第13章 三角形 整章节 导学案 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦三角形知识体系，涵盖概念、线段、内角外角及四大模型应用，通过例题与变式题结合，构建从基础判断到性质探究再到模型拓展的学习支架，帮助学生逐步掌握知识脉络。 资料以核心素养为导向，突出模型总结与分层设计，如飞镖模型、“8”字模型等专题培养几何直观，例题变式训练提升推理能力，等面积转化等方法强化应用意识，助力学生形成数学思维，便于教师开展差异化教学。

目录 13.1 三角形的概念 1 知识点1 判断是否为三角形 1 知识点2 判断三角形的基本元素 1 13.2 与三角形有关的线段 3 知识点1 三角形的三边关系 3 知识点2 三角形的高 3 知识点3 三角形的中线 5 知识点4 三角形的角平分线 6 13.3 与三角形的内角与外角 8 知识点1 三角形的内角 8 知识点2 直角三角形的性质 9 知识点3 直角三角形的判定 10 知识点4 三角形的外角 12 专题1 高线与角平分线模型（高分模型） 16 专题2 飞镖模型 19 专题3 两条角平分线模型 21 专题4 “8”字模型（蝴蝶模型） 23 13.1 三角形的概念 知识点1 判断是否为三角形 【例1】观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】观察下列图形，其中是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（　　） A． B． C． D． 知识点2 判断三角形的基本元素 【例1】如图，在△ABC中，AB与BC的夹角是 　 　 ，∠A的对边是 　 　 ，∠A，∠C的公共边是 　 　 ． 【变式1-1】如图，图中三角形的个数为　 　 ；以AB为边的三角形是 　 　 ，以∠C为一个内角的三角形是　 　 ；在△ADE中，∠ADE的对边是　 　 ． 【变式1-2】（1）如图，点D在△ABC中，写出图中所有三角形：　 　 （2）如图，线段BC是△　 　 和△　 　 的边； （3）如图，△ABD的3个内角是　 　 ，三条边是　 　 ． 【变式1-3】如图，点D在△ABC中，写出图中所有三角形：　 　 ；线段BC是△　 　 和△　 　 的边；线段AD是△　 　 和△　 　 的边；△ABD的3个内角是 　 　 ，三条边是 　 　 ． 【变式1-4】如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，连接BE，AD，相交于点F． （1）图中共有多少个三角形？写出这些三角形． （2）请写出△BDF的三个顶点、三条边及三个内角． （3）以线段AB为边的三角形有哪些？把它们表示出来． （4）以∠C为内角的三角形有哪些？ 13.2 与三角形有关的线段 知识点1 三角形的三边关系 【例1】下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，5，11 D．5，6，11 【变式1-1】若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　） A．1 B．2 C．5 D．8 【变式1-2】一个三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形第三边长可能是（　　） A．3cm B．5cm C．7cm D．11cm 【变式1-3】一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则此三角形的第三边的长不可能是（　　） A．3cm B．5cm C．7cm D．9cm 【例2】等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．12 B．15 C．12或15 D．18 【变式2-1】等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 【例3】一个三角形的三边长均为整数，已知两边长为4和5，则第三边长度的最大值为 　 　 ． 知识点2 三角形的高 【例1】下面四个图中，线段AD是△ABC的高线的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则CM是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，CG⊥CB，垂足分别为点D、E、F、C，△ABC中BC边上的高是（　　） A． CF B．BE C．CG D．AD 【变式1-3】一个三角形的高（　　） A． 有3条 B．有2条 C．有1条 D．有3条或1条 【变式1-4】如图，在△ABC中，如果过点B作PB⊥BC交边AC于点P，过点C作CQ⊥AB交AB的延长线于点Q，那么图中线段　 　 是△ABC的一条高． ★等面积转化法 【例2】如图，∠B＝∠D＝90°，AD与BC交于点E，AE＝3，EC＝2，AB＝2.5，则CD的长是　 　 ． 【变式2-1】如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，试作出BC边上的高AE，并求AE的长． 【变式2-2】在△ABC中，AD是BC边上的高，若BD＝5，CD＝3，则BC的长为　 　 ． 知识点3 三角形的中线 【例1】如图，AP是△ABC的中线，AQ是△ABP的中线．若BC＝8，则BQ的长为　 　 ． 【变式1-1】如图，已知CD是△ABC的中线，AB＝20，则BD的长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．15 【变式1-2】如图，BD、CE是△ABC的两条中线，若，，则△ABC的周长是（　　） A．45 B．35 C．26 D．22 【例2】如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为28cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为（　　） A．34cm B．31cm C．22cm D．20cm 【变式2-1】如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为28cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为（　　） A．31cm B．25cm C．22cm D．19cm 【例3】如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，，则三角形ABC的面积是（　　） A．6cm2 B．9cm2 C．12cm2 D．18cm2 【变式3-1】已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　 cm2． 【巩固练习】如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∠CAB＝90°，试求： （1）△ACE和△ABE的周长的差； （2）AD的长； （3）直接写出△ABE的面积． 知识点4 三角形的角平分线 【例1】如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．AB＝2BF B．AE＝BE C． D．CD⊥AB 【变式1-1】如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线．若∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．25° 【例2】如图，BD，BE分别是△ABC的高和角平分线，若∠C＝45°，∠A＝35°，则∠DBE的度数为（　　） A．5° B．15° C．20° D．25° 【变式2-1】如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线．若∠B＝α，∠C＝β，则∠DAE＝（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】下列说法中正确的是（　　） A．钝角三角形有两条高在三角形内部 B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 【变式2-3】如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　　） A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90° C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF 【变式2-4】如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的有（　　） ①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 13.3 与三角形的内角与外角 知识点1 三角形的内角 【例1】如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得∠2＝151°，则∠1＝（　　） A．63° B．67° C．61° D．69° 【变式1-1】在△ABC中，∠C＝20°，∠B＝4∠A，则∠A等于（　　） A．32° B．36° C．40° D．128° 【变式1-2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝160°，则∠B的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【变式1-3】如图，在△ABC中，∠A＝50°，将△ABC沿虚线剪去∠A，则∠1+∠2的度数为（　　） A．180° B．230° C．240° D．270° 【变式1-4】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，若∠A＝60°，则∠D的度数为（　　） A．100° B．120° C．130° D．150° 【变式1-5】如图，一副直角三角板摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，AB与DE交于点M．若BC∥EF，则∠BMD的度数是（　　） A．75° B．105° C．120° D．90° 知识点2 直角三角形的性质 【例1】如图，△ABC中∠ACB＝90°，且CD∥AB．∠B＝60°，则∠1等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【变式1-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，∠ADC＝70°，则∠B的度数为（　　） A．20° B．40° C．50° D．70° 【变式1-2】如图，把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若∠2＝68°，则∠1的大小是（　　） A．68° B．38° C．34° D．32° 【变式1-3】在△ABC中，AD为边BC上的高，∠CAD＝20°，则∠ACB的度数为（　　） A．70° B．110° C．70°或20° D．70°或110° 【变式1-4】如图，AD为△ABC的高，BE为△ABC的角平分线，若∠EBA＝34°，∠AEB＝71°． （1）求∠CAD的度数； （2）若点F为线段BC上任意一点，当△EFC为直角三角形时，求∠BEF的度数． 知识点3 直角三角形的判定 【例1】有下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A＝90°﹣∠B；③∠A：∠B：∠C＝1：2：3．其中，能判定△ABC是直角三角形的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-1】“奋斗者”号深海潜水器，其外壳的某些部分可近似看作三角形．若其中一个三角形的三个内角之比为1：2：3，则这个三角形是　 　 （填“锐角”“直角”“钝角”中的一个）三角形． 【变式1-2】△ABC中，满足下列条件：①∠A＝60°，∠C＝30°；②∠A+∠B＝∠C；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④∠A＝90°﹣∠C，能确定△ABC是直角三角形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，CF平分∠ACB． （1）求∠ACE的度数． （2）若CD⊥AB于点D，∠CDF＝75°，求证：△CFD是直角三角形． 【拔高题】在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α（0°＜α＜45°），点P是直线BC上一动点（与点B，C不重合），连接AP．过点C作CD⊥AP于点D，交直线AB于点E，设∠APC＝β． （1）根据题意补全图形，若有多种情况，请在不同的备用图中分别画出． （2）直接在不同的备用图下写出∠AED的大小（用含α，β的式子表示）． 知识点4 三角形的外角 【例1】如图，∠1是△ABC的外角，则∠1的度数为（　　） A．115° B．75° C．65° D．60° 【变式1-1】如图，在△ABC中，∠A＝50°，点D在BC的延长线上，∠ACD＝95°，则∠B＝　 　 °． 【变式1-2】如图，在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝62°，AD是△ABC的角平分线，则∠ADB的度数是（　　） A．80° B．92° C．102° D．112° 【例2】将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则∠α的度数是（　　） A．145° B．155° C．165° D．150° 【变式2-1】将一副三角板按题5图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　） A．60° B．75° C．70° D．105° 【变式2-2】将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于（　　） A．45° B．60° C．75° D．90° 【变式2-3】如图，将一副三角尺叠在一起，则∠α的度数是（　　） A．30° B．45° C．55° D．75° 【变式2-4】如图，把一副三角板拼在一起，延长ED交AC于F，那么图中∠AFE的度数是（　　） A．60° B．90° C．100° D．105° 【例3】停车场经常看到如图1所示的地锁，图2为其示意图，若∠3＝100°，则∠2﹣∠1＝（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【变式3-1】如图，在△ABC中，若∠B+∠C＝α，∠1+∠2＝β，则下列选项正确的是（　　） A．α＝β B．α＞β C．α＜β D．β＝2α ★三角形内角与外角的综合 【例1】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．∠B＝55°，∠C＝45°，求∠ADC的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：在△ABC中， ∵∠B+∠C+∠BAC＝ 　 　 （ 　 　 ）， 又：∠B＝55°，∠C＝45°（已知）， ∴∠BAC＝ 　 　 ． ∵AD平分∠BAC（已知）， ∴∠BAD＝∠CAD＝40°（角平分线定义）． ∵∠ADC是△ABD的外角（已知）， ∴∠ADC＝ 　 　 +　 　 （ 　 　 ）， ∴∠ADC＝ 　 　 ． 【例2】如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠ACD＝140°，∠B＝40°，求∠E的大小； （2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E． 【例3】如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠ACD＝∠B，AE平分∠BAC分别交BC，CD于点E，F．求证∠CEF＝∠CFE． 【例4】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝∠DCB，E为BA延长线上的一点，连接CA，CE，CE交AD于点F． （1）证明：DC∥AB． （2）若CA平分∠ECB，∠DAE＝65°，∠DCE＝35°，求∠DAC的度数． 专题1 高线与角平分线模型（高分模型） 【例1】如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高．填空： （1）BE＝　 　 ＝　 　 ； （2）∠BAD＝　 　 ＝　 　 ； （3）∠AFB＝　 　 ＝90°； （4）若BC＝8，AF＝5，则S△ABE＝　 　 ． 【变式1-1】如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝70°，∠C＝34°，求∠DAE的大小． 【变式1-2】如图，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高． （1）若∠C＝30°，∠B＝80°，DF⊥AE，垂足为F，求∠ADF的度数； （2）若∠B＝α，∠C＝β（α＞β），求∠DAE的度数（用含有α，β的代数式表示）． 【例2】（1）如图①所示，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝20°，∠C＝60°，求∠DAE的度数． （2）如图②所示，已知AF平分∠BAC，交边BC于点E，过点F作FD⊥BC于点D，∠B＝x°，∠C＝（x+30）°． ①∠CAB＝　 　 ；（用含x的式子表示） ②试判断∠F的度数是否为定值？若是，请直接写出∠F的度数．若不是，请说明理由． 【变式2-1】如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝70°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC， （1）求∠DAE的度数； （2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其他条件不变，求∠DFE的度数； （3）如图③，若把∠B＝30°，∠C＝70°，AE⊥BC改为“∠C＞∠B，EF⊥BC”，其他条件不变，你能直接写出∠DFE与∠C，∠B之间的数量关系吗？ 【变式2-2】在△ABC中，设∠B＝α，∠C＝β（β＞α），AD平分∠BAC，点E是BC边上一个动点，FE⊥BC交射线DA于点F． （1）如图1，若点F在线段DA上，α＝30°，β＝70°，则∠DFE的度数为　 　 ； （2）若F为线段DA延长线上一点， ①如图2，求∠DFE的度数（用含α，β的代数式表示）； ②如图3，，，AP与EP交于点P，若3β＝180°+α，求∠P的度数． 专题2 飞镖模型 【例1】如图，在△ABC中，D是AB边上的动点，过点D作DF⊥AC交AC于E，交BC的延长线于点F． （1）若∠A＝25°，∠B＝40°，则∠FCE＝ 　 　 °，∠F＝ 　 　 °； （2）在D点运动的过程中，探究∠A+∠B+∠F是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 【变式1-1】如图，FA⊥EC，垂足为E，∠F＝40°，∠C＝20°，求∠FBC的度数． 【变式1-2】【基本模型】如图1，我们称之为“飞镖模型”．若∠A＝38°，∠B＝25°，∠C＝30°，求∠BDC的度数． 思路一：延长BD交AC于点E，利用三角形外角性质可求． 思路二：作射线AD，利用三角形外角性质可求． 思路三：连接BC，利用三角形内角和性质可求． 【解决问题】． 请选择其中的一种思路求∠BDC的度数． 【应用拓展】 （1）如图2，若∠B+∠D+∠E＝130°，则∠A+∠C＝　 　 ． （2）如图3，若∠A+∠C+∠D＝240°，则∠B+∠E+∠F＝　 　 ． 【例2】如图，三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是 　 　 ． 【变式2-1】材料阅读：如图1所示的图形，使我们常见的学习用品——圆规，我们不妨把这样的图形叫做“规形图”． （1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下问题： ①如图2，把一块三角板DEF放置在△ABC上，使三角板的两条直角边DE、DF恰好经过点B、C．若∠A＝40°，则∠ABD+∠ACD＝　 　 °； ②如图3，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP．若∠A＝40°，∠BPC＝130°，求∠BDC． 专题3 两条角平分线模型 【例1】如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的内角平分线，交于点D，BP，CP分别是∠ABC，∠ACB的外角平分线，交于点P．若∠A＝50°． （1）求∠BDC； （2）如果∠A＝α，直接用α表示出∠BPC的度数． 【变式1-1】 （1）如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．若∠A＝80°，则∠P＝　 　 ；如图②，BM平分∠ABC，CM平分外角∠ACD，则∠A与∠M的数量关系是 　 　 ； （2）如图③，BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB．请探索∠A与∠N之间的数量关系； （3）如图④，点P是△ABC两内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，延长BP、NC交于点M．在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数． 【变式1-2】在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页，曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： （1）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，若∠A＝50°．则∠P＝　 　 ； 【问题推广】 （2）如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB＝80°，求∠PBH的度数； （3）如图3，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ．若∠F＝n°，则∠A的度数为 　 　 ．（结果用含n的代数式表示） 专题4 “8”字模型（蝴蝶模型） 【例1】（1）如图①，线段AB，CD相交于点O，连接AD，BC． 求证：∠A+∠D＝∠B+∠C． （2）如图②，∠A＝m°，∠C＝n°，∠ABC，∠ADC的角平分线BP、DP相交于点P． ①若m＝40，n＝32，求∠P的度数； ②用m、n表示∠P的度数为 　 　 ． （3）如图③，∠ABC，∠ADC的角平分线BP，DP相交于点P，∠DAB，∠DCB的角平分线AQ，CQ相交于点Q．若∠P＝∠Q，判断AD与BC的位置关系并说明理由． 【变式1-1】已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB． （1）如图1，求证：∠A+∠D＝∠B+∠C； （2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数； （3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由． 【变式1-2】已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB． （1）如图1，求证：∠A+∠D＝∠B+∠C； （2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数； （3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由． 【变式1-2】（1）如图1，线段AB，CD相交于点O，连接AD，BC．求证：∠A+∠D＝∠B+∠C； （2）如图2，∠A＝a°，∠C＝b°， ①若∠ABC、∠ADC的角平分线BP、DP相交于点P，用a、b表示∠P 的度数，并说明理由； ②若∠A＝30°，∠C＝33°，∠ADP＝∠ADC，∠ABP＝∠ABC，则∠P的度数为　 　 ； ③若∠ADP＝∠ADC，∠ABP＝∠ABC，用a、b表示∠P的度数为　 　 ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案与试题解析 13.1 三角形的概念 知识点1 判断是否为三角形 【例1】观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，判断即可． 【解答】解：观察图形，其中符合三角形概念的图形是D， 故选：D． 【点评】本题考查三角形的定义，解决本题的关键是掌握由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 【变式1-1】观察下列图形，其中是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】依据三角形的定义，判断所给图形是否为三角形，三角形的定义为在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形． 【解答】解：A、是一个角，且只有两条线段没有闭合，所以不是三角形，说法错误，故不符合题意； B、2条线段没有相接，所以不是三角形，说法错误，故不符合题意； C、3条线段的端点首尾相接，且为闭合图形，满足三角形的定义，说法正确，故符合题意； D、有1条线段的端点连接了另一条线段上的一点，所以不是三角形，说法错误，故不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的定义，关键是根据三角形的定义解答． 【变式1-2】下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的定义进行判断即可． 【解答】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形，所以选项C符合题意． 故选：C． 【点评】1此题考查了三角形的定义．解题的关键是熟练记住定义． 知识点2 判断三角形的基本元素 【例1】如图，在△ABC中，AB与BC的夹角是 　∠B ，∠A的对边是 BC ，∠A，∠C的公共边是 AC ． 【分析】由三角形边和角的概念，即可得到答案． 【解答】解：在△ABC中，AB与BC的夹角是∠B，∠A的对边是BC，∠A，∠C的公共边是AC． 故答案为：∠B，BC，AC． 【点评】本题考查三角形，关键是掌握三角形的边和角的概念． 【变式1-1】如图，图中三角形的个数为　6　 ；以AB为边的三角形是 　△ABD，△ABE，△ABC ，以∠C为一个内角的三角形是　△ACE，△ACD，△ACB ；在△ADE中，∠ADE的对边是AE ． 【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形可得图中三角形的个数；根据组成三角形的线段叫做三角形的边；根据相邻两边组成的角叫做三角形的内角进行分析． 【解答】解：图中的三角形有△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC，共6个；以AB为边的三角形有△ABD、△ABE、△ABC，以∠C为一个内角的三角形是△ACE、△ACD、△ACB；△ADE中∠ADE的对边是AE， 故答案为：6；△ABD，△ABE，△ABC；△ACE，△ACD，△ACB；AE． 【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和定理． 【变式1-2】（1）如图，点D在△ABC中，写出图中所有三角形：　△ABD，△ADC，△BDC，△ABC （2）如图，线段BC是△BCD 和△ACB 的边； （3）如图，△ABD的3个内角是　∠BAD，∠ABD，∠ADB ，三条边是AB，AD，BD ． 【分析】（1）根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形进行填空即可； （2）根据三角形边的定义：组成三角形的线段叫做三角形的边进行填空即可； （3）根据组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角进行填空． 【解答】解：（1）图中三角形有：△ABD，△ADC，△BDC，△ABC， 故答案为：△ABD，△ADC，△BDC，△ABC； （2）线段BC是△BCD和△ACB的边， 故答案为：BCD；ACB； （3）△ABD的3个内角是∠BAD，∠ABD，∠ADB，三条边是AB，AD，BD， 故答案为：∠BAD，∠ABD，∠ADB；AB，AD，BD． 【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握与三角形相关的定义． 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． 【变式1-3】如图，点D在△ABC中，写出图中所有三角形：　△ABD，△ADC，△BDC，△ABC ；线段BC是△BCD 和△ACB 的边；线段AD是△ABD 和△ACD 的边；△ABD的3个内角是 　∠BAD，∠ABD，∠ADB ，三条边是 AB，AD，BD ． 【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形进行填空即可； 根据三角形边的定义：组成三角形的线段叫做三角形的边进行填空即可； 根据组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角进行填空． 【解答】解：图中三角形有：△ABD，△ADC，△BDC，△ABC， 故答案为：△ABD，△ADC，△BDC，△ABC； 线段BC是△BCD和△ACB的边， 故答案为：BCD；ACB； 线段AD是△ABD和△ACD的边， 故答案为：ABD；ACD； △ABD的3个内角是∠BAD，∠ABD，∠ADB，三条边是AB，AD，BD， 故答案为：∠BAD，∠ABD，∠ADB；AB，AD，BD． 【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握与三角形相关的定义． 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． 【变式1-4】如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，连接BE，AD，相交于点F． （1）图中共有多少个三角形？写出这些三角形． （2）请写出△BDF的三个顶点、三条边及三个内角． （3）以线段AB为边的三角形有哪些？把它们表示出来． （4）以∠C为内角的三角形有哪些？ 【分析】（1）在数图中的三角形时，要做到不重不漏，可以先数以AB为边的三角形，再数以BD为边的三角形等； （2）三角形的三个顶点可用一个字母表示，如A；每条边需用两个字母表示，如AB，据此完成； （3）以AB为边的三角形有4个； （4）以∠C为内角的三角形有3个． 【解答】解：（1）图中共有8个三角形，它们是：△ABC、△ABF、△ABE、△ABD、△ACD、△AEF、△BDF、△BEC． （2）△BDF的三个顶点分别为：B、D、F；三条边分别为：边BD、边DF、边BF；三个内角是∠FBD，∠FDB，∠BFD； （3）以AB为边的三角形为：△ABC、△ABF、△ABE、△ABD． （4）以C为顶点的三角形为：△ACD、△BCE、△ACB． 【点评】此题考查的是三角形，掌握它的定义是解决此题的关键． 13.2 与三角形有关的线段 知识点1 三角形的三边关系 【例1】下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，5，11 D．5，6，11 【分析】根据三角形的三边关系即可求 【解答】解： A选项，3+4＝7＜8，两边之和小于第三边，故不能组成三角形 B选项，5+6＝11＞10，10﹣5＜6，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三角形 C选项，5+5＝10＜11，两边之和小于第三边，故不能组成三角形 D选项，5+6＝11，两边之和不大于第三边，故不能组成三角形 故选：B． 【点评】此题主要考查三角形的三边关系，要掌握并熟记三角形的三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【变式1-1】若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　） A．1 B．2 C．5 D．8 【分析】由三角形三边关系定理得到2＜a＜8，即可得到答案． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：5﹣3＜a＜5+3， ∴2＜a＜8， ∴a的值可以是5， 故选：C． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 【变式1-2】一个三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形第三边长可能是（　　） A．3cm B．5cm C．7cm D．11cm 【分析】根据已知边长求第三边x的取值范围为：5＜x＜11，因此只有选项C符合． 【解答】解：设第三边长为xcm， 则8﹣3＜x＜3+8， 5＜x＜11， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边长，则第三边的范围为大于两边差且小于两边和． 【变式1-3】一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则此三角形的第三边的长不可能是（　　） A．3cm B．5cm C．7cm D．9cm 【分析】根据三角形的三边关系可得第三边的范围，再根据第三边的范围确定答案． 【解答】解：设第三边长为xcm，由三角形的三边关系可得： 5﹣4＜x＜5+4， 即1＜x＜9， 故选：D． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 【例2】等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．12 B．15 C．12或15 D．18 【分析】因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【解答】解：①当3为底时，其它两边都为6， 3、6、6可以构成三角形， 周长为15； ②当3为腰时， 其它两边为3和6， ∵3+3＝6＝6， ∴不能构成三角形，故舍去， ∴答案只有15． 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 【变式2-1】等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 【分析】根据题意，分两种情况讨论腰长，再根据三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长． 【解答】解：分两种情况讨论： ①当该等腰三角形的腰长为3时，则底边为7， 此时该该等腰三角形的三边长为：3，3，7， ∵3+3＜7，不满足构成三角形的条件， ∴此种情况不存在； ②当该等腰三角形的腰长为7时，则底边为3， 此时该该等腰三角形的三边长为：7，7，3， ∵3+7＞7，满足构成三角形的条件， ∴该等腰三角形的周长为：7+7+3＝17． 故选：C． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系是解决问题的关键． 【例3】一个三角形的三边长均为整数，已知两边长为4和5，则第三边长度的最大值为 　8　 ． 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，设三角形的第三边长度是x，得到1＜x＜9，即可得到答案． 【解答】解：设三角形的第三边长度是x， 由三角形三边关系定理得到：5﹣4＜x＜5+4， ∴1＜x＜9， ∵三角形的三边长均为整数， ∴第三边长度的最大值为8． 故答案为：8． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 知识点2 三角形的高 【例1】下面四个图中，线段AD是△ABC的高线的是（　　） A． B． C． D． 【分析】对于选项A，根据AD⊥BC得线段AD是△ABC的高线，由此可对该选项进行判断； 对于选项B，根据AD⊥AC但AD与BC不垂直得线段AD不是△ABC的高线，由此可对该选项进行判断； 对于选项C，根据AD⊥BD但AD与BC不垂直得线段AD不是△ABC的高线，由此可对该选项进行判断； 对于选项D，根据AD与BC不垂直得线段AD不是△ABC的高线，由此可对该选项进行判断，综上所述即可得出结论． 【解答】解：对于选项A， ∵AD⊥BC， ∴线段AD是△ABC的高线， 故选项A符合题意； 对于选项B， ∵AD⊥AC，但是AD与BC不垂直， ∴线段AD不是△ABC的高线， 故选项B不符合题意； 对于选项C， ∵AD⊥BD，但是AD与BC不垂直， ∴线段AD不是△ABC的高线， 故选项C不符合题意； 对于选项D， ∵AD与BC不垂直， ∴线段AD不是△ABC的高线， 故选项D不符合题意， 故选：A． 【点评】此题主要考查了三角形高的定义，准确识图，熟练掌握三角形高的定义是解决问题的关键． 【变式1-1】如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则CM是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据高是过顶点垂直底面的线段即可判断解答． 【解答】解：A、将△ANM沿NM折叠后，CM并不垂直AB，故此CM不是△ABC的高， B、将△CMB沿CM折叠后，CM并不垂直AB，故此CM不是△ABC的高， C、将△CBM沿CM折叠后，CM垂直AB，故此CM是△ABC的高， D、将△ANM沿NM折叠后，CM并不垂直AB，故此CM不是△ABC的高， 综上所述：C选项符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解题的关键． 【变式1-2】如图，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，CG⊥CB，垂足分别为点D、E、F、C，△ABC中BC边上的高是（　　） A．CF B．BE C．CG D．AD 【分析】根据三角形的高的定义判断． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴△ABC中BC边上的高是AD， 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 【变式1-3】一个三角形的高（　　） A．有3条 B．有2条 C．有1条 D．有3条或1条 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的顶点相对边引垂线，顶点与垂足之间的线段，就是三角形的高，三角形有3个顶点，3条边，所以三角形有3条高．据此可得答案． 【解答】解：从三角形的顶点相对边引垂线，顶点与垂足之间的线段，就是三角形的高，三角形有3个顶点，3条边， 所以三角形有3条高． 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形的高，熟练掌握三角形高的定义是解决问题的关键． 【变式1-4】如图，在△ABC中，如果过点B作PB⊥BC交边AC于点P，过点C作CQ⊥AB交AB的延长线于点Q，那么图中线段CQ 是△ABC的一条高． 【分析】根据三角形的高的定义得出答案即可． 【解答】解：∵CQ⊥AB， ∴线段CQ是△ABC的一条高， 故答案为：CQ． 【点评】本题考查了三角形的高的定义，注意：在一个三角形中，从一个顶点向它对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高． ★等面积转化法 【例2】如图，∠B＝∠D＝90°，AD与BC交于点E，AE＝3，EC＝2，AB＝2.5，则CD的长是　　 ． 【分析】以CE为底、AB为高表示面积，再以AE为底、CD为高表示面积，根据同一个三角形面积相等建立等式，代入已知线段长度，求出CD的长． 【解答】解：∵∠B＝90°，即AB⊥BC， ∴以CE为底时，△AEC的高为AB，， ∵∠D＝90°，即CD⊥AD， ∴以AE为底时，△AEC的高为CD，， ∴， ∴CE•AB＝AE•CD， 把AE＝3，CE＝2，AB＝2.5，代入得： 2×2.5＝3•CD， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积是解题的关键． 【变式2-1】如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，试作出BC边上的高AE，并求AE的长． 【分析】利用等积法求得AE的长度即可． 【解答】解：如图，过点A作BC边上的高线AE，交CB延长线于点E．∵BC•AE＝AC•BD，AC＝8，BC＝4，高BD＝3， ∴×4AE＝×8×3， 则AE＝6． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记三角形的面积公式即可解题，属于基础题． 【变式2-2】在△ABC中，AD是BC边上的高，若BD＝5，CD＝3，则BC的长为　8或2　 ． 【分析】分为点D在线段BC上和点D在BC的延长线上两种情况，分别计算BC的长度，即可求解． 【解答】解：∵AD是BC边上的高，分两种情况讨论： 当点D在线段BC上时，BC＝BD+CD＝5+3＝8； 当点D在BC的延长线上时，BC＝BD﹣CD＝5﹣3＝2； 综上，BC的长为8或2， 故答案为：8或2． 【点评】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，掌握其相关知识点是解题的关键． 知识点3 三角形的中线 【例1】如图，AP是△ABC的中线，AQ是△ABP的中线．若BC＝8，则BQ的长为　2　 ． 【分析】由AP是△ABC的中线可得P是BC的中点，得；由AQ是△ABP的中线得． 【解答】解：∵AP是△ABC的中线， ∴P是BC的中点， ∴， ∵BC＝8， ∴BP＝BC＝×8＝4； 又AQ是△ABP的中线， ∴BQ＝BP＝×4＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查三角形角平分线、中线和高，关键是相关性质的熟练掌握． 【变式1-1】如图，已知CD是△ABC的中线，AB＝20，则BD的长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．15 【分析】根据三角形的中线的概念计算即可． 【解答】解：∵CD是△ABC的中线，AB＝20， ∴BD＝AD＝AB＝10， 故选：A． 【点评】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 【变式1-2】如图，BD、CE是△ABC的两条中线，若，，则△ABC的周长是（　　） A．45 B．35 C．26 D．22 【分析】根据题意可得BC＝3BE＝12．∵，再求出，利用三角形中线的定义可得AB，AC的长，即可求得△ABC的周长． 【解答】解：∵， ∴BC＝3BE＝12， ∵， ∴， ∵BD、CE是△ABC的两条中线， ∴AB＝2BE＝2×4＝8，AC＝2CD＝2×3＝6， ∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝26． 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟知以上知识是解题的关键． 【例2】如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为28cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为（　　） A．34cm B．31cm C．22cm D．20cm 【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，再表示出△ABD和△ACD周长的差就是AB、AC的差，然后计算即可． 【解答】解：∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD＝BC， ∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC， ∵△ABD的周长为28cm，AB比AC长6cm， ∴28﹣6＝22cm．即△ACD周长为22cm， 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形中线的角平分线、中线和高，把三角形的周长的差转化为已知两边的差是解题的关键． 【变式2-1】如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为28cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为（　　） A．31cm B．25cm C．22cm D．19cm 【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，再表示出△ABD和△ACD的周长的差就是AB、AC的差，然后计算即可． 【解答】解：∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC， ∵△ABD的周长为28cm，AB比AC长6cm， ∴△ACD周长为：28﹣6＝22（cm）． 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边AB、AC的长度的差是解题的关键． 【例3】如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，，则三角形ABC的面积是（　　） A．6cm2 B．9cm2 C．12cm2 D．18cm2 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴S△ABC＝2S△ACD， ∵CE是△ACD的中线， ∴S△ACD＝2S△ACE， ∴S△ABC＝4S△ACE， ∵， ∴．． 故选：C． 【点评】本题考查三角形的角平分线、中线和高，知道三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键． 【变式3-1】已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　1　 cm2． 【分析】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半． 【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等， ∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2）， 同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2）， ∴S△BCE＝2（cm2）， ∵F为EC中点， ∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）． 故答案为1． 【点评】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等． 【巩固练习】如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∠CAB＝90°，试求： （1）△ACE和△ABE的周长的差； （2）AD的长； （3）直接写出△ABE的面积． 【分析】（1）根据AE是△ABC中线得BE＝CE＝5，则△ACE的周长为AE+13；△ABE的周长为：AE+11，由此可得△ACE和△ABE的周长的差； （2）根据三角形的面积公式得S△ABC＝BC•AD＝AB•AC，由此可得AD的长； （3）由（1）（2）可知BE＝5，AD＝4.8，然后再由三角形的面积公式可得出△ABE的面积.. 【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∠CAB＝90°， ∵AE是△ABC中线， ∴BE＝CE＝BC＝5， ∴△ACE的周长为：AE+CE+AC＝AE+5+8＝AE+13； 又∵△ABE的周长为：AE+BE+AB＝AE+5+6＝AE+11， ∴△ACE和△ABE的周长的差为：AE+13﹣（ AE+11）＝2； （2）∵∠CAB＝90°，AD为△ADC的高， ∴S△ABC＝BC•AD＝AB•AC， ∴AD＝＝＝4.8； （3）由（1）（2）可知BE＝5，AD＝4.8， ∴S△ABE＝DE•AD＝×5×4.8＝12． 【点评】此题主要考查了三角形的中线，高，三角形的面积，理解三角形的中线，高的定义，熟练掌握三角形的面积公式是解决问题的关键． 知识点4 三角形的角平分线 【例1】如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．AB＝2BF B．AE＝BE C． D．CD⊥AB 【分析】根据高线，中线，角平分线的定义，进行判断即可． 【解答】解：A、∵CF是边AB的中线， ∴AB＝2BF，正确，不符合题意； B、无法证明AE＝BE，说法错误，符合题意； C、∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACE＝∠ACB，正确，不符合题意； D、∵CD是△ABC的高， ∴CD⊥AB，正确，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟知以上知识是解题的关键． 【变式1-1】如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线．若∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．25° 【分析】先根据角平分线的定义求出∠DAC、∠DAB的度数；再根据角平分线的定义求出∠EAD的度数． 【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝80°， ∴∠DAC＝∠DAB＝∠BAC＝40°， ∵AE是△ABD的角平分线， ∴∠EAD＝＝20°， 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形的角平分线，三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． 【例2】如图，BD，BE分别是△ABC的高和角平分线，若∠C＝45°，∠A＝35°，则∠DBE的度数为（　　） A．5° B．15° C．20° D．25° 【分析】先根据高线的性质和三角形内角和定理求出∠DBC和∠ABC的度数，根据角平分线的定义可求得∠CBE的度数，从而得解． 【解答】解：∵∠C＝45°，∠A＝35°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣35°﹣45°＝100°， ∵BD是△ABC的高， ∴∠BDC＝90°， ∴∠DBC＝90°﹣∠C＝90°﹣45°＝45°， ∵BE是△ABC的角平分线， ∴， ∴∠DBE＝∠CBE﹣∠DBC＝50°﹣45°＝5°． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、中线和高，解题的关键是熟知以上知识． 【变式2-1】如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线．若∠B＝α，∠C＝β，则∠DAE＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据角平分线的定义及三角形内角和定理解答即可． 【解答】解：在△ABC中， ∵∠B＝α，∠C＝β， ∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣α﹣β， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴， ∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣α， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键． 【变式2-2】下列说法中正确的是（　　） A．钝角三角形有两条高在三角形内部 B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 【分析】由钝角三角形只有一条高在三角形内部，可判断A不符合题意；由锐角三角形的三条高都在三角形内部，而直角三角形和钝角三角形有两条高不在三角形内部，可判断B符合题意；因为直角三角形的三条高的交点为直角顶点，所以“三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部”这一说法是错误的，可判断C不符合题意；由任意三角形三个内角的平分线的交点都在三角形内部，可判断D不符合题意， 【解答】解：∵钝角三角形只有一条高在三角形内部， ∴“钝角三角形有两条高在三角形内部”这一说法是错误的， 故A不符合题意； ∵锐角三角形的三条高都在三角形内部，而直角三角形和钝角三角形有两条高不在三角形内部， ∴“三角形三条高至多有两条不在三角形内部”这一说法是正确的， 故B符合题意； ∵直角三角形的三条高的交点为直角顶点，该点既不在三角形内部，也不在三角形外部， ∴“三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部”这一说法是错误的， 故C不符合题意； ∵任意三角形三个内角的平分线的交点都在三角形内部， ∴“钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部”这一说法是错误的， 故D不符合题意， 故选：B． 【点评】此题重点考查三角形高的定义、三角形角平分线的定义等知识，正确理解和应用这些知识是解题的关键． 【变式2-3】如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　　） A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90° C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断． 【解答】解：∵AF是△ABC的中线， ∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意； ∵AD是高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠C+∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意； ∵AE是角平分线， ∴∠BAE＝∠CAE，而∠BAF与∠CAF不一定相等，C说法错误，符合题意； ∵BF＝CF， ∴S△ABC＝2S△ABF，D说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 【变式2-4】如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的有（　　） ①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】由∠1＝∠2，根据三角形的角平分线的定义得出AE平分∠DAF；又∠3＝∠4，利用等式的性质得到∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠BAE＝∠EAC，那么AE平分∠BAC． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴AE平分∠DAF，故③正确； 又∠3＝∠4， ∴∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠BAE＝∠EAC， ∴AE平分∠BAC，故⑤正确． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的角平分线的定义：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/8/4 15:33:01；用户：刘银银；邮箱：15198321411；学号：39141288 13.3 与三角形的内角与外角 知识点1 三角形的内角 【例1】如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得∠2＝151°，则∠1＝（　　） A．63° B．67° C．61° D．69° 【分析】根据三角形外角性质和对顶角性质得∠3＝∠4＝61°，根据平行线的性质得∠3＝∠1＝61°． 【解答】解：如图所示， ∵∠2＝90°+∠4＝151°， ∴∠4＝61°， ∴∠3＝∠4＝61°（对顶角相等）， 根据题意可知a∥b， ∴∠1＝∠3＝61°（两直线平行，同位角相等）． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 【变式1-1】在△ABC中，∠C＝20°，∠B＝4∠A，则∠A等于（　　） A．32° B．36° C．40° D．128° 【分析】由∠C＝20°，∠B＝4∠A，根据三角形内角和定理得∠A+4∠A+20°＝180°，求得∠A＝32°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，且∠C＝20°，∠B＝4∠A， ∴∠A+4∠A+20°＝180°， ∴∠A＝32°， 故选：A． 【点评】此题重点考查三角形内角和定理，正确理解和应用“三角形的内角和等于180°”是解题的关键． 【变式1-2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝160°，则∠B的度数为（　　） 3． A．40° B．50° C．60° D．70° 【分析】利用平角的定义可得∠ADE＝20°，再根据平行线的性质知∠A＝∠ADE＝20°，再由内角和定理可得答案． 【解答】解：∵∠CDE＝160°， ∴∠ADE＝20°， ∵DE∥AB， ∴∠A＝∠ADE＝20°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣20°﹣90°＝70°． 故选：D． 【点评】本题考查的了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 【变式1-3】如图，在△ABC中，∠A＝50°，将△ABC沿虚线剪去∠A，则∠1+∠2的度数为（　　） A．180° B．230° C．240° D．270° 【分析】由∠A＝50°，求得∠B+∠C＝180°﹣∠A＝130°，则∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C）＝230°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，且∠A＝50°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠A＝130°， ∵∠1+∠2+∠B+∠C＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C）＝230°， 故选：B． 【点评】此题重点考查三角形的内角和等于180°、四边形的内角和等于360°等知识，正确理解和应用三角形内角和定理是解题的关键． 【变式1-4】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，若∠A＝60°，则∠D的度数为（　　） A．100° B．120° C．130° D．150° 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ACB+∠ABC的度数，再由BD平分∠ABC，CD平分∠ACB得出∠DBC+∠DCB的度数，进而可得出结论． 【解答】解：∵∠A＝60°， ∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣60°＝120°， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠DBC+∠DCB＝（∠ACB+∠ABC）＝×120°＝60°， ∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣60°＝120°． 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键． 【变式1-5】如图，一副直角三角板摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，AB与DE交于点M．若BC∥EF，则∠BMD的度数是（　　） A．75° B．105° C．120° D．90° 【分析】利用平行线的性质求出∠EAB的度数，再利用三角形的内角和定理得结论． 【解答】解：∵△ABC、△DEF是一副直角三角板， ∴∠B＝30°，∠E＝45°． ∵EF∥BC， ∴∠EAB＝∠B＝30°， ∵∠E+∠EAB+∠EMA＝180°， ∴∠BMD＝180°﹣∠E﹣∠EAB ＝180°﹣45°﹣30° ＝105°． 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握“两直线平行，内错角相等”、“三角形的内角和是180°”是解决本题的关键． 知识点2 直角三角形的性质 【例1】如图，△ABC中∠ACB＝90°，且CD∥AB．∠B＝60°，则∠1等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】由直角三角形的性质得到∠A＝30°，然后根据平行线的性质即可求得∠1＝∠A＝30°． 【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝30°， ∵CD∥AB， ∴∠1＝∠A， ∴∠1＝30°， 故选：A． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【变式1-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，∠ADC＝70°，则∠B的度数为（　　） A．20° B．40° C．50° D．70° 【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠CAD的度数，再根据AD是△ABC的角平分线求出∠BAC＝2∠CAD＝40°．再利用直角三角形两锐角互余，求出∠B的度数． 【解答】解：由直角三角形的性质可知，∠CAD+∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣70°＝20°， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAC＝2∠CAD＝40°， ∵∠BAC+∠B＝90°， ∴∠B＝50°． 故选：C． 【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠CAD的度数解答． 【变式1-2】如图，把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若∠2＝68°，则∠1的大小是（　　） A．68° B．38° C．34° D．32° 【分析】根据平行线的性质计算即可． 【解答】解：∵a∥b， ∴1+30°＝∠2， ∵∠2＝68°， ∴∠168°﹣30°＝38°， 故选：B． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键． 【变式1-3】在△ABC中，AD为边BC上的高，∠CAD＝20°，则∠ACB的度数为（　　） A．70° B．110° C．70°或20° D．70°或110° 【分析】本题需分两种情况讨论，AD为BC边上的高时，垂足D的位置有两种：D在线段BC上，或D在线段BC的延长线上，结合直角三角形两锐角互余的性质计算即可得到结果． 【解答】解：在△ABC中，AD为边BC上的高，∠CAD＝20°，分两种情况讨论： 情况1：垂足D在线段BC上， ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADC＝90°， 在Rt△ADC中，∠CAD＝20°， ∴∠ACB＝90°﹣∠CAD＝90°﹣20°＝70°， 情况2：垂足D在线段BC的延长线上，此时点C在B、D之间， ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADC＝90°． 在Rt△ADC中，∠CAD＝20°， ∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝70°， ∵∠ACB+∠ACD＝180°， ∴∠ACB＝180°﹣70°＝110°． 故选：D． 【点评】本题考查直角三角形的性质，正确进行计算是解题关键． 【变式1-4】如图，AD为△ABC的高，BE为△ABC的角平分线，若∠EBA＝34°，∠AEB＝71°． （1）求∠CAD的度数； （2）若点F为线段BC上任意一点，当△EFC为直角三角形时，求∠BEF的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可； （2）分∠EFC＝90°和∠FEC＝90°两种情况解答即可． 【解答】解：（1）∵BE为△ABC的角平分线， ∴∠CBE＝∠EBA＝34°， ∵∠AEB＝∠CBE+∠C， ∴∠C＝71°﹣34°＝37°， ∵AD为△ABC的高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝53°； （2）当∠EFC＝90°时，∠BEF＝90°﹣∠CBE＝90°﹣34°＝56°， 当∠FEC＝90°时， ∵∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠C＝180°﹣34°﹣37°＝109°， ∴∠BEF＝∠BEC﹣∠FEC＝109°﹣90°＝19°． 故答案为：56°或19°． 【点评】本题考查的是三角形的内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键． 知识点3 直角三角形的判定 【例1】有下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A＝90°﹣∠B；③∠A：∠B：∠C＝1：2：3．其中，能判定△ABC是直角三角形的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据直角三角形的概念、三角形内角和定理判断即可． 【解答】解：①∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝∠C， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ②∵∠A＝90°﹣∠B， ∴∠A+∠B＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ③∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝1：2：3， ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形； 故选：D． 【点评】本题考查的是直角三角形，掌握直角三角形的概念是解题的关键． 【变式1-1】“奋斗者”号深海潜水器，其外壳的某些部分可近似看作三角形．若其中一个三角形的三个内角之比为1：2：3，则这个三角形是　直角　 （填“锐角”“直角”“钝角”中的一个）三角形． 【分析】设三角形的内角为别为x，2x，3x，根据三角形的内角和定理可计算求解． 【解答】解：设三角形的内角为别为x，2x，3x， ∴根据三角形内角和定理得，x+2x+3x＝180°， 整理得，6x＝180°， 解得x＝30°， ∴3x＝3×30°＝90°， ∴这个三角形的最大的内角的度数是90°， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 【点评】本题主要考查三角形内角和定理，比的应用，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 【变式1-2】在△ABC中，满足下列条件：①∠A＝60°，∠C＝30°；②∠A+∠B＝∠C；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④∠A＝90°﹣∠C，能确定△ABC是直角三角形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】分别求出最大的角的度数，然后根据直角三角形的定义解答． 【解答】解：①∠A＝60°，∠C＝30°时，∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°，是直角三角形； ②∠A+∠B＝∠C时，∠C＝90°，是直角三角形； ③∠A：∠B：∠C＝3：4：5时，∠C＝180°×＜90°，是锐角三角形； ④∠A＝90°﹣∠C时，∠A+∠C＝90°，∠B＝90°，是直角三角形； 综上所述，是直角三角形的有①②④共3个． 故选：C． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，确定出最大角的度数是解题的关键． 【例2】如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，CF平分∠ACB． （1）求∠ACE的度数． （2）若CD⊥AB于点D，∠CDF＝75°，求证：△CFD是直角三角形． 【分析】（1）先根据内角和定理求得∠ACB＝90°，再由角平分线性质可得答案； （2）根据CD⊥AB知∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，∠FCD＝∠ECB﹣∠BCD＝15°，结合∠CDF＝75°可得∠CFD＝180°﹣∠FCD﹣∠CDF＝90°，即可得证． 【解答】（1）解：∵∠A＝30°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣30°﹣60°＝90°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝＝45°； （2）证明：∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°， ∴∠FCD＝∠BCE﹣∠BCD＝45°﹣30°＝15°， ∵∠CDF＝75°， ∴∠CFD＝180°﹣∠FCD﹣∠CDF＝180°﹣15°﹣75°＝90°， ∴△CFD是直角三角形． 【点评】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和三角形的内角和定理． 【拔高题】在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α（0°＜α＜45°），点P是直线BC上一动点（与点B，C不重合），连接AP．过点C作CD⊥AP于点D，交直线AB于点E，设∠APC＝β． （1）根据题意补全图形，若有多种情况，请在不同的备用图中分别画出． （2）直接在不同的备用图下写出∠AED的大小（用含α，β的式子表示）． 【分析】（1）根据点P在直线BC上处于B、C两点之间，点B右侧，以及点C左侧时的不同位置情况分别补全图形即可． （2）先由直角三角形两锐角互余求出∠DCP关于β的表达式，然后在△BCE中根据三角形内角和定理即可求出∠AED关于α和β的表达式． 【解答】解：（1）共有三种情况，如图所示： （2）对于图a，根据题意CD⊥AP，∠DCP＝90°﹣∠APC＝90°﹣β． 在△CBE中，∠AED＝∠DCP+∠ABC＝90°﹣β+α． 对于图b，根据题意CD⊥AP，∠DCP＝90°﹣∠APC＝90°﹣β． 在△CBE中，∠BEC+∠DCP+∠ABC＝180°，则∠AED＝∠BEC＝180°﹣∠DCP﹣∠ABC＝90°+β﹣α． 对于图c，根据题意CD⊥AP，∠DCP＝90°﹣∠APC＝90°﹣β． 在△CBE中，∠DCP＝∠AED+∠ABC，则∠AED＝90°﹣β﹣α． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，分类讨论是解答本题的关键． 知识点4 三角形的外角 【例1】如图，∠1是△ABC的外角，则∠1的度数为（　　） A．115° B．75° C．65° D．60° 【分析】根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 【解答】解：∵∠1是△ABC的外角，∠B＝40°，∠C＝25°， ∴∠1＝40°+25°＝65°， 故选：C． 【点评】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键． 【变式1-1】如图，在△ABC中，∠A＝50°，点D在BC的延长线上，∠ACD＝95°，则∠B＝　45　 °． 【分析】利用三角形外角性质直接算出答案． 【解答】解：在△ABC中，∠A＝50°，点D在BC的延长线上， ∵∠A＝50°，∠ACD＝95°， ∴∠B＝∠ACD﹣∠A＝95°﹣50°＝45°． 故答案为：45． 【点评】本题考查三角形的外角，正确进行计算是解题关键． 【变式1-2】如图，在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝62°，AD是△ABC的角平分线，则∠ADB的度数是（　　） A．80° B．92° C．102° D．112° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠CAD，再根据三角形外角性质求出答案即可． 【解答】解：∵∠B＝38°，∠C＝62°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣38°﹣62°＝80°， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠CAD＝∠BAC＝40°， ∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝62°+40°＝102°． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形内角和定理和三角形的外角性质，能熟记三角形外角性质是解此题的关键，注意：①三角形的内角和等于180°，②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【例2】将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则∠α的度数是（　　） A．145° B．155° C．165° D．150° 【分析】先利用三角形外角的性质求出∠CFD，再利用三角形的内角和为180°求出∠FDC，进行求解即可． 【解答】解：如图： ∵在△ABF中，∠A＝90°，∠B＝30°， ∴∠CFD＝∠A+∠B＝120°， ∵∠C＝45°， ∴∠FDC＝180°﹣45°﹣120°＝15° ∴∠a＝180°﹣∠FDC＝180°﹣15°＝165°， 故选：C． 【点评】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 【变式2-1】将一副三角板按题5图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　） A．60° B．75° C．70° D．105° 【分析】由平角定义求出∠4＝75°，由平行线的性质推出∠1＝∠4＝75°． 【解答】解：∵∠2＝45°，∠3＝60°， ∴∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝75°， ∵直尺的对边平行， ∴∠1＝∠4＝75°． 故选：B． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等． 【变式2-2】将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于（　　） A．45° B．60° C．75° D．90° 【分析】根据三角形的外角的定义计算即可． 【解答】解：将一副三角板按图中方式叠放，如图，∠α为△BCF的外角，由题可知， ∠EBD＝30°，∠ACB＝45°， ∴∠α＝∠EBD+∠ACB＝75°． 故选：C． 【点评】本题考查三角形的外角的性质，正确进行计算是解题关键． 【变式2-3】如图，将一副三角尺叠在一起，则∠α的度数是（　　） A．30° B．45° C．55° D．75° 【分析】由同旁内角互补，两直线平行推出AB∥CD，得到∠AEC＝∠C＝45°，由三角形的外角性质推出∠α＝∠A+∠AEC＝75°． 【解答】解：∵∠ABD+∠CDB＝90°+90°＝180°， ∴AB∥CD， ∴∠AEC＝∠C＝45°， ∴∠α＝∠A+∠AEC＝45°+30°＝75°． 故选：D． 【点评】本题考查三角形的外角性质，平行线的判定和性质，关键是由三角形的外角性质得到∠α＝∠A+∠AEC． 【变式2-4】如图，把一副三角板拼在一起，延长ED交AC于F，那么图中∠AFE的度数是（　　） A．60° B．90° C．100° D．105° 【分析】由∠ABC＝∠DBE＝90°，证明E、B、C三点在同一条直线上，由∠E＝45°，∠C＝60°，求得∠AFE＝∠E+∠C＝105°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵∠ABC＝∠DBE＝90°， ∴∠ABC+∠DBE＝180°， ∴E、B、C三点在同一条直线上， ∵BD＝BE， ∴∠E＝∠BDE＝45°， ∵∠A＝30°， ∴∠C＝90°﹣∠A＝60°， ∴∠AFE＝∠E+∠C＝45°+60°＝105°， 故选：D． 【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． 【例3】停车场经常看到如图1所示的地锁，图2为其示意图，若∠3＝100°，则∠2﹣∠1＝（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【分析】由邻补角的性质求出∠4的度数，由三角形的外角性质即可得到答案． 【解答】解：∵∠4＝180°﹣∠3＝180°﹣100°＝80°， ∴∠1﹣∠2＝80°． 故选：A． 【点评】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角的外角性质． 【变式3-1】如图，在△ABC中，若∠B+∠C＝α，∠1+∠2＝β，则下列选项正确的是（　　） A．α＝β B．α＞β C．α＜β D．β＝2α 【分析】根据三角形内角和定理，三角形外角性质推理计算． 【解答】解：∵∠1+∠2＝180°﹣∠A，∠B+∠C＝180°﹣∠A， ∴∠B+∠C＝∠1+∠2， 即α＝β， 故选：A． 【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形外角性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． ★三角形内角与外角的综合 【例1】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．∠B＝55°，∠C＝45°，求∠ADC的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：在△ABC中， ∵∠B+∠C+∠BAC＝ 　180°　 （ 　三角形的内角和等于180°　 ）， 又：∠B＝55°，∠C＝45°（已知）， ∴∠BAC＝ 　80°　 ． ∵AD平分∠BAC（已知）， ∴∠BAD＝∠CAD＝40°（角平分线定义）． ∵∠ADC是△ABD的外角（已知）， ∴∠ADC＝ 　∠B +　∠BAD （ 　三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和　 ）， ∴∠ADC＝ 　95°　 ． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC＝80°，由角平分线定义得∠BAD＝40°，由三角形外角的性质可得结论． 【解答】解：在△ABC中， ∵∠B+∠C+∠BAC＝180°（ 三角形的内角和等于180°）， 又∵∠B＝55°，∠C＝45°（已知）， ∴∠BAC＝80°． ∵AD平分∠BAC（已知）， ∴∠BAD＝∠CAD＝40°（角平分线定义）． 又∵∠ADC是△ABD的外角（已知）， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∴∠ADC＝95°． 故答案为：180°，三角形的内角和等于180°，80°，∠B，∠BAD，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，95°． 【点评】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 【例2】如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠ACD＝140°，∠B＝40°，求∠E的大小； （2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E． 【分析】（1）先根据角平分线定义求出∠DCE＝70°，再根据三角形外角性质求解即可； （2）先根据角平分线定义得到∠ACE＝∠DCE，再根据三角形外角性质进行角的代换即可证明结论． 【解答】（1）解：∵CE平分∠ACD，∠ACD＝140°， ∴， 又∵∠B＝40°，∠ECD＝∠B+∠E， ∴∠E＝∠ECD﹣∠B＝70°﹣40°＝30°； （2）证明：∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE． ∵∠DCE＝∠B+∠E， ∴∠ACE＝∠B+∠E． ∵∠BAC＝∠ACE+∠E， ∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E． 【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟记以上知识点是解题的关键． 【例3】如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠ACD＝∠B，AE平分∠BAC分别交BC，CD于点E，F．求证∠CEF＝∠CFE． 【分析】根据角平分线的定义，得到∠CAE＝∠BAE，再根据∠CEF是△ABE的外角，∠CFE是△ACF的外角，得到∠CEF＝∠B+∠BAE，∠CFE＝∠CAE+∠ACD，进而推导出∠CEF＝∠CFE，即可解答． 【解答】证明：∵AE平分∠BAC，分别交BC，CD于点E， ∴∠CAE＝∠BAE， ∵∠CEF是△ABE的外角，∠CFE是△ACF的外角， ∴∠CEF＝∠B+∠BAE，∠CFE＝∠CAE+∠ACD， ∵∠ACD＝∠B，∠CAE＝∠BAE， ∴∠CEF＝∠CFE． 【点评】本题考查的是三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【例4】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝∠DCB，E为BA延长线上的一点，连接CA，CE，CE交AD于点F． （1）证明：DC∥AB． （2）若CA平分∠ECB，∠DAE＝65°，∠DCE＝35°，求∠DAC的度数． 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补得出∠DAB+∠B＝180°，继而得出∠DCB+∠B＝180°，再根据同旁内角互补，两直线平行即可得证； （2）根据平行线的性质求出∠B、∠BAD、∠E的度数，根据三角形内角和定理求出∠ECB的度数，根据角平分线的定义求出∠BCA的度数，即可求出∠BAC的度数，再根据∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC计算即可． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠B＝180°， ∵∠DAB＝∠DCB， ∴∠DCB+∠B＝180°， ∴DC∥AB； （2）解：∵AD∥BC， ∴∠B＝∠DAE＝65°，∠B+∠BAD＝180°， ∴∠BAD＝180°﹣65°＝115°， 由（1）知DC∥AB， ∴∠E＝∠DCE＝35°， 在△BCE中，∠ECB＝180°﹣∠E﹣∠B＝180°﹣35°﹣65°＝80°， ∵CA平分∠ECB， ∴∠BCA＝＝40°， 在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠BCA＝180°﹣65°﹣40°＝75°， ∴∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝115°﹣75°＝40°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质，正确得出角的度数是解题的关键． 专题1 高线与角平分线模型（高分模型） 【例1】如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高．填空： （1）BE＝EC ＝BC ； （2）∠BAD＝　∠CAD ＝　∠CAB ； （3）∠AFB＝　∠AFC ＝90°； （4）若BC＝8，AF＝5，则S△ABE＝　10　 ． 【分析】（1）根据中线的性质判断即可； （2）根据角平分线的性质判断即可； （3）根据高线的性质判断即可； （4）根据三角形面积计算公式即可； 【解答】解：（1）∵在△ABC中，AE是△ABC的中线， ∴； 故答案是：EC，BC． （2）∵在△ABC中，AD是△ABC中∠BAC的角平分线， ∴； 故答案是：∠CAD，∠CAB． （3）∵在△ABC中，AF是△ABC中边BC的高， ∴AF⊥BC， ∴∠AFB＝∠AFC＝90°； 故答案是：∠AFC． （4）∵在△ABC中，AF＝5，BC＝8， ∴， ∴； 故答案是：10． 【点评】本题主要考查了三角形中角平分线、中线和高线的性质，准确理解计算是解题的关键． 【变式1-1】如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝70°，∠C＝34°，求∠DAE的大小． 【分析】根据三角形内角和定理求得∠BAC的度数，则∠EAC即可求解，然后在△ACD中，利用三角形内角和定理求得∠DAC的度数，根据∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC即可求解． 【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝34°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣34°＝76°， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠EAC＝∠BAC＝38°， 在直角△ADC中，∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣34°＝56°， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝56°﹣38°＝18°． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理以及三角形的角平分线的定义，正确理解∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC是关键． 【变式1-2】如图，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高． （1）若∠C＝30°，∠B＝80°，DF⊥AE，垂足为F，求∠ADF的度数； （2）若∠B＝α，∠C＝β（α＞β），求∠DAE的度数（用含有α，β的代数式表示）． 【分析】（1）由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，则由角平分线的定义可得∠CAE的度数，根据三角形高的定义和三角形内角和定理求出∠CAD的度数，进而可求出∠DAE的度数，根据垂直的定义和三角形内角和定理可得答案； （2）由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，则由角平分线的定义可得∠CAE的度数，根据三角形高的定义和三角形内角和定理求出∠CAD的度数，进而可求出∠DAE的度数． 【解答】解：（1）∵∠C＝30°，∠B＝80°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣80°﹣30°＝70°； ∵AE是角平分线， ∴∠CAE＝BAC＝×70°＝35°； ∵AD是高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣30°﹣90°＝60°， ∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝60°﹣35°＝25°， ∵DF⊥AE， ∴∠DFA＝90°， ∴∠ADF＝180°﹣∠DAE﹣∠DFA＝180°﹣25°﹣90°＝65°； （2）∵∠B＝α，∠C＝β， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣α﹣β； ∵AE是角平分线， ∴； ∵AD是高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝90°﹣β， ∴． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线、中线和高，熟知三角形内角和定理是解题的关键． 【例2】（1）如图①所示，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝20°，∠C＝60°，求∠DAE的度数． （2）如图②所示，已知AF平分∠BAC，交边BC于点E，过点F作FD⊥BC于点D，∠B＝x°，∠C＝（x+30）°． ①∠CAB＝　150°﹣2x°　 ；（用含x的式子表示） ②试判断∠F的度数是否为定值？若是，请直接写出∠F的度数．若不是，请说明理由． 【分析】（1）根据三角形的高线、角平分线的定义，三角形内角和定理进行计算即可； （2）①根据 三角形内角和定理进行计算即可； ②根据角平分线的定义，三角形内角和定理以及图形中角的和差关系进行计算即可． 【解答】解：（1）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，而∠B＝20°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣20°﹣60°＝100°， ∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝50°， ∵AD是△ABC的高线， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝30° ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD ＝50°﹣30° ＝20°； （2）①由三角形内角和定理可得， ∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∵∠B＝x°，∠C＝（x+30）°． ∴∠BAC＝180°﹣x°﹣（x+30）° ＝150°﹣2x°， 故答案为：150°﹣2x°； ②∠F是定值，∠F＝15°，理由如下： ∵AF平分∠BAC， ∴∠CAF＝∠BAF＝∠BAC＝75°﹣x°， ∵FD⊥BC， ∴∠EDF＝90°， ∵∠F+∠EDF+∠DEF＝180°＝∠C+∠AEC+∠CAE，而∠EDF＝∠AEC， ∴∠F+∠EDF＝∠C+∠CAE， 即∠F+90°＝（x+30）°+75°﹣x°， ∴∠F＝15°． 【点评】本题考查三角形内角和定理，列代数式，掌握三角形内角和定理，理解三角形高线、角平分线的定义是正确解答的关键． 【变式2-1】如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝70°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC， （1）求∠DAE的度数； （2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其他条件不变，求∠DFE的度数； （3）如图③，若把∠B＝30°，∠C＝70°，AE⊥BC改为“∠C＞∠B，EF⊥BC”，其他条件不变，你能直接写出∠DFE与∠C，∠B之间的数量关系吗？ 【分析】（1）由三角形内角和定理可得∠BAC＝80°，∠CAE＝20°，由角平分线的性质可得∠CAD＝40°，即可求得∠DAE； （2）由三角形内角和定理可得∠BAC＝80°，∠CGE＝20°，从而可得∠AGF＝∠CGE＝20°，由角平分线的性质可得∠CAD＝40°，从而可得∠FAG＝140°，由三角形内角和定理即可求得∠DFE． （3）由三角形内角和定理可得∠BAC，∠CAE，由角平分线的性质可得∠CAD，即可求得∠DFE． 【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝80°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝40°， ∵AE⊥BC， ∴∠CAE＝20°， ∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝20°； （2）如图， ∵∠B＝30°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝80°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝40°， ∴∠FAG＝180°﹣∠CAD＝140°， ∵EF⊥BC， ∴∠CGE＝20°， ∴∠AGF＝20°， ∴∠DFE＝180°﹣∠AGF﹣∠FAG＝20°． （3）设∠B＝α，∠C＝β，∠C＞∠B， ∴∠BAC＝180°﹣α﹣β， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝90°﹣， ∵EF⊥BC， ∴∠FEC＝90°， ∴∠AFE＝360°﹣90°﹣∠C﹣∠CAD ＝270°﹣β﹣（90°﹣） ＝180°+， ∴∠DFE＝180°﹣∠AFE＝， 即∠DFE＝∠C﹣∠B． 【点评】本题是几何变换综合题，考查三角形内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理，角平分线的性质． 【变式2-2】在△ABC中，设∠B＝α，∠C＝β（β＞α），AD平分∠BAC，点E是BC边上一个动点，FE⊥BC交射线DA于点F． （1）如图1，若点F在线段DA上，α＝30°，β＝70°，则∠DFE的度数为　20°　 ； （2）若F为线段DA延长线上一点， ①如图2，求∠DFE的度数（用含α，β的代数式表示）； ②如图3，，，AP与EP交于点P，若3β＝180°+α，求∠P的度数． 【分析】三角形内角和为180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；角平分线将角分为两个相等的部分；互相垂直的两条直线夹角为90°；“八字形”模型中，对顶角所在的两个三角形，对应角的和相等（即∠P+∠FEP＝∠FAP+∠DFE）． （1）①利用三角形内角和求出∠BAC；②由角平分线定义求出∠BAD；③利用三角形外角性质求出∠ADC；④在Rt△DEF中，利用直角三角形两锐角互余求出∠DFE，结果为20°； （2）①计算逻辑与（1）一致，将具体角度替换为含α、β的代数式：①用α、β表示∠BAC；②由角平分线定义表示∠BAD；③用α、β表示∠ADC；④在Rt△DEF中化简，得到； ②思路：①由FE⊥BC得∠FEC＝90°，结合，求出∠FEP＝30°②用α、β 表示∠DAC，进而求出∠FAC，再由表示出∠FAP；③结合①的结论，利用“八字形”角度关系建立∠P与已知角的等式；④代入已知条件3β＝180°+α，化简求出∠P＝60°． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣α﹣β． 当α＝30°，β＝70°时， ∠BAC＝180°﹣30°﹣70°＝80°， ∵AD平分∠BAC，， 由三角形外角性质，∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°+40°＝70°， ∵FE⊥BC， ∴∠DEF＝90°， 即△DEF为直角三角形， ∠DFE＝90°﹣∠EDF＝90°﹣∠ADC＝20°， 故答案为：20°； （2）①在△ABC中，∠BAC＝180°﹣α﹣β， ∵AD平分∠BAC， ， 由三角形外角性质，， ∵FE⊥BC， ∴∠DEF＝90°，且∠EDF＝∠ADC（对顶角相等）． ， 答：∠DFE的度数为； ②∵FE⊥BC， ∴∠FEC＝90°， 由， 得， 在△ABC中，∠BAC＝180°﹣α﹣β． ∵AD平分∠BAC， ∴， ∴， 由， 得， 由①的结论，． 根据“八字形”角度关系，∠P+∠FEP＝∠FAP+∠DFE， ∴∠P＝∠FAP+∠DFE﹣∠FEP ＝ ＝ ＝， 已知3β＝180°+α， 即﹣α+3β＝180°， 代入上式：． 答：∠P 的度数为60°． 【点评】解析本题考查三角形内角和、外角性质、角平分线定义及“八字形”角度模型的综合应用， 专题2 飞镖模型 【例1】如图，在△ABC中，D是AB边上的动点，过点D作DF⊥AC交AC于E，交BC的延长线于点F． （1）若∠A＝25°，∠B＝40°，则∠FCE＝ 　65　 °，∠F＝ 　25　 °； （2）在D点运动的过程中，探究∠A+∠B+∠F是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 【分析】（1）直接利用三角形外角性质得到∠FCE的度数，然后利用互余计算出∠F的度数； （2）先根据垂直的定义得到∠FEC＝90°，则根据三角形内角和定理得到∠F+∠FCE＝90°，再利用三角形外角性质得到∠FCE＝∠A+∠B，所以∠A+∠B+∠F＝90°． 【解答】解：（1）∵∠A＝25°，∠B＝40°， ∴∠FCE＝∠A+∠B＝65°， ∵DF⊥AC， ∴∠FEC＝90°， ∴∠F＝90°﹣∠FCE＝90°﹣65°＝25°． 故答案为：65，25； （2）∠A+∠B+∠F＝90°． 理由如下： ∵DF⊥AC， ∴∠FEC＝90°， ∴∠F+∠FCE＝90°， ∵∠FCE＝∠A+∠B， ∴∠A+∠B+∠F＝90°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形外角性质． 【变式1-1】如图，FA⊥EC，垂足为E，∠F＝40°，∠C＝20°，求∠FBC的度数． 【分析】根据三角形的内角和可得∠A的度数，再利用外角的性质可得∠FBC的度数． 【解答】解：在△AEC 中，FA⊥EC， ∴∠AEC＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠C＝70°． ∴∠FBC＝∠A+∠F＝70°+40°＝110°． 【点评】本题考查三角形的内角和与外角的性质，求出∠A的度数是解题关键． 【变式1-2】【基本模型】如图1，我们称之为“飞镖模型”．若∠A＝38°，∠B＝25°，∠C＝30°，求∠BDC的度数． 思路一：延长BD交AC于点E，利用三角形外角性质可求． 思路二：作射线AD，利用三角形外角性质可求． 思路三：连接BC，利用三角形内角和性质可求． 【解决问题】． 请选择其中的一种思路求∠BDC的度数． 【应用拓展】 （1）如图2，若∠B+∠D+∠E＝130°，则∠A+∠C＝　50°　 ． （2）如图3，若∠A+∠C+∠D＝240°，则∠B+∠E+∠F＝　120°　 ． 【分析】（1）根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理进行计算即可； （2）根据三角形外角的性质以及四边形内角和是360°进行计算即可． 【解答】解：（1）如图2， ∵∠1＝∠B+∠E，∠2＝∠A+∠C，而∠1+∠2+∠D＝180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°， ∵∠B+∠D+∠E＝130°， ∴∠A+∠C＝180°﹣130°＝50°， 故答案为：50°； （2）如图3， ∵∠1＝∠A+∠E，∠2＝∠B+∠F，而∠1+∠2+∠C+∠D＝360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°， ∵∠A+∠C+∠D＝240°， ∴∠B+∠E+∠F＝360°﹣240°＝120°， 故答案为：120°． 【点评】本题考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理以及三角形外角的性质是正确解答的关键． 【例2】如图，三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是 　130°　 ． 【分析】由三角形的外角性质可得∠BAC+∠ABC＝100°，再由角平分线的定义得∠1＝∠BAC，∠3＝∠ABC，从而可求得∠1+∠3＝50°，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【解答】解：∵∠ACQ是△ABC的外角，且∠ACQ＝100°， ∴∠BAC+∠ABC＝100°， ∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC， ∴∠1＝∠BAC，∠3＝∠ABC， ∴∠1+∠3＝（∠BAC+∠ABC）＝50°， ∴∠D＝180°﹣（∠1+∠3）＝130°． 故答案为：130°． 【点评】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 【变式2-1】材料阅读：如图1所示的图形，使我们常见的学习用品——圆规，我们不妨把这样的图形叫做“规形图”． （1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下问题： ①如图2，把一块三角板DEF放置在△ABC上，使三角板的两条直角边DE、DF恰好经过点B、C．若∠A＝40°，则∠ABD+∠ACD＝　50　 °； ②如图3，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP．若∠A＝40°，∠BPC＝130°，求∠BDC． 【分析】（1）根据三角形外角的性质进行计算即可； （2）①利用（1）的结论，以及∠D＝90°代入计算即可； ②由（1）的结论得∠BDC＝∠A+∠ABD+∠ACD，进而求出∠ABD+∠ACD＝50°，再根据角平分线的定义得到∠ABD+∠ACD＝45°，再根据（1）的结论进行计算即可． 【解答】解：（1）∠BDC＝∠A+∠B+∠C，理由： 如图，作射线AD， ∵∠BDM＝∠BAD+∠B，∠CDM＝∠CAD+∠C， ∴∠BDM+∠CDM＝∠BAD+∠B+∠CAD+∠C， 即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C； （2）①如图②，由（1）得，∠BDC＝∠A+∠ABD+∠ACD， ∵∠BDC＝90°，∠A＝40°， ∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣40°＝50°， 故答案为：50； ②如图③，由（1）得，∠BPC＝∠ABP+∠ACP+∠A， ∵∠A＝40°，∠BPC＝130°， ∴∠ABP+∠ACP＝130°﹣40°＝90°， ∵BD平分∠ABP，CD平分∠ACP． ∴∠ABD＝∠ABP，∠ACD＝∠ACP， ∴∠ABD+∠ACD＝（∠ABP+∠ACP）＝×90°＝45°， 由（1）可得，∠BDC＝∠ACD+∠ABD+∠A＝45°+40°＝85°． 【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线的定义是正确解答的关键． 专题3 两条角平分线模型 【例1】如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的内角平分线，交于点D，BP，CP分别是∠ABC，∠ACB的外角平分线，交于点P．若∠A＝50°． （1）求∠BDC； （2）如果∠A＝α，直接用α表示出∠BPC的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义及三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣∠A，进而可得∠BDC＝180°﹣（∠DCB+∠DCB）＝90°+∠A，然根据∠A＝50°可得出∠BDC的度数； （2）连接PD，先根据角平分线的定义求出∠PBD＝90°，∠PCD＝90°，则∠BPD+∠BDP＝90°，∠CPD+∠CDP＝90°，由此得∠BPC+∠BDC＝180°，再根据∠BDC＝90°+∠A得∠BPC＝90°﹣∠A，由此可得出∠BPC的度数． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线， ∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB， ∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣∠A， 在△BDC中，∠BDC＝180°﹣（∠DCB+∠DCB）＝90°+∠A， ∵∠A＝50°， ∴∠BDC＝90°+×50°＝115°； （2）连接PD，如图所示： ∵PB平分EBC， ∴∠PBC＝∠EBC， ∵∠DBC＝∠ABC， ∴∠PBC+∠DBC＝（∠EBC+∠ABC）， ∵∠EBC+∠ABC＝180°， ∴∠PBC+∠DBC＝90°， ∴∠PBD＝∠PBC+∠DBC＝90°， 同理：∠PCD＝90°， 在△PBD中，∠BPD+∠BDP＝180°﹣∠BPD＝90°， 在△PCD中，∠CPD+∠CDP＝180°﹣∠PCD＝90°， ∴∠BPD+∠BDP+∠CPD+∠CDP＝180°， 即∠BPC+∠BDC＝180°， 由（1）可知：∠BDC＝90°+∠A， ∴∠BPC＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A， ∵∠A＝α， ∴∠BPC＝90°﹣α． 【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的外角性质，理解角平分线的定义是解决问题的关键． 【变式1-1】 （1）如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．若∠A＝80°，则∠P＝　130　 ；如图②，BM平分∠ABC，CM平分外角∠ACD，则∠A与∠M的数量关系是 　∠A＝2∠M ； （2）如图③，BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB．请探索∠A与∠N之间的数量关系； （3）如图④，点P是△ABC两内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，延长BP、NC交于点M．在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数． 【分析】（1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，根据，计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得2∠DCM＝∠A+2∠CBM＝2（∠M+∠CBM），整理即可； （2）由角平分线可得，由∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，可得∠CBE+∠BCF＝180°+∠A，则根据∠N＝180°﹣（∠CBN+∠BCN），计算求解即可； （3）由题意知，，，∠A＝2∠M，当在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①∠NBM＝2∠M，②∠NBM＝2∠N，③∠M＝2∠N，④∠N＝2∠M，四种情况求解即可． 【解答】解：（1）如图①，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°， ∴； 如图②，∵BM平分∠ABC，CM平分外角∠ACD， ∴， ∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠DCM＝∠M+∠CBM， ∴2∠DCM＝∠A+2∠CBM＝2（∠M+∠CBM）， 整理得，∠A＝2∠M， 故答案为：130°；∠A＝2∠M． （2）解：∵BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB， ∴， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠CBE+∠BCF＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°+∠A， ∴， ∴； （3）由题意知，，，∠A＝2∠M， ∴当在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①∠NBM＝2∠M，②∠NBM＝2∠N，③∠M＝2∠N，④∠N＝2∠M，四种情况求解： ①当∠NBM＝2∠M时，∠A＝2∠M＝∠NBM＝90°； ②当∠NBM＝2∠N时，2∠N＝90°，则∠A＝2（90°﹣∠N）＝90°； ③当∠M＝2∠N时，，解得，∠A＝120°； ④当∠N＝2∠M时，，解得，∠A＝60°； 综上所述，∠A的度数为60°或90°或120°． 【点评】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 【变式1-2】在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页，曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【问题改编】 （1）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，若∠A＝50°．则∠P＝　115°　 ； 【问题推广】 （2）如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB＝80°，求∠PBH的度数； （3）如图3，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ．若∠F＝n°，则∠A的度数为 　180°﹣8n°　 ．（结果用含n的代数式表示） 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由角平分线的定义得到∠BAC＝2∠BAP，∠CBM＝2∠CBP，再由三角形外角的性质得到∠CBP＝∠BAP+40°，根据三角形内角和定理推出∠P＝180°﹣∠BAP﹣∠ABP＝40°，再由垂线的定义得到∠BHP＝90°，则∠PBH＝180°﹣∠P﹣∠BHP＝50°． （3）先由角平分线的定义得到∠ABC＝2∠DBC，∠ACB＝2∠DCB，∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠ECB，∠EBC＝2∠FBE＝2∠FBC，∠ECQ＝2∠ECF＝2∠OCF，再由三角形内角和∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣2∠DBC﹣2∠DCB＝4（∠EBC+LECB）﹣540°，根据∠F+∠FBC+∠FCB＝∠F+∠EBC﹣∠FBE+∠ECB+∠ECF＝180°，得到∠EBC+∠ECB＝180°﹣2∠F，由此得解． 【解答】解：（1）∵∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°， ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB， ∴2∠PBC+2∠PCB＝130°，即∠PBC+∠PCB＝65°， ∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝115°． 故答案为：115°； （2）∵AP平分∠BAC，BP平分∠CBM， ∴∠BAC＝2∠BAP，∠CBM＝2∠CBP， ∵∠CBM＝∠BAC+∠ACB，∠ACB＝80°， ∴2∠CBP＝2∠BAP+∠ACB， ∴∠CBP＝∠BAP+40°， ∵∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC， ∴∠ABC＝100°﹣2∠BAP， ∴∠ABP＝∠ABC+∠CBP＝140°﹣∠BAP，• ∴∠ABP+∠BAP＝140°， ∴∠P＝180°﹣∠BAP﹣∠ABP＝40°， ∵BH⊥AP，即∠BHP＝90°， ∴∠PBH＝180°﹣∠P﹣∠BHP＝50°； （3）∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACB＝2∠DCB， ∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN， ∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠ECB， ∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ， ∴∠EBC＝2∠FBE＝2∠FBC，∠ECQ＝2∠ECF＝2∠OCF， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠DBC＝180°﹣∠MBC，∠DCB＝180°﹣∠BCN， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB ＝180°﹣2∠DBC﹣2∠DCB ＝180°﹣2（180°﹣∠MBC）﹣2（180°﹣∠BCN） ＝2（∠MBC+∠BCN）﹣540° ＝2（2∠EBC+2∠ECB）﹣540° ＝4（∠EBC+∠ECB）﹣540°， 又∵∠F+∠FBC+∠FCB＝180°，∠FBC＝∠EBC﹣∠FBE，∠FCB＝∠ECB+∠ECF， 即∠F+∠FBC+∠FCB＝∠F+∠EBC﹣∠FBE+∠ECB+∠ECF＝180°， ∴∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠F﹣（∠ECF∠FBE）， 又∵∠ECF＝∠QCF，∠FBE＝∠FBC， ∴∠ECF﹣∠FBE＝∠QCF﹣∠FBC＝∠F， ∴∠EBC+∠ECB ＝180°﹣∠F﹣（∠ECF﹣∠FBE） ＝180°﹣2∠F， ∴∠A＝4（∠EBC+∠ECB）﹣540° ＝4（180°﹣2∠F）﹣540° ＝180°﹣8∠F ＝180°﹣8n°． 故答案为：180°﹣8n°． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，垂线的定义，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 专题4 “8”字模型（蝴蝶模型） 【例1】（1）如图①，线段AB，CD相交于点O，连接AD，BC． 求证：∠A+∠D＝∠B+∠C． （2）如图②，∠A＝m°，∠C＝n°，∠ABC，∠ADC的角平分线BP、DP相交于点P． ①若m＝40，n＝32，求∠P的度数； ②用m、n表示∠P的度数为 　（）°　 ． （3）如图③，∠ABC，∠ADC的角平分线BP，DP相交于点P，∠DAB，∠DCB的角平分线AQ，CQ相交于点Q．若∠P＝∠Q，判断AD与BC的位置关系并说明理由． 【分析】（1）依据题意，在△AOD中，∠A+∠D+∠AOD＝180°，则∠A+∠D＝180°﹣∠AOD，又 在△BOC中，∠B+∠C+∠BOC＝180°，故∠B+∠C＝180°﹣∠BOC，从而可以得解； （2）①依据题意，结合（1）可得，∠A+∠ADC＝∠ABC+∠C，∠A+∠ADP＝∠P+∠ABP，结合BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，从而∠ADP＝∠ADC，∠ABP＝∠ABC，故∠A+∠ADC＝∠P+∠ABC，进而可得2∠A+∠ADC＝2∠P+∠ABC，又∠A+∠ADC＝∠ABC+∠C，从而∠A＝2∠P﹣∠C，即可得∠P＝，代入计算可以得解； ②依据题意，根据①∠P＝，又∠A＝m°，∠C＝n°，进而计算可以得解； （3）依据题意，根据（2）①∠P＝，同理可得，∠Q＝，又∠P＝∠Q，故可得∠A+∠C＝∠B+∠D，又∠A+∠D＝∠C+∠B，则2∠A+∠C+∠D＝2∠B+∠C+∠D，从而∠A＝∠B，故可得解． 【解答】（1）证明：由题意，在△AOD中，∠A+∠D+∠AOD＝180°， ∴∠A+∠D＝180°﹣∠AOD． 又 在△BOC中，∠B+∠C+∠BOC＝180°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BOC． 又∠AOD＝∠BOC， ∴∠A+∠D＝∠B+∠C． （2）解：①由题意，结合（1）可得， ∠A+∠ADC＝∠ABC+∠C， ∠A+∠ADP＝∠P+∠ABP． ∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC， ∴∠ADP＝∠ADC，∠ABP＝∠ABC． ∴∠A+∠ADC＝∠P+∠ABC． ∴2∠A+∠ADC＝2∠P+∠ABC． 又∠A+∠ADC＝∠ABC+∠C， ∴∠A＝2∠P﹣∠C． ∴∠P＝． 又∠A＝m°＝40°，∠C＝n°＝32°， ∴∠P＝＝36°． ②由题意，根据①∠P＝， 又∠A＝m°，∠C＝n°， ∴∠P＝（）°． 故答案为：（）°． （3）解：AD∥BC．理由如下： 由题意，根据（2）①可得∠P＝， 同理可得，∠Q＝． 又∠P＝∠Q， ∴＝． ∴∠DAB+∠DCB＝∠ABC+∠ADC． 又∠DAB+∠ADC＝∠DCB+∠ABC， ∴2∠DAB+∠DCB+∠ADC＝2∠ABC+∠DCB+∠ADC． ∴∠DAB＝∠ABC． ∴AD∥BC． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的判定，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【变式1-1】已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB． （1）如图1，求证：∠A+∠D＝∠B+∠C； （2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数； （3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角相等可求解； （2）由角平分线的定义可得∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE，结合（1）可得∠A+∠C＝2∠E，再代入计算即可求解； （3）由∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC可得∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE，结合（1）可得∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE＝3∠E+∠ABE+2∠CDE，进而可求解． 【解答】（1）证明：∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°， ∠AOD＝∠BOC， ∴∠A+∠D＝∠C+∠B； （2）解：∵∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E， ∴∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE， 由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE， ∴∠A+∠C＝2∠E， ∵∠A＝28°，∠C＝32°， ∴∠E＝30°； （3）解：∠A+2∠C＝3∠E． 理由：∵∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC， ∴∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE， 由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE， ∴2∠C+2∠CBE＝2∠E+2∠CDE， ∴∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE＝3∠E+∠ABE+2∠CDE， 即∠A+2∠C＝3∠E． 【点评】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，灵活运用将三角形的内角和定理解决问题是解题的关键． 【变式1-2】（1）如图1，线段AB，CD相交于点O，连接AD，BC．求证：∠A+∠D＝∠B+∠C； （2）如图2，∠A＝a°，∠C＝b°， ①若∠ABC、∠ADC的角平分线BP、DP相交于点P，用a、b表示∠P 的度数，并说明理由； ②若∠A＝30°，∠C＝33°，∠ADP＝∠ADC，∠ABP＝∠ABC，则∠P的度数为　31°　 ； ③若∠ADP＝∠ADC，∠ABP＝∠ABC，用a、b表示∠P的度数为　∠P＝∠A+∠C ． 【分析】（1）∠A、∠B、∠C、∠D所在的两个三角形中，有一对对顶角相等，根据三角形的内角和定理得出数量关系； （2）①先根据“8字形”中的角的规律，可得∠ADP+∠A＝∠P+∠ABP①，∠CBP+∠C＝∠PDC+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠ADP＝∠CDP，∠CBP＝∠ABP，将①+②，可得∠P＝（a°+b°）； ②方法同上． ③方法同上． 【解答】（1）证明：∵∠A+∠D+∠AOD＝180°，∠B+∠C+∠BOC＝180°， 又∵∠AOD＝∠BOC， ∴∠A+∠D＝∠B+∠C； （2）①∠P＝（∠ADC+∠ABC），理由如下： 由（1）可知，∠ADP+∠A＝∠P+∠ABP， ∠CBP+∠C＝∠PDC+∠P， ∵∠ABC、∠ADC的角平分线BP、DP相交于点P， ∴∠ADP＝∠CDP，∠CBP＝∠ABP， ∴∠ADP+∠A+∠CBP+∠C＝∠P+∠ABP+∠PDC+∠P， 即2∠P＝∠ADC+∠ABC， ∴∠P＝（a°+b°）， ②∠P＝31°． 由（1）可知，∠ADP+∠A＝∠P+∠ABP， ∠CBP+∠C＝∠PDC+∠P， ∴∠ADP+∠A+∠CBP+∠C＝∠P+∠ABP+∠PDC+∠P， ∵∠A＝30°，∠C＝33°，∠ADP＝∠ADC，∠ABP＝∠ABC， ∴∠ADC+∠A+∠ABC+∠C＝2∠P+∠ABC+∠ADC， ∴2∠P＝（∠ABC﹣∠ADC）+∠A+∠C， ∵∠ABC+∠C＝∠ADC+∠A， ∴∠ABC﹣∠ADC＝∠A﹣∠C， ∴2∠P＝（∠A﹣∠C）+∠A+∠C， ＝∠A+∠C ＝×30°+33° ＝62°， ∴∠P＝31°． 故答案为：31°． ③∠P＝∠A+∠C，理由如下： 由（1）可知，∠ADP+∠A＝∠P+∠ABP， ∠CBP+∠C＝∠PDC+∠P， ∴∠ADP+∠A+∠CBP+∠C＝∠P+∠ABP+∠PDC+∠P， ∵∠ADP＝∠ADC，∠ABP＝∠ABC， ∴∠ADC+∠A+∠ABC+∠C＝2∠P+∠ABC+∠ADC， ∴∠A+∠C+（∠ABC﹣∠ADC）＝2∠P， ∵∠ABC+∠C＝∠ADC+∠A， ∴∠ABC﹣∠ADC＝∠A﹣∠C， ∴2∠P＝∠A+∠C+（∠A﹣∠C） ＝∠A+∠C， ∴∠P＝∠A+∠C， 故答案为：∠P＝∠A+∠C． 【点评】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，灵活运用将三角形的内角和定理解决问题是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/8/4 17:00:15；用户：刘银银；邮箱：15198321411；学号：39141288 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $