第二章 锐角的正弦、余弦、正切 章末复习 课件 2026-2027学年数学湘教版九年级上册

该初中数学课件聚焦锐角三角函数的定义、计算及解直角三角形，通过回顾直角三角形边角关系导入，衔接三角函数值计算、实际应用等内容，构建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于专题化整合中考题型，突出建模思想（如“子母型”“背靠背型”构造直角三角形）和转化思想，结合例4测量海拔、例7秋千问题等实例，培养学生用数学眼光观察、用数学思维推理的能力。学生能提升解题与应用能力，教师可高效开展复习教学。

第二章 锐角的正弦、余弦、正切 章末复习 结构必知 结构必知 1. 直角三角形的边角关系(a，b 为直角边，c 为斜边) (1)三边之间的关系： a= ， b= ， c= . (2)两锐角之间的关系：∠A=90°- ∠B，∠B=90°- ∠A. (3)边角之间的关系： a=c·sin A， a=c·cos B， a=b·tan A， b=c·sin B， b=c·cos A， b=a·tan B. 核心必读 2. 利用解直角三角形解决实际问题的步骤 (1)审清题意， 将实际问题抽象为数学问题； (2)画出平面图形， 转化为解直角三角形的问题； (3)根据条件， 结合图形， 选用适当的锐角三角函数解直角三角形， 得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案. 核心必读 专题一 锐角三角函数 链接中考 >> 锐角三角函数的有关计算，主要是求锐角的三角函数值，解决这类问题的关键是看清锐角所在的图形以及该图形的性质. 这类问题一般属于中档题，小题和大题都会涉及. 知识必学 [中考·内江] 如图2-1，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么tan ∠EFC=______ . 例1 解题秘方：根据折叠的性质和勾股定理求出CF和CE的长， 再由正切的定义求解. 知识必学 解：因为四边形ABCD为矩形， 所以BC=AD=5，CD=AB=3，∠B=∠C=90°. 由折叠的性质得AF=AD=5，EF=DE， 所以在Rt △ABF中，BF= =4， 所以FC=BC-BF=5-4=1，设CE=x， 则EF=DE=CD-CE=3-x. 因为在Rt △ECF中，CE2+FC2=EF2， 所以x2+12=(3-x)2， 解得x=.所以CE=. 所以tan ∠EFC= =. 知识必学 专题二 特殊角的三角函数值 链接中考 >> 一般情况下，求含有三角函数的代数式的值，要先将各角的三角函数值代入，再根据运算法则和运算律进行计算，注意最后结果要化简，这类题目常与零指数幂、绝对值、负整数指数幂、乘方、开方等综合考查. 知识必学 [中考·长沙] 计算：()-1+|- |-2cos 30°-(π-6.8)0. 例2 解：原式=4+ -2×-1=4+ - -1=3. 知识必学 专题三 解直角三角形 链接中考 >> 解直角三角形主要是在直角三角形中根据已知的边角条件求未知的边和角. 解决这类问题，关键是要结合图形的性质，灵活运用锐角三角函数，一般都是以解答题的形式考查. 知识必学 [中考·乐山] 如图2-2，在△ABC中，∠ABC=45°， ∠ACB=60°，AC=2. (1)求AB的长； (2)求点C到线段AB的距离. 例3 解题秘方：过顶点A作对边的垂线，“化斜为直” 构造直角三角形是解题关键. 知识必学 解：(1) 如图2-2，过点A作AD⊥BC， 垂足为D， 则∠ADC= ∠ADB=90°. 在Rt △ADC中，因为∠ACB=60°，AC=2， 所以CD=AC·cos ∠ ACD= 1，AD=AC·sin ∠ACD= . 因为∠ABC=45°，所以∠DAB=90°-∠ABC=45°= ∠ABC. 所以DB=AD= .所以AB= = . 知识必学 (2)如图2-2， 过点C作CE⊥AB于点E. 因为CD=1，DB= ，所以BC=CD+DB=1+ . 因为BC×AD=AB×CE， 所以CE = ==. 因此点C到线段AB的距离为. 知识必学 专题四 解直角三角形的应用 链接中考 >> 利用解直角三角形解决实际问题是中考的热点，解题的关键是正确理解题意，将实际问题转化为解直角三角形的问题. 一般都是以解答题的形式考查. 知识必学 [中考·陕西]如图2-3，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为1 600 m，小明想利用这个观景台测量对面山顶C处的海拔高度. 他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得点C处的仰角∠CAE=42°，再在AE上选一点B，在点B处测得点C处的仰角α =45°， AB=10 m. 求山顶C处的海拔高度. (小明身高忽略不计，参考数据： sin 42°≈ 0.67，cos 42°≈ 0.74，tan 42°≈0.90) 例4 知识必学 解题秘方：解题的关键是添加辅助线， 构造直角三角形， 设参数构建方程解决问题． 知识必学 解：如图2-3，过点C作CD⊥AE，交AE的 延长线于点D.设BD=x m，因为AB=10 m， 所以AD=AB+BD=(x+10)m. 在Rt △BCD中，∠CBD=α =45°，所以CD=BD·tan 45°=x m . 在Rt △ACD中，∠CAD=42°，所以CD=AD·tan 42°≈ (0.90x+9)m .所以x ≈0.90x+9， 解得x ≈90.所以CD≈90 m .1 600+90=1 690 (m) .答：山顶C处的海拔高度约为1 690 m . 知识必学 专题五 建模思想 专题解读>> 在解决与角度、线段长度有关的实际问题时，通常构造含有已知边、角的直角三角形，建立常见的解直角三角形的模型，利用锐角三角函数进行计算，进而解决问题. 方法必会 【“子母”型】例5 [中考·吉林]图2-4 ①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”. 如图2-4 ②，某直升机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度AB=873 m，从直升机上看塔尖C的俯角∠EAC=37°，看塔底D的俯角∠EAD=45°，求吉塔的高度CD (结果精确到0.1 m，参考数据：sin 37°≈ 0.60，cos 37°≈ 0.80， tan 37°≈ 0.75). 例5 方法必会 解题秘方：通过作辅助线， 将两个俯角放到两个直角三角形中， 构造解直角三角形的基本模型—— “子母” 型， 利用公共的直角边解直角三角形. 方法必会 解：如图2-4 ②， 延长DC交AE于点G， 由题意得DG=AB=873 m，∠DGA=90°. 在Rt △GAD中，∠GAD=45°， 所以AG===873 (m). 在Rt △GAC中，∠GAC=37°， 所以CG=AG·tan∠GAC≈873×0 .75=654.75 (m) . 所以CD=DG-CG≈873-654.75≈218.3(m). 答： 吉塔的高度CD约为218.3 m. 方法必会 【“背靠背”型】例6 小亮利用所学的知识对大厦的高度CD进行测量，如图2-5，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是30°，测得大厦顶部的仰角是37°，已知他家楼顶B处距地面的高度BA为 40 m(图中点A，B，C，D均在同一 平面内)． 例6 方法必会 (1)求两楼之间的距离AC(结果保留根号)； (2)求大厦的高度CD(结果取整数)． (参考数据：sin 37°≈ 0.60，cos 37°≈ 0.80，tan 37°≈ 0.75， ≈ 1.73) 解题秘方：过点B作BE⊥CD于点E，构造解直角三角形的基本模型—— “背靠背” 型，然后利用“背靠背” 型中公共的直角边解直角三角形. 方法必会 解：(1)如图2-5， 过点B作BE⊥CD， 垂足为E. 由题意得CE=AB=40 m，BE=AC. 在Rt△BEC中，∠CBE=30°， 所以BE===40 (m). 所以AC=BE=40 m. 答： 两楼之间的距离AC为40 m. 方法必会 (2)在Rt △BED中，∠DBE=37°， 所以DE=BE·tan 37°≈40 3×0.75≈51.9(m). 所以DC=DE+CE≈51.9+40≈92 (m) . 答： 大厦的高度CD约为92 m. 方法必会 专题六 转化思想 专题解读>> 在解直角三角形和利用直角三角形的边角关系解决实际问题时，常常根据已知量和未知量之间的关系建立方程，将几何问题转化为代数问题求解，体现了数学的转化思想. 方法必会 [新考向数学文化中考•乐山]我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 例7 方法必会 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1 尺，将它往前推进10 尺(5 尺为一步)，秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5 尺．(假设秋千的绳索拉得很直) 方法必会 解题秘方：本题由《西江月》词牌引申出数学问题， 关键是理解题意， 构造直角三角形， 将其转化为解直角三角形问题. 方法必会 (1)如图2-6 ①，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度. 方法必会 解：(1)如图2-6①，过点A′作A′B⊥OA于点B. 设秋千绳索的长度为x尺，所以OA=OA′=x尺. 由题意可知AB=5-1=4 (尺)，A′B =10 尺， 所以OB=OA-AB= (x-4)尺. 在Rt △OA′B中，由勾股定理得A′B2+OB2=OA′2， 所以102+(x-4)2=x2， 解得x=14.5. 答： 秋千绳索OA的长度为14.5 尺. 方法必会 (2)如图2-6 ②，将秋千从与竖直方向夹角为α 的位置OA′释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β 的地方 OA″，两次位置的高度差PQ=h. 根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请用含 α ，β 和h 的式子表示；如果不能， 请说明理由． 方法必会 (2)能.由题意可知∠OPA′= ∠OQA″=90°，OA′=OA″=OA. 在Rt △OA′P中， cos α = ， 所以OP=OA′·cos α =OA·cos α . 同理，OQ=OA″·cos β=OA·cos β. 因为OQ-OP=PQ=h，所以OA·cos β-OA·cos α =h. 所以OA·(cos β-cos α) =h.所以OA=. 方法必会 类型一 巧用“构造法”构造直角三角形求锐角三角函数值 1. [中考·达州]如图，由8 个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，∠ABD=120°，其中点A，B，C都在格点上，则tan∠BCD的值为(　　) A.2 B.2 C. D.3 B 好题必解 类型二 巧用“化斜为直法”构造直角三角形求线段长度 2. 如图，在△ ABC中，已知BC=1+ ，∠ B=60°，∠ C=45°，则AB=_______. 2 好题必解 类型三 巧用建模思想建立直角三角形模型解实际应用问题 题型1：测高问题 3. [模拟·怀化]太阳能路灯是直接将光能转化 为电能的一种环保灯. 如图， 某种型号太 阳能路灯的支架CD与灯柱AB的夹角 ∠BCD=60 °，支架CD=2 m，小明同 学在距灯柱10 m的F处， 好题必解 用测角仪EF测得路灯D的仰角为48°. 已知测角仪的高度为1.2 m， 求路灯D距地面AF的高度. (结果精确到0.1 m， 参考数据： ≈1.732，sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11) 好题必解 解：如图，作DM⊥AB于点M，作EN⊥AB于点N，作DG⊥EN于点G，则四边形AFEN和四边形MNGD都是矩形，所以AN=EF=1.2 m，EN=AF=10 m，DG=MN，DM=NG， 好题必解 在Rt△DMC中，∠DCM=60°，CD=2 m， 所以DM=CD·sin 60°=2 ×=3(m)， 所以NG=DM=3 m.所以EG=EN-NG=10-3=7(m). 在Rt△DGE中，∠DEG=48°， 所以MN=DG=EG·tan 48°≈7×1.11=7.77(m). 因此AM=MN+AN≈7.77+1.2≈9.0(m). 答：路灯D距地面AF的高度约为9.0 m. 好题必解 题型2：测宽问题 4. [期末·株洲荷塘区]小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽， 测量示意图如图所示，他们在河边的山坡BM上的点C处安装测角仪CD， 测得河对岸点A的俯角α 为8.5°，CD与BM的夹角β 为78.5°，又测得点C与河岸点B之间的距离CB为10 m. 好题必解 已知CD=1.6 m，点A， B， C， D，M， N在同一平面上， 点A，B，N在同一水平直线上，且CD⊥AB. 求河宽AB. (参考数据：sin 8.5°≈0.15，cos 8.5°≈0.99，tan 8.5°≈0.15，sin 78.5°≈0.98，cos 78.5°≈0.20，tan 78.5°≈4.92) 好题必解 解：如图，延长DC交AN于点H，易知DH⊥AN. 在Rt△BCH中，∠BCH=β=78.5°， 所以CH=CB·cos 78.5°≈10×0.2=2(m)， BH=CB·sin 78.5°≈10×0.98=9.8(m). 好题必解 所以DH=CD+CH≈1.6+2=3.6(m). 在Rt△DAH中，∠DAH=α=8.5°， 所以AH=≈=24(m). 因此AB=AH-BH≈24-9.8=14.2(m). 答：河宽AB约为14.2 m. 好题必解 题型3：堤坝问题 5. 为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜坡AB 的坡度i=3∶4. 已知斜坡CD 的长度为20 m，∠C=18°，求斜坡AB的长(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈ 0.32). 好题必解 解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，过点A作AF⊥BC于点F，则四边形ADEF为矩形，所以DE=AF. 好题必解 因为斜坡AB的坡度i=3∶4，所以=. 所以设AF=3x m，则BF=4x m. 所以在Rt△ABF中，AB===5x(m). 在Rt△DEC中，∠C=18°，CD=20 m， 所以DE=CD·sin 18°≈20×0.31=6.2(m). 所以AF=DE≈6.2 m.所以3x≈6.2，解得x≈. 因此AB=5x≈10.3 m.答：斜坡AB的长约为10.3 m． 好题必解 题型4：航行问题 6. [中考·南京] 如图，港口B位于港口A的北偏西37°方向， 港口C位于港口A的北偏东21°方向， 港口C位于港口B的北偏东76°方向. 一艘海轮从港口A出发， 沿正北方向航行. 已知港口B到航线的距 离为12 km， 求港口C到航线的距离. (参考数据： tan 21°≈ ，tan 37°≈ ， tan 76°≈4) 好题必解 解：如图，设BC交航线于点D，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F， 由题意知∠GBC=76°，∠BAE=37°，∠CAF=21°，BE=12 km，易得∠BDE=∠CDF=76°， 因为tan ∠BDE=， 所以DE=≈124=3(km). 好题必解 因为tan∠BAE=，所以AE=≈=16(km). 设CF=x km，因为tan∠CDF=， 所以DF=≈=x(km). 所以AF=AE+DE+DF≈16+3+x=(19+x)km， 好题必解 因为tan ∠CAF=， 所以CF=AF·tan 21°≈(19+x)km， 即x≈ (19+x)，解得x≈8. 答：港口C到航线的距离约为8 km. 好题必解 题型5：跨学科问题 7. [中考·安徽]科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B 处发出，经水面点E 折射到池底点A 处. 好题必解 已知BE与水平线的夹角α=36.9°，点B 到水面的距离BC=1.20 m，点A 处水深为1.20 m，到池壁的水平距离AD=2.50 m. 点B，C，D 在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内. 记入射角为β，折射角为γ，求的值(精确到0.1，参考数据：sin 36.9°≈ 0.60，cos 36.9°≈ 0.80，tan 36.9°≈ 0.75). 好题必解 解：如图，过点E作EH⊥AD于点H， 则四边形CEHD为矩形，所以CE=DH， 由题意可知∠CEB=α=36.9°， 所以CE=≈ =1.60(m). 所以AH=AD-DH=AD-CE≈2.50-1.60=0.90(m). 好题必解 由题意得EH=1.20 m， 所以AE=≈=1.50(m). 所以sin γ=≈=0.60. 因为sin β=sin∠CBE==cos∠CEB=cos α≈0.80， 所以≈≈1.3． 好题必解 类型四 巧用锐角三角函数解决新定义问题 8. [新视角 新定义题]我们定义：等腰三角形中底边长与腰长的比叫作顶角的正对(sad). 如图①，在△ ABC 中，AB=AC，顶角A 的正对记作sad A，这时sad A= = . 容易知道一个角的大小与这个角的正对 值是相互唯一确定的. 根据上述对角的正对的 定义，解决下列问题： 好题必解 (1)sad 60°=________； (2)sad 90°=________； 1 好题必解 (3)如图②，在Rt△ABC中，已知sin A= ，其中∠A为锐角，试求sad A的值. 好题必解 解：因为sin A==，所以设AB=5a，则BC=3a. 所以AC=4a.如图，在AB上取一点D，使AD=AC=4a，作DE⊥AC于点E，连接CD，则DE=AD·sin A=4a·=a，AE=AD·cos A=4a·=a，所以CE=AC-AE=4a-a=a. 所以CD===a. 所以sad A==. 好题必解 $