第3讲 爆炸与反冲类常见模型（模型与方法）物理人教版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中物理爆炸与反冲类常见模型，系统梳理人船模型（系统初动量为0、水平动量守恒、位移满足mx人=Mx船）和类爆炸模型（内力远大于外力、动量守恒、能量转化），通过模型构建、剖析、例题及变式题搭建学习支架，助力学生从原理理解过渡到实际应用。 该资料以“模型破解-真题演练-分层练测”为主线，突出科学思维中的模型建构与科学推理。模型剖析明确动量守恒条件及位移、速度关系，例题选自各地阶段检测及高考真题，强化实战能力。分层练测分基础夯实与培优拔高，课中辅助教师系统教学，课后帮助学生精准提效，弥补知识薄弱点。

第3讲 爆炸与反冲类常见模型 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.人船模型 模型02.类爆炸、类人船模型 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.人船模型 模型构建 系统初始总动量 = 0（人和船一开始静止） 水平方向不受外力（水面光滑，水阻力不计） → 水平动量守恒，任意时刻总动量保持为 0 模型剖析 总动量为0且动量守恒：0＝m人v人－M船v船 m人v人=M船v船 x人＋x船＝L 位移大小满足：0＝m－M m＝M mx人＝Mx船 得：x人＝L x船＝L 人船模型特点： ①人动船动、人停船停、人快船快、人慢船慢、人左船右。 ②人船位移比=质量的反比；人船速度比=质量的反比，即＝＝ 【例1】如图所示，在一次特警训练中，质量为140kg的小车静止在光滑的水平面上，A、B为小车的两端。质量为70 kg的特警站在A端，起跳后恰好落到B端，特警相对地面的位移为2m。该过程不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．小车向右运动了1m B．小车向左运动了2m C．小车AB长为3m D．小车AB长为2m 【变式1-1】（25-26高一下·河北·阶段检测）（多选）如图所示，光滑水平面上静止一长为L=5 m、质量为M=60 kg的平板小车，一质量为m=40 kg的小孩站在小车左端。小孩从小车左端移动到小车右端（不打滑），在这一过程中小孩对地的最大速度v人max=1.5 m/s，小孩可视为质点。下列说法中正确的是（　　 ） A．小孩和小车组成的系统动量守恒，机械能守恒 B．小车对地的最大速率v车max=1 m/s C．整个过程中小孩发生对地的位移为3 m D．若小孩运动至最右端静止，小车因惯性不会立刻静止 【变式1-2】（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）如图所示，在光滑的水平面上，小明站在平板车上用锤子敲打平板车。初始时，人、车、锤都静止。下列说法正确的是（     ） A．人、车和锤组成的系统动量守恒 B．人、车和锤组成的系统水平方向动量守恒 C．当人挥动锤子，敲打车之前，车保持静止 D．停止敲打车，人、车和锤组成的系统将水平向右匀速运动 模型02.类爆炸、类人船模型 模型构建 共同前提：系统内力远大于外力 → 动量守恒 · 爆炸 / 类爆炸：内力瞬间爆发，化学能 / 弹性势能转化为动能；重点求分离后速度 · 人船 / 类人船：系统初总动量为 0，持续相互作用；重点求位移 类爆炸侧重速度；类人船侧重位移；底层都是动量守恒。 模型剖析 水平动量守恒： 系统机械能守恒: (1)①→②过程,m+M系统满足水平位移关系： 几何关系： 最低点： (2)③→④就是①→②过程的逆过程. (3)如图建立坐标系，则半圆面方程,小球向右运动过程中凹槽向左运动，当小球的坐标为时，此时凹槽水平向左运动的位移为，根据上式有 则小球现在在凹槽所在的圆上，根据数学知识可知方程为 整理得： 为一椭圆方程 环系球摆模型(小球质量为m，光滑圆环质量为M，两者用不可伸长的轻绳连接，光滑水平杆)过程分析如下，五个特殊的状态位置图如下图所示，①→⑤也是一个完整的运动周期； (1)①→②或①→④过程可等效为完全非弹性碰撞，m+M系统满足： 水平动量守恒： 系统机械能守恒 水平位移时间关系： 几何关系： m最高点时相对M静止：T-mgsinα=0 m最高点时M的瞬间加速度大小： 方向水平； (2)①→③过程可等效为弹性碰撞，m+M系统满足： 水平动量守恒： 系统机械能守恒: 水平位移时间关系： 几何关系： m最低点时相对M运动： (注意v₁可能为负值，若为负表示方向水平向左，满足m<M的条件) ③→⑤过程实质是①→③过程的逆过程； 【例2】（25-26高二下·陕西渭南·期末）（多选）一位小朋友手握小球站在滑板上，滑板静止于光滑水平面上。某时刻，小朋友将小球斜向上抛出，抛出瞬间小球相对地面的速度大小为，方向与水平方向的夹角为，小朋友和滑板的速度大小为，如图所示。已知小朋友和滑板的总质量为，重力加速度为，小朋友和滑板始终相对静止，不计空气阻力。以小球、小朋友和滑板为系统，下列说法正确的是（     ）（，） A．将小球抛出瞬间，系统动量守恒 B．小球的质量为 C．将小球抛出的过程中，系统机械能增加的量为 D．小球从抛出到运动至最高点的过程中，小朋友和滑板的位移大小为 【变式2-1】（25-26高一下·四川成都·阶段检测）如图所示，一质量的滑块套在光滑的水平轨道上，一质量的小球通过长的轻质细杆与滑块上的光滑轴连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕轴自由转动。初始时，轻杆水平，现给小球一竖直向上的初速度，重力加速度取。下列说法正确的是（    ） A．若滑块固定，小球到达最高点的速度大小为 B．若滑块不固定，小球到达最高点的速度大小为 C．若滑块不固定，小球到达最高点时，滑块相对地面的位移大小为 D．若滑块不固定，小球到达轴右侧水平位置时相对地面的位移大小为 【变式2-2】（2026·山东日照·三模）如图，质量为的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为和，长轴水平，短轴竖直。质量为的小球，初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑。以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系，椭圆长轴位于轴上。整个过程凹槽不翻转，重力加速度为。 (1)求小球第一次运动到轨道最低点时的速度大小； (2)求小球在平面直角坐标系中的轨迹方程； (3)若，求小球下降高度时相对于地面的速度大小（结果用、、表示）。 1．（2026·陕晋青宁卷·高考真题）（多选）如图，物块的质量分别为、、，通过不可伸长的轻绳绕过两个固定轻质光滑定滑轮与连接，与位于正下方的用劲度系数为的轻弹簧相连。初始时托住和，使弹簧处于原长，三个物块均静止。现同时无初速度释放和，运动中，物块均视为质点且不与滑轮相碰，不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内，弹性势能（为形变量），重力加速度大小为。则（     ） A．释放后瞬间的加速度大小为 B．释放后瞬间轻绳上的拉力大小为 C．释放后下降的最大距离为 D．释放后的速度最大值为 2．（2025·湖南·高考真题）某地为发展旅游经济，因地制宜利用山体举办了机器人杂技表演。表演中，需要将质量为m的机器人抛至悬崖上的A点，图为山体截面与表演装置示意图。a、b为同一水平面上两条光滑平行轨道，轨道中有质量为M的滑杆。滑杆用长度为L的轻绳与机器人相连。初始时刻，轻绳绷紧且与轨道平行，机器人从B点以初速度v竖直向下运动，B点位于轨道平面上，且在A点正下方，。滑杆始终与轨道垂直，机器人可视为质点且始终作同一竖直平面内运动，不计空气阻力，轻绳不可伸长，，重力加速度大小为g。 (1)若滑杆固定，，当机器人运动到滑杆正下方时，求轻绳拉力的大小； (2)若滑杆固定，当机器人运动到滑杆左上方且轻绳与水平方向夹角为时，机器人松开轻绳后被抛至A点，求v的大小； (3)若滑杆能沿轨道自由滑动，，且，当机器人运动到滑杆左上方且轻绳与水平方向夹角为时，机器人松开轻绳后被抛至A点，求v与k的关系式及v的最小值。 【基础夯实】 1. （24-25高三下·甘肃白银·阶段检测）（多选）如图所示，光滑的四分之一圆弧槽静置在光滑的水平面上，现将一小球（可视为质点）从槽的顶端由静止释放。若仅知道球的质量、槽的质量和槽的半径，则可以计算出（     ） A．球刚要离开槽时，小球的速度 B．球刚要离开槽时，槽的速度 C．球从释放到刚要离开槽的过程，球的位移 D．球从释放到在槽上下降一半高度的过程，槽运动的位移 2. （24-25高二下·浙江金华·阶段检测）（多选）如图所示，质量均为m的木块A和B，并排放在光滑水平面上，A上固定一竖直轻杆，轻杆上端的O点系一长为L的细线，细线另一端系一质量为m0的球C，现将球C拉起使细线水平伸直，重力加速度为g，并由静止释放球C，则下列说法正确的是（     ） A．运动过程中，A、B、C组成的系统动量守恒 B．C球摆到最低点时，C球的速度大小 C．C球第一次摆到最低点过程中，木块A、B向右移动的距离为 D．C向左运动能达到的最大高度为 3. （24-25高一下·四川成都·期末）如图，一质量为2m的容器Q静止在光滑水平面上，其内壁是半径为R的光滑半球面。在半球面水平直径的一端有一质量为m、可视为质点的滑块P沿容器Q的内壁由静止开始下滑，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．在P下滑过程中，P、Q组成的系统动量守恒 B．P在最低点时，Q对P的支持力大小为4mg C．P在最低点时，其速度大小为 D．P由静止下滑到最低点过程中，Q的位移大小为 4. （25-26高一下·湖北武汉·期末）（多选）如图所示，半圆形凹槽B静止在水平地面上，圆心为O，物块C静止在B右侧。现将小球A从距离O高度为R的位置静止释放，恰能无碰撞地从凹槽右端进入凹槽，当A滑至B的最低点时，B恰好与C发生碰撞并粘连在一起（时间极短）。已知A、B、C的质量均为m，凹槽半径为R，重力加速度为g，不计一切摩擦及空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．A、B、C组成的系统，机械能守恒，水平方向动量守恒 B．B与C在碰撞前瞬间，B的速度大小为 C．小球A从凹槽左端飞出后能达到的最高点距离O高度为0.5R D．小球A运动到凹槽B最左端的过程中，凹槽B的位移为 5. （25-26高一下·辽宁沈阳·期末）如图所示，三个质量均为m的小球A、B、C用两根长度均为L的轻绳相连，放在足够大的光滑水平桌面上。最初三个小球共线、静止，轻绳均伸直。 (1)现给中间小球B一个水平向右，大小为的初速度。 i．当A、C两个小球即将发生第一次碰撞时，求：此时A球的速度大小和B球的速度大小； ii．当两根轻绳之间的夹角第一次达到120°时，求：此过程轻绳对A球所做的功W（计算结果用、L、m表示）。 (2)现给中间小球B施加一个水平向右大小为F的恒力，经过t时间A、C发生第一次碰撞。求上述过程中B球的位移大小。（结果用、t、F、L、m表示） 6. （25-26高一下·重庆北碚·期末）如图，在光滑水平面上放有质量均为的小球A和坡形导轨B，导轨B的水平底边长为，现两者均以大小为的初速度相向运动，小球能越过导轨最高点并向右滑下离开B，不计一切摩擦，小球从滑上导轨到离开导轨的过程中，导轨B发生的位移大小为（     ） A． B． C． D． 7. （2026·河南开封·模拟预测）（多选）如图所示，两个四分之一圆弧体A、B静止在光滑的水平面上。A、B的圆弧面光滑，半径分别为和，底端切线均沿水平面且靠在一起。将一可视为质点的小物块C从A的圆弧面的顶端静止释放，A、C的质量分别为和，则以下说法正确的是（    ） A．整个过程ABC组成的系统动量守恒 B．C刚滑到A底端时，C距B的圆弧面底端的水平距离为 C．C刚滑到A底端时，C的速度为 D．若C滑到A底端后，恰好能滑上B的圆弧面顶端，则B的质量为 【培优拔高】 8. （2026·陕西咸阳·模拟预测）如图（a）所示，长为1.5 m的轻杆通过轻转轴一端连接质量为0.2 kg的小球P，另一端连接质量为0.4 kg的物块Q，整个装置静置于水平地面上。时，小球P获得一竖直向上、大小为的初速度，之后Q一直在水平地面上运动，其速度与时间的图像如图（b）所示。不计一切摩擦，所有碰撞均为弹性碰撞，重力加速度取，，下列说法正确的是（    ） A．时刻小球P和地面发生碰撞 B．时刻物块Q回到出发点 C．时刻小球P的速度大小为 D．时间内，图线和轴围成的面积为1 m 9. （2026·广东深圳·二模）（多选）将甲乙两个带电小球置于光滑绝缘水平面上的、两点，两球质量分别为、，且，带电量，电性相同，小球可视为质点，为连线中点，无穷远处电势为零。从静止开始同时释放，此后的运动过程中（　　） A．两球受到的电场力 B．甲乙球位移大小之比为 C．两球系统的电势能不断减小 D．点的电势保持不变 10. （25-26高一下·辽宁大连·期中）（多选）如图所示，一质量的滑块套在光滑的水平轨道上，一质量的小球通过长的轻质细杆与滑块上的光滑轴连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕轴自由转动。初始时，轻杆水平，现给小球一竖直向上的初速度，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．若滑块固定，小球到达最高点的速度大小为 B．若滑块不固定，小球到达最高点的速度大小为 C．若滑块不固定，小球到达最高点时，滑块相对地面的位移大小为 D．若滑块不固定，小球到达轴右侧水平位置时相对地面的位移大小为 11. （25-26高二下·安徽安庆·期中）如图所示，一质量为M的窄长木板放在光滑的水平冰面上，板长为L，质量为m的人站在距木板左端为x处，当人走到木板右端的过程中，人对地的位移为（　　） A． B． C． D． 12. （25-26高二下·浙江温州·期中）如图所示，足够大光滑水平面左侧有一高度为的平台平台右端CD竖直。一质量为的物体A紧靠CD静止，其上部OP为光滑圆弧轨道，圆心在O点正上方，圆弧所对圆心角为。物体B位于水平面上物体A的右侧，质量为，左端固定连有劲度系数为的水平轻质弹簧。现在P点静止释放一大小可忽略、质量也为的小球，小球沿圆弧轨道下滑从O点水平飞出，物体A以速度向右运动。之后飞出的小球恰好击中平台的最低点C后静止。已知整个运动过程中物体A不发生翻转，弹簧弹性势能的表达式为，k为弹簧劲度系数，为弹簧的形变量，取重力加速度。求： (1)小球从圆弧轨道O点飞出时的速度大小 (2)圆弧轨道OP的半径和平台的高度 (3)物体A在水平面上运动过程中速度的最大值和最小值 (4)已知物体A从开始压缩弹簧到压缩弹簧最短用时0.5 s，求此过程物体A位移的大小 13. （25-26高三下·陕西河南·阶段检测）如图所示，质量为m的物块a套在固定的光滑水平直杆上，与质量为2m的小球b用长为L的轻绳相连。质量为2m的物块c和质量m的物块d用劲度系数为k的轻弹簧相连并静止在光滑水平面上，弹簧处于原长。现将小球b拉到轻绳处于水平且刚好伸直的位置，a和b同时由静止释放。当小球b运动到最低点时，恰好与物块c发生弹性碰撞（碰撞时间极短），碰后运动时间t时，物块d的加速度大小为a0。不计空气阻力，小球和物块均可视为质点，重力加速度为g。求： (1)小球b开始释放时，小球b到物块c的水平距离； (2)小球b与物块c碰撞后，小球b上升的最大高度h； (3)碰撞后时间t内，物块c运动的位移大小x。 1/2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 爆炸与反冲类常见模型 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.人船模型 模型02.类爆炸、类人船模型 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.人船模型 模型构建 系统初始总动量 = 0（人和船一开始静止） 水平方向不受外力（水面光滑，水阻力不计） → 水平动量守恒，任意时刻总动量保持为 0 模型剖析 总动量为0且动量守恒：0＝m人v人－M船v船 m人v人=M船v船 x人＋x船＝L 位移大小满足：0＝m－M m＝M mx人＝Mx船 得：x人＝L x船＝L 人船模型特点： ①人动船动、人停船停、人快船快、人慢船慢、人左船右。 ②人船位移比=质量的反比；人船速度比=质量的反比，即＝＝ 【例1】如图所示，在一次特警训练中，质量为140kg的小车静止在光滑的水平面上，A、B为小车的两端。质量为70 kg的特警站在A端，起跳后恰好落到B端，特警相对地面的位移为2m。该过程不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．小车向右运动了1m B．小车向左运动了2m C．小车AB长为3m D．小车AB长为2m 【答案】C 【详解】AB．根据动量守恒定律以及人船模型可知，特警向右运动时小车向左运动，则由 可得 即小车向左运动了1m，AB错误； CD．特警相对小车的位移为3m，则小车AB长为3m，C正确，D错误。 故选C。 【变式1-1】（25-26高一下·河北·阶段检测）（多选）如图所示，光滑水平面上静止一长为L=5 m、质量为M=60 kg的平板小车，一质量为m=40 kg的小孩站在小车左端。小孩从小车左端移动到小车右端（不打滑），在这一过程中小孩对地的最大速度v人max=1.5 m/s，小孩可视为质点。下列说法中正确的是（　　 ） A．小孩和小车组成的系统动量守恒，机械能守恒 B．小车对地的最大速率v车max=1 m/s C．整个过程中小孩发生对地的位移为3 m D．若小孩运动至最右端静止，小车因惯性不会立刻静止 【答案】BC 【详解】A．小孩和小车组成的系统所受合外力为零，系统动量守恒，但在小孩走动过程中消耗化学能转化为系统的机械能和内能，因此系统的机械能不守恒，故A错误； B．设小孩和小车的最大速率分别为和，根据动量守恒定律有 解得 代入数据解得，故B正确； C．设整个过程中小孩和小车对地发生的位移大小分别为和，根据人船模型推论分别有， 联立解得，故C正确； D．若小孩运动至最右端相对小车静止，由于系统初动量为零，根据动量守恒定律可知此时系统的总动量为零，小车的速度也为零，故小车会立刻静止，故D错误。 故选BC。 【变式1-2】（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）如图所示，在光滑的水平面上，小明站在平板车上用锤子敲打平板车。初始时，人、车、锤都静止。下列说法正确的是（     ） A．人、车和锤组成的系统动量守恒 B．人、车和锤组成的系统水平方向动量守恒 C．当人挥动锤子，敲打车之前，车保持静止 D．停止敲打车，人、车和锤组成的系统将水平向右匀速运动 【答案】B 【详解】AB．人、车和锤组成的系统竖直方向的合力不等于零，该方向系统的动量不守恒，所以系统的动量不守恒，但系统水平方向不受外力，水平方向动量守恒，故A错误，B正确； CD．初始时，人、车、锤都静止，水平方向动量为零，所以水平方向动量时刻为零，当人挥动锤子，敲打车之前，小车与锤的运动方向相反，不能保持静止；停止敲打小车，人、车和锤组成的系统将保持静止，故CD错误。 故选B。 模型02.类爆炸、类人船模型 模型构建 共同前提：系统内力远大于外力 → 动量守恒 · 爆炸 / 类爆炸：内力瞬间爆发，化学能 / 弹性势能转化为动能；重点求分离后速度 · 人船 / 类人船：系统初总动量为 0，持续相互作用；重点求位移 类爆炸侧重速度；类人船侧重位移；底层都是动量守恒。 模型剖析 水平动量守恒： 系统机械能守恒: (1)①→②过程,m+M系统满足水平位移关系： 几何关系： 最低点： (2)③→④就是①→②过程的逆过程. (3)如图建立坐标系，则半圆面方程,小球向右运动过程中凹槽向左运动，当小球的坐标为时，此时凹槽水平向左运动的位移为，根据上式有 则小球现在在凹槽所在的圆上，根据数学知识可知方程为 整理得： 为一椭圆方程 环系球摆模型(小球质量为m，光滑圆环质量为M，两者用不可伸长的轻绳连接，光滑水平杆)过程分析如下，五个特殊的状态位置图如下图所示，①→⑤也是一个完整的运动周期； (1)①→②或①→④过程可等效为完全非弹性碰撞，m+M系统满足： 水平动量守恒： 系统机械能守恒 水平位移时间关系： 几何关系： m最高点时相对M静止：T-mgsinα=0 m最高点时M的瞬间加速度大小： 方向水平； (2)①→③过程可等效为弹性碰撞，m+M系统满足： 水平动量守恒： 系统机械能守恒: 水平位移时间关系： 几何关系： m最低点时相对M运动： (注意v₁可能为负值，若为负表示方向水平向左，满足m<M的条件) ③→⑤过程实质是①→③过程的逆过程； 【例2】（25-26高二下·陕西渭南·期末）（多选）一位小朋友手握小球站在滑板上，滑板静止于光滑水平面上。某时刻，小朋友将小球斜向上抛出，抛出瞬间小球相对地面的速度大小为，方向与水平方向的夹角为，小朋友和滑板的速度大小为，如图所示。已知小朋友和滑板的总质量为，重力加速度为，小朋友和滑板始终相对静止，不计空气阻力。以小球、小朋友和滑板为系统，下列说法正确的是（     ）（，） A．将小球抛出瞬间，系统动量守恒 B．小球的质量为 C．将小球抛出的过程中，系统机械能增加的量为 D．小球从抛出到运动至最高点的过程中，小朋友和滑板的位移大小为 【答案】CD 【详解】A．水平面光滑，系统水平方向上不受力，水平方向上动量守恒，竖直方向上动量不守恒，故A错误； B．根据水平方向上动量守恒，有 解得小球质量，故B错误； C．系统机械能增加的量为，故C正确； D．小球从抛出到运动至最高点的过程中，竖直方向做竖直上抛运动，有 小朋友和滑板在水平面上以速度匀速运动，可得小朋友和滑板的位移大小为，故D正确。 故选CD。 【变式2-1】（25-26高一下·四川成都·阶段检测）如图所示，一质量的滑块套在光滑的水平轨道上，一质量的小球通过长的轻质细杆与滑块上的光滑轴连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕轴自由转动。初始时，轻杆水平，现给小球一竖直向上的初速度，重力加速度取。下列说法正确的是（    ） A．若滑块固定，小球到达最高点的速度大小为 B．若滑块不固定，小球到达最高点的速度大小为 C．若滑块不固定，小球到达最高点时，滑块相对地面的位移大小为 D．若滑块不固定，小球到达轴右侧水平位置时相对地面的位移大小为 【答案】B 【详解】A．滑块固定时，小球运动过程只有重力做功，机械能守恒则有 解得，故A错误； B．滑块不固定时，系统水平方向不受外力，水平动量守恒，初始总水平动量为0。小球到达最高点时，小球的速度为v1，滑块的速度为v2，由动量守恒得 由能量守恒定律则有 解得，故B正确； C．小球到最高点时，水平相对滑块位移为L，设滑块相对地面位移大小为，小球相对地面水平位移大小为。由水平动量守恒导出的人船模型关系， 解得，故C错误； D．若滑块不固定，小球到达轴右侧水平位置时，小球与滑块水平相对位移为2L。设小球相对地面位移大小为，由 解得，故D错误。 故选B。 【变式2-2】（2026·山东日照·三模）如图，质量为的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为和，长轴水平，短轴竖直。质量为的小球，初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑。以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系，椭圆长轴位于轴上。整个过程凹槽不翻转，重力加速度为。 (1)求小球第一次运动到轨道最低点时的速度大小； (2)求小球在平面直角坐标系中的轨迹方程； (3)若，求小球下降高度时相对于地面的速度大小（结果用、、表示）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）凹槽质量，小球和凹槽水平方向系统动量守恒，取向左为正，有 系统机械能守恒 联立解得 （2）小球向左运动过程中凹槽向右运动，当小球的坐标为时，此时凹槽水平向右运动的位移为，根据上式有 则小球现在在凹槽所在的椭圆上，根据数学知识可知此时的椭圆方程为 整理得 （3）将代入小球的轨迹方程化简可得 即此时小球的轨迹为以为圆心，为半径的圆，则当小球下降的高度为时，设此时可知速度与水平方向的夹角为， 小球下降的过程中，系统水平方向动量守恒 系统机械能守恒 解得 1．（2026·陕晋青宁卷·高考真题）（多选）如图，物块的质量分别为、、，通过不可伸长的轻绳绕过两个固定轻质光滑定滑轮与连接，与位于正下方的用劲度系数为的轻弹簧相连。初始时托住和，使弹簧处于原长，三个物块均静止。现同时无初速度释放和，运动中，物块均视为质点且不与滑轮相碰，不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内，弹性势能（为形变量），重力加速度大小为。则（     ） A．释放后瞬间的加速度大小为 B．释放后瞬间轻绳上的拉力大小为 C．释放后下降的最大距离为 D．释放后的速度最大值为 【答案】AD 【详解】AB．根据题意可知，初始时弹簧处于原长，释放后瞬间，弹簧形变量不变，设释放后瞬间轻绳上的拉力大小为，对、整体，由牛顿第二定律有 对，由牛顿第二定律有 联立解得，，故A正确，B错误； CD．根据题意，把物块看成整体，左边受向下的，右边也受向下的，整体合力为零，由动量守恒定律有 则有 可得 解得， 设释放后下降的最大距离为，则，此时弹簧形变量为 由能量守恒定律有 解得 释放后的速度最大时为，则有 又有 解得 则有， 由能量守恒定律有 解得，故C错误，D正确。 故选AD。 2．（2025·湖南·高考真题）某地为发展旅游经济，因地制宜利用山体举办了机器人杂技表演。表演中，需要将质量为m的机器人抛至悬崖上的A点，图为山体截面与表演装置示意图。a、b为同一水平面上两条光滑平行轨道，轨道中有质量为M的滑杆。滑杆用长度为L的轻绳与机器人相连。初始时刻，轻绳绷紧且与轨道平行，机器人从B点以初速度v竖直向下运动，B点位于轨道平面上，且在A点正下方，。滑杆始终与轨道垂直，机器人可视为质点且始终作同一竖直平面内运动，不计空气阻力，轻绳不可伸长，，重力加速度大小为g。 (1)若滑杆固定，，当机器人运动到滑杆正下方时，求轻绳拉力的大小； (2)若滑杆固定，当机器人运动到滑杆左上方且轻绳与水平方向夹角为时，机器人松开轻绳后被抛至A点，求v的大小； (3)若滑杆能沿轨道自由滑动，，且，当机器人运动到滑杆左上方且轻绳与水平方向夹角为时，机器人松开轻绳后被抛至A点，求v与k的关系式及v的最小值。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）由B点到最低点过程动能定理有 最低点牛顿第二定律可得 联立可得 （2）轻绳运动到左上方与水平方向夹角为时由能量守恒可得 水平方向 竖直方向取向上为正可得 联立可得 （3）当机器人运动到滑杆左上方且与水平方向夹角为时计为点C，由能量守恒可得 设的水平速度和竖直速度分别为，则有 则水平方向动量守恒可得 水平方向满足人船模型可得 此时机器人相对滑杆做圆周运动，因此有速度关系为 水平方向 竖直方向 联立可得 即 显然当时取得最小，此时 【基础夯实】 1. （24-25高三下·甘肃白银·阶段检测）（多选）如图所示，光滑的四分之一圆弧槽静置在光滑的水平面上，现将一小球（可视为质点）从槽的顶端由静止释放。若仅知道球的质量、槽的质量和槽的半径，则可以计算出（     ） A．球刚要离开槽时，小球的速度 B．球刚要离开槽时，槽的速度 C．球从释放到刚要离开槽的过程，球的位移 D．球从释放到在槽上下降一半高度的过程，槽运动的位移 【答案】CD 【详解】AB．设槽的质量为、半径为，球的质量为，从出发到球刚要离开槽的过程，有， 由于不知道重力加速度，所以得不到和，故AB错误； C．从出发到球刚要离开槽的过程，由水平方向动量守恒可得 可得 可以解得和，故C正确； D．同理，从出发到球下降一半的过程，由水平方向动量守恒可得 可得 可以得到和，故D正确。 故选CD。 2. （24-25高二下·浙江金华·阶段检测）（多选）如图所示，质量均为m的木块A和B，并排放在光滑水平面上，A上固定一竖直轻杆，轻杆上端的O点系一长为L的细线，细线另一端系一质量为m0的球C，现将球C拉起使细线水平伸直，重力加速度为g，并由静止释放球C，则下列说法正确的是（     ） A．运动过程中，A、B、C组成的系统动量守恒 B．C球摆到最低点时，C球的速度大小 C．C球第一次摆到最低点过程中，木块A、B向右移动的距离为 D．C向左运动能达到的最大高度为 【答案】BC 【详解】A．小球摆动过程中具有竖直方向的速度，系统竖直方向的总动量发生变化，因此物块、和小球组成的系统总动量不守恒，但水平方向动量守恒，故A错误； B．小球第一次运动到最低点前，细线对物块的作用力具有向右的分力，物块推动物块，两物块保持相对静止。设最低点时两物块向右的速度大小为，小球向左的速度大小为，根据水平方向动量守恒有 根据机械能守恒定律有 联立解得，故B正确； C．设小球第一次运动到最低点时，物块、向右移动的距离为，小球相对物块向左移动的水平距离为，则小球相对地面的水平位移为。系统水平方向质心位置不变，有 解得，故C正确； D．小球经过最低点后位于悬点的左侧，细线对物块的作用力具有向左的分力，物块与物块分离，此后物块以速度向右做匀速直线运动。设小球向左运动到最高点时，物块与小球共同向左的速度大小为v'，对物块和小球组成的系统，根据水平方向动量守恒有 结合解得 设小球相对最低点上升的最大高度为，根据机械能守恒定律有 联立解得 与选项给出的不相等，故D错误。 故选BC。 3. （24-25高一下·四川成都·期末）如图，一质量为2m的容器Q静止在光滑水平面上，其内壁是半径为R的光滑半球面。在半球面水平直径的一端有一质量为m、可视为质点的滑块P沿容器Q的内壁由静止开始下滑，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．在P下滑过程中，P、Q组成的系统动量守恒 B．P在最低点时，Q对P的支持力大小为4mg C．P在最低点时，其速度大小为 D．P由静止下滑到最低点过程中，Q的位移大小为 【答案】B 【详解】A．因水平面光滑，P、Q组成的系统水平方向不受外力作用，故系统水平方向动量守恒，故A错误； BC．设P在最低点时，P、Q的速度大小分别为 取水平向右为正方向，由系统动量守恒有 由系统机械能守恒有 对P由牛顿第二定律有 联立解得， ，故B正确，C错误； D．由系统动量守恒有 可得 设P由静止下滑到最低点过程所用时间为t, 即 由几何关系有 解得，故D错误。 故选B。 4. （25-26高一下·湖北武汉·期末）（多选）如图所示，半圆形凹槽B静止在水平地面上，圆心为O，物块C静止在B右侧。现将小球A从距离O高度为R的位置静止释放，恰能无碰撞地从凹槽右端进入凹槽，当A滑至B的最低点时，B恰好与C发生碰撞并粘连在一起（时间极短）。已知A、B、C的质量均为m，凹槽半径为R，重力加速度为g，不计一切摩擦及空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．A、B、C组成的系统，机械能守恒，水平方向动量守恒 B．B与C在碰撞前瞬间，B的速度大小为 C．小球A从凹槽左端飞出后能达到的最高点距离O高度为0.5R D．小球A运动到凹槽B最左端的过程中，凹槽B的位移为 【答案】BC 【详解】A．A、B、C组成的系统，B恰好与C发生完全非弹性碰撞损失了机械能，可知有机械能向其他形式的能量转化，可知机械能不守恒；水平方向合力为零，可知水平方向动量守恒，故A错误； B．从A开始下滑到到达最低点过程，由机械能守恒定律得 由动量守恒得 解得，故B正确； C．当A滑至B的最低点时，B恰好与C发生碰撞并粘连在一起，对B、C应用动量守恒有 解得 之后A、B、C水平方向动量守恒，当A滑到凹槽左端时，A、B、C水平方向共速，由动量守恒 可知A、B、C水平方向速度为零，设此时A的速度为，机械能守恒 解得 小球A从凹槽左端飞出后，由机械能守恒 解得，故C正确； D．从A开始下滑到到达最低点过程，A、B组成的系统在水平方向动量守恒，以向左为正方向，设A滑至B的最低点过程中，A、B水平方向移动的距离分别为、。故最初时B右侧与C的间距为，由水平方向动量守恒得 故 又因为 解得 从A在最低点到凹槽B最左端，同理， 解得 可得凹槽B的位移为，故D错误。 故选BC。 5. （25-26高一下·辽宁沈阳·期末）如图所示，三个质量均为m的小球A、B、C用两根长度均为L的轻绳相连，放在足够大的光滑水平桌面上。最初三个小球共线、静止，轻绳均伸直。 (1)现给中间小球B一个水平向右，大小为的初速度。 i．当A、C两个小球即将发生第一次碰撞时，求：此时A球的速度大小和B球的速度大小； ii．当两根轻绳之间的夹角第一次达到120°时，求：此过程轻绳对A球所做的功W（计算结果用、L、m表示）。 (2)现给中间小球B施加一个水平向右大小为F的恒力，经过t时间A、C发生第一次碰撞。求上述过程中B球的位移大小。（结果用、t、F、L、m表示） 【答案】(1)①；② (2) 【详解】（1）i．由题可知，当A、C两个小球即将发生第一次碰撞时，此时A、B、C三个小球组成的系统动量守恒，根据动量守恒定律可得 根据能量守恒定律可得 由对称性可知 联立解得， 大小为 ii．当两根轻绳之间的夹角第一次达到120°时，由于整个系统不受外力，A、C两球始终对称，水平方向分速度始终相等，根据动量守恒定律可得 由能量守恒定律可得 联立解得 由动能定理可得，轻绳对A球所做的功 （2）根据牛顿第二定律可得，系统的整体加速度为 整个系统质心移动的位移 B相对于质心向右移动的位移大小为绳长，因此B相对于地面的位移 6. （25-26高一下·重庆北碚·期末）如图，在光滑水平面上放有质量均为的小球A和坡形导轨B，导轨B的水平底边长为，现两者均以大小为的初速度相向运动，小球能越过导轨最高点并向右滑下离开B，不计一切摩擦，小球从滑上导轨到离开导轨的过程中，导轨B发生的位移大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】系统水平方向不受外力，动量守恒，取向右为正方向，初动量 根据动量守恒定律，任意时刻系统总动量为零，即 可得 等式两边乘以时间累加求和有 可得 ，即两物体对地位移大小相等，小球A从导轨B左端滑上并从右端滑下，A相对于B的水平位移大小为 ，则相对位移 联立解得 。 故选B。 7. （2026·河南开封·模拟预测）（多选）如图所示，两个四分之一圆弧体A、B静止在光滑的水平面上。A、B的圆弧面光滑，半径分别为和，底端切线均沿水平面且靠在一起。将一可视为质点的小物块C从A的圆弧面的顶端静止释放，A、C的质量分别为和，则以下说法正确的是（    ） A．整个过程ABC组成的系统动量守恒 B．C刚滑到A底端时，C距B的圆弧面底端的水平距离为 C．C刚滑到A底端时，C的速度为 D．若C滑到A底端后，恰好能滑上B的圆弧面顶端，则B的质量为 【答案】BCD 【详解】A．小物块运动时存在加速度，竖直方向合外力不为零，因此系统总动量不守恒，仅水平方向动量守恒，故A错误； B．在上滑动时，保持静止，、系统水平方向动量守恒，C刚滑到A底端时， 设速度为，速度为，则 机械能守恒 解得C刚滑到A底端时，C的速度为 设向左位移大小为，向右位移大小为，由水平动量守恒对时间累积得 由几何关系 联立解得， 因此C刚滑到A底端时，距底端的水平距离为，故BC正确； D．恰好到达顶端时，、共速，设质量为，共速为，由水平动量守恒 机械能守恒 联立解得，故D正确。 故选BCD。 【培优拔高】 8. （2026·陕西咸阳·模拟预测）如图（a）所示，长为1.5 m的轻杆通过轻转轴一端连接质量为0.2 kg的小球P，另一端连接质量为0.4 kg的物块Q，整个装置静置于水平地面上。时，小球P获得一竖直向上、大小为的初速度，之后Q一直在水平地面上运动，其速度与时间的图像如图（b）所示。不计一切摩擦，所有碰撞均为弹性碰撞，重力加速度取，，下列说法正确的是（    ） A．时刻小球P和地面发生碰撞 B．时刻物块Q回到出发点 C．时刻小球P的速度大小为 D．时间内，图线和轴围成的面积为1 m 【答案】D 【详解】A．P 和地面碰撞时，杆恢复水平，P速度沿竖直方向，水平分量 ，由水平动量守恒得此时 从图(b)可知， 时刻，因此 时刻P才和地面碰撞，A错误。 B．时间内，Q的速度一直为负值，说明在这段时间内，Q始终向左运动，因此时刻Q不可能回到出发点，B错误； C． 时刻杆竖直，P到达最高点，重力势能增加 初始总机械能 因此剩余总动能 由动量守恒 得 代入动能公式 得 ， ，因此P速度大小为，C错误； D．图线与时间轴围成的面积表示Q的位移 ​内系统水平方向动量守恒 可得，即 由几何关系可得 解得 所以图线和轴围成的面积为1 m，D正确。 故选 D。 9. （2026·广东深圳·二模）（多选）将甲乙两个带电小球置于光滑绝缘水平面上的、两点，两球质量分别为、，且，带电量，电性相同，小球可视为质点，为连线中点，无穷远处电势为零。从静止开始同时释放，此后的运动过程中（　　） A．两球受到的电场力 B．甲乙球位移大小之比为 C．两球系统的电势能不断减小 D．点的电势保持不变 【答案】BC 【详解】A．甲、乙之间的电场力是一对相互作用力，根据牛顿第三定律，二者大小始终相等，即，故A错误； B．光滑绝缘水平面，两球组成的系统合外力为零，动量守恒，初始总动量为零，因此任意时刻满足 则对整个过程的平均速度满足 等式两边同乘时间，得 整个运动过程的位移关系满足 因此位移之比，故B正确； C．两球电性相同，相互排斥，相互作用力方向与两球位移方向相同，因此电场力始终做正功，系统电势能不断减小，故C正确； D．电势是标量，O点的电势为两球在O点产生电势的代数和。初始时O为ab中点，两球到O的距离相等；运动后，两球向相反方向远离O点，到O的距离逐渐增大。对于正电荷，距离越大电势越低，因此两球在O点的电势均降低，总电势也随之降低。同理，对于负电荷，总电势升高，并非保持不变，故D错误。 故选BC。 10. （25-26高一下·辽宁大连·期中）（多选）如图所示，一质量的滑块套在光滑的水平轨道上，一质量的小球通过长的轻质细杆与滑块上的光滑轴连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕轴自由转动。初始时，轻杆水平，现给小球一竖直向上的初速度，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．若滑块固定，小球到达最高点的速度大小为 B．若滑块不固定，小球到达最高点的速度大小为 C．若滑块不固定，小球到达最高点时，滑块相对地面的位移大小为 D．若滑块不固定，小球到达轴右侧水平位置时相对地面的位移大小为 【答案】ABD 【详解】A．滑块固定时，小球运动过程只有重力做功，机械能守恒： 得 故A正确； B．滑块不固定时，系统水平方向不受外力，水平动量守恒，初始总水平动量为。小球到达最高点时，小球的速度为，滑块的速度，由动量守恒得 由机械能守恒定律 得 故B正确。 C．小球到最高点时，水平相对位移为，则由， 解得 故C错误； D．设滑块相对于初始位置向左的位移大小为，则小球坐标为 小球初始坐标为，因此小球相对初始位置的位移 由人船模型动量关系积分得 代入数值 因此小球位移大小 故D正确； 故选ABD。 11. （25-26高二下·安徽安庆·期中）如图所示，一质量为M的窄长木板放在光滑的水平冰面上，板长为L，质量为m的人站在距木板左端为x处，当人走到木板右端的过程中，人对地的位移为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对人和长木板，由平均动量守恒可得 两边同乘以时间可得 又 可得 故选C。 12. （25-26高二下·浙江温州·期中）如图所示，足够大光滑水平面左侧有一高度为的平台平台右端CD竖直。一质量为的物体A紧靠CD静止，其上部OP为光滑圆弧轨道，圆心在O点正上方，圆弧所对圆心角为。物体B位于水平面上物体A的右侧，质量为，左端固定连有劲度系数为的水平轻质弹簧。现在P点静止释放一大小可忽略、质量也为的小球，小球沿圆弧轨道下滑从O点水平飞出，物体A以速度向右运动。之后飞出的小球恰好击中平台的最低点C后静止。已知整个运动过程中物体A不发生翻转，弹簧弹性势能的表达式为，k为弹簧劲度系数，为弹簧的形变量，取重力加速度。求： (1)小球从圆弧轨道O点飞出时的速度大小 (2)圆弧轨道OP的半径和平台的高度 (3)物体A在水平面上运动过程中速度的最大值和最小值 (4)已知物体A从开始压缩弹簧到压缩弹簧最短用时0.5 s，求此过程物体A位移的大小 【答案】(1) (2)， (3)， (4) 【详解】（1）小球与水平方向动量守恒 解得 （2）小球下滑过程小球与物体A系统机械能守恒 得 水平方向动量守恒 且 解得 小球飞出后平抛初速度为，水平位移为，下降高度为。 由平抛规律得，   解得 （3）小球离开A时，物体A的速度最大为 弹簧再次恢复原长时物体A速度最小，由动量守恒可得 机械能守恒可得 解得 （4）AB速度相等时弹簧压缩最短 得 此时弹簧压缩量为，由机械能守恒可得 解得   即 中间任意时刻满足 两边对时间累积可得   即 解得 13. （25-26高三下·陕西河南·阶段检测）如图所示，质量为m的物块a套在固定的光滑水平直杆上，与质量为2m的小球b用长为L的轻绳相连。质量为2m的物块c和质量m的物块d用劲度系数为k的轻弹簧相连并静止在光滑水平面上，弹簧处于原长。现将小球b拉到轻绳处于水平且刚好伸直的位置，a和b同时由静止释放。当小球b运动到最低点时，恰好与物块c发生弹性碰撞（碰撞时间极短），碰后运动时间t时，物块d的加速度大小为a0。不计空气阻力，小球和物块均可视为质点，重力加速度为g。求： (1)小球b开始释放时，小球b到物块c的水平距离； (2)小球b与物块c碰撞后，小球b上升的最大高度h； (3)碰撞后时间t内，物块c运动的位移大小x。 【答案】(1) (2) (3)①若此时弹簧是压缩的，；②若此时弹簧是伸长的，。 【详解】（1）对物块a和小球b组成的系统，由静止释放后水平方向动量守恒，则水平方向的位移关系为                  又                                            解得       即小球b开始释放时到物块c的水平距离为 （2）设小球b到最低点时，a、b的速度大小分别为和，由动量守恒定律得                                             根据机械能守恒定律得                         解得， 小球b与物块c发生弹性碰撞，设碰后瞬间速度分别为和，根据动量守恒定律得                            根据机械能守恒定律得                  解得， 此后，物块a和小球b组成的系统水平方向动量守恒，设达到共同速度为v                                              根据机械能守恒定律得             解得小球b上升的最大高度 （3）设物块d的加速度大小为时弹簧的形变量为，则有                                                  c和d运动过程中动量守恒，设某一时刻c、d的速度分别为、，则                                          两边同时对时间微元累加，有 整理可得 则             ①若此时弹簧是压缩的，则有                          解得                                     ②若此时弹簧是伸长的，则有                      解得 1/2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $