2.4.1解直角三角形的实际应用（第一课时仰角、俯角问题 ）课件 2026--2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦锐角三角函数的应用，核心讲解仰角、俯角的定义及解直角三角形解决实际问题。以天舟十号货运飞船轨道运行问题导入，衔接锐角三角函数知识，搭建从数学概念到实际应用的学习支架。 其特色在于通过现实情境（如天舟十号、东方明珠塔测量）培养数学眼光，以典例分析（如双仰角测楼高）发展数学思维，用方法总结表格（四步流程）强化数学语言表达。采用情境教学与问题驱动，帮助学生提升建模能力，也为教师提供系统的教学资源与实践案例。

湘教版·九年级上册 2.4 解直角三角形的应用 第1课时 仰角、俯角问题 第二章 锐角的正弦、余弦、正切 学 习 目 标 1 2 3 使学生深刻理解仰角和俯角的定义，并能在实际情境中准确识别这两个角度。 熟练掌握利用正弦、余弦、正切等锐角三角函数解直角三角形的一般方法。 能够构建包含仰角或俯角的直角三角形数学模型，将实际问题转化为数学问题，并准确计算出如高度、距离等未知量。 知识导入 2026年5月11日8时13分，搭载天舟十号货运飞船的长征七号遥十一运载火箭，在中国文昌航天发射场点火发射，任务取得成功。 5月11日13时11分，成功对接于空间站天和核心舱后向端口。交会对接完成后，天舟十号将转入组合体飞行段。 知识导入 天舟十号与空间站组合体在距离地球表面400km的轨道上运行.当组合体A运行到地球表面P点的正上方时从中能够看到地球表面最远的点在Q，此时OQ⊥AQ，α为19.8°求组合体距离最远点的距离 (提示：地球半径6371km，sinα≈0.34，cosα ≈0.94 ，tanα ≈0.36，结果保留整数) . A O P Q α 知识导入 A O P Q α 解：因为 PO = 6371km，AP = 400km， 所以 AO=PO+AP=6371+400 = 6771(km) 在Rt△ABC中， 在在日常生活中，我们经常会碰到一些与直角三角形有关的实际问题.对于这些问题，可用所学的解直角三角形的知识来加以解决. 答：组合体距离最远点的距离为2302km. 新知探究 知识要点 探究一：解与仰俯角有关的问题 如图，在进行测量时，从下往上看，视线与水平线上方的夹角叫作仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫作俯角. 新知探究 知识要点 例 1如图，如果测得点 A 的海拔 AE 为 1600 m，BD高为3500m，仰角∠BAC = 40°，求 A，B 两点之间的水平距离 AC. (tan 40°≈0.839 1，结果精确到 1 m). ∵ BD = 3500 m，AE = 1600 m，AC⊥BD，∠BAC = 40°， ∴ 在Rt△ABC中， 即 从而AC≈2264(m). 因此，A，B 两点之间的水平距离 AC 约为 2264 m. 知识要点 典例分析 1、某测量人员准备测量上海东方明珠塔的高度，他站在塔底部 1 000m 的 A 处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为25°，仪器距地面的高度 AE 为1.7m．如图2.4-3所示.求上海东方明珠塔的高度BD(tan25°≈ 0.466 3，结果精确到 1 m). 解 在Rt△ABC中，∠BAC＝25°，AC＝1000 m，因此 又tan25°≈0.466 3， 因此，上海东方明珠塔的高度BD ≈ 466.3 ＋ 1.7 ＝ 468 (m) ． 答：上海东方明珠塔的高度 BD 约为468 m. 从而 BC ≈ 1 000 ×0.466 3 = 466.3(m) ． 练一练 知识要点 典例分析 2.建筑物 BC 上有一旗杆 AB，由距 BC 40 m 的 D 处观察旗杆顶部 A 的仰角为 54°，观察底部 B 的仰角为 45°，求旗杆的高度（精确到 0.1 m）. 解：在等腰 Rt△BCD 中，∠ACD = 90°， BC = DC = 40 m. 在 Rt△ACD 中， ∴AB = AC－BC≈55.1－40 = 15.1 (m). 练一练 新知探究 知识要点 方法总结： 利用解直角三角形知识解决实际问题的一般过程 一般过程 图示 (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题) ； (2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案. 实际问题 数学问题(解直角三角形) 数学问题的解 实际问题的解 抽象 (转化) 求解 得到 得到 解决 知识要点 典例分析 从而 BC = 1000×tan 25° ≈ 466.3(m) BD = 466.3 + 1.7 = 468 ( m ). 答：上海东方明珠塔的高度 BD为 468 m. 解：如图，在Rt△ABC 中，∠BAC = 25°，AC = 1000 m， 因此 例2 某测量人员准备测量上海东方明珠塔的高度，他站在离底部 1000 m 的 A 处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为 25°，仪器距地面高 AE 为 1.7 m，如图所示. 求上海东方明珠塔的高度 BD (tan25°≈0.466 3，结果精确到 1 m). A D 25° E 典例分析 其他性质 3. 如图，小强想测量楼 CD 的高度，楼在围墙内，小强 只能在围墙外测量.他无法测得观测点到楼底的距离， 于是小强在 A 处仰望楼顶，测得仰角为37°，再往楼 的方向前进30m 至B处，测得楼顶的仰角为53° (A，B，C 三点在一条直线上)，求楼CD 的高度(小强的身高忽略不计，结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈ 0.60，cos 37°≈ 0.80，tan 37°≈0.75， sin53°≈ 0.80，cos 53°≈ 0.60，tan 53°≈1.33). 练一练 典例分析 其他性质 解：设楼 CD 的高度为 x m. 依题意得，有∠DAC=37°， ∠DBC=53°， 在Rt△ACD中， 因为AB = AC－BC 解得 x = 51.6 答：楼 CD 的高度为51.6m. 典例分析 其他性质 例3 如图，小明想测量塔 AB 的高度.他在 D 处仰望塔顶，测得仰角为 30°，再往塔的方向前进 50 m 至 C 处.测得仰角为 60°，小明的身高 1.5 m. 那么该塔有多高? (结果精确到 1 m)，你能帮小明算出该塔有多高吗? D′ A B′ B D C′ C 分析：由图可知，塔高 AB 可以分为上下两部分，上部分 AB′ 可以在 Rt△AD′B′ 和 Rt△AC′B′ 中利用仰角的正切值求出，B′B 与 D′D 相等. 其他性质 典例分析 解：如图，设 AB′ = x m. 由题意知∠AD′B′ = 30°，∠AC′B′ = 60°， D′C′ = 50 m. ∴∠D′AB′ = 60°，∠C′AB′ = 30°，D′C′ = 50 m ， D′ A B′ B D C′ C 其他性质 典例分析 4.如图，直升飞机在长 400 米的跨江大桥 AB 的上方 P 点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为 37° 和 45°，求飞机的高度. （结果取整数. 参考数据：sin 37° ≈ 0.8，cos37° ≈ 0.6，tan 37° ≈ 0.75） A B 37° 45° 400 米 P 练一练 其他性质 新知探究 A B O 37° 45° 400 米 P 在 Rt△POB 中，∠PBO = 45°， 在 Rt△POA 中，∠PAB = 37°， ∴ OB = PO = x 米. 解得 x = 1200. 解：作 PO⊥AB 交 AB 的延长线于点 O，设 PO = x 米. 即 故飞机的高度为 1200 米. 方法总结： 实际问题中常见的基本图形及相应的关系 图形 关系式 图形 关系式 AC = BC·tanα AG = AC+BE AC = BC·tanα AG = AC－BE BC= CD－BD=AD·(tanα－tanβ) 18 课堂练习 1. 如图①，在高出海平面 100 米的悬崖顶 A 处，观测海平面上一艘小船 B，并测 得它的俯角为 45°，则船与观测者之间 的水平距离 BC =_____米. 2. 如图②，两建筑物 AB 和 CD 的水平距 离为 30 米，从 A 点测得 D 点的俯角为 30°，测得 C 点的俯角为 60°，则建筑 物 CD 的高为_____米. 100 图① B C A 图② B C A D 30° 60° 课堂练习 3. 如图，在电线杆上离地面高度 5 m 的 C 点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线 AC 和地面成 60° 角，另一根拉线 BC 和地面成 45° 角．则两根拉线的总 长度为 m (结果用带根号的数的形式表示). 课堂练习 4.如图，一艘游船在离开码头 A 后，以与和河岸成 30°角的方向行驶了 500m 到达 B 处，求 B 处与河岸的距离 BC. 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=500m. 从而BC = 500×sin30°= 250(m). 答：B处与河岸的距离 BC 为 250 m． 课堂练习 5. 某厂家新开发的一种电动车，其大灯 A 射出的光线 AB，AC 与地面 MN 所成的夹角∠ABN，∠ACN 分别为8°和15°，大灯 A 与地面的距离为 1m，如图所示，求该车大灯照亮地面的宽度 BC (tan 8°≈ 0.14，tan 15°≈ 0.27，不考虑其他因素，结果精确到0.1m) ． 课堂练习 解：作AD⊥MN，垂足于D. 如图，在Rt△ABD中，∠ABD =8°，AD =1m， 因此 从而 同理 CD ≈3.70 m. 所以 BC = BD-CD ≈ 3.4(m). 答:该车大灯照亮地面的宽度 BC 为3.4m. 课堂小结 仰角和俯角 名称 定义 图示 仰角 俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的是俯角 俯角 仰角 眼睛 视线 视线 拓展提升 1. 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高 AB 为 610 米，远处有一栋大楼，某人在楼底 C 处测得塔顶B的仰角为 45°，在楼顶 D 处测得塔顶 B 的仰角为 39°．（tan39°≈0.81） (1) 求大楼与电视塔之间的距离AC； 解：由题意，AC＝AB＝610（米）. 拓展提升 (2) 求大楼的高度 CD（精确到 1 米）. 解：DE＝AC＝610（米）， 在 Rt△BDE 中，tan∠BDE＝ . 故 BE＝DE · tan39°． ∴ CD＝AE＝AB－BE＝AB - DE · tan39° ＝610－610×tan39° ≈ 116（米）. 拓展提升 2.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)？ 解析：在Rt△ABD中，α=30°，AD=120.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC. 拓展提升 解：如图，α=30°，β=60°，AD=120m. 因为 所以BD=AD·tanα=120×tan30°= CD=AD·tanβ = 120×tan60° 所以 BC=BD+CD 答：这栋高楼约高277.1m. 拓展提升 3.如图，在离树 BC 12米的 A 处，用测角仪测得树顶的仰角是30°，测角仪AD高为1.5米，求树高BC．(计算结果可保留根号) 分析：本题可以通过过点D作DE⊥BC于E，把求CB的问题转化求BE的长，从而可以在△BDE中利用三角函数. 拓展提升 解：过点D作DE⊥BC于E，则四边形DECA是矩形， 所以 DE=AC=12 m．CE = AD =1.5 m． 在Rt△BED中，∠BDE=30°， 所以 BE=DE·tan30°= 所以 BC=BE+EC= 答：树高BC为 感谢聆听! $