精品解析：江苏省苏州市苏州工业园区东沙湖实验中学2025-2026学年九年级上学期第一次检测数学试卷

初三数学校内作业 一、选择题（共8题，每题2分） 1. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程 的根是（ ） A. B. 2 C. 或 D. 2或 3. 在中，，，则的形状（　　） A. 一定是锐角三角形 B. —定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 无法确定 4. 如图， 是电线杆 的一根拉线， 米，，则 的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 如图所示，的顶点都是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km．某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（ ） A. 4km B. 2km C. 2km D. （＋1）km 7. 如图,在笔直的海岸线l上有A,B两个观测站,AB=2 km,从A处测得船C在北偏东45°的方向,从B处测得船C在北偏东22.5°的方向,则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为(　　) A. 4 km B. km C. 2 km D. km 8. 如图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，选择其中两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（　　） A. B. C. D. 二、选择题（共8题，每题2分） 9. 已知是锐角，，则 _______． 10. 如图，一个小球由地面沿着坡度 的坡面向上前进了 m，此时小球距离地面的高度为________ 11. 如图，在中，，若，则 ___________． 12. 如图，在中，，，是边 的中点，，垂足为，．则的长为__________． 13. 如图所示，已知 的终边 ，直线 的方程为，则等于__________． 14. 图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，共转动点A离地面的高度为．当时，则操作平台C离地面的高度为__m．（结果精确到0.1米）【参考数据：】 15. 如图，中，，点D在上，．若 ，，则的长度为________． 16. 如图，中，C，E分别是边，上的点，连接 ，，交点为D．若， ， ，则线段 的长为__________． 三、解答题（共9题） 17. 计算：sin60°﹣tan30°＋cos45°． 18. 解方程：． 19. 为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有共3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看． （1）甲同学选择A电影的概率为________； （2）求甲、乙2位同学选择不同电影的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 20. 某商店9月份的利润是2500元，要使11月的利润达到3600元，平均每月增长的百分率是多少？ 21. 如图，在四边形中，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 22. 如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西600的方向，从B测得小船在北偏东450的方向． （1）求点P到海岸线l的距离； （2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B测得小船在北偏西150的方向．求点C与点B之间的距离． （上述2小题的结果都保留根号） 23. 四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（垂直于，垂足为），在 处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：） 24. 综合与实践 小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，中， ，中， ． 【观察感知】 （1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合， 交于点F，求的度数和线段的长．（结果保留根号） 【探索发现】 （2）在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图②）． ①求线段的长；（结果保留根号） ②判断 与的位置关系，并说明理由． 25. （1）如图1，在中，，在边上任取一点D，连接，将沿着翻折，得到，且点在直线的上方．连接并延长与的延长线交于点E． ①与之间有怎样的位置关系？请证明你的结论； ②若，请探究与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． （2）如图2，在平行四边形中，，，，点E是 边上的点，满足，将绕着点E顺时针旋转 得到．过点E作交于点N，连接，，．若 ，则四边形的面积为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学校内作业 一、选择题（共8题，每题2分） 1. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，掌握正弦值等于对边比斜边成为解题的关键． 根据正弦的定义即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 故选：C． 2. 一元二次方程 的根是（ ） A. B. 2 C. 或 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程—直接开平方法．利用直接开平方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 解得：． 故选：D． 3. 在中，，，则的形状（　　） A. 一定是锐角三角形 B. —定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据，求出及的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 故选：B． 4. 如图，是电线杆的一根拉线， 米，，则的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦函数的定义得，由此可得出答案． 【详解】解：在中， 米，， ， （米）． 故选：B． 5. 如图所示，的顶点都是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及三角函数，熟练掌握勾股定理及正弦的定义是解题的关键；如图，，则有，然后根据正弦的定义可进行求解． 【详解】解：如图， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 6. 如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km．某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（ ） A. 4km B. 2km C. 2km D. （＋1）km 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：过点A作AD⊥OB，则AD=OA=2km，根据题意可得：△ABD为等腰直角三角形，则AB=2km. 考点：三角函数的应用 7. 如图,在笔直的海岸线l上有A,B两个观测站,AB=2 km,从A处测得船C在北偏东45°的方向,从B处测得船C在北偏东22.5°的方向,则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为(　　) A. 4 km B. km C. 2 km D. km 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据题意中方位角的特点，过点B作BE⊥AC，交AC于点E，由∠CAB=45°，AB=2km，可知BE=km，根据题意还可知∠BCA=∠BCD=22.5°，因此CB是∠ACD的角平分线，根据角平分线的性质可知BD=BE=km，因此CD=AD=AB+BD=（2+）km. 故选B 考点：解直角三角形的应用 8. 如图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，选择其中两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求角的正切值．设 ，根据正弦值，求出的长，再利用，进行求解即可．掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 【详解】解：设 ， 在中：， ∴， 在 中：； 故选：B． 二、选择题（共8题，每题2分） 9. 已知是锐角，，则 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据特殊角的三角函数求角的度数．根据是锐角，，可以得到，由此求解即可． 【详解】解：∵是锐角，， ∴， 故答案为：． 10. 如图，一个小球由地面沿着坡度 的坡面向上前进了 m，此时小球距离地面的高度为________ 【答案】 【解析】 【分析】过点B作，根据，则设 ，则 ，由勾股定理得，，即，进行计算即可得． 【详解】解：如图所示，过点B作， ∵， ∴设 ，则 ， 由勾股定理得，， 即， ， ， ， （舍）， ∴， 即此时小球距离地面的高度为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坡度，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 11. 如图，在中，，若，则 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求正切，正确的添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点A作 于点E，根据等腰三角形的性质，可得，再由，再结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作 于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 12. 如图，在中，，， 是边的中点，，垂足为，．则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，熟练掌握利用勾股定理是解题的关键，在中，设， ，根据锐角三角函数，得到 ，再利用直角三角形的性质得到，在和 中，利用勾股定理分别得到，，列出方程求出的值，从而得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴设， ， ∴由勾股定理可得：， ∵ 是边的中点， ∴， ∵，， 在中，由勾股定理得： ， 在 中，由勾股定理得：， ∴ 解得：， ∴， 故答案为： ． 13. 如图所示，已知 的终边 ，直线的方程为，则等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，求出、的坐标，得到、的长度，根据三角函数的定义即可求出的值． 【详解】解：根据题意：直线的方程为， 令，则，令，则， 则点坐标为，点坐标为， 故，； ∴，， ∵，即， 且， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，利用等角的代换，体现了思维的灵活性． 14. 图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，共转动点A离地面的高度为．当时，则操作平台C离地面的高度为__m．（结果精确到0.1米）【参考数据：】 【答案】7.6 【解析】 【分析】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用．过点C作，过点A作 ，由题意得到：进而结合题目已给的条件利用三角函数即可求出的长度，然后根据矩形的性质可得EF的长度，进而即可求解. 【详解】解：过点C作，过点A作 ，如图， ∵ ∴四边形为矩形， ∴ ∴ 在 中， ∴ ∴ 故答案为：． 15. 如图，中，，点D在上，．若 ，，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键，根据，求出的长，勾股定理求出的长，再根据等角的余弦相等，求出的长即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 如图，中，C，E分别是边，上的点，连接，，交点为D．若， ， ，则线段的长为__________． 【答案】7.5## 【解析】 【分析】过点作于，于点，过点 作 于点，过点作于点，可证得是等边三角形，于是可得， ，，再根据勾股定理求出，在中，求出，，根据直角三角形的性质和勾股定理求出、 ，在中，求出、，在中，设，则，在中，得出，表示出，列方程即可求出，进而求出 、，然后证明，根据相似三角形的性质即可求出 ，再证明，根据相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：如图，过点作于，于点，过点 作 于点，过点作于点， ∵，， ∴是等边三角形， ， ， ∴，， 在中，，，， ， 在中，， ， 在中，， ， 在中，设， 则， 在中，， ， ， 解得：， ， ， 在 和中， ， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，含度角的直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点并正确做出辅助线是解题的关键． 三、解答题（共9题） 17. 计算：sin60°﹣tan30°＋cos45°． 【答案】 【解析】 【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【详解】解： . ． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合计算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法求解． 【详解】解：， 移项得， 因式分解，得， ∴或， 解得：． 19. 为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有共3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看． （1）甲同学选择A电影的概率为________； （2）求甲、乙2位同学选择不同电影的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）首先根据题意画出树状图或列表格，然后由树状图或列表格求得所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． 【小问1详解】 现有共3部电影， 甲同学选择A部电影的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 用树状图或利用表格列出所有等可能的结果： 甲同学选择电影 乙同学选择电影 A B C A B C 那么总结果有9种，甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种， （甲、乙2位同学选择不同电影）． 20. 某商店9月份的利润是2500元，要使11月的利润达到3600元，平均每月增长的百分率是多少？ 【答案】20％ 【解析】 【分析】如果设平均每月增长的百分率是x，那么10月份的利润是2500（1+x）元，11月份的利润是2500（1+x）2元，而此时利润是3600元，根据11月份的利润不变，列出方程． 【详解】设平均每月增长的百分率是x， 依题意，得2500（1+x）2=3600， 解得x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）． 所以平均每月增长的百分率应该是20%． 21. 如图，在四边形中，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）延长和交于点E，，先由三角形的内角和定理求出的度数，再根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半，及勾股定理求出的长度； （2）再根据四边形的面积进行求解即可． 【小问1详解】 解：延长和交于点E， ， ， ， ， ∴， ， ∴或（舍去）； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴四边形的面积， 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 22. 如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西600的方向，从B测得小船在北偏东450的方向． （1）求点P到海岸线l的距离； （2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B测得小船在北偏西150的方向．求点C与点B之间的距离． （上述2小题的结果都保留根号） 【答案】（1）;（2） 【解析】 【分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，构造直角三角形BDP和PDA，PD即为点P到海岸线l的距离，应用锐角三角函数即可求解． （2）过点B作BF⊥CA于点F，构造直角三角形ABF和BFC，应用锐角三角函数即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D， 设PD=x， 由题意可知 ，PBD=45°，∠PAD=30°， ∴在Rt△BDP中，BD=PD=x 在Rt△PDA中，AD=PD= ∵AB=2，∴ 解得 ∴点P到海岸线l的距离为 （2）如图，过点B作BF⊥CA于点F， 在Rt△ABF中，， 在Rt△ABC中，∠C=180°－∠BAC－∠ABC=45°， ∴在Rt△BFC中， ∴点C与点B之间的距离为 23. 四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（垂直于，垂足为），在 处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：） 【答案】点离地面的高度升高了，升高了． 【解析】 【分析】如图，延长与底面交于点，过 作于，则四边形为矩形，可得，证明四边形是平行四边形，可得，当时，则，此时，，，当时，则，，从而可得答案． 【详解】解：如图，延长与底面交于点，过 作于，则四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当时，则， 此时，， ∴， 当时，则， ∴， 而，， ∴点离地面的高度升高了，升高了． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 24. 综合与实践 小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，中， ，中， ． 【观察感知】 （1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合， 交于点F，求的度数和线段的长．（结果保留根号） 【探索发现】 （2）在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图②）． ①求线段的长；（结果保留根号） ②判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） ， ； （2）① ； ② ，理由如下： ∵在 中， ， ∴ ， 又∵， ∴ ， ∴ ． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． （1）先根据等腰三角形的性质可得 ，再求出 ，然后根据三角形的外角性质即可得 ；最后根据解直角三角形可得 的长，根据线段的和差即可得； （2）①过点作 ，垂足为，先解直角三角形可得 的长，再利用勾股定理可得 的长，然后根据线段的和差即可得； ②根据等腰三角形的性质可得 ，则可得 ，由此即可得． 【详解】解：（1）∵中， ， ∴ ， ∵中， ， ∴ ， ∴ ； 在中，， 在 中，， ∴ ． （2）①如图，过点作 ，垂足为， 中， ， ． 中， ． ∴ ， ． ②略 25. （1）如图1，在中，，在边上任取一点D，连接，将沿着翻折，得到，且点在直线的上方．连接并延长与的延长线交于点E． ①与之间有怎样的位置关系？请证明你的结论； ②若，请探究与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． （2）如图2，在平行四边形中，，，，点E是边上的点，满足，将绕着点E顺时针旋转 得到．过点E作交于点N，连接，，．若 ，则四边形的面积为__________． 【答案】 （1）①， 证明：由翻折的性质得：，， 点A、D都在线段的垂直平分线上， ； ②， 证明：延长交于H，如图， ，， 设，则 ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． （2）11 【解析】 【分析】（1）①利用翻折的性质得：，，点A、D都在线段的垂直平分线上，即可得出结论； ②延长交于H，设，则 ，可求得，所以．再证明 ，得即可； （2）过点作交于点，交延长线于点，连接交于点，通过证明得到，，得到 的长，再利用全等三角形判定得到，得出，最后利用面积公式，代入数据即可解答． 【详解】解：（1）①略 ②略 （2）如图，过点作交于点，交延长线于点，连接交于点， ，， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 平行四边形， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； 将绕着点E顺时针旋转 得到， ，， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ，， ， 四边形的面积为11． 故答案为：11． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、锐角三角函数的定义、旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点，学会添加适当的辅助线构造直角三角形应用三角函数，利用相似三角形的性质和勾股定理求线段长度是解题的关键，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $