2.2有理数的乘法与除法（4知识点+9大题型+针对训练）【暑假自学课】2026-2027年小升初七年级数学上册讲义（人教版）

2.2有理数的乘法与除法 学习目标导航 1.掌握有理数乘法法则（两数相乘、多个数相乘），理解倒数的概念。 2.理解除法法则，掌握“除以一个数等于乘以这个数的倒数”，以及0不能做除数。 洞悉◆教材知识 知识点01 有理数的乘法法则 1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同0相乘，仍得0． 2.几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定： （1）当负因数的个数是偶数时，积是正数； （2）当负因数的个数是奇数时，积是负数． 3.几个数相乘，如果其中有因数为0，积等于0 4.乘积是1的两个有理数互为倒数；正数的倒数是正数；负数的倒数是负数；0没有倒数. 例如：1；1 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 知识点02 有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：ab＝ba. （2）乘法结合律：（ab）c＝ a（bc） （3）乘法分配律：a（b＋c）＝ ab＋ac 知识点03 确定乘积符号 （1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号； （4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 知识点04 有理数除法法则 1.除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数． 2.两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商． 3.0除以任何一个不等于0的数，都得0 4.有理数的加、减、乘、除混合运算的顺序： （1）如无括号应按照先乘除，后加减的顺序进行；如果有括号，则先算括号里面的. （2）同级运算，按从左到右的顺序计算. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 核心题型◆归纳 题型1 两个有理数的乘法运算 题型2 多个有理数的乘法运算 题型3 倒数 题型4 有理数乘法运算律 题型5 有理数乘法的实际应用 题型6 有理数的除法运算 题型7 有理数的乘除混合运算 题型8有理数的乘除混合运算之新定义型问题 题型9有理数的除法中绝对值之分类讨论问题 针对训练 题型解析◆精准备考 【题型1 两个有理数的乘法运算】 例题：计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】 1．计算： (1) (2) (3) (4) 【题型2 多个有理数的乘法运算】 例题：计算： (1)； (2)． 【变式训练】 1．计算： (1)； (2)． 【题型3 倒数】 例题：的倒数是 ． 【变式训练】 1．的倒数是 ． 2．的倒数是 ． 3．的相反数是 ，的倒数为 ． 【题型4 有理数乘法运算律】 例题：计算： 【变式训练】 1．计算：． 【题型5 有理数乘法的实际应用】 例题：某一出租车一天下午以鼓楼为出发点在东西方向运营，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ (2)若每千米的价格为2元，司机一个下午的营业额是多少？ 【变式训练】 1．海洋科考队于某天早晨乘船从海岛M出发，在南北走向的海岸线上进行科考活动．规定向北行进为正，向南行进为负．从出发到结束当天的科考活动时，他们的行进里程（单位：海里）记录如下：． (1)结束当天的科考活动时，科考队是在海岛M的北边还是南边？距离海岛M有多远？ (2)从出发到结束当天的科考活动，科考队的船只总共行驶了多少海里？ (3)如果船只每行驶1海里耗油4升，那么在整个科考活动过程中，船只共耗油多少升？ 【题型6 有理数的除法运算】 例题：计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型7 有理数的乘除混合运算】 例题：计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型8 有理数的乘除混合运算之新定义型问题】 例题：中考新趋势•新定义 若规定：，例如：，试求的值． 【变式训练】 1．定义新运算“※”：对于有理数a，b（a，b都不为0），．例如：．求的值． 【题型9 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题】 例题：分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)已知是有理数，当时，试求的值． 【变式训练】 1．有理数在数轴上对应点的位置如图所示． (1)______0；（填“”或“”） (2)化简：． 针对训练 一、有理数的乘法 1．若，则内的数字是（    ） A． B．2 C．4 D． 2．计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 3．用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 4．下列运算中用的运算律是（  ） ． A．乘法结合律及分配律 B．乘法交换律及分配律 C．乘法交换律及乘法结合律 D．分配律及加法结合律 5．老师设计了计算接力游戏，规则是每名同学只能利用前面一个同学的式子，进一步计算，将计算的结果传给下一个同学，最后解决问题．过程如下： 其中步骤错误的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．若的运算结果为正数，则内的数字可以为（　　） A．3 B．2 C．0 D． 7．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示．如果，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8．数学活动课上，王老师在4张卡片上分别写了4个不同的数（如图），然后从中抽取2张，使这2张卡片上各数之积最大，最大的积为__________． 9．在数中任取两个数相乘，其中最大的积是_________． 10．若，且，则______． 11．用简便方法计算下列各题： (1) (2) (3) 12．计算下列各题，能简算的要简算： (1)； (2)； (3)； (4)用简便方法计算：． 一、有理数的除法 13． 计算的结果为（   ） A． B．32 C． D．64 14．计算的结果是（   ） A．6 B．-6 C．12 D．-12 15．计算：的结果是（    ） A．1 B． C． D． 16．计算的结果等于（　　） A．6 B．2 C． D． 17．下面各题中，运算顺序和的运算顺序一样的是（　　） A． B． C． D． 18．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 19．王叔叔的月工资是元，扣除元个税起征点后的部分按缴税，他应缴税（   ）元． A． B． C． D． 20．一个数的是，则这个数是_____ 21．化简： _______；_______；_______；_______． 22．为任何非零有理数，则的值是______． 23．乘除计算： 24．某市学生和儿童在三级医院住院就医，医疗费用支付方法如下． 标准 支付方法 一年内 650元以内（含650元） 个人支付全部费用 650元以上部分 个人支付，剩余由医疗保险基金支付 (1)六（1）班的明明做了一个小手术，住院医疗费用一共是4200元，按上面的方法计算，他本次住院需要个人支付多少钱？ (2)六（2）班的亮亮今年住院，按上面的方法计算，医疗费用由医疗保险基金支付了1650元．亮亮本次住院的医疗费用一共是多少钱？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2有理数的乘法与除法 学习目标导航 1.掌握有理数乘法法则（两数相乘、多个数相乘），理解倒数的概念。 2.理解除法法则，掌握“除以一个数等于乘以这个数的倒数”，以及0不能做除数。 洞悉◆教材知识 知识点01 有理数的乘法法则 1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同0相乘，仍得0． 2.几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定： （1）当负因数的个数是偶数时，积是正数； （2）当负因数的个数是奇数时，积是负数． 3.几个数相乘，如果其中有因数为0，积等于0 4.乘积是1的两个有理数互为倒数；正数的倒数是正数；负数的倒数是负数；0没有倒数. 例如：1；1 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 知识点02 有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：ab＝ba. （2）乘法结合律：（ab）c＝ a（bc） （3）乘法分配律：a（b＋c）＝ ab＋ac 知识点03 确定乘积符号 （1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号； （4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 知识点04 有理数除法法则 1.除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数． 2.两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商． 3.0除以任何一个不等于0的数，都得0 4.有理数的加、减、乘、除混合运算的顺序： （1）如无括号应按照先乘除，后加减的顺序进行；如果有括号，则先算括号里面的. （2）同级运算，按从左到右的顺序计算. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 核心题型◆归纳 题型1 两个有理数的乘法运算 题型2 多个有理数的乘法运算 题型3 倒数 题型4 有理数乘法运算律 题型5 有理数乘法的实际应用 题型6 有理数的除法运算 题型7 有理数的乘除混合运算 题型8有理数的乘除混合运算之新定义型问题 题型9有理数的除法中绝对值之分类讨论问题 针对训练 题型解析◆精准备考 【题型1 两个有理数的乘法运算】 例题：计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)504 (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式训练】 1．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4 (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：． （3）解：； （4）解：原式． 【题型2 多个有理数的乘法运算】 例题：计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式训练】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型3 倒数】 例题：的倒数是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故答案为：． 【变式训练】 1．的倒数是 ． 【答案】 【详解】解：的倒数是， 故答案为：． 【题型4 有理数乘法运算律】 例题：计算： 【答案】47 【详解】 ． 【变式训练】 1．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【题型5 有理数乘法的实际应用】 例题：某一出租车一天下午以鼓楼为出发点在东西方向运营，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ (2)若每千米的价格为2元，司机一个下午的营业额是多少？ 【答案】(1)离鼓楼出发点米，出租车在鼓楼 (2)116元 【详解】（1）解：， 故出租车离鼓楼出发点米，出租车在鼓楼； （2）解：元， 故司机一个下午的营业额是116元． 【变式训练】 1．海洋科考队于某天早晨乘船从海岛M出发，在南北走向的海岸线上进行科考活动．规定向北行进为正，向南行进为负．从出发到结束当天的科考活动时，他们的行进里程（单位：海里）记录如下：． (1)结束当天的科考活动时，科考队是在海岛M的北边还是南边？距离海岛M有多远？ (2)从出发到结束当天的科考活动，科考队的船只总共行驶了多少海里？ (3)如果船只每行驶1海里耗油4升，那么在整个科考活动过程中，船只共耗油多少升？ 【答案】(1)科考队是在海岛M的北边，距离海岛M有海里； (2)科考队的船只总共行驶了海里； (3)船只共耗油升． 【详解】（1）解：（海里）， ∴科考队是在海岛M的北边，距离海岛M有海里； （2）解：由题意可得： （海里）， ∴科考队的船只总共行驶了海里； （3）解：（升）， ∴船只共耗油升． 【题型6 有理数的除法运算】 例题：计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)5 (2) (3) (4)36 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式训练】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型7 有理数的乘除混合运算】 例题：计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)12 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【题型8 有理数的乘除混合运算之新定义型问题】 例题：中考新趋势•新定义 若规定：，例如：，试求的值． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式训练】 1．定义新运算“※”：对于有理数a，b（a，b都不为0），．例如：．求的值． 【答案】． 【详解】解：∵， ∴ ． 【题型9 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题】 例题：分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)已知是有理数，当时，试求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或 【详解】（1）解：把代入得：； （2）解：∵， ∴； （3）解：由可分： 当时，则有； 当时，则有； 综上所述，的值为2或． 【变式训练】 1．有理数在数轴上对应点的位置如图所示． (1)______0；（填“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据数轴得：，， ∴； （2）解：∵， ∴； 一、有理数的乘法 1．若，则内的数字是（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的乘法运算，根据可得答案. 【详解】解：∵， ∴则内的数字是， 故选：A 2．计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法法则计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 3．用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是乘法的运算律，熟练掌握乘法的运算律是解题的关键． 利用乘法对加法的分配率的逆应用运算即可． 【详解】解： 故选：B． 4．下列运算中用的运算律是（  ） ． A．乘法结合律及分配律 B．乘法交换律及分配律 C．乘法交换律及乘法结合律 D．分配律及加法结合律 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，乘法运算律，熟练掌握乘法运算律是解题的关键． 根据题干中的解题过程，结合乘法运算律即可得出答案． 【详解】解： （乘法结合律） （乘法分配律） ∴运用的运算律为乘法结合律及分配律， 故选：A． 5．老师设计了计算接力游戏，规则是每名同学只能利用前面一个同学的式子，进一步计算，将计算的结果传给下一个同学，最后解决问题．过程如下： 其中步骤错误的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则进行判断即可． 【详解】解： ∴出错的是乙． 故选：B． 6．若的运算结果为正数，则内的数字可以为（　　） A．3 B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算．根据有理数乘法符号法则，三个数相乘结果为正值，当且仅当负数的个数为偶数． 【详解】解：原式为； 1. 已知为负数，为正数，故原式中已有1个负数； 2. 要使结果为正数，负数的总个数需为偶数，因此内的数必须为负数，使负数总个数变为2（偶数）； 3. 选项中只有为负数，满足条件； 4. 验证：，符合题意． 故选：D． 7．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示．如果，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，相反数的意义，有理数加法，乘法及绝对值的意义数轴上点的位置关系，数轴上右边的点大于左边的点，离原点越远绝对值越大，解决本题的关键是确定原点的位置．根据，确定原点的位置，再根据a，b，c与原点的距离判断选项． 【详解】解：∵， ∴a，c互为相反数， ∴； A、，原结论错误，不符合题意； B、，原结论错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原结论错误，不符合题意； 故选：C． 8．数学活动课上，王老师在4张卡片上分别写了4个不同的数（如图），然后从中抽取2张，使这2张卡片上各数之积最大，最大的积为__________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法运算，有理数比较大小，根据题意，分6种情况，由有理数的乘法运算法则计算后比较大小即可得到答案． 【详解】解：根据题意，抽取的2张卡片上各数之积有下面情况： ； ； ； ； ； ； ， 抽取的2张卡片上各数之积最大的值是， 故答案为：． 9．在数中任取两个数相乘，其中最大的积是_________． 【答案】12 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，有理数比较大小，根据题意，分别计算出结果，再进行比较即可求解． 【详解】解：根据题意，， ，， ∵， ∴最大的积是， 故答案为： ． 10．若，且，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值、代数式求值等知识点，根据题意确定a、b的值成为解题的关键． 由可得，再结合、可得，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵、， ∴， ∴． 故答案为：． 11．用简便方法计算下列各题： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，乘法运算，掌握运算法则，正确计算是解题的关键． （1）利用交换律和结合律计算，再进行加减计算； （2）先利用乘法分配律得到，再进行剩余部分计算； （3）直接利用乘法分配律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 12．计算下列各题，能简算的要简算： (1)； (2)； (3)； (4)用简便方法计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，准确运用运算律计算是解题关键． （1 ） 仔细观察本题，通过调整，逆用乘法分配律，即可简算结果； （2 ）逆用乘法分配律，即可简算结果； （3 ）先去括号、假分数转成真分数计算，再观察题目，逆用乘法分配律，即可简算结果； （4 ）先把原式变形为，再利用乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： =2010000； （3）解： ； （4）解: ． 一、有理数的除法 13． 计算的结果为（   ） A． B．32 C． D．64 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，先把除法转化为乘法，再按乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故选C． 14．计算的结果是（   ） A．6 B．-6 C．12 D．-12 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，掌握有理数的乘除混合运算法则是解题关键．先计算除法，再计算乘法即可． 【详解】解： ． 故选A． 15．计算：的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查有理数的乘除运算，关键是根据有理数的除法和乘法法则计算． 根据有理数的除法和乘法计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 16．计算的结果等于（　　） A．6 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数四则运算，先计算有理数除法，再计算有理数加法即可得出答案． 【详解】解：， 故选：D． 17．下面各题中，运算顺序和的运算顺序一样的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，的运算顺序是按照从左到右的运算顺序；找出这样运算顺序的选项即可． 【详解】解：A．，先算乘法，再算减法，不是按照从左到右的运算顺序，故A不符合题意； B．，先算括号里面的加法，再算除法，不是从左到右的运算顺序，故B不符合题意； C．，先算减法，再算加法，是按照从左到右的运算顺序，故C符合题意； D．，先算除法，再算加法，不是按照从左到右的运算顺序，故D不符合题意． 故选：C． 18．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键； 根据有理数四则运算法则计算即可求解； 【详解】解： ， 故选：B 19．王叔叔的月工资是元，扣除元个税起征点后的部分按缴税，他应缴税（   ）元． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，解题关键是掌握有理数的四则混合运算． 根据题意，王叔叔的应纳税所得额为月工资减去个税起征点，再乘以税率计算税款． 【详解】解：(元)， ∴他应缴个人所得税元， 故选：C． 20．一个数的是，则这个数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的除法的定义列式计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 21．化简： _______；_______；_______；_______． 【答案】 20 【分析】本题考查有理数的除法运算，根据有理数的除法运算法则，先确定结果符号，再计算数值． 【详解】解：； ； ； ； 故答案为：；；；20． 22．为任何非零有理数，则的值是______． 【答案】或3 【分析】本题考查了绝对值的意义、有理数的除法，解决本题的关键是确定的符号．分别讨论的正负，再根据有理数的除法，即可解答． 【详解】当时，则， ， 当时，则， ， 当时，则， ， 当时，则， ， 则的值是或3， 故答案为：或3． 23．乘除计算： 【答案】1 【分析】将小数化成分数，除法化为乘法，再进行计算即可． 【详解】 【点睛】本题考查的是有理数的乘除混合运算，按照从左至右的运算顺序进行计算是解本题的关键． 24．某市学生和儿童在三级医院住院就医，医疗费用支付方法如下． 标准 支付方法 一年内 650元以内（含650元） 个人支付全部费用 650元以上部分 个人支付，剩余由医疗保险基金支付 (1)六（1）班的明明做了一个小手术，住院医疗费用一共是4200元，按上面的方法计算，他本次住院需要个人支付多少钱？ (2)六（2）班的亮亮今年住院，按上面的方法计算，医疗费用由医疗保险基金支付了1650元．亮亮本次住院的医疗费用一共是多少钱？ 【答案】(1)元 (2)元 【分析】本题主要考查有理数混合运算，分段收费的计算，理解分段收费的方法及计算是关键． （1）根据分段收费方法计算即可求解； （2）根据医疗保险基金支付的方法计算即可． 【详解】（1）解：（元）， 答：他本次住院需要个人支付元钱； （2）解：（元）， 答：亮亮本次住院的医疗费用一共是2850元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $