3.1 矩形的性质 课时同步训练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练以矩形性质为核心，通过基础认知、技能应用、综合拓展三层设计，实现从概念理解到推理应用的递进，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|矩形定义、边角对角线性质、对称性|选择填空题对比平行四边形与菱形性质，强化概念辨析| |技能应用|性质计算、坐标几何|结合矩形边长与对角线，运用勾股定理解决长度问题| |综合拓展|直角三角形斜边中线定理、综合证明|以矩形为载体设计多问证明题，融合全等与菱形判定，提升推理能力|

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第一章 特殊平行四边形 3 矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质 ▌课时目标 1. 理解矩形的定义，明确矩形是有一个直角的平行四边形，能根据定义识别矩形，并说出矩形与一般平行四边形的区别与联系。 2. 掌握矩形的四个角都是直角、对角线相等的核心性质，能运用这些性质进行边、角、对角线的相关计算和简单证明。 3. 理解并掌握直角三角形斜边中线定理，能运用该定理解决直角三角形中的线段长度计算和证明问题。 ▌课时目录 知识点01：矩形的定义 知识点02：矩形的边的性质 知识点03：矩形的角的性质 知识点04：矩形的对角线的性质 知识点05：矩形的对称性 知识点06：矩形性质在几何计算中的应用 知识点07：直角三角形斜边中线定理 ▌知识点01：矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。 1. 几何语言：在▱ABCD中，若∠A＝90°，则▱ABCD为矩形。矩形的定义包含两层含义：矩形首先是平行四边形，具备平行四边形的所有性质（对边平行且相等、对角线互相平分等）； 2. 矩形附加了“有一个角是直角”的特殊条件。判定一个图形是矩形时，通常先证其为平行四边形，再证一个角为直角。 1．（25-26八年级下·山东临沂·期末）下列各项中，矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（     ） A．对角相等 B．对边相等 C．邻角互补 D．对角线相等 【答案】D 【详解】解：A、B选项：平行四边形与矩形的对角，对边均相等，不符合题意； C选项：平行四边形对边平行，邻角互补，矩形也具有该性质，不符合题意； D选项： 一般平行四边形对角线仅互相平分， 矩形对角线相等，符合题意． 2．（25-26八年级下·天津河北·期末）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．两组对边分别平行 C．对角线相等 D．两组对角分别相等 【答案】C 【分析】对比两种图形的性质，找出矩形具有而菱形不一定具有的选项即可． 【详解】∵矩形的性质：两组对边分别平行，两组对角分别相等，对角线互相平分且相等；菱形的性质：两组对边分别平行，两组对角分别相等，对角线互相垂直平分，对角线不一定相等； ∴逐个对比选项：A 对角线互相平分，矩形和菱形都具有，不符合要求； B 两组对边分别平行，矩形和菱形都具有，不符合要求； C 对角线相等，矩形一定具有，菱形不一定具有，符合要求； D 两组对角分别相等，矩形和菱形都具有，不符合要求； 故选C． 3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）矩形和菱形都具有的性质是（     ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直且平分 【答案】C 【分析】根据矩形和菱形的对角线性质，即可求解． 【详解】解：∵矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分， ∴矩形和菱形都具有的性质是对角线互相平分． 4．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）下列命题是假命题的是（     ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．矩形的对角线相等 C．平行四边形对边平行 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【分析】根据矩形和平行四边形的判定和性质，逐项进行判断即可． 【详解】解： A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理，是真命题； B．矩形的对角线相等，这是矩形的性质，是真命题； C．平行四边形对边平行，这是平行四边形的性质，是真命题； D．对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线相等，但等腰梯形不是矩形，因此该命题是假命题． ▌知识点02：矩形的边的性质 矩形的对边平行且相等。即：若四边形ABCD是矩形，则AB∥CD，AD∥BC，且AB＝CD，AD＝BC。 该性质直接继承自平行四边形，矩形并未对边的长度关系增加额外限制（特殊长度关系是菱形的特征），因此矩形的邻边可以不相等（正方形除外）。 5．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在矩形中，点E是边上的一点，连接分别是的中点，若，则的长为（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】连接，根据勾股定理求出，再根据三角形中位线的性质得出答案即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ，，， ∵， ∴， ∴在中，根据勾股定理得： ， ∵点F、G分别为、的中点， ． 6．（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，是四边形对角线的交点，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积； (3)如图2，若是矩形外一点，求证：． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； (2)45 (3)证明：如图，连接，，，，过点P作交的延长线于点M，交的延长线于点N， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形，四边形都是矩形， ∴，，， ∴，，，， ∴，， ∴． 【分析】（1）利用矩形的性质得，，推出，结合即可证明； （2）设，则，得到，利用勾股定理构造方程，求出的值后，计算面积即可； （3）如图，连接，，，，过点P作交的延长线于点M，交的延长线于点N，证明四边形，四边形都是矩形，然后利用勾股定理证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴四边形的面积； （3）略 7．（25-26八年级下·重庆綦江·期末）如图，在矩形中，点为上一点，连接，，过点作于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)解：， ， ， ， 在和中， ． (2)2 【分析】（1）根据已知条件可由角边角推出全等； （2）先根据勾股定理求出的长，再用求出． 【详解】（1）略 （2），， ， 矩形 ，， 根据勾股定理，， ． 8．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作，交于点，交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴四边形为菱形； (2) 【分析】（1）证明，得到四边形为平行四边形，结合线段中垂线的性质推出，进而证明； （2）根据计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． ▌知识点03：矩形的角的性质 矩形的四个角都是直角。即：若四边形ABCD是矩形，则∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°。证明思路：由矩形定义知∠A＝90°，又平行四边形邻角互补，故∠B＝180°－∠A＝90°，同理∠C＝∠D＝90°。 该性质是矩形区别于一般平行四边形和菱形的核心特征，也是矩形广泛应用于生活和工程中的主要原因。 9．（25-26八年级下·广东湛江·期末）如图，矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质可得，，，，，从而可得，，由等边对等角并结合题意可得，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 10．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，点在矩形的边的延长线上，连接，，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点，由矩形性质得，，结合已知可得，利用等腰三角形性质求出，进而求得． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．（25-26八年级下·陕西商洛·期末）如图，在矩形中，连接、，，延长至点，使得，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设矩形两对角线交于点O，由矩形的性质得，再利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：设矩形两对角线交于点O， 在矩形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26八年级下·河北承德·期末）如图，某同学在矩形中研究数学问题，他按如下步骤操作：①以点为圆心、以边长为半径画弧交于点；②分别以点，为圆心、以大于长为半径画弧，两弧交于点；③作射线交边于点，交边的延长线于点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得出，再根据尺规作图得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 根据作图可得， ． ▌知识点04：矩形的对角线的性质 矩形的对角线相等且互相平分。即：在矩形ABCD中，若对角线AC、BD交于点O，则AC＝BD，且OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD。证明思路：由AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，BC＝CB，可证△ABC≌△DCB（SAS），得AC＝BD；又平行四边形对角线互相平分，故OA＝OC，OB＝OD。 该性质是矩形特有的，一般平行四边形对角线不相等，菱形对角线也不一定相等。 13．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，垂足为点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质得到，，则，再根据题意可求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，即可求出的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，且， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，如果，那么的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质，等腰三角形性质求解即可． 【详解】解：∵矩形，对角线，相交于点， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 15．（25-26八年级下·河南鹤壁·期末）如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，点，分别在边，上，连接交对角线于点．若为的中点，，则_____． 【答案】/度 【分析】根据矩形的性质可得，得出，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，则，再根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴ ∵在中，为的中点， ∴ ∴ ∴ ∴． 16．（25-26八年级下·北京·期末）如图，点E是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则_____． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到，可知，则，根据得到，可知． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ▌知识点05：矩形的对称性 矩形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是过每组对边中点的直线；同时矩形也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点（即平行四边形的中心对称性）。 注意：矩形的对称轴不是对角线所在的直线（这与菱形不同），只有当矩形是正方形时，对角线所在直线才是对称轴。 17．（25-26八年级下·天津河西·期末）如图，四边形是矩形，，两点的坐标分别是，，点在第一象限，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质，结合两点的坐标，即可得出结果. 【详解】解：∵，两点的坐标分别是，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴轴，轴，， 又∵点在第一象限， ∴. 18．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，将面积为的矩形放在平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先作轴，利用、坐标算出长，结合矩形面积与三角形面积公式求出，得到点横坐标；再根据矩形性质得、，结合直角证明，推出，最后结合点纵坐标减去，求出点纵坐标． 【详解】解：过点作轴，垂足为． 点，点，两点均在轴上， ． 四边形是矩形，，矩形对角线将矩形分成面积相等的两部分， ． 轴，以为底，为底边对应的高， ． 将，代入得： ， 解得． 为点到轴的水平距离，由图可知点在轴右侧，横坐标为正数， 点的横坐标为． 四边形是矩形， ，，． ． 轴，轴轴， ． 在与中： ． ． ，原点， ， ． 轴，是垂足， 点与点纵坐标相等． ，线段，结合图形可知垂足在点的正下方， 点的纵坐标， 点的纵坐标为． 综上，点的坐标为． 19．（25-26八年级下·江西南昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，且轴，直线（为整数）与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的值为_________． 【答案】或或 【分析】首先根据矩形的性质求出，然后分别将和代入求出b的值，然后根据题意求解即可． 【详解】解：∵矩形的顶点，，且轴， ∴， 当线段上有3个整点（包含线段端点）时，3个整点为，，， ∴当直线经过点时，， 解得； 当直线经过点时，， 解得； ∵为整数， ∴的值为或或． 20．（25-26八年级下·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形，，，动点从点出发，沿的方向以每秒2个单位长度的速度运动，与点第二次相遇时停止，设点运动的时间为秒． (1)点的坐标为__________． (2)在点从点运动到点的过程中，用含的式子表示的长度． (3)连接、、，当的面积为时，求关于的函数解析式． (4)当点第一次运动到点时，有一条垂直于轴的直线开始从的位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，当点停止运动时直线也随之停止．在运动过程中，当点在直线上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据矩形的性质和坐标特点解答即可； （2）当点P分别运动到点A、点B时，求得运动时间，根据即可求解； （3）分三种情况，当时；当时；当时；利用三角形面积即可求解； （4）分两种情况：点P由A到B的过程中，点P在直线上；点P由B到A的过程中，点P在直线上；由此可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，轴，轴， ∴； （2）解：当点P运动到点A时，运动时间为（秒），当点P运动到点B时，运动时间为（秒）， 当点P在线段上时，， 此时； （3）解：当时，此时点P在线段上，如图1； ∵， ∴； 当时，此时点P在线段上，如图2； ， 则； 当时，如图2，此时， 则； 综上，； （4）解：当点P由A到B的过程中，点P在直线上，如图3； 此时，点P的坐标为 设直线与x轴的交点为D，其运动的距离为，则， 当点P在直线上时，则， ∴， ∴， 则点P的坐标为； 当点P由B到A的过程中，点P在直线上； 此时，点P的坐标为， 则， 当点P在直线上时，则， ∴， ∴， 则点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． ▌知识点06：矩形性质在几何计算中的应用 典型计算题型： 1. 已知矩形的一边和对角线长，求另一边。解题思路：利用“四个角为直角”构造直角三角形，结合勾股定理求解。 2. 已知矩形对角线长，求对角线被交点分成的各线段长。 3. 矩形周长与面积计算：周长＝2(长＋宽)，面积＝长×宽。解题关键：紧扣“四个角为直角”构造直角三角形，灵活运用勾股定理和矩形面积公式。 21．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当四边形是菱形时，求的长度． 【答案】(1)证明： 四边形是矩形， ，， ， ，即， 又， 四边形是平行四边形． (2) 【分析】（1）依据矩形对边平行、长度相等，结合推出，即可完成平行四边形证明； （2）设未知数表示、，由菱形性质得；在利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，则． 四边形是菱形， ． 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得， 即，解得， 即． 22．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，在矩形中，垂直平分，垂足为点，连结，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵垂直平分， ∴，，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． (2) 【分析】（）先利用线段垂直平分线和矩形的性质得到相等的边与内错角，证明和全等，推出对角线互相平分判定四边形是平行四边形，再结合垂直平分线得出的一组邻边相等，最终证明该四边形为菱形； （）先利用线段垂直平分线的性质得到，再设，用含的式子表示出，接着根据矩形的性质得到，在中应用勾股定理列方程求解，最终算出的长度． 【详解】（1）略 （2）解：∵垂直平分，，， ∴可设，则， ∵四边形为矩形，， ∴在中，由勾股定理得 即， 解得， ∴． 23．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，连结，于点，于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵，， ∴，． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． (2)． 【分析】（1）由矩形的性质得到，，因此．由，，得到，，从而证明，得到，即可得出结论； （2）连结交于点O，由矩形的性质得到，由求出，，再根据勾股定理求出，从而根据求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连结交于点O， ∵四边形是矩形， ∴． ∵由（1）有四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴在中，， 所以． 24．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）中，对角线、相交于点O，过点O作的垂线交于点P，点Q是的延长线上一点且． (1)当四边形是矩形时． ①求的度数； ②判断线段、和数量关系，并证明： (2)如图2，当时，若，，求的周长． 【答案】(1)①； ②，理由如下： 如图，连接，， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴，， 过作交的延长线于， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，而， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）①根据矩形的性质求解即可；②如图，连接，，过作交的延长线于，证明，，，进一步可得结论． （2）如图，连接，，过作于，作交的延长线于，则，证明，可得，，记，的交点为，证明，设，则，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②略 （2）解：如图，连接，，过作于，作交的延长线于，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 记，的交点为， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴， ∴的周长为． ▌知识点07：直角三角形斜边中线定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。几何语言：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若CM为斜边AB上的中线，则CM＝AB。 证明思路（矩形法）：取AB的中点M，延长CM到D使MD＝CM，连接AD、BD，可证四边形ACBD是平行四边形（对角线互相平分），又∠ACB＝90°，故▱ACBD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），因此AB＝CD，而CM＝CD，故CM＝AB。该定理是矩形性质的重要推论，在直角三角形计算中极为常用。 注意：该定理的逆命题不成立（即“一边上的中线等于这边的一半”不能推出直角三角形），但可用于选择题中的性质判断。 25．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在矩形中，，，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接，则当最大时，点C的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设E为的中点，当O，E及C共线时，最大，此时，证明为等边三角形，求出，求出，解直角三角形求出和即可． 【详解】解：设E为的中点（如图①），过C作轴于F，则（如图②）， ∵在中，E为的中点，， ∴， ∵在矩形中，，， ∴在中，由勾股定理得：， 由三角形三边关系得：，当O，E及C共线时，的值取到最大， 此时， 延长到点，使，连接，如图，则， ∵，， ∴垂直平分，得， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 所以点C的坐标是． 26．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分，与交于点M，于点D，于点E，与交于点F，若，则为（     ） A．2．5 B．2 C．3 D．3.5 【答案】A 【分析】取的中点G，连接，设，，再利用x、y表示、，列方程即可得到x的值． 【详解】解：取的中点G，连接， 设，， 可得， ∵，， ∴， ∴， ∵点G是的中点， ∵， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 27．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在矩形中，是的中点，是边上一点，连接、、，且，若，则的长为___________． 【答案】2 【分析】先求出，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵在中，点是斜边的中点， ∴． 28．（25-26八年级下·贵州黔东南·期末）如图，在中，、分别为边、的中点，过点作的平行线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵E、F分别为边的中点， ∴， ∴， ∵． ∴四边形是平行四边形， ∴． (2)四边形是菱形，理由如下： ∵，， ∴． 又∵F为边的中点， ∴． ∴平行四边形是菱形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可知，．由E、F分别为边的中点可推出．即可利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，证明四边形是平行四边形，即得出结果． （2）由，，可推出，根据直角三角形斜边中线的性质，可推出，所以平行四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·河南濮阳·期末）如图，矩形的对角线，相交于点．下列说法不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵矩形的对角线，相交于点 ∴，，，，故A，B正确，不符合题意； ∴，故D正确，不符合题意； 根据题意无法得到，故C错误，符合题意． 2．（25-26八年级下·江西上饶·期末）如图，在矩形中，是对角线，延长至点，使，连接若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于O，由矩形性质可得、，知，而，可得度数． 【详解】解：连接交于O， 四边形是矩形， ，，，，， ，， ∵，，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ． 3．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图，矩形的对角线与相交于点O，，P，Q分别为，的中点，则的长为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据矩形的性质结合三角形的中位线求解即可. 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， 点P，Q分别为，的中点， 是的中位线， 4．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图放置的两个矩形，，四点在同一条直线上，．若已知图中阴影部分的面积，下列各式的值一定能求出的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用矩形性质和已知比例关系表示出阴影部分面积，并将其变形为与选项相关的形式． 【详解】解：大矩形的长为，宽为，小矩形的长为，宽为， ，， ，， 阴影部分的面积， 四边形和四边形均为矩形， ，， ， ∵B，F，G，C四点在同一条直线上，且， ， ， ， ， 已知图中阴影部分的面积 ， 一定能求出的是． 二、填空题 5．（25-26八年级下·湖北荆州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，，，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】分别过点作轴的垂线，垂足分别为，利用矩形的性质证得求得的长度，再利用等量代换求得的长度，根据点所在象限求得点坐标． 【详解】解：分别过点作轴的垂线，垂足分别为， ， ∵四边形是矩形，是矩形的对角线， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵顶点的坐标分别为，，， ∴, ∴， ∴， ∵点在第四象限， ∴点的坐标为． 6．（2026·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在矩形中，，对角线和相交于点O，于点E．若，则矩形的面积为______． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得出对角线互相平分且相等，结合已知线段比例关系推导出为的中点，利用线段垂直平分线的性质证得，进而判定为等边三角形，求出对角线的长，再利用勾股定理求出的长，最后计算矩形面积即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 设，则，， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 矩形的面积． 7．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在矩形中，，，在轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为________． 【答案】/ 【分析】本题考查实数的计算，根据勾股定理计算出的长度，然后计算点的横坐标即可． 【详解】在矩形中，， ， 点横坐标为：， 即点 8．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，在矩形中，相交于点O，平分分别交，于点F，E，若，则的度数为____． 【答案】/105度 【分析】先证明为等边三角形，得到，再根据三角形的内角和定理和对顶角相等，求出的度数即可. 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴. 三、解答题 9．（25-26八年级下·上海静安·期末）如图，已知：在四边形中，平分，，为的中点，过点作，交边于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，为的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； (2)1.4 【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质得出，根据等边对等角得出，结合角平分线的定义得出，则，然后根据平行四边形的判定即可得证； （2）证明平行四边形是矩形，得出，，，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，从而得出，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵，为的中点， ∴， 在中，， 在中， ， ∴， 解得． 10．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，E是的中点，于F点，交于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，请直接写出矩形的面积为_． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，即点是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； (2)6 【分析】（1）根据菱形的性质，得到，进而得到是的中位线，推出，易证四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质，得到，，利用勾股定理求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，由矩形的性质可知，，然后利用勾股定理求出，从而求出的长，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形，， ，， ∴由勾股定理得， 是的中点， ； 由（1）可知，四边形是矩形， ，， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴矩形的面积． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训川练 第一章特殊平行四边形 3矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 课时目标 理解矩形的定义，明确矩形是有一个直角的平行四边形，能根据定义识别矩形，并说 出矩形与一般平行四边形的区别与联系。 2. 掌握矩形的四个角都是直角、对角线相等的核心性质，能运用这些性质进行边、角、 对角线的相关计算和简单证明。 3. 理解并掌握直角三角形斜边中线定理，能运用该定理解决直角三角形中的线段长度计 算和证明问题。 课时目录 知识点01：矩形的定义 知识点02：矩形的边的性质 知识点03：矩形的角的性质 知识点04：矩形的对角线的性质 1/15 知识点05：矩形的对称性 知识点06：矩形性质在几何计算中的应用 知识点07：直角三角形斜边中线定理 知识点01：矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。 几何语言：在·ABCD中，若∠A=90°，则ABCD为矩形。矩形的定义包含两层含义：矩 形首先是平行四边形，具备平行四边形的所有性质（对边平行且相等、对角线互相平分 等)； 矩形附加了“有一个角是直角”的特殊条件。判定一个图形是矩形时，通常先证其为平行 四边形，再证一个角为直角。 1.(25-26八年级下·山东临沂期末)下列各项中，矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是() A.对角相等 B.对边相等 C.邻角互补 D.对角线相等 2.(25-26八年级下·天津河北期末)矩形具有而菱形不一定具有的性质是() A.对角线互相平分 B.两组对边分别平行 C.对角线相等 D.两组对角分别相等 3.(25-26八年级下·吉林长春期末)矩形和菱形都具有的性质是() A.对角线相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直且平分 4.(25-26八年级下·湖北宜昌期末)下列命题是假命题的是() A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B.矩形的对角线相等 C.平行四边形对边平行 D.对角线相等的四边形是矩形 2/15 知识点02：矩形的边的性质 矩形的对边平行且相等。即：若四边形ABCD是矩形，则ABIICD,ADBC,且AB= CD,AD=BC。 该性质直接继承自平行四边形，矩形并未对边的长度关系增加额外限制（特殊长度关系是 菱形的特征)，因此矩形的邻边可以不相等（正方形除外）。 5.(25-26八年级下陕西咸阳期未)如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的一点，连接AE,F,G分别 是AD,AE的中点，若AB=BE=6BC=8,则FG的长为() B E D A.10 B.2V0 C.3 D.4 6.(25-26八年级下·安徽芜湖期末)如图1，在矩形ABCD中，点E,F分别在边BC,AD上，O是四 边形AECF对角线的交点，且AC⊥EF,BE=DF. p B E 图1 图2 (I)求证：四边形AECF是菱形： (2)若AB=6,CE-BE=3,求四边形AECF的面积： 3/15 (3)如图2，若P是矩形ABCD外一点，求证：PA2+PC2=PB+PD2 7.(25-26八年级下·重庆綦江期末)如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，连接CE，BE,过点 B作BF⊥CE于点F,CF=ED (I)求证：△ECD≌△BCF: (2)若BC=10,AB=6,求AE的长 8.(25-26八年级下·安徽合肥期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,过点O作 EF1BD,交4D于点E,交BC于点F,连 、BC F BE,DF ○ (I)求证：四边形EBFD为菱形： (2)若B0=4,EF=6,求线段CD的长. 知识点03：矩形的角鱼的性质 矩形的四个角都是直角。即：若四边形ABCD是矩形，则∠A=∠B=∠C=∠D=90°。证 明思路：由矩形定义知∠A=90°，又平行四边形邻角互补，故∠B=180°一∠A=90°，同 理∠C=∠D=90°。 该性质是矩形区别于一般平行四边形和菱形的核心特征，也是矩形广泛应用于生活和工程 中的主要原因。 4/15 9.(25-26八年级下广东湛江期末)如图，矩形ABCD中，对角线4C,BD,相交于点O,点E在BD上， CE平分LBCD,∠CAB=∠ACE,则∠ABD的度数是() D A.22.5° B.30° C.35 D.45 10.(25-26八年级下河北唐山期末)如图，点E在矩形ABCD的边CB的延长线上，连接BD,AE, BD=EC,若∠E=75°，则∠DBC的度数是() D E B A.20° B.25° C.30 D.35 11.(25-26八年级下·陕西商洛期末)如图，在矩形ABCD中，连接BD、AC,∠ADB=40°，延长BC 至点E,使得CE=BD,连接AE,则LE的度数为() A.20° B.25° C.30° D.35° 12.(25-26八年级下·河北承德期末)如图，某同学在矩形ABCD中研究数学问题，他按如下步骤操作： ①以点B为圆心、以边BC长为半径画弧交BD于点E:②分别以点C,E为圆心、以大于2CE长为 半径画弧，两弧交于点F;③作射线BF交边CD于点G,交边AD的延长线于点H.若∠ADB=46, 则∠DGH的度数是() 5/15 46o9 A.60° B.67° C.68° D.70° 知识点04：矩形的对鱼线的性质 矩形的对角线相等且互相平分。即：在矩形ABCD中，若对角线AC、BD交于点O,则 1 1 AC=BD,且OA=OC=2AC,OB=OD=2BD。证明思路：由AB=DC,∠ABC= ∠DCB=90°，BC=CB,可证△ABC≌△DCB(SAS),得AC=BD:又平行四边形对角 线互相平分，故OA=OC,OB=OD。 该性质是矩形特有的，一般平行四边形对角线不相等，菱形对角线也不一定相等。 D 13.(25-26八年级下·陕西西安期末)如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC,垂足为点 E,∠ABE:∠EBC=2:3 ,则 ∠DBE 的度数是() D E 0 B A.22.5 B.16° C18° D.36 14.(25-26八年级下·云南昆明期末)如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,如果 ∠ADB=32°，那么∠AOB的度数为() B 6/15 A.32° B.45° C.58 D.64° 15.(25-26八年级下河南鹤壁期末)如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD相交于点O,点E, F分别在边AB,BC上，连接EF交对角线BD于点P.若P为EF的中点，∠ADB=35°，则∠DPE= B 16.(25-26八年级下北京期末)如图，点E是矩形ABCD的对角线AC的延长线上一点，若AC=2BE, ∠ACB=75°，则∠E=°. 知识点05：矩形的对称性 矩形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是过每组对边中点的直线：同时矩形也是中心对 称图形，对称中心是对角线的交点（即平行四边形的中心对称性）。 注意：矩形的对称轴不是对角线所在的直线（这与菱形不同），只有当矩形是正方形时， 对角线所在直线才是对称轴。 17.(25-26八年级下天津河西期末)如图，四边形OACB是矩形，A,B两点的坐标分别是(6,0)， (0,4)C ,点在第一象限，则点的坐标为() B A A.(4,0) B.(0,6) C.(4,6) D.(6,4) 18.(25-26八年级下·河北唐山期末)如图，将面积为30的矩形ABCD放在平面直角坐标系中，若顶点B、 7/15 D的坐标分别为 (0,-1)(0,9 ,则顶点C的坐标为《） D A.(38) B.(4,8) c.(37) D.(47) 19,（25-26八年级下江西南昌期术)如图，在平面直角坐标系中，矩形4BCD的顶点1(21，C83), 且AB‖x轴，直线y=3x+b(b为整数)与线段CD交于点E,当线段DE上有3个整点（包含线段 端点)时，b的值为 20.(25,26八年级下吉林松原期未)如图，在平面直角坐标系中，矩形01BC,402),C(-8,0),动 点P从点O出发，沿O→A→B→A的方向以每秒2个单位长度的速度运动，与点A第二次相遇时停 止，设点P运动的时间为x秒. V B (1)点B的坐标为 (2)在点P从点A运动到点B的过程中，用含x的式子表示AP的长度， 3)连接OB、BP、OP,当△BOP的面积为S时，求S关于x的函数解析式. 8/15 (4)当点P第一次运动到点A时，有一条垂直于x轴的直线开始从BC的位置出发，以每秒1个单位长 度的速度沿x轴正方向运动，当点P停止运动时直线也随之停止.在运动过程中，当点P在直线上 时，求点P的坐标. 知识点06：矩形性质在几何计算中的应里 典型计算题型： 己知矩形的一边和对角线长，求另一边。解题思路：利用“四个角为直角”构造直角三角 形，结合勾股定理求解。 已知矩形对角线长，求对角线被交点分成的各线段长。 矩形周长与面积计算：周长=2（长十宽），面积=长×宽。解题关键：紧扣“四个角为直 角”构造直角三角形，灵活运用勾股定理和矩形面积公式。 21.(25-26八年级下河北唐山期末)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E、F分别是边AD、 BC上的点，且AE=CF, (I)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)当四边形BEDF是菱形时，求AE的长度. 22.(25-26八年级下·浙江台州期末)如图，在矩形ABCD中，EF垂直平分AC,垂足为O点，连结AE, CF (I)求证：四边形AECF是菱形： 2)若AB=5,BC=3,求AF的长 23.(25-26八年级下·浙江宁波期末)如图，在矩形ABCD中，连结BD,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于 点F 9/15 (I)求证：四边形AECF是平行四边形： 2)若EF=3,BD=5,求△ABD的面积. 24.(25-26八年级下辽宁大连期末)口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点O作AC的垂线交 AB于点P,点O是OP的延长线上一点且∠QBP+)∠ABC=90°， D 图1 图2 (I)当四边形ABCD是矩形时. ①求∠QBP的度数： ②判断线段BA、BC和BQ数量关系，并证明： ②图2，当∠ABC=60°时，若0=L,00= 2,求ABCD的周长. 知识点07：直角三角形斜边中线定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，若CM 1 为斜边AB上的中线，则CM=2AB。 证明思路（矩形法）：取AB的中点M,延长CM到D使MD=CM,连接AD、BD,可证 四边形ACBD是平行四边形（对角线互相平分），又∠ACB=90°，故·ACBD是矩形（有 一个角是直角的平行四边形是矩形)，因此AB=CD,而CM=2CD,故CM=2AB。该 10/15 定理是矩形性质的重要推论，在直角三角形计算中极为常用。 A D 注意：该定理的逆命题不成立（即“一边上的中线等于这边的一半”不能推出直角三角 形)，但可用于选择题中的性质判断。 25.(25:26八年级下陕西成阳期末)如图，在矩形4BCD中，AB=4,BC=25 ,两顶点A、B分别 在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC,则当OC最大时，点C 的坐标是() 0 B 33V3 333 A.(3,33B.(35,3 C 2’2 D.22 26.(25-26八年级下·陕西咸阳期末)如图，在△ABC中，AB=AC,CM平分∠ACB,与AB交于点 M,AD⊥BC于点D,ME⊥BC于点E,MF⊥MC与BC交于点F,若CF=10,则DE为() FED A.2.5 B.2 C.3 D.3.5 27.(25-26八年级下·福建泉州期末)如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，F是AD边上一点，连 接BF、CF、EF,且LFBC=∠DCF,若AD=4,则EF的长为 11/15 28.(25-26八年级下·贵州黔东南期末)如图，在口ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，过A点 作DB的平行线交CB的延长线于点G. (I)求证：DE∥BF: (②)若∠G=90°，判断四边形DEBF的形状，并说明理由. 课时训练 一、选择题 1.(25-26八年级下·河南濮阳期末)如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.下列说法不一定 成立的是() A.AC=BDB.AB⊥BC C.∠BAC=∠DACD.OA=OB 2.(25-26八年级下·江西上饶期末)如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，延长BC至点E,使 CE=BD,连接AE,若∠ABD=48°，则∠E的度数是() A.18 B.21° C.24° D.27° 3.(25-26八年级下·河北石家庄·期末)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC=10,P, 12115 O分别为AO,AD的中点，则PO的长为() D A.2.5 B.3 C.4 D.5 4.(25-26七年级下·浙江台州期末)如图放置的两个矩形，AD=3AB,EH=3EF,B,F,G,C四点在同一 条直线上，BF=CG.若已知图中阴影部分的面积，下列各式的值一定能求出的是() D B A.BF·BGB.BF.CG C.FG.CG D.BC.FG 二、填空题 5.(25-26八年级下湖北荆州期末)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A,C,D的坐标分别 为-2,0)，(80).（12），则点8的坐标为 6.(2026宁夏吴忠·模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=2,对角线AC和BD相交于点O, AE⊥BD于点E.若BE:ED=1:3,则矩形ABCD的面积为 7.(25-26八年级上全国期中)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,AB在x轴上，若以点A为 圆心，对角线AC的长为半径作弧，交x轴的正半轴于点M,则点M的坐标为 13/15 8.(25-26八年级下·江苏常州期中)如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O,DE平分∠ADC分别 交AC,BC于点F,E,若∠BDE=15°，则∠CFE的度数为一· D B E 三、解答题 9.(25-26八年级下·上海静安期末)如图，已知：在四边形ABCD中，AC平分∠DAB,∠ACB=90°， E为AB的中点，过点E作EF∥CD,交边AD于点F,连接CE. O E (I)求证：四边形CDFE是平行四边形： (2)如果∠ADC=90°，BC=6,AB=10,求AF的长. 10.(25-26八年级下河北秦皇岛期末)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点， EF⊥AB于F点，OG∥EF交AB于点G. D B (I)求证：四边形OEFG是矩形： 2)若AC=8,BD=6,请直接写出矩形OEFG的面积为_· 14/15 15/15