第1章 图形的相似 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（湘教版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了图形的相似的核心知识，涵盖线段的比、比例性质、黄金分割、相似三角形的判定与性质、相似的应用及位似，通过知识框架图将各知识点串联，帮助学生构建完整的相似知识体系。 其亮点在于采用“例题解析-针对训练-应用拓展”的复习模式，如通过相似三角形测高、位似图形放大缩小等实例，培养学生的推理能力和模型意识。分层设计的针对训练让不同水平学生巩固知识，教师能精准把握学情，提升复习效率。

小结与复习 第1章 图形的相似 ÷ 九年级上册数学（湘教版） 如果选用同一个长度单位量得两条线段 a，b 的长度分别为 m，n ，那么它们的长度比叫作这两条线段的比. 四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，那么这四条线段 a，b，c，d 叫作成比例线段，简称比例线段. 1. 线段的比和成比例线段的定义 要点梳理 比例的基本性质─ 比例的合比性质─ 比例的等比性质： 比例的更比性质— 2. 比例的性质 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 A C B 那么称线段 AB 被点 C 点 C 叫作线段 AB 的 AC 与 AB（或 BC 与 AC）的比叫做 黄金比 ≈ 0.618 黄金分割 黄金分割点 黄金分割比 3. 黄金分割 (1) 形状相同的图形 (2) 相似多边形 (3) 相似比：相似多边形对应边的比 4. 图形的相似 ①表象：大小不等，形状相同. ②实质：各对应角相等、各对应边成比例. ◑通过定义 ◑平行于三角形一边的直线 ◑三边成比例 ◑两边成比例且夹角相等 ◑两角分别相等 ◑两直角三角形的斜边和一条直角边成比例 (三个角分别相等，三条边成比例) 3. 相似三角形的判定 ◑对应角相等、对应边成比例 ◑对应高、中线、角平分线的比等于相似比 ◑周长比等于相似比 ◑面积比等于相似比的平方 3. 相似三角形的性质 (1) 测高 测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解. (不能直接使用皮尺或刻度尺量的) (不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决. (2) 测距 7. 相似三角形的应用 (1) 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连 线相交于一点，那么这样的两个图形叫作位 似图形，这个点叫作位似中心. 8. 位似 (2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心 的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在 一条直线上. (3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小. A B G C E D F ●P B′ A′ C′ D′ E′ F′ G′ A′ B′ C′ D′ E′ F′ G′ A B G C E D F ●P (4) 平面直角坐标系中的位似 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比为－k. 例1 如图，△ABC 是一块锐角三角形材料，边 BC＝120 mm，高 AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？ A B C D E F G H 解：设正方形 EFHG 为加工成的正方形零件，边 GH 在 BC 上，顶点 E、F 分别在AB、AC 上，△ABC 的高 AD 与边 EF 相交于点 M，设正方形的边长为 x mm. M 考点一 相似三角形的判定和性质 考点讲练 ∵ EF∥BC，∴△AEF ∽ △ABC. 又∵ AM＝AD－MD＝80－x， 解得 x = 48. 即这个正方形零件的边长是 48 mm. A B C D E F G H M 则 ∴ 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°． ∵CE 是外角平分线， ∴∠ACE＝60°. ∴∠BAC＝∠ACE． 又∵∠ADB＝∠CDE， ∴△ABD∽△CED． 例2 如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点 D 在 AC 上，连接 BD 并延长与 CE 交于点 E. (1) 求证：△ABD ∽△CED； A B C D F E (2) 若 AB = 6，AD = 2CD，求 BE 的长. 解：作 BM⊥AC 于点 M. ∵ AC＝AB＝6， ∴ AM＝CM＝3. ∵ AD ＝ 2CD， ∴CD＝2，AD＝4，MD＝1. A B C D F E M 在 Rt△ABM 和 Rt△BDM 中， 由(1) △ABD ∽△CED 得， 即 ∴ 1．如图所示，当满足下列条件之一时，都可判定 △ADC ∽△ACB． (1) ； (2) ； (3) . ∠ACD =∠B ∠ACB =∠ADC B C A D 或AC2 = AD · AB 针对训练 2. △ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的△DEF 的最小边长为 15，则 △DEF 的其他两条边长为 ． 36 和 39 3. 如图，△ABC 中，AB = 9，AC = 6，点 E 在 AB 上且 AE = 3，点 F 在 AC 上，连接 EF，若 △AEF 与△ABC 相似，则 AF =　　　　. B C A E 2 或 4.5 4. 如图，在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE : EC =1 : 2，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △BFE 的面积 与 △DFA 的面积之比为 .　　　　　　 1 : 9 E D C B A F 2 m 1.2 m 3.6 m A 考点二 相似的应用 例3 如图，某一时刻一根 2 m 长的竹竿 EF 的影长 GE 为 1.2 m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成 30°角，树顶端 B 在地面上的影子点 D 与 B 到垂直地面的落点 C 的距离是 3.6 m，求树 AB 的长. ∴ BC＝6 m. 在 Rt△ABC 中， ∵ ∠A＝30°， ∴ AB＝2BC＝12 m. 即树长 AB 是 12 m. 2 m 1.2 m 3.6 m A 解：如图，CD＝3.6 m， ∵△BDC∽△FGE， 即 ∴ 例4 星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到 1928 年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？” 请你利用初中数学知识， 设计一种方案测量纪念碑的 高度 (画出示意图)，并说明理由． 解：如图，线段 AB 为纪念碑，在地面上平放一面镜子 E，人退后到 D 处，在镜子里恰好看见纪念碑顶 A. 若人眼到地面距离为 CD，测量出 CD、DE、BE 的长，就可算出纪念碑 AB 的高． 根据 ，即可算出 AB 的高． 你还有其他方法吗？ 理由：测量出 CD、DE、BE 的长，因为∠CED＝∠AEB，∠D＝∠B＝90°，易得△ABE∽△CDE. 如图，小明同学跳起来把一个排球打在离他起跳点 2 m 远的地上，然后反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是 1.8 m，排球落地点离墙的距离是 6 m， 假设球一直沿直线运动，球能碰到墙面 离地多高的地方？ A B O C D 2 m 6 m 1.8 m 针对训练 A B O C D 2 m 6 m 1.8 m 解：∵∠ABO = ∠CDO = 90°，∠AOB = ∠COD， ∴△AOB ∽ △COD. ∴ ∴ 解得 CD = 5.4 m. 故球能碰到墙面离地 5.4 m 高的地方． 考点三 位似的性质及应用 1. 在如图所示的四个图形中，位似图形的个数为 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 针对训练 2. 已知 △ABC ∽ △A′B′C′，下列图形中， △ABC 和△A′B′C′ 不存在位似关系的是 ( ) B' A(A') C' B C B' A(A') C' B C B' A(A') C' B C B' A C' B C A' A B C D B 3. 如图，DE∥AB，CE = 3BE，则 △ABC 与 △DEC 是以点 为位似中心的位似图形，其位似比为 ，面积比为 . D A E B C C 4 : 3 16 : 9 4. 在平面直角坐标系中， 点 A，B 的坐标分别为(－6， 3)， (－12，9)，△ABO 和 △A′B′O 是以原点 O 为位似中心的位似图形. 若点 A′ 的坐标为 (2，－1) 则点 B′ 的坐标为 . (4，－3) 5. 找出下列图形的位似中心. 6. 如图，下面的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 O 和 △ABC 的顶点均为小正方形的顶点. A B C O A′ B′ C′ (1) 在图中 △ABC 内部作 △A′B′C′，使 △A′B′C′ 和 △ABC 位似，且位似中心为点 O，位似比为 2 : 3. 解：如图所示. (2) 线段 AA′ 的长度是 . 7. 如图，△ABC 在方格纸中. (1) 请在方格纸上建立平面直角坐标系，使 A (2，3)，C (6，2)，并求出 B 点坐标； 解：如图所示， B (2，1). x y O x y O (2) 以原点 O 为位似中心，位似比为 2，在第一象限内 将 △ABC 放大，画出放大后的图形 △A′B′C′； A′ B′ C′ 解：如图所示. (3) 计算△A′B′C′的面积 S. x y O A′ B′ C′ 解： 相似 相似图形 位似 相似多边形 相似三角形 性质 平面直角坐标系中的位似 应用 性质 判定 平行线分线段成比例 定义 定义、判定、性质 课堂小结 见教材章末练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $