1.1.2 成比例线段（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（湘教版·新教材）

该初中数学课件聚焦比例线段与黄金分割，通过地图距离问题情境导入，引导学生计算方格纸三角形线段比，抽象出线段比定义，再由比例关系引出成比例线段，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以情境激发兴趣，结合“做一做”培养几何直观与抽象能力（数学眼光），通过黄金分割计算推理发展推理意识（数学思维），融入书籍宽长比等实例培养模型与应用意识（数学语言）。采用情境-探究-应用结构，小结系统梳理知识，助力学生理解概念联系生活，方便教师高效教学。

1.1 比例线段 第1章 图形的相似 1.1.2 成比例线段 ÷ 九年级上册数学（湘教版） 1.理解线段的比与成比例线段的关系； （重点、难点） 2.了解并掌握黄金分割问题．(重点、难点) 学习目标 两张地图中，黄鹤楼与长江的距离为何不同吗？ 情境导入 做一做 如图，在方格纸上（小方格的边长为1 )有△ABC 和△A'B'C ，它们的顶点都在格点上，观察或计算出线段 AB，BC，AC，A'B'，B'C'，A'C' 的长度，并计算 AB 与 A'B'，BC 与 B'C，AC 与 A'C' 的长度的比值. 2 4 A B C A' B' C' 线段的比和成比例线段 1 探究新知 2 4 A B C A' B' C' 由图可知，BC = 2，B'C' = 4. 利用勾股定理可以计算得出： AB = ，AC = ， A'B' = 2，A'C' = 2. 如果 的比值为 k，那么上述式子也可写成 一般地，如果两条线段 AB，A′B′ 的长度分别为 m，n，那么把它们的长度的比 叫作这两条线段 AB 与 A′B′ 的比，记作 ，或 AB = k·A'B'. 知识要点 思考：两条线段长度的比与所采用的长度单位是否有关？ 有关 ？ 无关 ？ 求两条线段的比时，所使用的长度单位应该统一 在对长度单位进行统一时，无论采用哪一种单位，比值都相同. 注意：虽然两条线段的比要在单位统一的前提下进行，但比值却是一个不带单位的正数. 练一练 A B C A' B' C' 在图中，对于△ABC 和△A'B'C，有 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线 段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段. 知识要点 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段. 例如，已知四条线段 a，b，c，d ，若 ，则 a，b， c， d 是比例线段. 类似的，如果 ，那么称线段 AB，BC，AC，与线段 A′B′，B′C′，A′C′，对应成比例. 知识要点 例1 已知线段 a，b，c，d 的长度分别为 0.8 cm，2 cm，1.2 cm，3 cm，问 a，b，c，d 是比例线段吗？ 解 因为 ， ， 典例精析 所以 ，从而 a，b，c，d 是成比例的线段. 例2 判断下列线段 a、b、c、d 是否是成比例线段：　 (1) a＝4，b＝6，c＝5，d＝10； 解：（1）∵　 ∴ 线段 a、b、c、d 不是成比例线段． ， ， ∴　 . 典例精析 （2）a＝2，b＝ ，c＝ ，d＝ ． （2）∵　 ∴　 ∴ 线段 a、b、c、d 是成比例线段． 注意： 1.若 a∶b = k，说明 a 是 b 的 k 倍； 2.两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致； 3.两条线段的比值是一个没有单位的正数； 4.除了 a = b 外，a∶b ≠ b∶a， 互为倒数. 1. 判断下列各组线段是否成比例线段，为什么？ 成比例线段 不成比例线段 2.下列各组线段中成比例线段的是　　（　　） C 练一练 例3 已知△ABC 的三边 AB，BC，AC 与△A'B'C' 的三边 A'B'，B'C'，A'C' 对应成比例. 若△ABC 的周长为 48 cm，且 A'B' = 3 cm，B'C' = 4 cm， A'C' = 5 cm，求△ABC 的三边的长. 解 由题意可得 ， 因此可以设 AB = 3x cm，BC = 4x cm，AC = 5x cm， 则 3x＋4x＋5x = 48，解得 x = 4， 从而 3x = 12，4x = 16，5x = 20. 所以△ABC 的三边 AB，BC，AC 的长分别为 12 cm，16 cm，20 cm. 解：根据题意可知，AB = a m，AE = a m，AD = 1 m . 【练一练】3.一块矩形绸布的长AB = a m，宽AD = 1 m，按照图中所示中方式它裁剪成相同的三面矩形彩旗，且使才裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即 ，那么 a 的值应当是多少？ D A F E C B 即 ，开平方，得 由 ，得 答：a 的值应当是 m. 17 黄金分割的概念 一个五角星如下图所示. 问题：度量 C 到点 A、B 的距离， 与 相等吗？ A C B A B C 2 18 A B C 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 ， 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割. 点 C叫做线段 AB 的黄金分割点，较长线段AC 与原线段 AB 的比称为黄金分割比. 概念学习 19 1. 计算黄金比. 解：由 ，得 AC2 = AB · BC. 设 AB = 1，AC = x，则 BC = 1 – x. ∴ x2 = 1 ×(1 - x)， 即 x2 + x – 1 = 0. 解方程，得 x1= (不合题意，舍去)，x2= 黄金比 【做一做】 A B C 2. 如图所示，已知线段 AB 按照如下方法作图： 1. 经过点 B 作 BD⊥AB，使 BD = AB. 2.连接 AD，在 AD 上截取 DE = DB. 3.在 AB 上截取 AC = AE. 思考：点 C 是线段 AB 的黄金分割点吗? A B D E C 21 ∴点 C 是线段 AB 的黄金分割点. 令 AB = 1 ，则 1.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金分割比，已知这本书的长为 20 cm，则它的宽约为( ) (A) 12.36 cm (B) 13.6 cm (C) 32.36 cm (D) 7.64 cm A 【解析】选A. 0.618×20 = 12.36(cm). 练一练 2.如图是一种贝壳的俯视图，点 C 分线段 AB 近似于黄金分割，已知 AB =10 cm，则 AC 的长约为_____cm.（结果精确到 0.1 cm） 【解析】本题考查黄金分割的有关知识，由题意知 由图可知，AC＞BA，∴ 即 AC2 = (10 - AC)×10 . 解得 AC≈6.2 cm. 6.2 【解析】由黄金分割定义可知，AC = BD = ×AB = (40 - 40) cm，AD = AB - BD = (120 - 40 ) cm， 所以 DC = AC - AD = (80 - 160) cm. 3.如图所示，乐器上的一根弦 AB = 80 cm，两个端点 A、B 固定在乐器板面上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，则 AC =______cm，DC =_______cm. A B C D 打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬 30°左右.特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上.这不免让 人联想起许多与北纬 30° 有关 的地方.奇石异峰，名川秀水的 黄山，庐山，九寨沟等等.衔远 山，吞长江的中国三大淡水湖 也恰好在这黄金分割的纬度上. 大自然与黄金分割 文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异.但这些金字塔底面的边长与高的比都接近于0.618. 东方明珠塔，塔高 468 米.设计师在 263 米处设计了一个球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观. 人的俊美，体现在头部及躯干是否符合黄金分割. 美神维纳斯，她身体的各个部位都暗藏比例 0.618，虽然雕像残缺，却能仍让人叹服她不可言喻的美． 1.一把矩形米尺，长 1 m，宽 3 cm，则这把米尺的长和宽的比为（ ） A. 100∶3 B. 1∶3 C. 10∶3 D. 1000∶3 2.甲、乙两地相距 35 km，图上距离为 7 cm，则这张图的比例尺为（ ） A. 5∶1 B. 1∶5 C. 1∶500000 D. 500000∶1 A C 课堂练习 29 3.已知线段 AB，点 P 是它的黄金分割点，AP＞BP，设以 AP 为边的正方形的面积为 S1，以 PB、AB 为边的矩形面积为 S2，则 S1 与 S2 的关系是（ ） A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1 = S2 D．S1≥S2 P A B C 5.小明家搬进了新房，他买了一幅山水画，想挂到书房（书房高 3 米），请你帮他设计一下，挂在多高能给人赏心悦目的感觉？ 4.点 C 是线段 AB 的黄金分割点，如果 AB = 4，求线段 AC 的长度． AC = 4×0.618 = 2.472 或者 AC = 4×(1 - 0.618) = 1.518. 离地面的高度 h = 3×0.618 = 1.854 m 解：根据题意可知， ， AB = 15， AC = 10，BD = 6， 则 AD = AB - BD = 15 - 6 = 9， 6.已知 ，AB = 15，AC = 10，BD = 6．求 AE． A B C D E 比例线段 两条线段的比： 比例线段 ①求两条线段的比时，所使用的长度单位应该统一； ②与单位无关，本身没有单位； ③两条线段有顺序要求 ①概念：项、比例内项、比例外项； ②四条线段有顺序要求； ③特别地：比例中项 课堂小结 黄金分割 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC，如果 , 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割.点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比称为黄金比. 一条线段有两个黄金分割点 黄金比：较长线段:原线段 = 定义 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $