1.6 相似三角形的应用（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（湘教版·新教材）

该初中数学课件聚焦相似三角形的应用，通过“怎样测量高大物体高度”的情境导入，衔接相似三角形判定与性质，搭建从理论到实际测量（宽度、高度）的学习支架。 其亮点是以池塘测距、河宽估算等真实情境为载体，引导学生用数学眼光观察问题，通过构造相似三角形（如AA判定、影长比例模型）培养推理能力，以模型意识将实际问题转化为数学问题。丰富的典例和练习帮助学生提升应用能力，教师可借助清晰步骤高效教学。

1.6 相似三角形的应用 第1章 图形的相似 ÷ 九年级上册数学（湘教版） 学习目标 1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量 的物体的高度和宽度. (重点) 2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化 为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决 问题的能力. (难点) 怎样测量这些非常高大物体的高度？ 情境导入 C 利用相似三角形可以解决一些不能直接测量的物体的高度及两物之间的距离问题. 利用相似三角形测量宽度 1 思考 如图，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小张想测量出 A，B 两点的距离，但由于受条件限制无法直接测量，请帮他想出一个可行的测量办法. A B 探究新知 如图，在池塘外取一点 C，使它可以直接看到 A，B 两点，连接并延长 AC，BC，在 AC 的延长线上取一点 D，在 BC 的延长线上取一点 E，使 测量出 DE 的长度后，就可以由相似三角形的有关知识求出 A，B 两点的距离. A B C D E 如图，如果 ，且测得 DE 的长为 50 m，则 A，B 两点的距离为多少? 做一做 因为 ∠ACB = ∠DCE， 于是 因为 DE = 50 m， 所以 AB = 2DE = 100 m. 所以△ABC∽△DEC， A B C D E 例1 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R. 已知测得 QS = 45 m， ST = 90 m，QR = 60 m，请根据 这些数据，计算河宽 PQ. P R Q S b T a 典例精析 PQ×90 = (PQ + 45)×60. 解得 PQ = 90. 因此，河宽大约为 90 m. 解：∵∠PQR =∠PST = 90°，∠P = ∠P， ∴△PQR∽△PST. P R Q S b T a ∴ ， 即 ， 还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？ 45 m 90 m 60 m 例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC⊥BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．  此时如果测得 BD＝120 m，DC＝60 m，EC＝50 m， 求两岸间的大致距离 AB． E A D C B 60 m 50m 120 m 解：∵ ∠ADB ＝ ∠EDC，   ∠ABC ＝ ∠ECD ＝ 90°，   ∴ △ABD∽△ECD.   ∴ ， 即 ， 解得 AB = 100. 因此，两岸间的大致距离为 100 m. E A D C B 60 m 50 m 120 m 测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解. 归纳： 利用相似三角形测量高度 据传说，古希腊数学家、天文学家开勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 2 13 例3 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO. 怎样测出 OA 的长？ 解：太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF. 又 ∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF. ∴ . ∴ =134 (m). 因此金字塔的高度为 134 m. 14 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 归纳： 例4 在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛(O)、 准星(A)、靶心(B)在同一条直线上.在射击时，李明由于有轻微的抖动，致使准星 A 偏离到 A'，如图所示.已知 OA = 0.2 m，OB = 50 m，AA' = 0.0005 m，求李明射击到的点 B' 偏离靶心点 B 的长度 BB'（近似地认为 AA'∥BB' ）.  ∵ AA'∥BB′ ∴ △OAA' ∽△OBB′. ∵ OA = 0.2 m，OB = 50 m，AA' = 0.0005 m， ∴ BB' = 0.125 m. 答：李明射击到的点 B' 偏离靶心点 B 的 长度 BB' 为 0.125 m. 例5 如图，小明为了测量一棵树 CD 的高度，他在距树 24 m 处立了一根高为 2 m 的标杆 EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距 27 m 的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高 1.6 m，求树的高度. 解析：人、树、标杆相互平行，添加辅助线，过点 A 作 AN∥BD 交 A E C D F B N CD 于 N，交 EF 于 M，则可得 AEM∽△ACN. M 解：过点 A 作 AN∥BD 交 CD 于 N，交 EF 于 M， ∵人、标杆、树都垂直于地面， ∴∠ABF =∠EFD =∠CDF = 90°. ∴AB∥EF∥CD . ∴∠EMA =∠CNA. ∵∠EAM =∠CAN， ∴△AEM ∽ △ACN . ∴ . ∵AB = 1.6 m，EF = 2 m，BD = 27 m，FD = 24 m， ∴ . ∴CN = 3.6 m. ∴CD = 3.6 + 1.6 = 5.2(m). 故树的高度为 5.2 m. A E C D F B N M 1. 如图，要测量旗杆 AB 的高度，可在地面上竖一根竹竿 DE，测量出 DE 的长以及 DE 和 AB 在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用来求 AB 长的等式是 ( ) A． B． C． D． A B C D E F C 练一练 A C B 2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学 数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的小阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米， 则旗杆的高度是____米． 8 A F E B O ┐ ┐ 还可以有其他测量方法吗？ OB EF = OA AF △ABO∽△AEF OB = OA · EF AF 平面镜 想一想： 测高方法二： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决. 试一试：如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米， 那么该古城墙的高度是 ( ) A. 6 米 B. 8 米 C. 18 米 D. 24 米 B A B P D C 1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得 教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高 度应为 ( ) A. 45 米 B. 40 米 C. 90 米 D. 80 米 2. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长 为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( ) A. 0.5 m B. 0.55 m C. 0.6 m D . 2.2 m A A 课堂练习 3. 如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的 C、D 两点，使得 CD∥AB. 若测得 CD＝5 m，AD ＝15m， ED＝3 m，则 A、B 两点间的距离为 m. A B E D C 20 4. 如图所示，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看 到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝ 20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平 面镜的距离 SA 的长度为 cm. 12 5. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米，EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米，到旗杆的 水平距离 DC = 20 米， 求旗杆的高度. A B C D G E F A B C D G E F 解：由题意可得 △DEF∽△DCA， ∵DE = 0.5 m，EF = 0.25 m，DG = 1.5 m，DC = 20 m ， 则 解得 AC = 10. 故 AB = AC + BC = 10 + 1.5 = 11.5 (m). 答：旗杆的高度为 11.5 m. ∴ 6. 如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆 AB 在地面上的影长 BC 为 9.6 m，在墙面上的影长 CD 为 2 m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m．请帮助小明求 出旗杆的高度． A B C D E 解：如图：过点 D 作 DE∥BC，交 AB 于点 E， ∴ DE = CB = 9.6 m，BE = CD = 2 m， ∵ 在同一时刻物高与影长成正比例， ∴ EA : ED = 1 : 1.2， ∴ AE = 8 m， ∴ AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m)， ∴ 学校旗杆的高度为 10 m. A B C D 相似三角形的应用举例 利用相似三角形测量高度 利用相似三角形测量宽度 利用相似解决有遮挡物问题 课堂小结 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $