1.5 第2课时 相似三角形对应周长和面积的性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（湘教版·新教材）

该初中数学课件聚焦相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，通过复习相似三角形对应高、中线等比性质导入，引导学生从旧知自然过渡到周长与面积比的探究，搭建知识衔接的学习支架。 其亮点在于以等边三角形实例直观探究规律，结合严格证明培养推理能力，典例如平移问题、面积差计算等强化模型意识。学生能提升几何直观与应用能力，教师可依托系统的探究-证明-应用流程高效教学。

1.5 相似三角形的性质 第1章 图形的相似 第2课时 相似三角形对应周长和面积的性质 ÷ 九年级上册数学（湘教版） 1.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.（重点） 2.掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用.（难点） 学习目标 问题：我们知道，如果两个三角形相似，它们对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.那么它们周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？ A B C A1 B1 C1 复习导入 3 相似三角形周长比等于相似比 问题：图中 (1)(2)(3) 分别是边长为 1，2，3 的等边三角形，它们都相似吗？ （都相似） (1) (2) (3) 1 2 3 (1) 与 (2) 的相似比 =______， (1) 与 (2) 的周长比 =______， (1) 与 (3) 的相似比 =______， (1) 与 (3) 的周长比 =______. 有什么规律吗？ 结论：相似三角形的周长比等于______． 相似比 1∶2 1∶2 1∶3 1∶3 1 探究新知 4 证明：设△ABC ∽ △A1B1C1，相似比为 k， 求证：相似三角形的周长比等于相似比. A B C A1 B1 C1 想一想：怎么证明这一结论呢？ 5 相似三角形周长的比等于相似比. 知识要点 相似三角形的面积比等于相似比的平方 问题：图中 (1)(2)(3) 分别是边长为 1，2，3 的等边三角形，回答以下问题： 1 2 3 （1） （2） （3） (1)与(2)的相似比=______， (1)与(2)的面积比=______， (1)与(3)的相似比=______， (1)与(3)的面积比=______， 1 : 2 1 : 4 1 : 3 1 : 9 结论： 相似三角形的面积比等于____________． 相似比的平方 2 7 A B C D A′ B′ C′ D′ 想一想：怎么证明这一结论呢？ 证明：设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k， 如图，分别作出 △ABC 和 △A′B′C′ 的高 AD 和 A′D′. ∵△ABD 和 △A′B′D′ 都是直角三角形，并且∠B =∠B′， ∴△ABD∽△A′B′D′. ∵△ABC∽△A′B′C′. 8 相似三角形的面积比等于相似比的平方. 知识要点 例1 如图，在△ABC 中，EF∥BC， ， S四边形BCFE = 8，求 S△ABC. 解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC. ∵S四边形BCFE = 8， ∴S△AEF = 1. ∴S△ABC = 9. 典例精析 1. 已知 △ABC 与 △A′B′C′ 的相似比为 2 : 3，则对应边上中线之比 ，面积之比为 . 2. 如果两个相似三角形的面积之比为 1 : 9， 周长的比为______ . 1 : 3 2 : 3 4 : 9 练一练 例2 将 △ABC 沿 BC 方向平移得到 △DEF，△ABC 与 △DEF 重叠部分的面积是 △ABC 的面积的一半. 已知 BC = 2，求 △ABC 平移的距离. 　 A B C D E F 解：根据题意，可知 EG∥AB. ∴∠GEC =∠B，∠EGC =∠A. ∴△GEC∽△ABC. 即△ABC 平移的距离为 G A B C D E F 例3 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2DE ，AC = 2DF，∠A =∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积. 解：在 △ABC 和 △DEF 中， ∵ AB = 2DE，AC = 2DF， 又 ∵∠D =∠A， ∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2. ∴ ∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ， ∴△DEF 的边 EF 上的高为 ×6 = 3， 面积为 A B C D E F 3. 如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较大三角形一边上的高为 7，则较小三角形对应边上的高为______. 练一练 例4 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知 △ABC 的面积为 100 cm2，且 ，求四边形 BCDE 的面积. 　 B C A D E ∴ △ADE ∽△ABC. ∵ 它们的相似比为 3 : 5，∴ 面积比为 9 : 25. 解：∵ ∠BAC = ∠DAE，且 又∵ △ABC 的面积为 100 cm2， ∴ △ADE 的面积为 36 cm2 . ∴ 四边形 BCDE 的面积为 100－36 = 64 (cm2). 例5 已知△ABC 与△A'B'C' 的相似比为 ，且 S△ABC + S△A'B'C = 91，求△A'B'C' 的面积. 　 又∵ S△ABC + S△A'B'C = 91， 解：∵△ABC 与△A'B'C' 的相似比为 ∴ S△A'B'C' = 63. 4. 如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC 的值. A B C D F E 解：∵ DE∥BC，D 为 AB 中点， ∴ △ADE ∽ △ABC ， ∵相似比为 1 : 2，∴面积比为 1 : 4. ∴ 练一练 A B C D F E 又∵ EF∥AB， ∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2， 面积比为 1 : 4. 设 S△ABC = 4，则 S△ADE = 1，S△EFC = 1. S四边形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2. ∴ S四边形BFED : S△ABC = 2 : 4 = 1. 判断： (1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的 5 倍 ( ) (2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的 9 倍 ( ) √ × 课堂练习 3. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个 小三角形与原三角形的周长比等于______，面积 比等于_____. 1 : 2 1 : 4 2. 在 △ABC 和 △DEF 中，AB＝2DE，AC＝2DF， ∠A＝∠D，AP，DQ 是中线，若 AP＝2，则 DQ 的值为 ( ) A．2 B．4 C．1 D. C 4. 两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm， 若较大三角形的周长是 42 cm，面积是 12 cm2，则 较小三角形的周长____cm，面积为 cm2. 14 ____ 5. 如图，这是圆桌正上方的灯泡 (点 A) 发出的光线照 射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 1.2 米，桌面距离地面为 1 米，若灯泡距离地面 3 米，则地面上阴影部分的面积约为多少 (结果保留两位小数)？ A D E F C B H 解：∵ FH = 1 米，AH = 3 米， 桌面的直径为 1.2 米， ∴ AF = AH－FH = 2 (米). DF = 1.2÷2 = 0.6 (米). ∵DF∥CH，∴△ADF ∽△ACH. A D E F C B H ∴ 即 解得 CH = 0.9 (米). ∴ 阴影部分的面积为： (平方米). 答：地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米. 6. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和 △EFC 的面积分别为 4 和 9，求 △ABC 的面积. A B C D F E 解：∵ DE∥BC，EF∥AB， ∴ △ADE ∽△ABC，∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF. ∴△ADE ∽△EFC. 又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9， ∴ AE : EC = 2 : 3，则 AE : AC = 2 : 5. ∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25，∴ S△ABC = 25. 7. 如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB、AC 于点 D、E，S△ADE＝2S△DCE，求 S△ADE : S△ABC. 解：过点 D 作 AC 的垂线，交点为 F，则 ∴ 又∵ DE∥BC，∴ △ADE ∽△ABC. A B C D E F ∴ 即 S△ADE : S△ABC＝4 : 9. 相似三角形的性质 2 相似三角形周长之比等于相似比 相似三角形面积之比等于相似比的平方 课堂小结 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $