1.1.2 成比例的线段 课件 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“成比例的线段”核心知识点，通过方格纸中△ABC与△A′B′C′的边长计算及比值探究导入，衔接线段比定义，逐步引出成比例线段概念，为图形相似学习搭建数量关系认知支架。 其亮点在于以情境问题驱动数学思维，从特殊线段黄金分割的方程推导到一般化结论，结合故宫、帕提侬神庙等实例渗透数学眼光与应用意识。课堂练习含分类讨论题，助力学生发展推理能力与抽象能力，教师可通过丰富案例提升教学效率。

1.1.2 成比例的线段 第1章 图形的相似 湘教版九年级上册 我们知道线段既有形状又有大小，这节课我们主要研究线段之间的数量关系，并由数量关系带给我们对图形形状的思考！ 情景引入 如图， 在方格纸上（设小方格边长为单位1）有△ABC 和△A′B′C′， 它们的顶点都在格点上. 试求出线段AB，BC，AC， A′B′， B′C′， A′C′的长度， 并计算AB与A′B′， BC与B′C′， AC 与A′C′的长度的比值. 注重引导学生就生活实例展开联想，直观感受数学的魅力所在. 3 问题1：(1) 请问图中，AB与A′B′， BC与B′C′，AC 与A′C′三对线段的长度的比值有什么关系？ (2)再观察图中的△ABC 和△A′B′C′，说一说它们的形状有什么关系？ 比值都是0.5 形状相同 定义1：一般地， 如果两条线段AB， A′B′ 的长度分别为m， n, 那么把它们的长度的比 叫作这两条线段AB与A′B′ 的比， 记作 或 AB ∶ A′B′＝ m ∶ n . 如果 的比值为k，那么上述式子也可写成 或 AB ＝ k·A′B′ . 获取新知 特别注意：长度单位要一致 Administer (authorId_1323281932) - 理解线段的比.（重点，难点） 问题2：图中的 △ABC 和△A′B′C′中AB、BC、A′B′ 、B′C′这四条线段有什么样的数量关系 ？ △ABC 和△A′B′C′中还有其它的四条线段也具有同样的数量关系吗？ 定义2： 在四条线段中， 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比， 那么这四条线段叫作成比例线段. Administer (authorId_1323281932) - 掌握比例线段的概念及其性质 Administer (authorId_1323281932) - 理解线段的比与成比例的线段的关系.（重点，难点） 例1 已知线段a，b，c，d 的长度分别为0.8cm，2cm，1.2cm， 3cm，问a，b，c，d是成比例的线段吗？ 解 ： ∵ ∴ ， 即a， b， c， d 是比例线段. 例题讲解 例2 已知线段a，b，c，d是比例线段，其中a，b，c的长度分别为0.8cm，2cm，1.2cm，求d. 解 ∵线段a，b，c，d是比例线段， ∴ . 即 ， 解得 d=3 cm. Administer (authorId_1323281932) - 方法总结：熟练利用成比例线段的概念是解决本题的关键，要注意长度单位的换算 例3 已知△ABC的三边AB，BC，AC与△A′B′C′的三边A′B′，B′C′，A′C′对应成比例.若△ABC的周长为48cm，且A′B′=3cm，B′C′=4cm，A′C′=5cm，求△ABC的三边的长. 解 由题意可得 问题：古希腊数学家、天文学家欧多克索斯（约公元前400—约前347）曾经提出一个问题：能否将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB 与较长线段AC的比等于线段AC与原线段AB的比？ 如图，即使得 成立？ 获取新知 解决方法： 先把问题特殊化， 设线段AB的长度为１个单位， 点C为线段AB上一点，且AC的长度为x个单位，则CB的长度为（１－ x ）个单位． 解得 （舍去）. 由等式 ，得 因此 小结：借助方程的知识，我们知道在一个单位长度的线段上存在一点将其分成不相等的两部分，其中较短的线段与较长的线段的比等于较长线段与原线段的比， 而且比值等于 . 思考： 如果能的话，这个比值会是 吗？ 对于任意长度的线段是否存在一点将其分成不相等的 两部分，其中较短的线段与较长的线段的比等于较长线段与原线段的比吗？ 解决方法： 设线段AB 的长度为a 个单位，点C为线段AB 上一点，且AC的长度为x个单位，则CB的长度为（a－x ）个单位． （参考特殊方法，把特殊值1变成任意值a） 解得 （舍去）. 由等式 ，得 因此 在自主探究和合作交流过程中，适时引入新知识.并通过引导学生建立新的数学模型，开拓思维，提升学生认知能力. 15 小结：借助方程的知识，我们知道在任意长度的线段上也存在一点将其分成不相等的两部分，其中较短的线段与较长的线段的比等于较长线段与原线段的比， 而且比值也等于 如果能将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与原线段AB的比，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点， 较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比． 概念认知 Diamond (D) - 黄金分割比是分得的两条线段中的较长的一条与整条线段的比，也可以看做是较短线段与较长线段的比，注意不要搞反了顺序。 我们知道任意线段都有黄金分割点，那如何找到它呢？ 对于一条给定的线段AB，找出它的黄金分割点的作法如下： （2）连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点E； （3）以点A为圆心，AE为半径画弧，交AB 于点P. 则点P为所求作的线段AB的黄金分割点. （1）过点B作AB的垂线，并在垂线上取BC= AB； 18 欣赏：我们知道黄金分割比是个确定数 ，这个数可是享誉全世界的，因为比值是它的线段围成的图形是最美丽的图形. 希腊的帕提侬神庙正面高度与底部宽度之比约为黄金分割比. 中国故宫的建筑布局和设计用到了黄金分割比. 感知知识的实际应用，增强对知识就是力量的客观认识， 20 印度泰姬陵正面高度与底部宽度之比约为黄金分割比. 意大利著名画家达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，人物的脸的宽度与高度的比就是一个黄金分割比． 感知知识的实际应用，增强对知识就是力量的客观认识，进一步加强理论联系实际的学习方法. 21 请问同学们这节课你学习了关于线段的什么知识？ 线段之间的一种数量关系：四条线段成比例. 并且感受到成比例线段围成的图形在形状上也有美妙的关系！ 认识了一个最特别的数 ，比值是它的线段围成的图形最美丽. 课堂小结 1.已知线段，的长度分别为，，则线段与 的比 为__. 课堂练习 23 2.如图1-1-1，已知线段，则 等于( ) 图1-1-1 B A. B. C. D. 24 3.下列各组线段（单位: ）中，是成比例的线段的是( ) B A.1,2,3,4 B.1,2,2,4 C.3,5,9,13 D.1,2,2,3 25 4.（教材练习T1针对训练） 已知,,, 是成比例的线段. （1）若，，，求 ； 解：因为,,,是成比例的线段，所以 . 因为，， ， 所以，即，所以 . 26 （2）若，，，求 . 解：因为,,,是成比例的线段，所以 . 因为，， ， 所以，即，所以 . 27 5.若线段，与线段，对应成比例， ， ，，则 的长度为( ) A A.10 B.0.5 C.0.4 D.2.5 28 6.在和中，.若 的周长是 ，则的周长是____ . 25 29 图1-1-2 7.如图1-1-2，在等腰三角形 与 等腰三角形中， , , ， ，它们的周长分别为 ,，判断 与 的三边是否对应成比例. 30 解：因为, , ，，与 的周长分别为 ,，所以 ， ，所以 ，所以与 的三边对应成比 例. 31 8.（教材练习T2变式） 已知，，是 的三边长，且 . 解：因为 ， 所以设，，，且 . （1）求 的值； [答案] . 32 （2）若 的周长为81，求各边的长. [答案] 因为 的周长为81，所以 ，解得 ，所以 ，， . 33 9.如图1-1-3，是线段的黄金分割点 ，则下列各式 不正确的是( ) 图1-1-3 D A. B. C. D. 34 图1-1-4 10.如图1-1-4，在中，， 分别是 ，上的点，且 .若 ，， ，则 的长为_______. 35 11.数学思想 分类讨论 已知有三条长度分别为， ， 的线段，请再添加一条线段，使这四条线段成比例，求所 添加线段的长度. 36 解：设所添加线段的长度为 . 当时，解得 ； 当时，解得 . 当时，解得 . 综上，所添加线段的长度为或或 . 37 数学文化 美妙的黄金分割 图1-1-5 1.超级工程——北京大兴国际机场：凤凰涅槃， 位列“新世界七大奇迹”之首，其曲面屋盖由8000 余块玻璃构成，每块玻璃的曲率经过优化都接近 ，既满足结构受力要求，又形成富有韵律 38 的视觉效果.这里玻璃曲率的优化中，所蕴含的数学知识是 ( ) A.位似变换 B.平移变换 C.旋转变换 D.黄金分割 D 图1-1-6 2.鹦鹉螺身上每圈螺纹的直径与 相邻螺纹直径的比都是黄金比例， 是自然界最美的鬼斧神工.如图1- 1-6，是 的黄金分割点 ，那么 ( ) A A. B. C. D. 40 3.黄金分割在文艺复兴时期被视为金子般的比例，比值约等于 0.618.有研究发现，成人的理想体重与身高的关系是：体重 身高.若王老师的身高是 ，下列 最接近她的理想体重的是( ) C A. B. C. D. 41 图1-1-7 4.“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领 域有着广泛的应用.秦兵马俑被誉为“世界第八大 奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下 巴的距离之比约为 .如图1-1-7，如果兵马俑头 顶到下巴的距离约为3分米，那么该兵马俑的眼 睛到下巴的距离约为_ _____分米（结果保留根号）. 42 $