ( ) A. 9 m B. 6 m C. m D. m A C B B 课堂练习 2. 如图，C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向，C 岛在 B 岛 的北偏西 40° 方向，则从 C 岛看 A，B 两岛的视角 ∠ACB 等于 °． 90 3. 如图所示，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行， 在 A 处观测到灯塔 M 在北偏东 60° 方向上．航行半 小时后到达 B 处，此时观测到灯塔 M 在北偏东 30° 方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的 位置所需的时间是 . 15 分钟 4. 如图，海上 B，C 两岛分别位于 A 岛的正东和正北 方向，一艘船从 A 岛出发，以 18 海里/时的速度向 正北方向航行 2 小时到达 C 岛，此时测得 B 岛在 C 岛的南偏东 43° 方向，则 A，B 两岛之间的距离为 ． (结果精确到 0.1 海里，参考数据： sin43° = 0.68，cos43° = 0.73， tan43° = 0.93) 33.5 海里 解：如图，作DE⊥AB 于 E，CF⊥AB 于 F． 由题意知 DE＝CF＝4 (米)， CD＝EF＝12 (米)． 45° 30° 4 米 12 米 A B C D 5. 一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是 12 米，路基左右两边坡面的坡角分别是 45° 和 30°，求 路基下底的宽 (精确到 0.01 米， ， ).   在 Rt△ADE 中， E F 23 在 Rt△BCF 中，同理可得 ∴ AB＝AE＋EF＋BF ≈ 4＋12＋6.93 = 22.93 (米)． 答： 路基下底的宽约为 22.93 米． (米). (米). 45° 30° 4 米 12 米 A B C D E F 6. 如图，有一个古建筑 A，它周围 800 米内有古建筑群，乡村路要由西向东修筑，在 B 点处测得古建筑 A 在北偏东 60° 方向上，向前直行 1200 米到达 D 点，这时测得古建筑 A 在 D 点北偏东 30° 方向上，如果不改变修筑的方向，你认为古建筑群会不会遭到破坏？ E 解：过点 A 作 AE⊥BD，垂足为 E. ∵ 点 A 在点 B 的北偏东 60° 方向上， 在点 D 的北偏东 30° 方向上， ∴ ∠ABE = 30°，∠ADE = 60°. 25 ∴∠BAD = ∠ADE -∠ABE = 30° =∠ABE. ∴ AD = BD = 1200 米. ∴ AE = AD·sin60° = 1200× ≈ 1039.2＞800（米）. ∴不会遭到破坏. 解直角三角形的应用 坡度问题 方位角问题 坡角 坡度(或坡比) 课堂小结 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $