2.1 第1课时 正弦（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（湘教版·新教材）

该初中数学课件聚焦锐角正弦的定义、性质及应用，从“铺设水管”实际情境导入，通过30°角对边与斜边比值的探究，结合相似三角形推理形成正弦概念，再经例题、练习及特殊角正弦值学习，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以实际情境培养数学眼光，通过合作探究和相似推理发展数学思维，结合坐标系、方程思想强化数学语言应用。例如用“铺设水管”抽象数量关系，用相似三角形证明比值为常数，例2构造直角三角形求坐标中角的正弦。帮助学生提升抽象能力和推理意识，为教师提供结构化探究式教学资源。

1.1 锐角的正弦和余弦 第1章 锐角的正弦、余弦、正切 第1课时 正 弦 ÷ 九年级上册数学（湘教版） 学习目标 1. 理解并掌握锐角三角函数中正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定 (即正弦值不变). (重点) 2. 能根据正弦概念正确进行计算. (重点、难点) 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡角 (∠A )为 30°，为使 出水口的高度达到 35 m，需要准备多 长的水管？ 30° 情境导入 正弦的概念 从上述情境中，你可以发现一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？ A B C 30° 35 m ? 【合作探究】 1 探究新知 A B C 30° 35 m 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 35 m，求 AB. 根据“直角三角形中30°角所对的 边等于斜边的一半”，可知 ∴ AB = 2BC = 2×35 = 70 (m). 故需要准备 70 m 长的水管. 如果出水口的高度为 50 m，那么需要准备多长的水管？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对 边与斜边的比都等于 . 归纳： 如图，△ABC 和△DEF 都是直角三角形，其中 ∠A＝∠D＝α，∠C＝∠F＝90°，则 成立吗？ 为什么？ A B C α D E F α 探 究 因为∠A =∠D = α，∠C =∠F = 90°， 所以△ABC∽△DEF， 从而 因此 在有一个锐角等于 α 的所有直角三角形中，角 α 的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关. 知识要点 这就证明了下面的命题： 8 如图，在 直角三角形中，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫作∠A 的正弦，记作 sin A ，即 例如，当∠A ＝30° 时，由前面的分析可知 归纳： ∠A 的对边 斜边 sin A = α c a b 对边 斜边 A B C (2)∠B 的对边是 AC，根据勾股定理，得 AC2 = AB2 - BC2 = 52 - 32 = 16. 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 3，AC = 5. （1）求 sin A 的值； （2）求 sin B 的值. A B C 5 3 解：(1)∠A 的对边 BC = 3，斜边 AB = 5，于是 因此 于是 AC = 4. 典例精析 sin A = ( ) sin A = ( ) 1. 如图，判断对错： A 10 m 6 m B C √ × sin B = ( ) × sin A = 0.6 ( ) sin B = 0.8 ( ) √ √ 练一练 2. 在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sin A 的值 ( ) A. 扩大 100 倍 B. 缩小 C. 不变 D. 不能确定 C 例 2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值. 解：如图，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，则点 A (3，0)，AP = 4． A (3，0) 在 Rt△APO 中，由勾股定理得 因此 α 方法总结：结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向 x 轴或 y 轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解. 3. 如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sin α 等于 ( ) O x y P (a，b) α A. B. C. D. D 练一练 正弦的简单应用 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， ，BC = 3，求 sin B 及 Rt△ABC 的面积. A B C 提示：已知 sin A 及∠A 的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长，然后再利用勾股定理，求出 AC 的长度，进而求出 sin B 及 Rt△ABC 的面积. 2 解：∵∠C = 90°， ∴ ∴ AB = 3BC = 3×3 = 9. ∴ ∴ ∴ 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sin A = k，sin B = h，AB = c，则 BC = ck， AC = ch. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sin A = k，sin B = h，BC = a，则 AB = AC = 归纳： 4. 在Rt△ABC 中，∠C = 90°，sin A = ，BC = 6，则 AB 的长为 ( ) D A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 在△ABC 中，∠C = 90°，如果 sin A = ，AB = 6， 那么 BC =_____. 2 练一练 例 4 在 △ABC 中，∠C = 90°，AC = 24 cm，sinA = ，求这个三角形的周长． 解：由 sin A = ，设 BC = 7x cm，则 AB = 25x cm. 即 24x = 24，解得 x = 1. 故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm. ∴ △ABC 的周长为 BC + AC + AB = 7 + 24 + 25 = 56 (cm). 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 方法总结： 已知一边及其邻角的正弦值时，一般需结合方程思想和勾股定理解决问题. 问题1：如何求 sin 60° 的值？ 如图，画一个 Rt△ABC，使∠B = 90°，∠B = 60°，则∠A = 30°，从而 . 根据勾股定理得 AC2 = AB2 - BC2 = AB2 - 于是 因此 特殊角的正弦值 3 问题2：如何求 sin 45° 的值？ 如图所示，构造一个Rt△ABC，使∠C = 90°，∠A = 45°. 于是∠B = 45°. 从而 AC = BC． 根据勾股定理，得 AB2 = AC2 + BC2 = BC2 + BC2 = 2BC2. 于是 AB= BC. 因此 23 30°、45°、60° 角的正弦值如下表： 锐角a 三角 函数 30° 45° 60° sin a 归纳： 例5 计算：sin230°－ sin45°＋sin260° 解： 原式 通常我们把 (sin30°)2 简记为sin230° 典例精析 1. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大为原来的 2 倍，则锐角 A 的正弦值将 ( ) A. 扩大为原来的 2 倍 B.不变 C. 缩小为原来的 D. 无法确定 B 2. 如图，在△ABC 中，∠B = 90°，sin A 的值为( ) 7 A C B 3 A. B. C. D. A 课堂练习 3. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC 的值为 . 解析：∵ AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ，∴ AB2＝BC2＋AC2． ∴ ∠ACB＝90°． ∴ sin∠ABC＝ 4.计算： sin30° + sin245° + sin60° 解：原式 5. 如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sinA = ，求 △ABC 的面积. D 5 5 C B A 解：作 BD⊥AC 于点 D． ∵ sin A = ， ∴ 又∵ AB = AC，BD⊥AC，∴ AC = 2AD = 6， ∴ S△ABC = AC · BD÷2 = 12. 29 6. 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB. (1) sinB 可以由哪两条线段之比表示? A C B D 解：∵ CD⊥AB，∴∠ADC =∠ACB = 90°． ∴∠ACD = ∠B = 90°－∠A． ∴ (2) 若 AC = 5，CD = 3，求 sinB 的值. 解： 由 (1) 知， 正弦函数 正弦函数的概念 正弦函数的应用 已知边长求正弦值 已知正弦值求边长 ∠A的对边 斜边 sin A = 课堂小结 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $