第五章 等可能条件下的概率（题型专练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 本练习通过基础认知、技能应用、综合拓展三层递进设计，覆盖概率概念理解、计算方法到实际应用的完整路径，培养抽象能力、推理意识与数据观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|等可能性判断、简单概率计算|含操作试验题（如掷硬币），强化概念直观感知| |技能应用层|几何概率、列表/树状图法、已知概率求数量|融入方程思想（如求红球数量），训练概率计算技能| |综合拓展层|统计图表分析、游戏公平性、跨知识点结合|设置实际情境题（如测温通道、社团统计），发展数据意识与模型观念|

第五章 等可能条件下的概率 题型一 等可能性 1．小王和小李玩象棋比赛（每局必分胜负），七局四胜，已知小李全程没有领先过小王，最终小王获胜，问一共有______种不同情况 2．将A，B，C，D，E这五个字母分别写在5张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个盒子中．混合均匀后从中任意抽取一张，会出现哪些可能的结果？它们是等可能的吗？ 3．连续掷两枚质地均匀的硬币，共有几种可能的结果？每种结果出现的可能性相同吗？先想一想，再做一做这个试验，看看结果如何． 4．一个袋中装有个红球和个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，摸到红球和摸到白球的概率相等吗？如果不相等，请通过改变袋中红球或白球的数量，使摸到红球和摸到白球的概率相等． 题型二 概率的计算 1．在一个不透明的口袋中装有3个白球和4个黄球，这些球除颜色不同外其他完全相同，从袋子中随机摸出一个球，摸到白球的概率为（     ）． A． B． C． D． 2．掷两枚均匀的硬币，一枚硬币正面朝上，另一枚硬币反面朝上的概率是（     ） A． B． C． D．1 3．袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和大于6的概率是（     ） A． B． C． D． 4．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，三辆汽车经过这个十字路口，则三辆车都直行的概率是______． 题型三 根据概率作判断 1．下列说法中正确的是（    ） A．抛掷质地均匀的硬币100次，必然有50次正面朝上 B．在不透明的口袋中装有1只红球、5只白球（除颜色外其余都相同）搅匀后从中任意摸出一个球，摸出的一定是白球 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数为奇数与朝上的点数为偶数的概率相等 D．某种福利彩票中奖的概率是，买100张该种彩票一定能中奖 2．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球4个，白球6个，黑球5个． (1)求任意摸出一个球是黑球的概率； (2)要使摸到红球和白球的概率相等，白球的个数不变，红球需要增加几个？ 3．小明和小强都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘9等分，分别标上1至9九个数字，随意转动一次转盘，若转到奇数，小明去参加活动；若转到偶数，小强去参加活动．    (1)转盘转到奇数的概率是多少？ (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 4．小明和小颖用标有数字1，2，3，4，5的五张卡片做游戏，这五张卡片除数字外完全相同．将五张卡片数字朝下分别放在桌面上，小明从中任意抽出一张（不放回），小颖从剩余的卡片中任意抽出一张，谁抽到的数字大谁就获胜． (1)若小明抽到的数字为2，则小明获胜的概率为__________，小颖获胜的概率为__________； (2)若小明抽到的数字为5，则小明获胜的概率为__________，小颖获胜的概率为__________； (3)若小明抽完卡片后小明和小颖获胜的概率相同，则小明抽到的数字是__________． 题型四 几何概率 1．小狗在如图所示的方砖上走来走去，随意停在黑色方砖上的概率为（     ） A． B． C． D． 2．一个小球在如图水平放置的方格地砖上任意滚动，会随机停在某块地砖上（停留在边界线需重新滚动）．每块地砖的大小、质地都完全相同．小球停在灰色区域的概率是（     ） A． B． C． D． 3．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针落在区域B的概率是______． 4．如图，四边形为正方形，以各边为直径在正方形内画半圆，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是______． 题型一 已知概率求数量 1．在一个不透明的布袋中装有2个红球和8个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是红球的概率是，需要向袋子里添加红球的个数为（     ）个 A．6 B．7 C．8 D．10 2．在一次摸球游戏中共有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为__________个． 3．一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的红球和白球，其中有5个红球，从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是，若要使摸出红球和白球的概率一样，且保持白球个数不变，则需要再放入红球的个数是_____． 4．现有正面分别写有“敦”“煌”“莫”“高”“窟”的卡片共张，这些卡片的大小、形状、背面完全相同．已知“敦”字卡片有张，“煌”字卡片有张，“莫”字卡片有张，“高”字卡片有张，其余都是“窟”字卡片，将这些卡片背面朝上随机放置在桌面上． (1)随机抽取一张，抽到“窟”字卡片的概率是多少？ (2)若从这些卡片中取出张“煌”字卡片，再放入张“莫”字卡片，混匀后，随机抽取一张，抽到写有“莫”字卡片的概率为，求的值． 题型二 列表法或画树状图法求概率 1．从1，2，3，4中任取一个数记为b，再从余下的三个数中，任取一个数记为c，则关于x的方程有实数根的概率为（    ） A． B． C． D． 2．疫情期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求，某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小开和小袁两位同学将随机通过测温通道进入校园． (1)小开选择A通道测温进校的概率是______； (2)利用画树状图或列表的方法，求这两个同学从不同通道通过的概率． 3．现有A，B，C，D四张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同．将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上． (1)从中随机取出1张卡片，卡片上的图案是轴对称图形的概率是________； (2)若从中随机抽取1张卡片，不放回，再从剩下的3张中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片都是中心对称图形的概率． 4．小聪计划周末去天水市博物馆参观，从小聪家到博物馆需要中途转车一次，从家到中转站台有，，，四路车（乘坐此四路车的可能性相同），其中是空调车，到了中转站台后有，，，四路车（乘坐此四路车的可能性相同），其中是空调车． (1)请用树状图或列表的方法表示小聪乘车的所有可能结果； (2)求小聪乘坐的两趟车都是空调车的概率． 题型三 概率的应用 1．有朋友约定明天上午的任一时刻到学校与孙老师会面，孙老师明天上午要上三节课，每节课分钟，朋友到学校时孙老师恰好不在上课的概率是（    ） A． B． C． D． 2．一个不透明的盒子中装有 3 个白球，2 个黄球，1 个红球，这些球除颜色外形状和大小完全一样． (1)在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红球，小颖同学从盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率为，则 ． (2)在（1）的条件下，小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸出一个球，如果摸到红球，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 3．初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为_______度，并将条形统计图补充完整． (2)此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 4．某校为了解学生参加“第二课堂”社团活动的情况，对报名参加A：足球，B：象棋，C：羽毛球，D：舞蹈这四项社团活动的学生（每人必选且只能选修一项）中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中A所占扇形的圆心角为． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这次被调查的学生共有_______人．并将条形统计图补充完整； (2)若该校共有1000学生加入“第二课堂”社团活动，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团； (3)在象棋社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加市级象棋大赛、用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 1．甲、乙、丙、丁四人站成一排拍照，则甲、乙不相邻的概率为（　　） A． B． C． D． 2．从不等式的负整数解中任意取一个数作为的值，则关于的分式方程的解是正整数的概率为_________． 3．一个袋中装有偶数个球，其中黑球、白球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，先随机将其中一个球放入甲盒．如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是__________． （2）若乙盒中最终有6个黑球，则袋中原来最少有__________个球． 4．如图，反比例函数的图象经过点． (1)求t的值． (2)若直线l：也经过点P，求直线l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l． (3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取2个不同的格点（横、纵坐标都是整数的点），求这2个格点都在反比例函数图象上的概率． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 等可能条件下的概率 题型一 等可能性 1．小王和小李玩象棋比赛（每局必分胜负），七局四胜，已知小李全程没有领先过小王，最终小王获胜，问一共有______种不同情况 【答案】 【详解】解：由题意，小王最终胜4局，小李胜局不超过3局，且任意时刻小李胜场数不超过小王胜场数，分情况讨论： ①比赛4局结束：小王连胜4局，符合条件，共1种情况； ②比赛5局结束：第5局小王胜，前4局小王胜3局，小李胜1局，第一局必须为小王胜（否则小李开局领先），剩余3局选1局小李胜即可，共种，均满足条件，共种情况； ③比赛6局结束：第6局小王胜，前5局小王胜3局，小李胜2局，第一局必须为小王胜，若第二局小李胜，则第三局小王胜，第四、五局小李选1局胜即可，共2种情况；若第二局小王胜，则第三、四、五局小李选2局胜即可，共3种情况；因此，一共有5种情况； ④比赛7局结束：第7局小王胜，前6局小王胜3局，小李胜3局，第一局必须为小王胜，在剩余五局中，小李可以胜第二、四、六局，或第二、五、六局或第三、五、六局或第三、四、六局或第四、五、六局，共5种情况； 综上所述， 总情况数为：． 2．将A，B，C，D，E这五个字母分别写在5张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个盒子中．混合均匀后从中任意抽取一张，会出现哪些可能的结果？它们是等可能的吗？ 【答案】见解析 【详解】会出现摸到写有字母A的纸条、写有字母B的纸条、写有字母C的纸条、写有字母D的纸条、写有字母E的纸条这5种可能的结果，它们是等可能的． 3．连续掷两枚质地均匀的硬币，共有几种可能的结果？每种结果出现的可能性相同吗？先想一想，再做一做这个试验，看看结果如何． 【答案】共有种可能的结果，每种结果出现的可能性相同． 【详解】共有种可能的结果，每种结果出现的可能性相同． 连续掷两枚硬币，第一枚硬币有正面朝上、反面朝上种结果，第二枚硬币同样有正面朝上、反面朝上种结果； 将所有结果组合列举，得到所有可能的情况为：（正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）， 因此总共有种不同的可能结果； 因为两枚硬币质地均匀，投掷为独立随机事件，每种结果出现的概率都是， 所以每种结果出现的可能性相同，重复多次试验后，可观察到每种结果出现的频率接近，符合上述结论． 4．一个袋中装有个红球和个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，摸到红球和摸到白球的概率相等吗？如果不相等，请通过改变袋中红球或白球的数量，使摸到红球和摸到白球的概率相等． 【答案】摸到红球和摸到白球的概率不相等，可采用如下调整方法：往袋中加入个红球（或取出袋中个白球）． 【详解】解：已知袋中共有个球， 则任意摸出一个球，摸到红球的概率为， 则任意摸出一个球，摸到白球的概率为， 可知摸到红球和摸到白球的概率不相等， 若要使摸到红球和摸到白球的概率相等，只需让红球和白球的数量相等即可， 可采用如下调整方法：往袋中加入个红球（或取出袋中个白球）． 题型二 概率的计算 1．在一个不透明的口袋中装有3个白球和4个黄球，这些球除颜色不同外其他完全相同，从袋子中随机摸出一个球，摸到白球的概率为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵口袋中装有3个白球和4个黄球， ∴球的总个数为， ∴摸到白球的概率为. 2．掷两枚均匀的硬币，一枚硬币正面朝上，另一枚硬币反面朝上的概率是（     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】解：∵掷两枚均匀硬币，所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，共4种，其中一枚正面朝上、另一枚反面朝上的结果有2种， ∴所求概率为． 3．袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和大于6的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：画树状图得： ∵共有16种等可能的结果，抽取的两个球数字之和大于6的有10种情况， ∴抽取的两个球数字之和大于6的概率是：． 4．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，三辆汽车经过这个十字路口，则三辆车都直行的概率是______． 【答案】 【详解】解：每辆汽车都有左转、直行、右转3种等可能的选择，三辆汽车的所有选择结果可通过树状图列举得到． ∵总共有种等可能的结果，三辆车都直行的结果只有1种， ∴三辆车直行的概率是． 题型三 根据概率作判断 1．下列说法中正确的是（    ） A．抛掷质地均匀的硬币100次，必然有50次正面朝上 B．在不透明的口袋中装有1只红球、5只白球（除颜色外其余都相同）搅匀后从中任意摸出一个球，摸出的一定是白球 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数为奇数与朝上的点数为偶数的概率相等 D．某种福利彩票中奖的概率是，买100张该种彩票一定能中奖 【答案】C 【详解】A选项：不一定，属随机事件，不符合题意； B选项：不一定，摸出白球的概率为 ，不符合题意； C选项：朝上的点数为奇数与朝上的点数为偶数的概率相等，均为，符合题意； D选项：不一定，属随机事件，不符合题意． 2．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球4个，白球6个，黑球5个． (1)求任意摸出一个球是黑球的概率； (2)要使摸到红球和白球的概率相等，白球的个数不变，红球需要增加几个？ 【答案】(1)；(2)2个 【详解】（1）解：因为红球4个，白球6个，黑球5个， 所以盒子中球的总数为：（个）， 所以任意摸出一个球是黑球的概率为． （2）解：因为要使摸到红球和白球的概率相等， 所以要使红球的个数等于白球的个数， 因为红球4个，白球6个，白球的个数不变， 所以红球需要增加（个）． 3．小明和小强都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘9等分，分别标上1至9九个数字，随意转动一次转盘，若转到奇数，小明去参加活动；若转到偶数，小强去参加活动．    (1)转盘转到奇数的概率是多少？ (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1)；(2)这个游戏不公平． 【详解】（1）因为共有9种等可能的结果，其中奇数有1，3，5，7，9，共有5种等可能的结果，所以． （2）这个游戏不公平． 理由：因为共有9种等可能的结果，其中偶数有2，4，6，8，共有4种等可能的结果， 所以， 因为，所以这个游戏不公平． 4．小明和小颖用标有数字1，2，3，4，5的五张卡片做游戏，这五张卡片除数字外完全相同．将五张卡片数字朝下分别放在桌面上，小明从中任意抽出一张（不放回），小颖从剩余的卡片中任意抽出一张，谁抽到的数字大谁就获胜． (1)若小明抽到的数字为2，则小明获胜的概率为__________，小颖获胜的概率为__________； (2)若小明抽到的数字为5，则小明获胜的概率为__________，小颖获胜的概率为__________； (3)若小明抽完卡片后小明和小颖获胜的概率相同，则小明抽到的数字是__________． 【答案】(1)，；(2)1，0；(3)3 【详解】（1）解：若小明抽到的数字为2，剩下的数字为1，3，4，5， ∴小颖抽到1的概率为，小颖抽到3，4，5的概率为， ∵谁抽到的数字大谁就获胜， ∴小明获胜的概率为，小颖获胜的概率为； （2）解：若小明抽到的数字为5，剩下的数字为1，2，3，4， ∴小颖抽到1，2，3，4的概率为1， ∵谁抽到的数字大谁就获胜， ∴小明获胜的概率为1，小颖获胜的概率为0； （3）解：∵小明和小颖获胜的概率相同，小明抽完后剩下4张卡片， ∴剩下的4张卡片中大于小明抽到的数的数量等于小于小明抽到的数的数量， ∴小明抽到的数字是3． 题型四 几何概率 1．小狗在如图所示的方砖上走来走去，随意停在黑色方砖上的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可知，小狗在如图所示的方砖上走来走去，随意停在黑色方砖上的概率为． 2．一个小球在如图水平放置的方格地砖上任意滚动，会随机停在某块地砖上（停留在边界线需重新滚动）．每块地砖的大小、质地都完全相同．小球停在灰色区域的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设每个灰色小三角形的面积为，灰色区域的面积为，则每个小正方形的面积为，大正方形的面积为， ∴小球停在灰色区域的概率是． 3．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针落在区域B的概率是______． 【答案】 【详解】解：区域对应的圆心角为：， ∴指针落在区域的概率是． 4．如图，四边形为正方形，以各边为直径在正方形内画半圆，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是______． 【答案】 【详解】解：设正方形的边长为，则正方形的面积为，以正方形各边为直径的半圆的半径为，四个半圆的面积和为 ， 阴影部分的面积等于四个半圆的面积和减去正方形的面积： ， ∴这个点取在阴影部分的概率是. 题型一 已知概率求数量 1．在一个不透明的布袋中装有2个红球和8个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是红球的概率是，需要向袋子里添加红球的个数为（     ）个 A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【详解】解：设需要向袋子里添加个红球， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴需要向袋子里添加红球的个数为10个． 2．在一次摸球游戏中共有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为__________个． 【答案】24 【详解】解：根据题意可知白球的概率为， （个）， （个）， ∴估计游戏中黑球的个数为24个． 3．一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的红球和白球，其中有5个红球，从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是，若要使摸出红球和白球的概率一样，且保持白球个数不变，则需要再放入红球的个数是_____． 【答案】10 【详解】解：设布袋中原有总球数为个， 由题意得 ，解得 ， 原有白球个数为 （个）， 要使摸出红球和白球的概率一样，且布袋中只有红球和白球， 红球个数需要等于白球个数， 白球个数保持不变，仍为个， 需要再放入红球的个数为 （个）． 4．现有正面分别写有“敦”“煌”“莫”“高”“窟”的卡片共张，这些卡片的大小、形状、背面完全相同．已知“敦”字卡片有张，“煌”字卡片有张，“莫”字卡片有张，“高”字卡片有张，其余都是“窟”字卡片，将这些卡片背面朝上随机放置在桌面上． (1)随机抽取一张，抽到“窟”字卡片的概率是多少？ (2)若从这些卡片中取出张“煌”字卡片，再放入张“莫”字卡片，混匀后，随机抽取一张，抽到写有“莫”字卡片的概率为，求的值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：（抽到“窟”字卡片）； （2）解：由题意，得， 解得． 题型二 列表法或画树状图法求概率 1．从1，2，3，4中任取一个数记为b，再从余下的三个数中，任取一个数记为c，则关于x的方程有实数根的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中能使关于x的方程有实数根的有6种结果， ∴关于x的方程有实数根的概率为：． 2．疫情期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求，某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小开和小袁两位同学将随机通过测温通道进入校园． (1)小开选择A通道测温进校的概率是______； (2)利用画树状图或列表的方法，求这两个同学从不同通道通过的概率． 【答案】(1)；(2)这两个同学从不同通道通过的概率． 【详解】（1）解，由题意，共有A、B、C，3个测温通道， 小开选择每个通道的可能性相等，选择A通道的结果有1种， 故小开选择A通道测温进校的概率为． （2）解：由题意，列表可得 小袁           小开 A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 由表格可知，可能出现的结果有种， 这两个同学从不同通道通过（记为事件）的结果有种， 所以这两个同学从不同通道通过的概率． 3．现有A，B，C，D四张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同．将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上． (1)从中随机取出1张卡片，卡片上的图案是轴对称图形的概率是________； (2)若从中随机抽取1张卡片，不放回，再从剩下的3张中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片都是中心对称图形的概率． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：由题意可得A卡片上的图案是轴对称图形，B卡片上的图案不是轴对称图形，C卡片上的图案是轴对称图形，D卡片上的图案是轴对称图形， 故从中随机取出1张卡片，卡片上的图案是轴对称图形的概率是； （2）解：由题意可得A卡片上的图案是轴对称图形，不是中心对称图形，B卡片上的图案不是轴对称图形，是中心对称图形，C卡片上的图案是轴对称图形，也是中心对称图形，D卡片上的图案是轴对称图形，不是中心对称图形， 画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能的结果， 其中两次所抽取的卡片都是中心对称图形的有，这2种结果， ∴两次抽取的卡片都是中心对称图形的概率为． 4．小聪计划周末去天水市博物馆参观，从小聪家到博物馆需要中途转车一次，从家到中转站台有，，，四路车（乘坐此四路车的可能性相同），其中是空调车，到了中转站台后有，，，四路车（乘坐此四路车的可能性相同），其中是空调车． (1)请用树状图或列表的方法表示小聪乘车的所有可能结果； (2)求小聪乘坐的两趟车都是空调车的概率． 【答案】(1)见解析；(2)小聪乘坐的两趟车都是空调车的概率为． 【详解】（1）用列表法表示所有等可能的乘车结果如下： 所以小聪从家到博物馆乘车的所有可能结果有16种． （2）解：由（1）问可知，因为，是空调车，是空调车， 所以两路车都是空调车的结果有，，共2种． 所以小聪从家到博物馆乘坐的两路车都是空调车的概率为． 题型三 概率的应用 1．有朋友约定明天上午的任一时刻到学校与孙老师会面，孙老师明天上午要上三节课，每节课分钟，朋友到学校时孙老师恰好不在上课的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵明天上午一共有4小时共分钟，其中苏老师不上课的时间共分钟， ∴朋友到学校时孙老师恰好不在上课的概率是， 故选C． 2．一个不透明的盒子中装有 3 个白球，2 个黄球，1 个红球，这些球除颜色外形状和大小完全一样． (1)在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红球，小颖同学从盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率为，则 ． (2)在（1）的条件下，小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸出一个球，如果摸到红球，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 【答案】(1)4；(2)公平 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 经检验是方程的解， 所以； 故答案为：4； （2）解：公平，理由： （小颖获胜），（小英获胜） ， 公平． 3．初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为_______度，并将条形统计图补充完整． (2)此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 【答案】(1)72，图见详解；(2) 【详解】（1）解： ， 故答案为：72； 全年级总人数为（人）， “良好”的人数为（人）， 将条形统计图补充完整，如图所示： （2）解：画树状图，如图所示： 共有12个等可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2个， ∴P（选中的两名同学恰好是甲、丁）． 4．某校为了解学生参加“第二课堂”社团活动的情况，对报名参加A：足球，B：象棋，C：羽毛球，D：舞蹈这四项社团活动的学生（每人必选且只能选修一项）中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中A所占扇形的圆心角为． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这次被调查的学生共有_______人．并将条形统计图补充完整； (2)若该校共有1000学生加入“第二课堂”社团活动，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团； (3)在象棋社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加市级象棋大赛、用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】(1)200，图见解析；(2)这名学生中有人参加了羽毛球社团；(3) 【详解】（1）解：类有人，所占扇形的圆心角为， 这次被调查的学生共有：（人）； 故答案为； ∴项目对应人数为：（人）； 补充如图． （2）（人） 答：这名学生中有人参加了羽毛球社团； （3）画树状图得： 共有种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有种， （选中甲、乙）． 1．甲、乙、丙、丁四人站成一排拍照，则甲、乙不相邻的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：甲、乙、丙、丁四人站成一排的总情况数为种， 甲、乙不相邻的情况可采用插空法：先将丙、丁两人排列，有  2 × 1 = 2  种方法；丙、丁排好后有3个空位，将甲、乙两人插入这3个空位中，有 种方法，故甲、乙不相邻的情况有  2 × 6 = 12  种， 甲、乙不相邻的概率为， 故选：C． 2．从不等式的负整数解中任意取一个数作为的值，则关于的分式方程的解是正整数的概率为_________． 【答案】 【详解】解：解不等式， 得， ∴不等式的负整数解为：，，，， 解方程， 得， ． ∵分式方程的解是正整数， ∴，且， ∴，且， 解得且， ∴使分式方程的解为正整数的m的值只有一个， ∴关于的分式方程的解是正整数的概率为． 故答案为：． 3．一个袋中装有偶数个球，其中黑球、白球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，先随机将其中一个球放入甲盒．如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是__________． （2）若乙盒中最终有6个黑球，则袋中原来最少有__________个球． 【答案】黑 【详解】解：（1）依题意得，若先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．但取出的球都没有放入丙盒，因此先放入甲盒的球不能是白球，只能是黑球． 故答案为黑． （2）由题意得，可知取两个球共有四种情况： ①黑+黑，则乙盒中黑球数加1， ②白+白，则丙盒中白球数加1， ③黑+白（黑球放入甲盒），则乙盒中白球数加1， ④白+黑（白球放入甲盒），则丙盒中黑球数加1． 分析可知，只有当从袋中取出的两个球都是黑球时，乙盒中才会增加一个黑球． 因此，乙盒中最终有6个黑球，说明取出两个黑球的操作发生了6次． 该操作共用去黑球(个)． 因为袋中黑球、白球各占一半， 所以袋中原来最少有个黑球和个白球． 故袋中原来最少有(个)球． 故答案为：． 4．如图，反比例函数的图象经过点． (1)求t的值． (2)若直线l：也经过点P，求直线l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l． (3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取2个不同的格点（横、纵坐标都是整数的点），求这2个格点都在反比例函数图象上的概率． 【答案】(1)；(2)，(3) 【详解】（1）解：由题意，将代入， 得． （2）由（1），得， ∴点P的坐标为． 将代入， 得， 解得． ∴． 令，得． ∴直线l与y轴交点的坐标为． （3）根据题意，直线l与两坐标轴围成的三角形内部（不包括边界）的格点共有3个，分别记为点，，，其中点，在反比例函数图象上． 根据题意，列表如下： A B C A - B - C - 由表，可知共有6种等可能的结果，其中2个格点都在反比例函数图象上的结果有2种， ∴这2个格点都在反比例函数图象上的概率． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第五章 等可能条件下的概率 题型一等可能性 题型二概率的计算 基础达标题 题型三根据概率作判断 题型四几何概率 题型一已知概率求数量 等可能条件下的概率 题型二列表法或画树状图法求概率 能力提升题 题型三概率的应用 拓展培优题 基础达标题 题型一等可能性 1.14 2.见解析 3.共有4种可能的结果，每种结果出现的可能性相同. 4.摸到红球和摸到白球的概率不相等，可采用如下调整方法：往袋中加入2个红球（或取出袋中2个白 球). 题型二概率的计算 1.C 2.C 3.B 4. 27 1/3 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三根据概率作判断 1.C 2.(5②2个 3. 5 四与：(2)这个游戏不公平. 13 4. (04421,0:(33 题型四几何概率 1.C 2.B 3.昌 4. π-2 2 B 能力提升题 题型一已知概率求数量 1.D 2.24 3.10 4. (0a:②m=2 题型二列表法或画树状图法求概率 1.C 2/3 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2. (2这两个同学从不同通道通过的概率P(A=6=2 Γg3 3. 4. ()见解析：(2)小聪乘坐的两趟车都是空调车的概率为 8 题型三概率的应用 1.C 2.(1)4:(2)公平 3. 02,图见详解：®哈 4. ①⑩200，图见解析：(2)这1000名学生中有300人参加了羽毛球社团：(6)气 拓展培优题 1.C 3.黑 24 导：@04. 4. 3/3