2.3解直角三角形（教学课件）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“解直角三角形”，通过回顾直角三角形边、角元素及勾股定理、锐角互余、三角函数等旧知，搭建从已有知识到新知的学习支架，引导学生理解解直角三角形的概念及求解方法。 其亮点在于以问题驱动和分层实践培养核心素养，通过小组合作探究已知元素条件（体现推理意识），典例用方程思想（如例2设参数）和“有斜用弦，无斜用切”口诀（体现模型意识），帮助学生提升数学思维，教师可借助清晰结构高效教学。

2.3 解直角三角形 第2章 锐角正弦、余弦、正切 导入新课 直角边 斜边 回顾一下，我们学直角三角形时，直角三角形哪些基本元素？ 直角边 三条边 三个角 直角 锐角 锐角 直角三角形的这些元素有什么关系呢？ ----其实，前面已经学了。今天，我们一起来整理它们并运用它们。 学 习 目 标 1 2 理解直角三角形中五个元素的关系，掌握解直角三角形的概念（重点） 会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形（重难点） 新知探究 说一说 如图，在Rt△ABC中，∠C =90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别记作a，b，c . A B C a b c 问题1：直角三角形的三边之间有什么关系？ a2+b2=c2(勾股定理) 问题2：直角三角形的锐角之间有什么关系？ ∠A+∠B=90° 问题3：直角三角形的边和锐角之间有什么关系？ 锐角三角函数将直角三角形的边和角联系到一起啦 cos A= sin A= tan A= 例1 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，a=5. 求∠B、b、c. 典例分析 解: ∵∠B=90°-∠A=90°-30°=60°. 又∵tanB=， ∴b=a·tanB=5·tan 60°=5. ∵sinA=， ∴ c=== =10. 解直角三角形 c 还有另外一个解法？ 新知探究 总结归纳 解直角三角形 由直角三角形中已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外的这5个元素，知道其中的几个元素，就可以求出其余的元素？ 新知探究 问题1：已知一条边和一个角，能求出其他元素吗？ 问题2：已知两条边，能求出其他元素吗？ 问题3：已知两个角，能求出其他元素吗？ 小组合作解决三个问题 已知2个元素，且至少有1个是边，就可以求出其余3个未知元素， 你能得到什么结论？ 探 究 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C =90°，cosA = ，BC =5，试求AB 的长. 典例分析 A B C 解： ∵∠C=90°，cosA=， ∴=. 设AB=x，则AC=x. 又AB2=AC2+BC2， ∴x2=(x)2+52. 解得x=. ∴ AB 的长为. 在解直角三角形中，已知一边和另两边的关系，常用勾股定理方程思想。 基础巩固题 新知应用 1.根据下列所给条件解直角三角形，不能求解的是( ) ①已知一直角边及其对角；②已知两锐角； ③已知两直角边；④已知斜边和一锐角； ⑤已知一直角边和斜边. A. ②③ B. ②④ C. 只有② D. ②④⑤ 已知2个元素，且至少有1个是边，就可以求出其余3个未知元素。 C 基础巩固题 新知应用 2. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，a，b，c 分别是∠A， ∠B，∠C 的对边，则下列各式正确的是 ( ) A. b = a · tan A B. b = c · sin A C. b = c · cos A D. a = c · cos A C A B C a b c 新知应用 基础巩固题 3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°， AB = 8，则 BC 的长是 ( ) D A C B  4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为(　　) A. B. C. D. D 设参数法 基础巩固题 新知应用 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，b=3 cm，求a，c. 解：∠A=90°－∠B=90°－45°= 45°. 所以 a = b = 3 cm. 因为 所以 C A B a c b 已知一角和对边 基础巩固题 新知应用 6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，c=16cm，求a，b. 解：根据题意作Rt△ABC ， 因为 所以 a=c·sin A=16·sin30°=8 cm. 又因为 所以 C A B a b c=16 已知一角和斜边 有斜用弦，无斜用切 基础巩固题 新知应用 7. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，a=6cm ，c=10cm，求b，∠A，∠B (参考数据：sin37° ≈ 0.60，cos37° ≈ 0.80，tan37° ≈ 0.75 ,精确到1°). 解：在Rt△ABC中，由勾股定理可知 因为 所以 ∠A≈37°. 所以∠B=90°－∠A=90°－37°=53°. C A B a c b 已知两边 能力提升题 新知应用 8. 如图，已知 Rt△ABC 中，斜边 BC 上的高 AD = 3，cosB = ，则 AC 的长为 . 3.75 9.在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝8，∠ABD＝30°，∠CAD＝45°，则BC的长为(　　) A．4 B．4＋4 C．4－4 D．4 B 等角的余弦值相等 能力提升题 新知应用 7.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形。若AB=2，求△ABC的周长.（结果保留根号） 解：在等边△ABD中，∠B=60° ∵∠BAC=90° ∴∠C=30°，sinC= ，∴BC=4. ∵cosC= ∴AC=BC·cosC=2· ∴△ABC的周长是6+2· . 能力提升题 新知应用 10.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝10，AB＝20，求∠A的度数． 解：∵在Rt△BDC中，∠BDC＝45°，BD＝10， ∴BC＝BD·sin∠BDC＝10×＝10. ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝20， ∴sinA=＝＝， ∴∠A＝30°. 课堂小结 解直角三角形 依据 解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边长），就可以求出余下的三个未知元素 勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数 感谢聆听! $