1.7 第2课时 平面直角坐标系中的位似（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（湘教版·新教材）

该初中数学课件聚焦平面直角坐标系中的位似变换，核心知识点为位似图形对应点坐标关系及变换规律。课堂导入先复习位似图形定义、位似中心等旧知，通过“位似是否可用坐标关系表示”的问题衔接，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过△AOB坐标缩放实例培养几何直观与推理意识，分层练习（基础题、典例精析）助学生用坐标表示位似变换，落实模型意识。结构化小结梳理知识脉络，学生能深化理解提升能力，教师可获清晰教学流程与丰富素材，便于高效教学。

1.7 位 似 第1章 图形的相似 第2课时 平面直角坐标系中的位似 ÷ 九年级上册数学（湘教版） 1. 理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之 间的联系． 2. 会用图形的坐标的变化表示图形的位似变换，掌握 把一个图形按一定比例放大或缩小后，点的坐标变 化的规律. (重点、难点) 3. 了解四种图形变换 (平移、轴对称、旋转和位似) 的 异同，并能在复杂图形中找出来这些变换. 学习目标 1. 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫作 ， 这个交点叫作 ．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 ，对应线段 . 2. 如何判断两个图形是不是位似图形? 位似图形 位似中心 位似比 平行或者在一条直线上 复习导入 3 3. 画位似图形的一般步骤有哪些？ 4. 基本模型： 我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转 (中心对称). 那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？ 如图，已知△AOB 的顶点坐标为 A(2，4)，O(0，0)，B(6，0). (1) 将△AOB 的各个顶点的坐标分别扩大为原来的 2 倍，画出对应的△A'OB' . A'(4，8)，B'(12，0). 如图，依次连接点 A'，O，B'，得到△A'OB'. 2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 12 1 平面直角坐标系中的位似变换 思 考 A B A' B' 探究新知 (2) 点 A' 是否在直线 OA 上？点 B'是否在直线 OB 上？△AOB 与△A'OB' 是位似图形吗？ 如果是，位似中心是哪个点？ 位似比是多少? 可以发现，点 A' 在直线 OA上，点 B' 在直线 OB 上， 于是△AOB 与△A'OB' 是以 坐标原点 O 为位似中心，位似比为 2 的位似图形. 2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 12 A B A' B' 做一做 如图，已知△AOB 的顶点坐标为 A(3，6)，O(0，0)，B(6，3). (1) 将各个顶点的坐标分别缩小为原来的 倍，画出对应的△A'OB' . A'(1，2)，B'(2，1) A B A' B' (2) 点 A' 是否在直线 OA 上？点 B' 是否在直线 OB 上？△AOB 与△A'OB' 是位似图形吗？如果是，位似中心是哪个点？位似比是多少? A B A' B' 可以发现，点 A' 在直线 OA上，点 B' 在直线 OB 上， 于是△AOB 与△A'OB' 是以 坐标原点 O 为位似中心，位似比为 的位似图形. 知识要点 从上面的两个例子受到启发，有下述命题： 在平面直角坐标系中，将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点）分别扩大或缩小至原来的 k 倍 (k > 0)，则所对应的图形与原图形是以原点为位似中心的位似图形，位似比为 k. 利用上述命题，在平面直角坐标系中，把一个多边形（有一个顶点为原点）的各个顶点的坐标分别扩大或缩小至原来的 k 倍（ k > 0），则所对应的多边形就是把原多边形放大或缩小至原来的 k 倍的图形. 问题1 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？ 问题2 所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其位似比是何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？ 想一想 数学上可以证明，一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同的倍数，所得到的图形与原图形是以坐标原点为位似中心的位似图形. 在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，位似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k或-k. 归纳： 1. 如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A (4，4)，B (6，2)，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，则端点 D 的坐标为 ( ) A. (2，2) B. (2，1) C. (3，2) D. (3，1) D x y A B C D 练一练 2. △ABC 三个顶点 A (3，6)，B (6，2)，C (2，－1)， 以原点为位似中心，得到的位似图形 △A′B′C′ 的三个顶点坐标分别为 A′ (1，2)，B′ (2， )，C′ ( ， )， 则 △A′B′C′ 与 △ABC 的位似比是 . 1 : 3 例1 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A (－2，4)，B (－2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ABO 的相似比为 3 : 2. 2 4 6 2 －2 －4 x y A B O 典例精析 2 4 6 2 －2 －4 x y A B O 解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′ (－3，6)，B′ (－3，0)，O (0，0). A′ B′ 顺次连接点 A′ ，B′ ，O，所得的 △A′ B′ O 就是要画的一个图形. 还有其他画法吗？自己试一试. 提示：画三角形关键是确定它各顶点的坐标. 根据前面的归纳可知，点 A 的对应点 A′ 的坐标为 ，即 (－3，6)，类似地，可以确定其他顶点的坐标. 3. 在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C (－3，3). 以原点 O 为位似中心，画出四边形 OABC 的位似图形，使它与四边形 OABC 的位似比是 2 : 3. 练一练 17 O C 解：画法一：将四边形 OABC 各顶点的坐标都乘以 ；在平面直角坐标系中描点 O (0，0)，A' (4，0)，B' (2，4)，C′ (－2，2)，用线段顺次连接 O，A'，B'，C'. 2 4 6 4 6 B' －2 －4 －4 x y A B A' C' 18 画法二：将四边形 OABC 各顶点的坐 标都乘 ；在平面 直角坐标系中描点 O (0，0)，A″ (－4，0)，B″ (－2，－4)，C″ (2，－2)，用线段顺次连接O，A″，B″，C″. O C 2 4 6 4 6 B″ －2 －4 －4 x y A B A″ C″ 至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在右图所示的图案中，你能找到这些变换吗？ 平面直角坐标系中的图形变换 3 2 4 6 4 6 －2 －4 －4 x y A B 2 8 10 C －2 －6 －8 －10 －8 例2 如图，已知□OABC 的顶点坐标分别为 O (0，0) ，A (3，0)，B (4，2)，C (1，2). 以坐标原点 O 为位似中心，作 □OABC 的位似图形，位似比为 3 . O 2 4 6 4 6 －2 －4 －4 x y A B 2 8 10 C －2 －6 －8 －10 －8 B' A' C' A" B" C" 方法一，将□OABC的各点坐标分别乘3，得O(0，0)，A'(9，0)，B'(12，6)，C'(3，6)，依次连接点O，A'，B'，C'，则四边形OA'B'C'即为所求，如图. 方法二，将□OABC的各点坐标分别乘-3，得O(0，0)，A''(-9，0)，B''(-12，-6)，C''(-3，-6)，依次连接点O，A''，B''，C''，则四边形OA''B''C''即为所求，如图. O 4. 将图中的 △ABC 做下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化． (1) 沿 y 轴正向平移 3 个单位长度； (2) 关于 x 轴对称； (3) 以 C 为位似中心， 将 △ABC 放大 1.5 倍； (4) 以 C 为中心，将 △ABC 顺时针旋转 180°． x y A B C 练一练 1. 将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下变化，其中属于位似变换的是 ( ) A. 将各点的纵坐标乘 2，横坐标不变 B. 将各点的横坐标除以 2，纵坐标不变 C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘 2 D. 将各点的纵坐标减去 2，横坐标加上 2 C 课堂练习 2. 如图，小朋在坐标系中以 A 为位似中心画了两个位似的直角三角形，可不小心把 E 点弄脏了，则 E 点坐标为 ( ) A．(4，－3) B．(4，－2) C．(4，－4) D．(4，－6) A A(-5,3) (1,-1) B(1,3) y x D(4,3) C O 3. 如图所示，某学习小组在讨论 “变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点 (a，b) 对应大鱼上的点 . (－2a，－2b) 26 4. 原点 O 是 △ABC 和 △A′B′C′ 的位似中心，点 A (1，0) 与点 A′ (－2，0) 是对应点，△ABC 的面积 是 ，则 △A′B′C′ 的面积是 . 6 O x y A D C B G F E 5. 如图，正方形 ABCD 和正方形 OEFG 中，点 A 和 点 F 的坐标分别为 (3，2)，(－1，－1)，则两个正 方形的位似中心的坐标是___________________． (1，0) 或 (－5，－2) 6. △ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，－2)，B (4，－5)， C (5，－2)，以原点 O 为位似中心，将这个三角形放 大为原来的 2 倍． C 2 4 6 －4 x y A B 2 －2 答案： A' (4，－4)， B' (8， －10)， C' (10，－4)； B' A' C' A" B" C" A″ (－4，4)， B″ (－8，10)， C″ (－10，4). (1) 以点 M 为位似中心，相似比为 2，画出 △ABC 的 位似图形 △A′B′C′； 7. 在 13×13 的网格图中，已知 △ABC 和点 M (1，2). 解：如图所示. x y A B C M A′· · B′ · C′ (2) 写出 △A′B′C′ 的各顶点坐标. 答：△A′B′C′ 的各顶点坐标分别为 A′ (3，6)，B′ (5，2)， C′ (11，4). 8. 如图，点 A 的坐标为 (3，4)，点 O 的坐标为 (0，0)，点 B 的坐标为 (4，0). (1) 将 △AOB 沿 x 轴向左平移 1 个单位长度后得 △A1O1B1， 则点 A1 的坐标为 ， △A1O1B1 的面积为 ； (2，4) 8 (2) 将 △AOB 绕原点旋转 180° 后得 △A2O2B2，则点 A2 的 坐标为 ； (－3，－4) 4 x y A B 4 3 O (3) 将 △AOB 沿 x 轴翻折后得 △A3O3B3，则点 A3 的 坐标为 ； (4) 以 O 为位似中心，按比例尺 1 : 2 将 △AOB 放大后得 △A4O4B4，若点 B 在 x 轴负半轴上，则点 A4 的坐标为 ，△A4O4B4的面积为 . (3，－4) (－6，－8) 32 4 x y A B 4 3 O 平面直角坐标系中的位似 平面直角坐标系中的位似变换 平面直角坐标系中的图形变换 坐标变化规律 平面直角坐标系中的位似图形的画法 课堂小结 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $