2026年九年级数学秋季开学学情自测卷01（新教材苏科版，测试范围：九上一元二次方程+相似三角形+八下内容）

**基本信息** 2026年九年级开学学情自测卷，聚焦苏科版八年级下册及九年级衔接内容，通过“共享种植角”实际情境题（第5题）和折叠操作综合题（第27题），考查抽象能力、空间观念与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|二次根式、因式分解、一元二次方程根的判别式|第4题中点四边形判定，结合平行四边形性质考查空间观念| |填空题|8/24|统计（样本容量）、几何（中位线）、分式方程|第15题折叠求最小值，体现创新意识与几何直观| |解答题|11/60|方程、函数、几何证明与动态问题|第27题折叠操作综合推理能力，契合开学学情诊断需求|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上· 1 2 3 4 5 7 8 B B A C A C A A 二、填空题：本题共8小题，每题3分，共24分. 9. 68 10. ③ 11. 3 12. 4 13. ①③ 14. k<2且k≠-1 15.3-√5 16. V85 2 三解答题（本题共11小题，共60分，其中17-22题4分，23题5分，24题7分，25题6分，26题8分， 27题10分) 17.(4分) 【详解】(1)解： -压 =2√6-√6 =V6: (2分) 25+小6-+3唱 1 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =35-3+3-5+5 =33. (4分) 18.(4分) x+216 【详解】(1)解：x-2X-4 1, 去分母得(x+2)}-16=x2-4, x=2, 经检验：x=2是增根， 所以原方程无解； (2分) (2)解：2x2-4x-12=0, .a=2,b=-4,c=-12, .△=(-4)-4×2×(-12)=112 x=4亚_445-1t万， 2×2 4 :x=1+万，=1-万.(4分) 19.(4分) 6 1818 0 【详解】(1)设样本容量为.由题意，=10%，X-60,则第一版-：6030%，第四版的圆心角60 ×360°=120°(1分) (2)第三版的人数为60-18-6-20=16人(2分) 2 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 各版面选择人数的条形统计图 人数 20 20 18 18 16 16 14 10 (3分) 8 6 42 0 第一版第二版第三版第四版版面 16 (3)该校有120名学生，估计全校学生中最喜欢“第三版”的人数约为1200x60=320人：(4分) 20.(4分) 【详解】(1)证明：将原方程整理为一般形式得x+(k-3)x+(1-k)=0, △=(k-3)-4×1×(1-k) =k2-6k+9-4+4k =k2-2k+5 =(k-1)}2+4 :无论k取何实数，(k-1)≥0 .(k-1)2+4>0,即△>0 无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根.(2分) (2)解：把x=-1代入原方程x2+-3x-k+1=0得()-k+3-k+1=0, 整理得5-2k=0, 解得k 2 (3分) 5 20 把k)代入原方程得x之一，x一3 整理得2x2-x-3=0, 3 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得专=-1，五=弓， 5 3 ·k的值为2，方程的另一个根为2：(4分) 21.(4分) 【详解】 证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,AD=BC, ∴.∠EDA=∠FBC, 在△AED和△CFB中， .AD=CB,∠EDA=∠FBC,DE=BF, :△AED≌aCFB(SAS). (2分)》 .AE=CF,∠AEF=∠BFC, .AE∥CF, ∴.四边形AECF是平行四边形.(4分) 22.(4分) 【详解】(1)1<√2<2， .√2的整数部分为a=1,小数部分为b=√2-1， .a-b=1-(2-1）=1-2+1=2-2:2分) (2)4<17<5, .1<17-3<2, ∴V7-3的整数部分a=1,V7-3的小数部分b=V7-3-1=7-4, .(-a)°+(b+4)}=(-1+17-4+4=16, .(-a)+(b+4的平方根为±16=4.(4分) 4 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.(5分) 【详解】(1)解：(1)把C(6,0)代入片=x+3得：0=-6+3， 解得：k= (1分) 1 把A(2,m)代入片=2+3得：n=4 .A(2,4)」 m 把4(2,4代入为=元得：m=8: :k的值为2，m的值为8.(2分) 8 (2)由图象可知：当x>2时，y=2x+3的图象在为=的上方， ∴.当>2时，x的取值范围是：x>2. 故答案为：x>2. (3分) 1 (3)当x=0时，y=2+3=3. B(0,3), P(a,0)为x轴上的一动点， .PCa+61」 aw-c08-la+613-a+61, ScCx+62+61 1 SACAP=SAABP+S△cBP, 21a+65+3引a+6 .a=4或a=-16」 (5分) 24.(7分) 5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解；3-2_3x-+m x-1 x-1 .3x-2=3(x-1)+m 故m=1 (1分) 3x+8_30x+2)+2-3+2 (2)解：x+2 x+2 x+2 (2分). (3)解：①由(2)得：y=3+2 x+2 x+2≠0，x≠-2 2 ≠0，.y≠3 x+2 故：x≠-2，y≠3 (3分) ②当x>-2时，y随x的增大而减小：当<-2时，y随x的增大而减小.(5分) ③当y为整数时，x+2为整数，此时整数x取-4、-3、一1、0. ∴所有“整数点”的坐标为(4,2)、（-3,1)、（-1,5)、(0,4)」 (7分) 25(6分) 【详解】(1)解：根据题意得：AB∥CD, .△ABP∽△DCP PA4B_3=3, ·PDCD1 (2分) (2)①证明：根据网格可得：∠BDE=∠BAC=45°， .DE‖AC, .△BDEn△BAC； (4分) ②：AB=V+12=√2，AC=2,BC=V1P+32=10, AB=P+2=5,AG=P+32=10,B,C=V32+4=5, -2=o.4C-2-而Bc-西 ABV5-5,4C1o5,B,C5, AB AC BC ·AB AC BC' 6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ABC∽△ABC. (6分) 26(8分) 【详解】(1)解：如图所示：连接AC,BD,交于点F,交BE于点P,连接PD,当点运动到点P处时， PD+PA的值最小， D 四边形 是菱形， ABCD :∠BCF=21 -)∠C=30°，AC1BD,AC=2CF, .∠BEC=90°， AF-BC-23. .CF=BC2-BF2 =6, .AC=12, :E为CD中点， BE⊥CD .PC=PD, AC=PA+PC, :.PD+PA=AC, 根据两点之间线段最短， .PD+PA的最小值就是线段AC的长，是12， (2分) (2)解：不能为直角，理由如下： 如图所示：连接AC,BD相交于点O,在BE上任意取一点P,连接DP,AP,连接PO并延长到点F, D 四边形 是菱形， ABCD .AC⊥BD, 7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠AOD=∠AOF+∠DOF=90° ∠DOF>∠DPF,∠AOF>∠APF, ∴.∠DOF+∠AOF>∠DPF+∠APF,即∠AOD>∠APD, ∴无论P在BE的任何地方，∠APD<9O°， ∴点P运动过程中，∠APD不能成直角； (5分) (3)解：∠APD能为60°，理由如下： D E 四边形 是菱形， B(P) ABCD .∠A=∠C=60°，AD=AB, :∴.△ABD是等边三角形 AD=DB=4V3,∠APD=60°， E为CD中点， BELCD.DED25 .∠BEC=90°， .PE=DB2-DE2 =6, ∴当P点与点B重合时，∠APD=60°，PE=6.(6分) 如图所示：连接BD,过点A作AH⊥BD,交BE于点P,连接DP,过点D作DF⊥AB, C B ,四边形ABCD是菱形，∠C=60°， .∠A=∠C=60°，AD=AB, ∴，△ABD是等边三角形， ,AH⊥BD, .∠DAH=∠BAH=∠PBH=30°，∠AHB=∠BHP=90°， 8明=4B=26, 8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设PH=x,则BP=2x, 在RteBPH中， .PB2-PH2 =BH2, :(2x}-x2=(25, .x2=4, 解得x=2或-2（舍去）， .BP=4, E为CD中点， .BE⊥CD, .∠BED=90°， DE-BD-25. .BE=VBD2-DE=V43-(23=6, .PE=BE-BP=6-4=2, ∴.PE的值为6或2. (8分) 27(10分) 【详解】(1)解：ABCD是平行四边形， ∴.ADIIBCIEA,AEIIDA ∴.四边形AEAD是平行四边形 ,矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A处 '.△AED≌AAED ∴.AE=AE :∠A=90 ∴.四边形AEA'D的形状是正方形 故最后答案为：四边形AEA'D的形状是正方形；(3分) (2)MC'=ME 理由如下：如图，连接EC,由(1)知：AD=AE 9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :四边形ABCD是矩形， .AD=BC,∠EAC'=∠B=90° 由折叠知：B'C'=BC,∠B=∠B ,AE=B'C,∠EAC'=∠B'=90° 又EC'=CE, ∴.Rt△EC'A≌RtAC'EB' .∠C'EA=∠EC'B ∴.MC=ME G、 A M (6分) E (3)RtAEC'ARtAC'EB',AC'=B'E 由折叠知：B'E=BE,AC'=BE ,AC'=2(cm),DC'=4(cm) ,AB=CD=2+4+2=8(cm) 设DF=xcm,则FC'=FC=(8-x)cm 在Rt△DCF中，由勾股定理得：4+x2=(8-x) 解得：x=3,即DF=3(cm) (8分) 如图，延长BA,FC交于点G,则∠ACG=∠DCF ·an∠AC'G=tan∠DCF=AC=DF_3 AC DC4 .Gcm) 3 15 ∴.EG=。+6= (cm) 2 2 10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DFIEG,.△DNF∽aENG ·DW:EN=DF:EG=3:15_2 25 (10分) 11 ( ) ( 学校 __________________ 班级 __________________ 姓名 __________________ 准考证号 __________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、选择题（每小题 2 分，共 16 分） 1 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、 填空题 （ 本题共 8 小题，每 题 3 分，共 24 分 ） 9 ． _________ 10 ． _________ 1 1 ． _________ 1 2 ． __________ 13 ． _________ 14 ． _________ 15 ． _________ 16 ． _________ 三 . 解答 题（本题共 11 小题，共 60 分 ，其中 17-22 题 4 分， 23 题 5 分， 24 题 7 分， 25 题 6 分， 26 题 8 分， 27 题 10 分 ） 17 ． （ 每题 2 分，共 4 分） 计算： (1) ； (2) ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ． （ 每题 2 分，共 4 分） 解方程： (1) (2) 19 ．（ 4 分） 20. （ 4 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21.（ 4 分） 2 2 ． （ 4 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ． （ 5 分 ） 24. （ 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 25 ． （ 6 分） 26. （ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 7 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $: 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 O : 数学 (考试时间：90分钟试卷满分：100分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：苏科版八年级下册全部+一元二次方程+相似三角形 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上。 .: 1.下列二次根式中，是最简二次根式的是() 尽 A.√20 B.√6 C.V24 D.√0.2 2.下列各式由左边到右边的变形中，是多项式因式分解的是() : O A.3(x-y)=3x-3y B.y2-6y+9=(y-3) : C.x2-2x-3=x(x-2)-3 D.6m2n2=2m2.3n2 然 3.若关于x的一元二次方程x2-5x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是() : A.6 B.7 C.8 D.9 ·: .: 4.如图，D、E、F分别是·ABC各边的中点，下列说法正确的是() O : B E A.四边形ADEF不一定是平行四边形B.当DE⊥BC时，四边形ADEF是矩形 C.当AB=AC时，四边形ADEF是菱形D.当DABC是等边三角形时，四边形ADEF是正方形 : : : 试题第1页（共10页） : : .: 而学科网·上好课 5.为响应“劳动教育进校园”号召，某校计划在校园直角墙角处打造“共享种植角”，用总长为10米的防腐 木围栏围出一块面积为21平方米的矩形区域（墙体足够长，无需额外围栏）.设矩形的一边长为x米，下 列方程符合题意的是() A.x(10-x)=21B.x(10+x)=21C.2x(10-x)=21D.x(10-2x)=21 6.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，AB=6cm,BC=12cm.点P从点A出发，以1cm/s的速度 沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3c/s的速度沿C→B运动.设点P的运动时间为t,在此运动 过程中，当PO=CD时，t的值为() A P A.1.5 B.3 C.1.5或3 D.3或4 7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,平面上有一点P,连接AP,CP,若CP=2, 取AP的中点M.连接BM,则BM的最大值为() 的 A.V13+1 B.15 .21 D.3√3 8.如图，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转到平行四边形AB'CD的位置，使点B'落在BC上，B'C' 与CD交于点E,若AB=3,BC=4,BB'=1,则CE的长为() D 0 B C 9 7 A. B. 6 c D.1 试题第2页（共10页） 品学科网·上好课 二、填空题：本题共8小题，每题3分，共24分. 9.为了解某校八年级680名学生对电信诈骗知识的掌握情况，从中随机抽取68名学生进行问卷调查，此 次调查中，样本容量是 10.小明借助电脑软件做掷骰子实验，利用频率估计概率.有下列4个实验：①掷骰子，向上一面的点数 是6；②掷骰子，向上一面的点数是偶数；③掷骰子，向上一面的点数大于4.根据图中的实验记录情况， 小明做的实验可能是 (填写序号即可). 个频数 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 2004006008001000次数 11.如图，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFC=90°，若AC=10,BC=16,则DF的长为 D E B 12.矩形ABCD、矩形CEFG按如图所示放置.若AB=2,则EG=一-· B 13.如图，在DABC中，P是AB上一点.下列四个条件中：“①∠ACP=B;②∠ACP=∠A;③ AC2=AP.AB;④AB.CP=AP.CB”,一定能满足△APC与☐ACB相似的条件是·（只填序号） B 4.若关于x的方程x二424 一的解是正数，则k的取值范围是 4- 试题第3页（共10页） 15.如图，正方形纸片ABCD的边长为4，E是边CD的中点，F是边BC上一动点.将正方形纸片沿EF折 叠，点C落在C'处，连接AC.当AC的长最小时，BF的长为一· 16.在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,E为BC中点，H,G分别是边AB,CD上的动点，且始终保持GHLAE, 则EH+AG最小值为一· % G :: 河 H 游 三.解答题（本题共11小题，共60分，其中17-22题4分，23题5分，24题7分，25题6分，26题8分， S 27题10分) 17.(4分)计算： 24-8× 1 e5)-(- E肉 世 18.(4分)解方程： +2-16=1 x-2x2-4 (2)2x2-4x-12=0 @ 试题第4页（共10页） : :.O 19.(4分)某校园文学社为了解本校学生对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，随机抽取部分学生做了一 次问卷调查，要求学生选出自己喜欢的一个版面，将调查数据进行了整理、绘制成部分统计图如下： 各版面选择人数的扇形统计图 各版面选择人数的条形统计图 人数 20 20 18 第四版 第一版 12 第二版 8 第三版 10% 4 2 0 第一版第二版第三版第四版版面 请根据图中信息，解答下列问题： （1)第一版=%，“第四版”对应扇形的圆心角为 (2)请你补全条形统计图： (3)若该校有1200名学生，请你估计全校学生中最喜欢“第三版”的人数. .; 20.(4分)己知关于x的一元二次方程x2+-3x-k+1=0. (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根： (2)若该方程的一个根为-1，求k的值以及方程的另一个根. 试题第5页（共10页） 列学科网·上好课 21.(4分)如图，点E,F是ABCD对角线BD上的点，BF=DE,连接AF、CE,求证：四边形AECF 为平行四边形 22.(4分)观察：√4<√7<√5，即2<√万<3，√万的整数部分为2，小数部分为V7-2).请你观察上述 的规律后解答下面的问题： (1)如果√5的整数部分为a,小数部分为b,求a-b的值： (2)已知a是V17-3的整数部分，b是V17-3的小数部分，求(-a)°+(b+4)的平方根. 试题第6页（共10页） 品学科网·上好课 23.(5分)如图，直线片=+3(k≠0)与双曲线5="(m≠0，x>0)交于点A(2,川，与y轴交于点B.与 1 x轴交于点C(-6,0). C (1)求k与m的值： (2)当片>%2时，x的取值范围是 (3)若P(a,0)为x轴上的一动点，当DAPB的面积为5时，求a的值. 24.(7分)《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整 体，由低维到高维.知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要 方法，在处理分数和分式的问题时，有时我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数 (分式)的和（差）的形式，继而解决问题，我们称这种方法为分离常数法. 示例：将分式3x-2分离常数。 x-1 3x-2_3x-)+m=3+m x-1 x-1 x-1 (1)示例中，1=一： (2)参考示例方法，将分式3x+8 分离常数： x+2 3x+8 (3)探究函数y= 的性质： x+2 ①x的取值范围是_一，y的取值范围是一一一 ②当x变化时，y的变化规律是一； ③如果某个点的横、纵坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”.求函数y=3+8图像上所有“整数点“ x+2 的坐标. 试题第7页（共10页） 25.(6分)如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点，三个顶点 都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段AD与BC交于点P. 图1 图2 图3 (1)图1中 PA 的值为 PD (2)请仅用无刻度的直尺作图. ①请在图2中以线段BD为一边，画一个格点口DBE,使它与口ABC相似； ②请在图3中画一个最大的格点△ABC,使它与DABC相似. :: 兵 张 游 S 别 E脚 世 试题第8页（共10页） ................ 26.(8分)如图，己知菱形ABCD中，∠C=60°，AB=4W5,点E为CD中点，连接BE,点P为线段BE 上动点，连接PD、PA」 B 备用图 (1)PD+PA的最小值为： (2)在点P运动过程中，∠APD能否为直角，若可以，求出PE的长度，若不可以，请说明理由； (3)∠APD能否为60°，若可以，求出PE的长度，若不可以，请说明理由. 试题第9页（共10页） 可学科网·上好课 27.(10分)实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点 A'处，得到折痕DE,然后把纸片展平.第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折 叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕EF,B'C'交AB于点M,CF交DE于点 N,再把纸片展平. M B E E C 图1 图2 问题解决： (1)如图1，填空：四边形AEAD的形状是 (2)如图2，线段MC”与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由； (3)如图2，若AC'=2cm,DC'=4cm,求DN:EN的值. 试题第10页（共10页）学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：100分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：苏科版八年级下册全部+一元二次方程+相似三角形 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上， 1.下列二次根式中，是最简二次根式的是() A.√20 B.6 C.24 D.0.2 2.下列各式由左边到右边的变形中，是多项式因式分解的是() A.3(x-y)=3x-3y B.y2-6y+9=(y-3) C.x2-2x-3=x(x-2)-3 D.6m2n=2m2.3n2 3.若关于x的一元二次方程x2-5x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是() A.6 B.7 C.8 D.9 4.如图，D、E、F分别是☐ABC各边的中点，下列说法正确的是() E A.四边形ADEF不一定是平行四边形B.当DE⊥BC时，四边形ADEF是矩形 C.当AB=AC时，四边形ADEF是菱形D.当DABC是等边三角形时，四边形ADEF是正方形 5.为响应“劳动教育进校园”号召，某校计划在校园直角墙角处打造“共享种植角”，用总长为10米的防腐木 围栏围出一块面积为21平方米的矩形区域（墙体足够长，无需额外围栏）.设矩形的一边长为x米，下列方 程符合题意的是() 1/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.x(10-x)=21B.x(10+x)=21 C.2x(10-x)=21D.x(10-2x)=21 6.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，AB=6cm,BC=12cm.点P从点A出发，以1cm/s的速度 沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3c/s的速度沿C→B运动.设点P的运动时间为t,在此运动过 程中，当PQ=CD时，t的值为() A P- D A.1.5 B.3 C.1.5或3 D.3或4 7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,平面上有一点P,连接AP,CP,若CP=2, 取AP的中点M.连接BM,则BM的最大值为() A.3+1 B.5 c. D.35 8.如图，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转到平行四边形AB'CD的位置，使点B'落在BC上，B'C'与 CD交于点E,若AB=3,BC=4,BB'=1,则CE的长为() D' A D E B B C 9 A. B. > D.1 8 c.9 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题：本题共8小题，每题3分，共24分 9.为了解某校八年级680名学生对电信诈骗知识的掌握情况，从中随机抽取68名学生进行问卷调查，此 次调查中，样本容量是 10.小明借助电脑软件做掷骰子实验，利用频率估计概率.有下列4个实验：①掷骰子，向上一面的点数 是6：②掷骰子，向上一面的点数是偶数：③掷骰子，向上一面的点数大于4.根据图中的实验记录情况， 小明做的实验可能是 (填写序号即可) ◆频数 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 2004006008001000 次数 11.如图，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFC=90°，若AC-10,BC-16,则DF的长为 12.矩形ABCD、矩形CEFG按如图所示放置.若AB=2,则EG=· D 13.如图，在DABC中，P是AB上一点.下列四个条件中：“①∠ACP=∠B:②∠ACP=∠A:③AC2=AP.AB: ④AB.CP=AP.CB”,一定能满足△APC与DACB相似的条件是·（只填序号） A B 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.若关于x的方程-2=4 x-4 4-x 的解是正数，则k的取值范围是 15.如图，正方形纸片ABCD的边长为4，E是边CD的中点，F是边BC上一动点.将正方形纸片沿EF折 叠，点C落在C'处，连接AC.当AC的长最小时，BF的长为一· 16.在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,E为BC中点，H,G分别是边AB,CD上的动点，且始终保持GHLAF, 则EH+AG最小值为一 G C E B 三.解答题（本题共11小题，共60分，其中17-22题4分，23题5分，24题7分，25题6分，26题8分， 27题10分) 17.(4分)计算： 0a-店 o5+6-+号 18.(4分)解方程： 01 (2)2x2-4x-12=0 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(4分)某校园文学社为了解本校学生对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，随机抽取部分学生做了一 次问卷调查，要求学生选出自己喜欢的一个版面，将调查数据进行了整理、绘制成部分统计图如下： 各版面选择人数的扇形统计图 各版面选择人数的条形统计图 人数 20 20 18 18 16 第四版 第一版 14 12 10 第二服 8 第三版N0% 4 2 第一版第二版第三版第四版版面 请根据图中信息，解答下列问题： (1)第一版=%，“第四版对应扇形的圆心角为 (2)请你补全条形统计图： (3)若该校有1200名学生，请你估计全校学生中最喜欢“第三版”的人数. 20.(4分)已知关于x的一元二次方程x2+-3x-k+1=0. (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为-1，求k的值以及方程的另一个根. 21.(4分)如图，点E,F是ABCD对角线BD上的点，BF=DE,连接AF、CE,求证：四边形AECF为 平行四边形. 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.(4分)观察：√4<√7<√5，即2<√<3，“√7的整数部分为2，小数部分为V7-2)请你观察上述 的规律后解答下面的问题： (I)如果√2的整数部分为a,小数部分为b,求a-b的值； (2)已知α是√17-3的整数部分，b是√17-3的小数部分，求(-a+(b+4)的平方根. 23.(5分)如图，直线y=+3k≠0)与双曲线为="(m≠0，x>0)交于点42，，与y轴交于点B.与 x轴交于点C(-6,0). C (1)求k与的值： (2)当片>y,时，x的取值范围是 (3)若P(a0)为x轴上的一动点，当☐APB的面积为5时，求a的值. 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.(7分)《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体， 由低维到高维.知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法， 在处理分数和分式的问题时，有时我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式） 的和（差）的形式，继而解决问题，我们称这种方法为分离常数法. 示例：将分式3x-2 分离常数 x-1 3x-2_3x-)+业=3+m x-1 x-1 x-1 (1)示例中，m= (②参考示例方法，将分式3r+8 2分离常数： 6)探究函数y=3r+8。 的性质： x十2 ①x的取值范围是 ,y的取值范围是 ②当x变化时，y的变化规律是； ③如果某个点的横、纵坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”.求函数y=3x+8图像上所有整数点"的 x+2 坐标 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25.(6分)如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点，三个顶点都 在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段AD与BC交于点P. 图1 图2 图3 )图1中P4 的值为 PD (2)请仅用无刻度的直尺作图. ①请在图2中以线段BD为一边，画一个格点口DBE,使它与DABC相似： ②请在图3中画一个最大的格点△ABG,使它与DABC相似. 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26.(8分)如图，已知菱形ABCD中，∠C=60°，AB=4V3,点E为CD中点，连接BE,点P为线段BE 上动点，连接PD、PA, B 备用图 (I)PD+PA的最小值为： (2)在点P运动过程中，∠APD能否为直角，若可以，求出PE的长度，若不可以，请说明理由： (3)∠APD能否为60°，若可以，求出PE的长度，若不可以，请说明理由. 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 27.(10分)实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A' 处，得到折痕DE,然后把纸片展平.第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠， 点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕EF,B'C交AB于点M,CF交DE于点N, 再把纸片展平. M 图1 图2 问题解决： (1)如图1，填空：四边形AEAD的形状是 (2)如图2，线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由： (3)如图2，若AC'=2cm,DC=4cm,求DW:EW的值. 10/10 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学•全解全析 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式需要满足的条件逐一判断即可，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式. 【详解】A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误； B、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确； C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误； D、，该二次根式的被开方数是小数，不是最简二次根式，故本选项错误； 故选：B 2．下列各式由左边到右边的变形中，是多项式因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】多项式因式分解是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A选项：，等式右边是整式和差形式，不是乘积，A不是多项式因式分解； B选项：，左边是多项式，右边是整式的乘积形式，符合定义，B是多项式因式分解. C选项：，等式右边是整式和差形式，不是乘积，C不是多项式因式分解. D选项：，左边是单项式，而多项式因式分解一般是对两个或两个以上项的多项式进行变形，D不是多项式因式分解． 3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”．根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：，故A符合题意． 故选：A． 4．如图，D、E、F分别是各边的中点，下列说法正确的是（    ）    A．四边形不一定是平行四边形 B．当时，四边形是矩形 C．当时，四边形是菱形 D．当是等边三角形时，四边形是正方形 【答案】C 【分析】由三角形中位线定理知，四边形是平行四边形，故A选项错误；当时，根据矩形的判定可对B选项作出判断；当时，则得，由菱形的判定可对C选项作出判断；当是等边三角形时，由正方形的判定可对D选项作出判断． 【详解】解：∵D、E、F分别是各边的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形，故A错误； 当时，与不垂直，故B错误； 当时，    ∵D、F分别是两边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故C正确； 当是等边三角形时，则有， 由上知，四边形不是正方形，故D错误； 故选：C． 5．为响应“劳动教育进校园”号召，某校计划在校园直角墙角处打造“共享种植角”，用总长为10米的防腐木围栏围出一块面积为21平方米的矩形区域（墙体足够长，无需额外围栏）．设矩形的一边长为米，下列方程符合题意的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】据题意可知，矩形在直角墙角处，说明矩形的两条邻边靠墙，另外两条邻边由围栏组成；设矩形的一边长为 米，根据围栏总长为 10 米表示出另一边长，利用矩形面积公式列出方程即可． 【详解】解：∵矩形在直角墙角处，且围栏总长为 10 米， ∴围栏构成了矩形的两条邻边（长和宽）， 设矩形的一边长为米，则另一边长为米， ∵矩形区域的面积为 21 平方米， ∴根据矩形面积公式可得方程： ． 6．如图，在平行四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．设点P的运动时间为t，在此运动过程中，当时，t的值为（     ） A．1.5 B．3 C．1.5或3 D．3或4 【答案】C 【分析】由题意易得，，，，则有，，由题意可分当时，当时，且满足，然后分类画出图形进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，，， ∴，， 由题意可分： 当时，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 此时，解得：； 当时，且满足，分别过点A、P作， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理可得， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述：t的值为1.5或3． 7．如图，在中，，，，平面上有一点，连接，，若，取的中点．连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的中位线定理，三角形三边之间的关系．取的中点N，连接，则，根据勾股定理求出，由三角形的中位线定理得出，根据三角形三边之间的关系得出，当点B、M、N在同一直线上时，取最大值，即可求解． 【详解】解：取的中点N，连接， ∵点N为中点，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵点M为中点，点N为中点，， ∴， ∴在中，，即， 当点B、M、N在同一直线上时，， 此时取最大值， 故选：A． 8．如图，将平行四边形绕点逆时针旋转到平行四边形的位置，使点落在上，与交于点，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】先结合旋转的性质证明，求出，再证点在同一条直线上，推出，再证明，得出，设，，代入可得，解出x的值即可． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 即点在同一条直线上， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， 设，， ∴， 解得， ∴， 故选A． 二、填空题：本题共8小题，每题3分，共24分． 9．为了解某校八年级680名学生对电信诈骗知识的掌握情况，从中随机抽取68名学生进行问卷调查，此次调查中，样本容量是______． 【答案】68 【分析】本题考查样本容量．熟练掌握样本容量是抽取的样本的数量，不带单位，是解题的关键．根据样本容量是抽取样本的数量，进行作答即可． 【详解】解：此次调查中，样本容量是68， 故答案为：68 10．小明借助电脑软件做掷骰子实验，利用频率估计概率．有下列4个实验：①掷骰子，向上一面的点数是6；②掷骰子，向上一面的点数是偶数；③掷骰子，向上一面的点数大于4．根据图中的实验记录情况，小明做的实验可能是___________（填写序号即可）． 【答案】③ 【分析】本题考查的是频率和概率的关系．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率约为，计算三个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率约为， ①掷骰子，向上一面的点数是6的概率为，故此选项不符合题意； ②掷骰子，向上一面的点数是偶数的概率为，故此选项不符合题意； ③掷骰子，向上一面的点数大于4的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：③ 11．如图，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFC=90°，若AC=10，BC=16，则DF的长为___________. 【答案】3 【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出EF，计算即可． 【详解】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE=BC=8， ∵∠AFC=90°，E是AC的中点， ∴EF=AC=5， ∴DF=DE-EF=3， 故答案为:3. 12．矩形、矩形按如图所示放置．若，则______．    【答案】4 【分析】根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵四边形是矩形，对角线、相交于点D， ∴， ∴， 故答案为：4． 13．如图，在中，是上一点．下列四个条件中：“①；②；③；④”，一定能满足与相似的条件是______．（只填序号） 【答案】①③ 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用“两角对应相等，两三角形相似”，“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”去判断． 【详解】解：①，而， ∴，故①正确； ②，只能得到，故②错误； ③由， 得， 又∵， ∴，故③正确， ④由， 得到， 不满足两边对应成比例且夹角相等，故④错误， 故答案为：①③． 14．若关于x的方程的解是正数，则k的取值范围是________． 【答案】且 【分析】先求出分式方程的解，再根据解是正数得出，最后再由得出，求解即可得出结果． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 移项并合并同类项得， 当时，方程无解，故不符合题意； 当时，解得， ∵关于x的方程的解是正数， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， 综上所述，k的取值范围是且． 15．如图，正方形纸片的边长为4，E是边的中点，F是边上一动点．将正方形纸片沿折叠，点C落在处，连接．当的长最小时，的长为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，三角形三边关系， 根据可知点三点共线时，的长最小，再根据勾股定理求出，进而得出，设，可知，然后分别在和根据勾股定理可得，接下来代入数值可解． 【详解】解：如图所示，在中，， ∴当点三点共线时，的长最小， ∵四边形是正方形，且点E是的中点， ∴，． 根据勾股定理，得， ∴． 根据折叠可得， 设，可知， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 16．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为BC中点，H，G分别是边AB，CD上的动点，且始终保持GH⊥AE，则EH+AG最小值为_____． 【答案】 【分析】过G作GN⊥AB于N，先证明△ABE∽△GNH，再根据相似三角形对应边成比例的性质得到，利用勾股定理解得AE＝，GH＝，以AG，AE为邻边作平行四边形AEMG，继而证明当H，E，M在同一直线上时，AG+HE的最小值等于HM的长，在Rt△GHM中，利用勾股定理解得HM的值即可解题． 【详解】解：如图所示，过G作GN⊥AB于N，则∠ANG＝90°，GN＝AD＝2， ∵GH⊥AE， ∴∠ANG＝∠AFG＝90°， ∴∠BAE＝∠NGH， ∴△ABE∽△GNH， ∴， ∵Rt△ABE中，AE＝， ∴， ∴GH＝， 如图所示，以AG，AE为邻边作平行四边形AEMG，则AG＝ME，GM＝AE＝，∠HGM＝∠AFG＝90°， ∴AG+HE＝ME+HE， 当H，E，M在同一直线上时，AG+HE的最小值等于HM的长， 此时，Rt△GHM中，HM＝， ∴EH+AG的最小值为， 故答案为：． 三.解答题（本题共11小题，共60分，其中17-22题4分，23题5分，24题7分，25题6分，26题8分，27题10分） 17．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算． 先对二次根式进行化简，并进行乘法算，再合并同类项即可； 先计算乘法并化简，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 18．解方程： (1) (2) 【答案】(1)原方程无解 (2) 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）利用公式法解方程，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 去分母得， ， 经检验：是增根， 所以原方程无解； （2）解：， ∵，，， ∴ ∴， ∴． 19．某校园文学社为了解本校学生对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，随机抽取部分学生做了一次问卷调查，要求学生选出自己喜欢的一个版面，将调查数据进行了整理、绘制成部分统计图如下： 请根据图中信息，解答下列问题： （1）第一版=____%，“第四版”对应扇形的圆心角为________°； （2）请你补全条形统计图； （3）若该校有1200名学生，请你估计全校学生中最喜欢“第三版”的人数． 【答案】（1）30%；120°；（2）见解析；（3）320人. 【分析】（1）设样本容量为x．由题意=10%，求出x即可解决问题，然后求出第一版的百分比，最后用第四版的百分比乘以360°求出其圆心角的度数． （2）求出第三版”的人数为60-18-6-20=16，画出条形图即可； （3）用样本估计总体的思想解决问题即可． 【详解】（1）设样本容量为x．由题意=10%，x=60，则第一版===30%，第四版的圆心角=×360°=120° （2）第三版的人数为60-18-6-20=16人 （3）该校有1200名学生,估计全校学生中最喜欢“第三版”的人数约为1200×=320人. 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． 【分析】（1）先将方程整理为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式，配方后利用完全平方的非负性证明判别式恒大于0，即可证明结论； （2）将已知根代入原方程求出的值，再将代回方程求解即可得到另一个根． 【详解】（1）证明： 将原方程整理为一般形式得 ， ∵无论取何实数， ∴，即 ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：把代入原方程得， 整理得， 解得， 把代入原方程得， 整理得， 解得， ∴的值为，方程的另一个根为． 21．如图，点E，F是对角线上的点，，连接、，求证：四边形为平行四边形． 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键． 由平行四边形的性质可得，，可证，即可得，，可证，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形为平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 在和中， ∵，，， ， ，， ， 四边形是平行四边形． 22．观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为.请你观察上述的规律后解答下面的问题： (1)如果的整数部分为a，小数部分为b，求a﹣b的值； (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握数的平方根是解题的关键． （1）按照例题仿写即可得出小数部分和整数部分，代入即可； （2）按照例题仿写即可得出小数部分和整数部分，代入即可． 【详解】（1）， 的整数部分为，小数部分为， ； （2）， ， 的整数部分，的小数部分， ， 的平方根为． 23．如图，直线与双曲线交于点，与轴交于点．与轴交于点． (1)求与的值； (2)当时，的取值范围是___________； (3)若为轴上的一动点，当的面积为5时，求的值． 【答案】(1)，8 (2) (3)或 【分析】（1）将点代入直线解析式得到值，将点坐标代入求出的直线解析式得到值，将点坐标代入反比例函数解析式求出即可； （2）根据两个函数图象，直接写出不等式的解集即可； （3）先求出点坐标，根据列出方程，求出值即可． 【详解】（1）解：（1）把代入得：， 解得：， 把代入得：． ． 把代入得：． 的值为，的值为8． （2）由图象可知：当时，的图象在的上方， 当时，的取值范围是：． 故答案为：． （3）当时，． ， 为轴上的一动点， ． ， ， ， ， 或． 24．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在处理分数和分式的问题时，有时我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，继而解决问题，我们称这种方法为分离常数法． 示例：将分式分离常数． (1)示例中，______； (2)参考示例方法，将分式分离常数； (3)探究函数的性质： ①x的取值范围是______，y的取值范围是______； ②当x变化时，y的变化规律是______； ③如果某个点的横、纵坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”．求函数图像上所有“整数点”的坐标． 【答案】(1)1 (2) (3)①，；②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而减小；③所有“整数点”的坐标为、、、 【分析】（1）根据分式的值不变原则，即可求解 ；（2）根据示例给出的方法，即可求解；（3）①根据分式有意义的条件，可得x的取值范围；根据x，y的关系可得y的取值范围；②由函数解析式即可求解；③抓住“当y为整数时，为整数”，即可求解． 【详解】（1）解： 故 （2）解：． （3）解：①由（2）得： ， 故：，． ②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而减小． ③当y为整数时，为整数，此时整数x取－4、－3、－1、0． ∴所有“整数点”的坐标为、、、． 25．如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段与交于点P． (1)图1中的值为__________； (2)请仅用无刻度的直尺作图． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最大的格点，使它与相似． 【答案】(1)3 (2)①如图，即为所求； ②如图，即为所求 【分析】（1）根据网格及相似三角形的判定和性质即可求解； （2）①利用网格画出即可； ②结合网格及勾股定理，利用三边对应成比例画图，且使三角形的一条边为网格中可以画出的最长线段． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， ∴； （2）①证明：根据网格可得：， ∴， ∴； ②∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． 26．如图，已知菱形中，，，点为中点，连接，点为线段上动点，连接、．    (1)的最小值为______； (2)在点运动过程中，能否为直角，若可以，求出的长度，若不可以，请说明理由； (3)能否为，若可以，求出的长度，若不可以，请说明理由． 【答案】(1)12 (2)不能，理由见解析 (3)能，的值为6或2． 【分析】（1）连接，，交于点，交于点，连接，根据等腰三角形三线合一性可得是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得，然后再根据两点之间线段最短可求出的最小值； （2）连接，相交于点，在上任意取一点，连接，，连接并延长到点，根据菱形对角线互相垂直平分得，然后根据三角形外角大于任意一个与它不相邻的内角证明即可； （3）分两种情况讨论，根据菱形的对角线段，各边相等得到，从而得出，再根据三角形的三线合一性求出，用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：如图所示：连接，，交于点，交于点，连接，当点运动到点处时，的值最小，   四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， ， 根据两点之间线段最短， 的最小值就是线段的长，是12， （2）解：不能为直角，理由如下： 如图所示：连接，相交于点，在上任意取一点，连接，，连接并延长到点，   四边形是菱形， ， ， ，， ，即， 无论在的任何地方，， 点运动过程中，不能成直角； （3）解：能为，理由如下：   四边形是菱形， ，， 是等边三角形 ，， 为中点， ，， ， ， 当点与点重合时，，． 如图所示：连接，过点A作，交于点P，连接，过点D作， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， 设，则， 在中， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为6或2． 27．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平．        问题解决： （1）如图1，填空：四边形的形状是_____________________； （2）如图2，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由； （3）如图2，若，求的值． 【答案】（1）正方形； （2） 理由如下：如图，连接，由（1）知： ∵四边形是矩形， ∴ 由折叠知： ∴ 又， ∴ ∴ ∴ （3） 【分析】（1）有一组邻边相等且一个角为直角的平行四边形是正方形； （2）连接，由（1）问的结论可知，，又因为矩形纸片沿过点E的直线折叠，可知折叠前后对应角以及对应边相等，有，，，可以证明和全等，得到，从而有； （3）由，有；由折叠知，，可以计算出；用勾股定理计算出DF的长度，再证明得出等量关系，从而得到的值． 【详解】（1）解：∵ABCD是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处 ∴ ∴ ∵ ∴四边形的形状是正方形 故最后答案为：四边形的形状是正方形； （2）略 （3）∵，∴ 由折叠知：，∴ ∵ ∴ 设，则 在中，由勾股定理得： 解得：，即 如图，延长交于点G，则 ∴ ∴ ∴ ∵，∴ ∴ 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围： 苏科版八年级下册全部+一元二次方程+相似三角形 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式由左边到右边的变形中，是多项式因式分解的是（  ） A． B． C． D． 3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．如图，D、E、F分别是各边的中点，下列说法正确的是（    ）    A．四边形不一定是平行四边形 B．当时，四边形是矩形 C．当时，四边形是菱形 D．当是等边三角形时，四边形是正方形 5．为响应“劳动教育进校园”号召，某校计划在校园直角墙角处打造“共享种植角”，用总长为10米的防腐木围栏围出一块面积为21平方米的矩形区域（墙体足够长，无需额外围栏）．设矩形的一边长为米，下列方程符合题意的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在平行四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．设点P的运动时间为t，在此运动过程中，当时，t的值为（     ） A．1.5 B．3 C．1.5或3 D．3或4 7．如图，在中，，，，平面上有一点，连接，，若，取的中点．连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，将平行四边形绕点逆时针旋转到平行四边形的位置，使点落在上，与交于点，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D．1 二、填空题：本题共8小题，每题3分，共24分． 9．为了解某校八年级680名学生对电信诈骗知识的掌握情况，从中随机抽取68名学生进行问卷调查，此次调查中，样本容量是______． 10．小明借助电脑软件做掷骰子实验，利用频率估计概率．有下列4个实验：①掷骰子，向上一面的点数是6；②掷骰子，向上一面的点数是偶数；③掷骰子，向上一面的点数大于4．根据图中的实验记录情况，小明做的实验可能是___________（填写序号即可）． 11．如图，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFC=90°，若AC=10，BC=16，则DF的长为___________. 12．矩形、矩形按如图所示放置．若，则______．    13．如图，在中，是上一点．下列四个条件中：“①；②；③；④”，一定能满足与相似的条件是______．（只填序号） 14．若关于x的方程的解是正数，则k的取值范围是________． 15．如图，正方形纸片的边长为4，E是边的中点，F是边上一动点．将正方形纸片沿折叠，点C落在处，连接．当的长最小时，的长为______． 16．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为BC中点，H，G分别是边AB，CD上的动点，且始终保持GH⊥AE，则EH+AG最小值为_____． 三.解答题（本题共11小题，共60分，其中17-22题4分，23题5分，24题7分，25题6分，26题8分，27题10分） 17．（4分）计算： (1)； (2) 18．（4分）解方程： (1) (2) 19．（4分）某校园文学社为了解本校学生对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，随机抽取部分学生做了一次问卷调查，要求学生选出自己喜欢的一个版面，将调查数据进行了整理、绘制成部分统计图如下： 请根据图中信息，解答下列问题： （1）第一版=____%，“第四版”对应扇形的圆心角为________°； （2）请你补全条形统计图； （3）若该校有1200名学生，请你估计全校学生中最喜欢“第三版”的人数． 20．（4分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． 21．（4分）如图，点E，F是对角线上的点，，连接、，求证：四边形为平行四边形． 22．（4分）观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为.请你观察上述的规律后解答下面的问题： (1)如果的整数部分为a，小数部分为b，求a﹣b的值； (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根． 23．（5分）如图，直线与双曲线交于点，与轴交于点．与轴交于点． (1)求与的值； (2)当时，的取值范围是___________； (3)若为轴上的一动点，当的面积为5时，求的值． 24．（7分）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在处理分数和分式的问题时，有时我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，继而解决问题，我们称这种方法为分离常数法． 示例：将分式分离常数． (1)示例中，______； (2)参考示例方法，将分式分离常数； (3)探究函数的性质： ①x的取值范围是______，y的取值范围是______； ②当x变化时，y的变化规律是______； ③如果某个点的横、纵坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”．求函数图像上所有“整数点”的坐标． 25．（6分）如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段与交于点P． (1)图1中的值为__________； (2)请仅用无刻度的直尺作图． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最大的格点，使它与相似． 26．（8分）如图，已知菱形中，，，点为中点，连接，点为线段上动点，连接、．    (1)的最小值为______； (2)在点运动过程中，能否为直角，若可以，求出的长度，若不可以，请说明理由； (3)能否为，若可以，求出的长度，若不可以，请说明理由． 27．（10分）实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平．        问题解决： （1）如图1，填空：四边形的形状是_____________________； （2）如图2，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由； （3）如图2，若，求的值． 试题 第3页（共10页） 试题 第4页（共10页） 试题 第5页（共10页） 试题 第6页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏科版八年级下册全部+一元二次方程+相似三角形 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式由左边到右边的变形中，是多项式因式分解的是（  ） A． B． C． D． 3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．如图，D、E、F分别是各边的中点，下列说法正确的是（    ）    A．四边形不一定是平行四边形 B．当时，四边形是矩形 C．当时，四边形是菱形 D．当是等边三角形时，四边形是正方形 5．为响应“劳动教育进校园”号召，某校计划在校园直角墙角处打造“共享种植角”，用总长为10米的防腐木围栏围出一块面积为21平方米的矩形区域（墙体足够长，无需额外围栏）．设矩形的一边长为米，下列方程符合题意的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在平行四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．设点P的运动时间为t，在此运动过程中，当时，t的值为（     ） A．1.5 B．3 C．1.5或3 D．3或4 7．如图，在中，，，，平面上有一点，连接，，若，取的中点．连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，将平行四边形绕点逆时针旋转到平行四边形的位置，使点落在上，与交于点，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D．1 二、填空题：本题共8小题，每题3分，共24分． 9．为了解某校八年级680名学生对电信诈骗知识的掌握情况，从中随机抽取68名学生进行问卷调查，此次调查中，样本容量是______． 10．小明借助电脑软件做掷骰子实验，利用频率估计概率．有下列4个实验：①掷骰子，向上一面的点数是6；②掷骰子，向上一面的点数是偶数；③掷骰子，向上一面的点数大于4．根据图中的实验记录情况，小明做的实验可能是___________（填写序号即可）． 11．如图，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFC=90°，若AC=10，BC=16，则DF的长为___________. 12．矩形、矩形按如图所示放置．若，则______．    13．如图，在中，是上一点．下列四个条件中：“①；②；③；④”，一定能满足与相似的条件是______．（只填序号） 14．若关于x的方程的解是正数，则k的取值范围是________． 15．如图，正方形纸片的边长为4，E是边的中点，F是边上一动点．将正方形纸片沿折叠，点C落在处，连接．当的长最小时，的长为______． 16．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为BC中点，H，G分别是边AB，CD上的动点，且始终保持GH⊥AE，则EH+AG最小值为_____． 三.解答题（本题共11小题，共60分，其中17-22题4分，23题5分，24题7分，25题6分，26题8分，27题10分） 17．（4分）计算： (1)； (2) 18．（4分）解方程： (1) (2) 19．（4分）某校园文学社为了解本校学生对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，随机抽取部分学生做了一次问卷调查，要求学生选出自己喜欢的一个版面，将调查数据进行了整理、绘制成部分统计图如下： 请根据图中信息，解答下列问题： （1）第一版=____%，“第四版”对应扇形的圆心角为________°； （2）请你补全条形统计图； （3）若该校有1200名学生，请你估计全校学生中最喜欢“第三版”的人数． 20．（4分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． 21．（4分）如图，点E，F是对角线上的点，，连接、，求证：四边形为平行四边形． 22．（4分）观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为.请你观察上述的规律后解答下面的问题： (1)如果的整数部分为a，小数部分为b，求a﹣b的值； (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根． 23．（5分）如图，直线与双曲线交于点，与轴交于点．与轴交于点． (1)求与的值； (2)当时，的取值范围是___________； (3)若为轴上的一动点，当的面积为5时，求的值． 24．（7分）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在处理分数和分式的问题时，有时我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，继而解决问题，我们称这种方法为分离常数法． 示例：将分式分离常数． (1)示例中，______； (2)参考示例方法，将分式分离常数； (3)探究函数的性质： ①x的取值范围是______，y的取值范围是______； ②当x变化时，y的变化规律是______； ③如果某个点的横、纵坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”．求函数图像上所有“整数点”的坐标． 25．（6分）如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段与交于点P． (1)图1中的值为__________； (2)请仅用无刻度的直尺作图． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最大的格点，使它与相似． 26．（8分）如图，已知菱形中，，，点为中点，连接，点为线段上动点，连接、．    (1)的最小值为______； (2)在点运动过程中，能否为直角，若可以，求出的长度，若不可以，请说明理由； (3)能否为，若可以，求出的长度，若不可以，请说明理由． 27．（10分）实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平．        问题解决： （1）如图1，填空：四边形的形状是_____________________； （2）如图2，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由； （3）如图2，若，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $