第1章 图形的相似 章末复习 课件 2026-2027学年数学湘教版九年级上册

该初中数学课件围绕“图形的相似”展开，涵盖比例性质、相似三角形判定与性质、位似变换等核心知识。通过基础概念复习导入，以专题形式搭建知识支架，衔接中考考点，帮助学生梳理前后知识脉络。 其亮点在于结合中考真题，渗透分类讨论、从特殊到一般等数学思想，如利用相似解决立杆测影问题培养模型意识，通过PD长度分类讨论发展推理能力。学生能提升解题思维，教师可获得系统复习资源，提高教学效率。

第1章 图形的相似 章末复习 结构必知 结构必知 1. 比例的基本性质：如果=，那么ad=bc. 2. 平行线分线段成比例的基本事实及其推论 (1)基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. (2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 核心必读 3. 相似三角形的判定 (1)平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似； (2)两角分别相等的两个三角形相似； (3)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； (4)三边成比例的两个三角形相似. 核心必读 4. 相似三角形的性质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例； (2)相似三角形对应线段的比等于相似比，周长的比等于相似比； (3)相似三角形的面积比等于相似比的平方. 5. 位似图形的性质：若两个图形是位似图形，则这两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应线段平行(或在同一条直线上). 核心必读 专题一 比例的基本性质 链接中考 >> 利用比例的基本性质化简求值是中考常考查的内容，常以选择题、填空题的形式考查. 知识必学 [中考·湘潭] 若=，则=__________． 例1 解：方法一由=，可得y=x，则 ==. 方法二由=，可得==-，所以= . 知识必学 专题二 平行线分线段成比例 链接中考 >> 平行线分线段成比例是三角形相似的基础，也是求线段长的一种方法. 在中考命题时，常以选择题和填空题的形式出现. 知识必学 [中考·淮安] 如图1-1，l1 ∥ l2 ∥l3，直线a，b 与l1， l2，l3 分别交于点A，B，C和点D，E，F. 若=，DE=4， 则EF 的长是( ) A. B. C. 6 D. 10 例2 知识必学 解：因为l1 ∥ l2 ∥ l3，所以 = . 又 =，DE=4，所以=，解得EF=6. 答案：C 知识必学 专题三 相似三角形的判定 链接中考 >> 图形的相似是平面几何中非常重要的内容，也是中考中常见的考点. 三角形相似的判定方法有多种，解题时要合理选用判定方法. 知识必学 [中考·广州] 如图1-2，点E，F 分别在正方形ABCD 的边BC，CD 上，BE=3，EC=6，CF=2. 求证：△ ABE ∽△ ECF. 例3 知识必学 证明：因为BE=3，EC=6，所以BC=9. 因为四边形ABCD 是正方形， 所以AB=CB=9，∠ B=∠ C=90°. 因为 ==， =，所以 = . 又∠ B= ∠ C= 90°，所以△ ABE ∽△ ECF. 知识必学 专题四 相似三角形的性质 链接中考 >> 在中考中常考查“面积比等于相似比的平方”，往往需要先找出相似三角形，常以选择题、填空题的形式出现. 知识必学 [中考·武威] 如图1-3，D，E 分别是 △ ABC 的边AB，BC 上的点，且DE∥ AC.若S △ BDE ∶ S △ CDE ＝ 1 ∶ 3， 则的值为( ) A. B. C. D. 例4 知识必学 解：由S △ BDE ∶ S △ CDE=1 ∶ 3， 可得BE ∶ EC=1 ∶ 3，所以BE ∶ BC=1 ∶ 4. 易证△ BDE ∽△ BAC，△ DOE ∽△ COA， 所以 = = .所以= ()2=. 答案：D 知识必学 专题五 相似三角形的应用 链接中考 >> 相似三角形的知识在实际生活中有广泛的应用，这一应用是建立在数学建模和数形结合思想基础上的，把实际问题转化为数学问题，通过解数学问题达到解决实际问题的目的. 中考时在选择题、填空题和解答题中都有考查. 知识必学 [中考·广西] 古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图1-4，木杆EF 长2 m，它的影长FD 是4 m，同一时刻测得 OA 是268 m，则金字塔的高 度BO 是________m． 例5 134 知识必学 解：因为BF ∥ ED，所以∠ BAO= ∠ EDF. 因为∠ AOB= ∠ DFE=90°，所以△ ABO ∽△ DEF. 所以BO ∶ EF=AO ∶ FD， 即BO ∶ 2=268 ∶ 4. 所以BO=134 m. 知识必学 专题六 平面直角坐标系中的位似变换 链接中考 >> 平面直角坐标系中的位似变换是中考常考查的内容，将点的坐标与对应边的比相结合是解题的关键，常以选择题、填空题的形式出现. 知识必学 [中考· 浙江] 如图1-5， 五边形ABCDE，五边形A'B'C'D'E' 是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，已知点A，A' 的坐标分别为(2，0)，(3，0)．若DE 的长为3，则D'E' 的长为( ) A. B. 4 C. D. 5 例6 知识必学 解：因为五边形ABCDE，五边形A'B'C'D'E' 是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，点A， A' 的坐标分别为(2，0)，(3，0)， 所以= = =. 又∠ DOE= ∠ D'OE'，所以△ DOE ∽△ D'OE'. 所以 = =，因为DE=3，所以D'E'=. 答案：C 知识必学 专题七 从特殊到一般的思想 专题解读 >> 利用相似三角形的性质探究面积的规律体现了从特殊到一般的思想. 方法必会 [中考·江西] 如图1-6，△ ABC 是面积为1 的等边三角形，分别取AC，BC，AB的中点得到△ A1B1C1；再分别取A1C，B1C，A1B1 的中点得到△ A2B2C2；…依次类推，则△ AnBnCn 的面积为( ) A. ( )n+1 B. ()n C. ()n D. ()n-1 例7 方法必会 解：因为点A1，B1，C1 分别为等边三角形ABC 的边AC，BC，AB 的中点，所以B1C1=AC，A1C1=BC，A1B1=AB. 所以易得△ A1B1C1 ∽△ ABC，相似比为. 因为△ ABC 的面积为1，所以△ A1B1C1 的面积=()2=， 同理，△ A2B2C2 的面积=()2……则△ AnBnCn 的面积=()n. 答案：C 方法必会 专题八 分类讨论思想 链接中考 >> 解答有关相似图形的某些问题时，往往需要按某一标准把问题分成若干种情况分别加以研究，逐一解决，从而得到完整的结果. 对于这类问题，审题要仔细，分类要注意两点：一是正确选择分类标准；二是分类科学，既不重复也不遗漏. 方法必会 如图1-7，等边三角形ABC 的边长为3，D 为BC 上一点，CD=2BD，P 是线段AD 上的动点，若点P和△ ABC 中的一个顶点的连线与PD 的夹角为60°，则PD 的长为__________. 例8 或 方法必会 解：如图1-8，过点D作DM⊥AB于点M. 因为等边三角形ABC的边长为3，CD=2BD， 所以BD=1，CD=2，∠B=∠C=60°.所以∠BDM=30°. 所以BM= BD=.所以AM=AB-BM= ， DM= BD2-BM2 = 3.所以AD= = . 方法必会 分两种情况： ① 如图1-9 ①，连接BP，当∠ BPD=60°时， 因为∠BPD=∠ABD=60°，∠BDP=∠ADB， 所以△BPD∽△ABD.所以=， 即 = ，解得PD= . 方法必会 ②如图1-9②，连接CP，当∠CPD=60°时， 因为∠CPD=∠ACD=60°，∠CDP=∠ADC， 所以△CPD∽△ACD. 所以=，即= ，解得PD=. 综上所述，PD的长为或. 方法必会 类型一 巧用“两角相等”证两三角形相似 1. 如图，在四边形ABCD 中，AD=CD，∠ DAB=∠ ACB=90°，过点D作DF ⊥ AC，垂足为F，DF 的延长线与AB 相交于点E.求证：△ DCF ∽△ ABC. 好题必解 证明：因为AD=CD，DF⊥AC， 所以∠DAF=∠DCF，∠DFC=90°. 因为∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°， ∠CAB+∠ABC=180°-∠ACB=90°， 所以∠DCF=∠DAF=∠ABC. 又∠DFC=90°=∠ACB，所以△DCF∽△ABC. 好题必解 类型二 巧用平行线证等积式或比例式 题型1 等线段代换法 2. 如图，E为ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE 交AC 于点O，交AD 于点F. 好题必解 (1)求证：= ； 证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB∥CD，AB=CD.所以△AOB∽△COE， 所以=.所以=. 好题必解 (2)求证：OB2=OE·OF. 因为△AOB∽△COE，所以=. 易得AD∥BC，所以△AOF∽△COB. 所以=，从而=. 所以OB2=OE·OF. 好题必解 题型2 等积代换法 3. 如图，在△ ABC 中，D 是AB 上一点，E 是△ ABC 内一点，DE ∥ BC，过点D 作AC 的平行线交CE 的延长线于点F，CF 与AB 交于点P，求证： = . 好题必解 证明：因为DE∥BC，所以△PDE∽△PBC. 所以=.所以PD·PC=PE·PB. 因为DF∥AC，所以△PDF∽△PAC. 所以=.所以PD·PC=PF·PA. 所以PE·PB=PF·PA.所以=. 好题必解 题型3 等比代换法 4. [期末·娄底涟源市] 如图，在△ABC 中，点D在边BC 上，AE ∥ BC，BE 与AD，AC分别相交于点F，G，AF2 ＝ FG·FE． 好题必解 (1)求证：△ CAD ∽△ CBG； 证明：因为AF2=FG·FE，所以=. 又∠AFG=∠EFA，所以△FAG∽△FEA.所以∠FAG=∠E. 因为AE∥BC，所以∠E=∠EBC.所以∠EBC=∠FAG. 又∠ACD=∠BCG，所以△CAD∽△CBG. 好题必解 (2)连接DG，求证：DG·AE ＝ AB·AG. 证明：因为△CAD∽△CBG，所以=. 又∠DCG=∠ACB，所以△CDG∽△CAB.所以=. 因为AE∥BC，所以△AEG∽△CBG，从而=. 所以=，所以=.所以DG·AE=AB·AG. 好题必解 类型三 巧用相似三角形的性质求面积 5. [模拟•苏州] 如图，在△ ABC 中，BC 的垂直平分线分别交AB，BC 于点D，E. 连接CD，AE 交于点F，且AC=AE. 好题必解 (1)求证：△ ABC ∽△ FCE； 证明：因为DE是BC的垂直平分线， 所以BD=CD.所以∠DBC=∠DCB. 因为AE=AC，所以∠ACB=∠AEC. 所以△ABC∽△FCE. 好题必解 (2)若BC=6，DE=2，求△ FCE 的面积. 解：因为DE是BC的垂直平分线， 所以BE=CE=BC=3.所以S△BDE=S△CDE. 因为△ABC∽△FCE，所以==.所以AC=2FE. 因为AC=AE，所以AE=2FE，所以EF=AF. 所以S△AFC=S△CFE，S△ADF=S△EFD，所以S△CDA=S△CDE. 又CE=3，DE=2，所以S△ABC=3S△CDE=3×12×3×2=9. 因为△FCE∽△ABC，所以 =()2=() 2=. 所以S△FCE=S△ABC=×9=． 好题必解 类型四 巧用补形法构造相似三角形求线段的长 6. [中考·山西] 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC， ∠ B=90°，AB=8，BC=4，点E 在边AB 上， AE=3，连接CE，且∠ DCE= ∠ BCE． 点F在BC 的延长线上，连接DF. 若DF= DC，则线段CF 的长为________． 好题必解 类型五 相似与函数的巧妙结合 7. [中考·湖北] 如图①， 在△ABC 中， ∠C=90°，BC= 4cm，AB=n cm．动点P，Q 均以1 cm/s 的速度从点C 同时出发，点P 沿折线C → B → A 向点A 运动，点Q 沿边CA 向点A 运动．当点Q 运动到点A 时，两点都停止运动．△ PCQ 的面积S(单位： cm2)与运动时间t(单位：s) 的关系如图②所示． (1)m=______；( 2)n=______． 8 12 好题必解 类型六 相似与平面几何的巧妙结合 8. [黄冈中学自主招生] 如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，将线段BC 绕点B 逆时针旋转得线段BF，∠ FBC 的平分线与边 CD 的交点为 E. 好题必解 (1)如图①， 若点F 在AD 的延长线上，∠ A=40°，求∠ BFE 的度数； 解：因为将线段BC绕点B逆时针旋转 得线段BF，所以BC=BF. 因为BE平分∠FBC，所以∠FBE=∠CBE. 因为BE=BE，所以△FBE≌△CBE(SAS)， 所以∠C=∠BFE.因为四边形ABCD是菱形， 所以∠A=∠C.所以∠BFE=∠A=40°. 好题必解 (2)如图②，若点F 在对角线BD上，且BF=7DF. 求的值； 解：如图，延长AD，BE，交于点N. 因为四边形ABCD为菱形，所以AN∥BC， 所以易得=，∠N=∠CBE. 由题意知∠CBE=∠FBE，所以∠N=∠FBE， 所以DN=BD.由题意知=，所以=， 因为BF=BC，BD=DN，所以===， 同(1)可得△FBE≌△CBE，所以EF=CE，所以=. 好题必解 (3)如图③，若BE=BC，EF 与AD 交于点G，延长EF，BA 交于点M，延长BE，AD 交于点H，且=，DH=，求EG 的长度. 好题必解 解：易知BF=BC，∠FBE=∠CBE，BE=BE， 所以△FBE≌△CBE(SAS)，所以∠BFE=∠C. 因为四边形ABCD是菱形，所以∠BAD=∠C， AB=BC，所以∠BFE=∠BAD，BF=AB. 因为BC=BE，所以BE=BF，所以∠BEF=∠BFE= ∠BAD，BE=AB，又∠EBM=∠ABH，所以△BEM≌△BAH(ASA)，所以BM=BH∠M=∠H. 好题必解 因为AM=BM-AB，EH=BH-BE，所以AM=EH， 因为∠MGA=∠HGE，所以△MGA≌△HGE(AAS). 所以GM=GH，AG=EG. 因为CD∥BM，所以△DGE∽△AGM， 所以==，所以==. 因为=，所以=，=，所以DH=GH-GD=AG-AG=AG.因为DH=，所以AG=3，所以EG=3. 好题必解 类型七 巧用相似三角形解实际问题 9. 情境题 方案策略型 在学习了本章之后，学生们积极进行实践活动，小丽和小颖所在的数学兴趣小组测量旗杆的高度AB，有以下两个方案： 好题必解 方案一：如图①，在距离旗杆底部B 点30 m远的D 处竖立一根高2 m 的标杆CD，小丽在F 处站立，她的眼睛所在位置E、标杆的顶端C 和旗杆顶点A 三点在 同一直线上. 已知小丽的眼睛到地面的 距离EF=1.5 m，DF=1.5 m，AB ⊥ BF， CD ⊥ BF，EF ⊥ BF，点F，D，B在同 一直线上. 好题必解 方案二：如图②，小颖拿着一根长为16 cm 的木棒CD 站在离旗杆30 m 的地方(即点E 到AB的距离为30 m).她把手臂向前伸，木棒竖直，CD ∥ AB，使木棒两端恰好遮住旗杆(即E，C，A 在一条直线上，E，D，B 在一条直线上)时，已知点E 到木棒CD 的距离为40 cm.请你选择其中的一个 方案求旗杆的高度AB. 好题必解 解：若选择方案一： 如图①，过点E作EH⊥AB，垂足为H，交CD于点G. 由题意得EH⊥CD，EF=DG=BH=1.5 m， FD=EG=1.5 m，EH=BF=FD+DB=1.5+30=31.5(m). 所以CG=CD-DG=2-1.5=0.5(m)，∠CGE=∠AHE=90°. 又因为∠CEG=∠AEH，所以△CEG∽△AEH. 所以CGAH=EGEH，即0.5AH=1.531.5. 所以AH=10.5 m.所以AB=AH+BH=10.5+1.5=12(m). 因此，旗杆的高度AB为12 m. 好题必解 若选择方案二：如图②，过点E作EH⊥AB，垂足为H， 交CD于点G，则∠AHE=90°. 因为CD∥AB，所以∠CGE=∠AHE=90°，所以EH⊥CD. 由题意得CD=16 cm=0.16 m，EG=40 cm=0.4 m，EH=30 m. 因为CD∥AB，所以△ECD∽△EAB， 所以CDAB=EGEH，即0.16AB=0.430. 所以AB=12 m.因此，旗杆的高度AB为12 m． 好题必解 $