第13章 三角形 单元卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以基础巩固为核心，分层梯度清晰，覆盖三角形全章知识点，从单一概念到综合应用，适配单元复习，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三角形三边关系、内角和、中线性质|单选题1-5题直接考查概念，填空题11-14题强化基本运算| |中档|角平分线、折叠、等腰三角形分类讨论|解答题17-20题结合高与角平分线综合计算，填空题15-16题引入"特征三角形"新情境| |拔高|动态平移、多角平分线综合、坐标系与三角形结合|解答题23-24题涉及图形变换与代数计算，培养推理能力与创新意识|

2026-2027学年人教版八年级数学上册第13章 三角形 单元卷 时间：120分钟 试卷满分：120分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）三角形一边长为，另一边长为，它的第三边的长可能是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）如图，在中，是高，是角平分线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图所示，是的中线，的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 4．（本题3分）已知等腰三角形的三边长分别为，，，则这个等腰三角形的周长是（     ） A．5 B．5或 C．或14 D．5或或14 5．（本题3分）如图，点，分别在的边，上，将沿折叠，使点恰好落在边上处，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图所示，分别延长的三边、、至、、，使得、、．若，则（   ） A．18 B．19 C．24 D．27 7．（本题3分）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（     ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，在中，，，是的角平分线，点在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在中，平分，点F在线段上，过点F作，垂足为F，与的延长线交于点E．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）如图所示，在中，，，，则的度数是________． 12．（本题3分）如图，已知，则，，的数量关系为_____． 13．（本题3分）如图所示，，则的度数为__度． 14．（本题3分）若a，b，c是的三边的长，化简______________． 15．（本题3分）当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中内角称为“特征角”．如果一个钝角三角形是“特征三角形”，其中一个内角为，那么这个“特征角”的度数为_______． 16．（本题3分）如图，，被直线所截，，将线段沿着直线平移得到线段，连接．在平移过程中，当时，的度数是_______． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，求的度数． 18．（本题8分）已知，分别是的其中两边的长，且，满足关系式． (1)求，的值． (2)若是等腰三角形，请计算的周长． 19．（本题8分）如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)证明：； (2)若，且，求的度数． 20．（本题8分）如图所示，在中，是高，是角平分线且交于点，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 21．（本题9分）如图，已知，． (1)求证：； (2)若D、E、F分别是、、边上的中点，，求． 22．（本题9分）如图，平分，，． (1)请说明：； (2)若，，求的度数． 23．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，已知，C三点，其中a，b满足，轴，且，点C在第一象限． (1)求a，b的值和点C的坐标． (2)在坐标系内有一点，若的面积为四边形面积的，求点P的坐标． 24．（本题12分）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，若，则_____． (2)如图2，的内角的平分线与的外角的平分线交于点．其中，求的度数用表示． (3)如图3，平分外角，平分外角．试确定与的数量关系，并说明理由． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B D B B A B B D 1．C 【详解】解：设第三边的长为， 根据三角形三边关系可得， ， 观察选项，只有满足， 因此第三边的长可能为． 2．B 【分析】根据已知条件是高, ，,得出,,又因为是角平分线,得出． 【详解】解： , 是角平分线 3．B 【分析】本题考查三角形中线的性质，三角形的中线将三角形分为两个面积相等的小三角形．根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴． 故选：B． 4．D 【分析】根据等腰三角形两边相等的性质分三种情况讨论，结合三角形三边关系验证后计算周长． 【详解】解：分三种情况讨论： ① 当时， 解得， 此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； ② 当时， 解得， 此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； ③ 当时， 解得，此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； 综上所述，这个等腰三角形的周长是5或或14． 5．B 【分析】根据可以求出，根据折叠的性质可以求出，利用三角形的内角和定理即可求出． 【详解】解：， ， 由折叠可知，， ， 在中， ． 6．B 【分析】连接，，，利用已知条件求出，同理可得，然后由即可求解． 【详解】解：连接，，， ∵，， ∴． 又∵ ∴， 同理可得： ∴． 【点睛】解答此题的关键是连接，，，利用两三角形同高这一特点，求出． 7．A 【详解】解：如图， 根据三角板的度数可知：，， ． 8．B 【详解】解：， ， ． 9．B 【分析】根据三角形内角和求出，由角平分线求出，最后由平行线的性质即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 10．D 【分析】先观察，因为，所以，结合已知的度数，可求出的度数．结合已知的度数，可求出的度数．因为平分，所以，可得到的度数．最后在中，利用三角形内角和为，可求出的度数． 【详解】解：， ， 在中，． ， 代入已知得： ． 平分， ． 在中，． 11．/度 【分析】先根据三角形内角和定理求出，根据平行线的性质得出． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 12． 【分析】延长交于点，利用平行线的性质得出内错角相等，再结合三角形外角的性质即可得出三个角之间的数量关系. 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ， 是的外角， ， . 13．250 【分析】设交于点G，交于点K，交于点H，根据三角形内角和定理以及邻补角的性质可得，，再由，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点G，交于点K，交于点H， ∵， ∴， 同理， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 14． 【分析】根据三角形三边关系判断绝对值内代数式的正负，再利用绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴三角形任意两边之和大于第三边，可得 ，， ∴，， ∴． 15．或 【分析】设三角形三个内角为，，，已知一个内角为，分三种情况讨论后，结合钝角三角形的条件筛选符合要求的结果． 【详解】解：设三角形的三个内角分别为，，， 当时，则， ∴， 此时三角形是钝角三角形，符合题意； 当时，则， ∴， 此时三角形是锐角三角形，不符合题意； 当时， ∴，解得：， 此时三角形是钝角三角形，符合题意； 综上：或． 16．/度 【分析】两直线平行，同位角相等，得出的度数，利用平角得出的度数，根据三角形内角和为即可求出的度数． 【详解】解：线段和线段交于点D， ∵ 线段平移后得到线段， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 解得． 17． 【分析】先求出，根据高的定义得到，可知，，根据角平分线的定义得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴． 18．(1)， (2) 【分析】（1）根据非负数的性质，求得的值； （2）根据等腰三角形的定义以及三角形的三边关系即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得，， ，． （2）解：是等腰三角形，有两种情况： ①当是腰时，有、、三边，不能构成三角形，故此种情况不成立． ②当是腰时，有、、三边，能构成三角形，故此种情况成立，则． 等腰的周长为． 19．(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）由同位角相等、两直线平行可得，即，进而得到，最后利用同旁内角互补、两直线平行即可证明结论； （2）由（1）可得，则，进而得到，再利用三角形内角和定理、对顶角相等列关于的方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得， ∴， ∵， ∴，即 ∵，， ∴，解得：． 20．(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理求得，再利用垂直的定义结合三角形的内角和即可得到结论； （2）根据三角形的内角和和角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， 又∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 21．(1)证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)16 【分析】（1）先根据同角的补角相等得到，则，利用平行线的性质得到，结合已知得到，则，然后利用平行线的性质可证得结论； （2）设，利用三角形的中线平分三角形的面积可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵D、E、F分别是、、边上的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 22．(1)∵平分， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义以及，可得，即可解答； （2）设，结合平行线的性质可得，，再根据，可得，从而得到，，进而得到，即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：设， ，平分， ，， ，即， ， ∵， ， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ． 23．(1)，，点C坐标为 (2)或 【分析】（1）先求出，，即可得点A坐标为，点B坐标为，再根据轴可得点C的横坐标，然后求出进而得出答案； （2）先求出，再根据求出m的值，则此题可解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴点A坐标为，点B坐标为． ∵轴， ∴点C的横坐标为6． 又∵，， ∴， ∴C点纵坐标为8， ∴点C坐标为． （2）解：． ∴， 解得． ∴点P的坐标为或． 24．(1) (2) (3)解：结论：；理由如下： ∵平分外角，平分外角， ，， ． 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得出，即可得出答案； （3）根据三角形外角的性质和角平分线的定义，求出，，再根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】（1）解：∵、分别平分和， ∴，（角平分线的定义）， ∵（三角形内角和定理）， ∴ ． 故答案为：； （2）解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴， 即， ∴； （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $