4.3 等可能条件下的概率（二）（题型专练）数学苏科版九年级上册

4.3 等可能条件下的概率（二） 题型一 按份数求概率 1．（2024·扬中市·期末）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·姑苏区·一模）如图，飞镖游戏板由9个全等的小正方形组成，任意向飞镖游戏板投掷飞镖一次，则飞镖击中阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·东台市·一模）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形区域，并涂上了相应的颜色，转动转盘，转盘停止后，指针指向黄色区域的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（2024·常州·期末）如图，每个小三角形都是全等的等边三角形．若在图中任取一点，则该点取自阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·工业园区·校级模拟）以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率最小，则对应的转盘是（　　） A． B． C． D． 6．（2024·响水县·期末）如图所示，转盘被等分成五个扇形，并在上面依次写上数字1、2、3、4、5，若自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区域的概率是　　． 题型二 按圆心角度数求概率 1．（2024·射阳县·校级期中）某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为（　　） A． B． C． D． 2．（2023·天宁区·校级期中）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被涂成蓝、红两种颜色，任意转动转盘一次，则P（蓝）表示指针停留在蓝色区域的可能性，P（红）表示指针停留在红色区域的可能性，则P（蓝）　　P（红）．（填“＞”“＜”或“＝”） 3．（2024·苏州·期末）如图，一个游戏转盘有红色、黄色、蓝色三个部分，若红色部分扇形的圆心角度数为210°，黄色部分扇形的圆心角度数为90°．转动转盘，停止后指针落在蓝色区域的概率是　　． 4．（2024·响水县·期末）某商场今年国庆节期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品可参与转盘抽奖．如图，转盘分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“B”所在的区域内，则顾客中奖（转到公共线位置时重转）．若某顾客转动1次转盘，求其中奖的概率． 题型三 先转化，再按份数求概率 1．（2024·工业园区·校级月考）如果小球在如图所示的图案上（去掉颜色的图案是中心对称图形也是轴对称图形）自由地滚动，并随机停留在某处，那么小球最终停留在灰色图案上的概率是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·徐州·模拟）如图，若随机向8×8正方形网格内投针，则针尖落在阴影部分的概率为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·吴中区·校级二模）⊂如果小球在如图所示的地板上自由的滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是　　． 4．（2024·高新区·一模）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF、GH过点O，且点E，H在边AB上，点G，F在边CD上，向▱ABCD内部投掷飞镖（每次均落在▱ABCD内，且落在▱ABCD内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为　　． 5．（2024·太仓市·期末）如图，正六边形ABCDEF飞镖游戏板，对角线AD，CF相交于点O．假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中各区域的边界线或没有投中游戏板，则重投1次），现向该游戏板随机投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影区域的概率是　　． 6．（2025·宝应县·期末）如图，飞镖游戏中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，击中　　的小正方形的概率较大（填“黑色”或“白色”）． 题型四 先计算面积，再求概率 1．（2024·徐州·中考）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘ABCD内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·建湖县·期中）如图，△ABC的面积为10cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP，垂足为P，连接CP，若三角形内有一点M，则点M落在△BPC内（包括边界）的概率为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·张家港市·校级期中）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是AO的中点．过点C作CE⊥AO交于点E，过点E作ED⊥OB，垂足为点D．在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（2024·丹徒·区期末）已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝3，在矩形ABCD内任取一点O，连接OA、OB，如果矩形ABCD内每一点被取到的可能性都相同，则△OAB是锐角三角形的概率为　　（结果保留π）． 5．（2025·工业园区·校级月考）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为　　． 6．（2024·吴江区·期中）如图，在一不规则区域内，有一边长为3米的正方形，向区域内随机地撒4000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆有1350颗，以此实验数据为依据，可以估计出该不规则图形的面积． （1）随机向不规则区域内掷一粒黄豆，求黄豆落在正方形区域内（含边界）的概率； （2）请你估计出该不规则图形的面积； 题型五 表格法或树状图法求概率（转盘问题） 1．（2023·崇川区·开学）学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小李同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·梁溪区·三模）如图所示，转盘被等分成四个扇形区域，并分别标有数字﹣1，0，，π．随机转动转盘两次，转盘停止后指针所指区域的数字都是有理数的概率是（指针固定向上，当指针恰好指在分界线上时按指针左侧相邻区域算）（　　） A． B． C． D． 3．（2025·徐州·中考）如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母，转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次． （1）转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为　　； （2）转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率． 4．（2025·姜堰区·二模）如图，是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）． （1）任意转动转盘1次，指针指向红色区域的概率是　　． （2）任意转动转盘2次，用树状图或列表法求指针2次都指向红色区域的概率． 5．（2025·靖江市·校级月考）如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是﹣6，﹣1，8，转盘乙上的数字分别是﹣4，5，7（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）． （1）单独转动转盘甲，转盘甲指针指向正数的概率是　　． （2）若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为a，作为点M的横坐标，转盘乙指针所指的数字记为b，作为点M的纵坐标，请用列表法或树状图法求平面内点M落在第二象限内的概率． 6．（2025·沭阳县·三模）某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域里分别标有“10元”，“20元”，“30元”，“40元”的字样（如图）．规定：同一天内，顾客在本商场消费每满100元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额给顾客相应数额的购物券． （1）若顾客有一次转动转盘的机会，他所获购物券为10元的概率是　　； （2）某顾客当天消费260元，转了两次转盘，请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于50元的概率． 题型六 验证游戏公平性（转盘问题） 1．（2024·沭阳县·校级月考）有两个可以自由转动的均匀转盘A，B．转盘A被平均分成4等份，分别标上﹣2，2，6，8四个数字；转盘B被平均分成3等份，分别标上﹣1，﹣2，3三个数字．自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字（指向分界线时重新转），把A转盘指的数字作为被除数，B转盘指针指的数字作为除数，计算这两个数的商．小贝和小晶用以上两个转盘做游戏，规则是：若这两数的商为负整数，则小贝赢；若这两个数的商为正数，则小晶赢．你认为该游戏公平吗？请你用画树状图或列表的方法，说明是否公平；如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平． 2．（2025·镇江·模拟）如图，甲转盘中两个扇形的面积不相等，其中小扇形的圆心角等于120°，大小扇形内分别标有数字1，2；乙转盘中四个扇形的面积相等，四个扇形内分别标有数字1，2，3，4．转动甲、乙转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所指扇形中的两个数字相加（当指针指向扇形的交线时，重新转动转盘）．若规定两个数字的和为5时小明赢，两个数字的和为4时小丽赢，则这个规定对小明、小丽两人是否公平？ 题型一 概率与统计图的综合应用题 1．（2025·仪征市·期末）转动如图所示的圆形转盘（转盘中各个扇形的面积相等），转盘停止时，指针随机指向一个扇形． 转动次数 8 24 40 80 160 获得“看电影”的次数 2 10 16 28 60 （1）转动一次指向“零食”的概率为　　，“文具”所占的圆心角度数总和为　　； （2）将扇形上的文字项目重新填写，在八个面上分别写上“看电影”“打篮球”“唱歌”三种项目，经过多次转动后得到数据见上面表格，根据表格估算： ①八个扇形中写有“看电影”的面数为　　； ②转动转盘800次，估计转得“看电影”的次数约为　　次． 1．（2024·丹徒区·期末）一只不透明袋子中，装有红球、黄球、蓝球、白球若干（数量见下表），这些球除颜外都相同． 颜色 红 黄 蓝 白 数量/个 300 200 90 10 （1）搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是　　； （2）搅匀后先任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球． ①如何求两次都摸到红球的概率呢？ 【解决问题】小明设计了一个转盘（将转盘二等分），如图1，显然，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在标有“红球”区域的概率为.小明利用这个转盘，任意转动转盘2次，从而解决了上面的问题，即两次都摸到红球的概率为　　； ②如何求两次都摸到黄球的概率呢？请在图2中设计一个转盘（画出示意图）； ③猜想：摸到的球恰好是1个红球和1个黄球的概率为　　． 请在图3中设计一个转盘（画出示意图），并通过将这个转盘任意转动2次，用画树状图或列表的方法计算概率，验证你的猜想； ④摸到的球恰好是1个蓝球和1个白球的概率为　　（直接写出结果）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3 等可能条件下的概率（二） 题型一 按份数求概率 1．（2024·扬中市·期末）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：由题意可知：正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形， 其中阴影部分的面积为3个面积相等的三角形， ∴指针落在阴影部分的概率是． 故选：C． 2．（2025·姑苏区·一模）如图，飞镖游戏板由9个全等的小正方形组成，任意向飞镖游戏板投掷飞镖一次，则飞镖击中阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：∵镖游戏板由9个全等的小正方形组成，阴影部分占5块， ∴任意向飞镖游戏板投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率为． 故选：C． 3．（2025·东台市·一模）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形区域，并涂上了相应的颜色，转动转盘，转盘停止后，指针指向黄色区域的概率是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：∵转盘被等分成6个扇形区域，而黄色区域占其中的一个， ∴指针指向黄色区域的概率． 故选：A． 4．（2024·常州·期末）如图，每个小三角形都是全等的等边三角形．若在图中任取一点，则该点取自阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：∵每个小三角形都是全等的等边三角形， ∴设小三角形的面积为a，则大三角形的面积为16a，阴影部分的面积为4a， ∴若在图中任取一点，则该点取自阴影部分的概率是． 故选：C． 5．（2025·工业园区·校级模拟）以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率最小，则对应的转盘是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：A选项中指针落在阴影区域的概率； B选项中指针落在阴影区域的概率； C选项中指针落在阴影区域的概率； D选项中指针落在阴影区域的概率； ∵， ∴B选项中指针落在阴影区域的概率最小． 故选：B． 6．（2024·响水县·期末）如图所示，转盘被等分成五个扇形，并在上面依次写上数字1、2、3、4、5，若自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区域的概率是　　． 【详解】解：由题意可得：转盘被等分成五个扇形，并在上面依次写上数字1、2、3、4、5， 有3个扇形上是奇数， ∴自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区的概率是． 故答案为：． 题型二 按圆心角度数求概率 1．（2024·射阳县·校级期中）某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：∵阴影部分占36°， ∴阴影部分占整个圆面积的：， ∴该顾客获奖的概率为． 故选：D． 2．（2023·天宁区·校级期中）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被涂成蓝、红两种颜色，任意转动转盘一次，则P（蓝）表示指针停留在蓝色区域的可能性，P（红）表示指针停留在红色区域的可能性，则P（蓝）　　P（红）．（填“＞”“＜”或“＝”） 【详解】解：由题意可得：红色区域的圆心角为120°，则蓝色区域的圆心角为360°﹣120°＝240°， ∴P（蓝），P（红）， ∴P（蓝）＞P（红）． 故答案为：＞． 3．（2024·苏州·期末）如图，一个游戏转盘有红色、黄色、蓝色三个部分，若红色部分扇形的圆心角度数为210°，黄色部分扇形的圆心角度数为90°．转动转盘，停止后指针落在蓝色区域的概率是　　． 【详解】解：∵蓝色部分所在的圆心角的度数为：360°﹣210°﹣90°＝60°， ∴转动转盘，停止后指针落在蓝色区域的概率为． 故答案为：． 4．（2024·响水县·期末）某商场今年国庆节期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品可参与转盘抽奖．如图，转盘分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“B”所在的区域内，则顾客中奖（转到公共线位置时重转）．若某顾客转动1次转盘，求其中奖的概率． 【详解】解：由图可知：字母“B”所在的区域的圆心角度数为360°﹣（60°+135°+90°）＝75°， ∴当转盘停止转动后，指针落在字母“B”所在区域内的概率是，即中奖的概率是． 题型三 先转化，再按份数求概率 1．（2024·工业园区·校级月考）如果小球在如图所示的图案上（去掉颜色的图案是中心对称图形也是轴对称图形）自由地滚动，并随机停留在某处，那么小球最终停留在灰色图案上的概率是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：由图可知：灰色图案的面积是总面积的一半， ∴小球最终停留在灰色图案上的概率是． 故选：C． 2．（2025·徐州·模拟）如图，若随机向8×8正方形网格内投针，则针尖落在阴影部分的概率为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：∵S总＝8×8＝64，由平移可得：S阴影＝5×5＝25， ∴针尖落在阴影部分的概率为． 故选：D． 3．（2025·吴中区·校级二模）⊂如果小球在如图所示的地板上自由的滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是　　． 【详解】解：∵总面积为16个小正方形的面积， 阴影部分的面积为4个由两个小正方形组成的长方形的一半， ∴阴影部分的面积为4个小正方形的面积， ∴小球停留在阴影区域的概率是． 故答案为：． 4．（2024·高新区·一模）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF、GH过点O，且点E，H在边AB上，点G，F在边CD上，向▱ABCD内部投掷飞镖（每次均落在▱ABCD内，且落在▱ABCD内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为　　． 【详解】解：由题意可知：△OEH和△OFG关于点O中心对称， ∴S△OEH＝S△OFG， ∴S阴影部分＝S△AOBS平行四边形ABCD， ∴飞镖恰好落在阴影区域的概率． 故答案为：． 5．（2024·太仓市·期末）如图，正六边形ABCDEF飞镖游戏板，对角线AD，CF相交于点O．假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中各区域的边界线或没有投中游戏板，则重投1次），现向该游戏板随机投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影区域的概率是　　． 【详解】解：如图，连接BE， 由正六边形的性质可知：图中所有小三角形的面积都相等， ∴任意投掷飞镖一次，飞镖投中阴影部分的概率为． 故答案为：． 6．（2025·宝应县·期末）如图，飞镖游戏中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，击中　　的小正方形的概率较大（填“黑色”或“白色”）． 【详解】解：∵共有36个小正方形，其中黑色正方形的有16个，白色正方形有20个， ∴任意投掷飞镖一次，刚好击中黑色小正方形的概率是， 任意投掷飞镖一次，刚好击中白色小正方形的概率是， ∵， ∴击中白色的小正方形的概率较大． 故答案为：白色． 题型四 先计算面积，再求概率 1．（2024·徐州·中考）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘ABCD内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：如图， 设AB＝2a，则圆的直径为2a， ∴小正方形的边长为， ∴飞镖落在阴影区域的概率为：． 故选：C． 2．（2025·建湖县·期中）如图，△ABC的面积为10cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP，垂足为P，连接CP，若三角形内有一点M，则点M落在△BPC内（包括边界）的概率为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：如图，延长AP交BC于E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠EPB＝90°， 在△ABP和△EBP中， ， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝PE， ∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP， ∴， ∴点M落在△BPC内（包括边界）的概率为：． 故选：A． 3．（2025·张家港市·校级期中）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是AO的中点．过点C作CE⊥AO交于点E，过点E作ED⊥OB，垂足为点D．在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：设⊙O的半径为r， ∵CE⊥AO， ∴∠OCE＝90°， ∵点C是AO的中点， ∴OCOAOE， 在Rt△OCE中，∵cos∠COE， ∴∠COE＝60°， ∴∠BOE＝∠AOB﹣∠COE＝30°， ∵ED⊥OB， ∴∠ODE＝90°， ∵∠COD＝∠OCE＝90°， ∴四边形OCED为矩形， ∴S△OCE＝S△ODE， ∴阴影部分的面积＝S扇形BOE， ∴点P落在阴影部分的概率． 故选：B． 4．（2024·丹徒·区期末）已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝3，在矩形ABCD内任取一点O，连接OA、OB，如果矩形ABCD内每一点被取到的可能性都相同，则△OAB是锐角三角形的概率为　　（结果保留π）． 【详解】解：如图， ∵∠AOB＜90°，AB＝2， ∴点O落在如图所示以AB为直径的半圆外， ∵半圆的面积为π×12π，矩形ABCD的面积是2×3＝6， ∴△OAB是锐角三角形的概率1π． 故答案为：1π． 5．（2025·工业园区·校级月考）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为　　． 【详解】解：如图， 由题意可知：AB＝CD＝5，BC＝9， ∴S大正方形＝AC2＝AB2+BC2＝106，BD＝BC﹣CD＝9﹣5＝4， ∴中间小正方形的面积为4×4＝16，小正方形的外阴影部分的4S△ABD＝44×5＝40， ∴阴影部分的面积为16+40＝56， ∴针尖落在阴影区域的概率为． 故答案为：． 6．（2024·吴江区·期中）如图，在一不规则区域内，有一边长为3米的正方形，向区域内随机地撒4000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆有1350颗，以此实验数据为依据，可以估计出该不规则图形的面积． （1）随机向不规则区域内掷一粒黄豆，求黄豆落在正方形区域内（含边界）的概率； （2）请你估计出该不规则图形的面积； 【详解】解：（1）记“黄豆落在正方形区域内”为事件A， ∴P（A）， ∴黄豆落在正方形区域内（含边界）的概率为； （2）∵P， ∵正方形面积等于27， ∴不规则图形面积为80平方米． 题型五 表格法或树状图法求概率（转盘问题） 1．（2023·崇川区·开学）学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小李同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：画树状图如下： ∵共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况， ∴小李同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是． 故选：A． 2．（2025·梁溪区·三模）如图所示，转盘被等分成四个扇形区域，并分别标有数字﹣1，0，，π．随机转动转盘两次，转盘停止后指针所指区域的数字都是有理数的概率是（指针固定向上，当指针恰好指在分界线上时按指针左侧相邻区域算）（　　） A． B． C． D． 【详解】解：画树状图如下： ∵共有16种等可能的结果，两个数字都是有理数的有4种情况， ∴两个数字都是有理数的概率是． 故选：B． 3．（2025·徐州·中考）如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母，转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次． （1）转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为　　； （2）转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率． 【详解】解：（1）转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，其中转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的结果有2种， ∴转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为． 4．（2025·姜堰区·二模）如图，是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）． （1）任意转动转盘1次，指针指向红色区域的概率是　　． （2）任意转动转盘2次，用树状图或列表法求指针2次都指向红色区域的概率． 【详解】解：（1）∵转盘分成4个大小相同的扇形，其中红色的扇形有2个， ∴任意转动转盘1次，指针指向红色区域的概率是， 故答案为：； （2）列表如下： 红 红 黄 蓝 红 （红，红） （红，红） （红，黄） （红，蓝） 红 （红，红） （红，红） （红，黄） （红，蓝） 黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄） （黄，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝） ∵共有16种等可能的结果，其中指针2次都指向红色区域的结果有4个， ∴指针2次都指向红色区域的概率为． 5．（2025·靖江市·校级月考）如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是﹣6，﹣1，8，转盘乙上的数字分别是﹣4，5，7（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）． （1）单独转动转盘甲，转盘甲指针指向正数的概率是　　． （2）若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为a，作为点M的横坐标，转盘乙指针所指的数字记为b，作为点M的纵坐标，请用列表法或树状图法求平面内点M落在第二象限内的概率． 【详解】解：（1）∵转盘甲被等分为3份，其中1份标有正数， ∴转动转盘甲1次，指针指向正数的概率是， 故答案为：； （2）列表如下： a b ﹣6 ﹣1 8 ﹣4 （﹣6，﹣4） （﹣1，﹣4） （8，﹣4） 5 （﹣6，5） （﹣1，5） （8，5） 7 （﹣6，7） （﹣1，7） （8，7） ∵共有9种可能出现的结果，其中平面内点M落在第二象限内的有4种， ∴同时转动两个转盘，平面内点M落在第二象限内的概率为． 6．（2025·沭阳县·三模）某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域里分别标有“10元”，“20元”，“30元”，“40元”的字样（如图）．规定：同一天内，顾客在本商场消费每满100元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额给顾客相应数额的购物券． （1）若顾客有一次转动转盘的机会，他所获购物券为10元的概率是　　； （2）某顾客当天消费260元，转了两次转盘，请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于50元的概率． 【详解】解：（1）由题意可知：共有4种等可能的结果，其中他所获购物券为10元的结果有1种， ∴他所获购物券为10元的概率为， 故答案为：． （2）列表如下： 10元 20元 30元 40元 10元 （10元，10元） （10元，20元） （10元，30元） （10元，40元） 20元 （20元，10元） （20元，20元） （20元，30元） （20元，40元） 30元 （30元，10元） （30元，20元） （30元，30元） （30元，40元） 40元 （40元，10元） （40元，20元） （40元，30元） （40元，40元） ∵共有16种等可能的结果，其中该顾客所获购物券金额不低于50元的结果有：（10元，40元），（20元，30元），（20元，40元），（30元，20元），（30元，30元），（30元，40元），（40元，10元），（40元，20元），（40元，30元），（40元，40元），共10种， ∴该顾客所获购物券金额不低于50元的概率为． 题型六 验证游戏公平性（转盘问题） 1．（2024·沭阳县·校级月考）有两个可以自由转动的均匀转盘A，B．转盘A被平均分成4等份，分别标上﹣2，2，6，8四个数字；转盘B被平均分成3等份，分别标上﹣1，﹣2，3三个数字．自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字（指向分界线时重新转），把A转盘指的数字作为被除数，B转盘指针指的数字作为除数，计算这两个数的商．小贝和小晶用以上两个转盘做游戏，规则是：若这两数的商为负整数，则小贝赢；若这两个数的商为正数，则小晶赢．你认为该游戏公平吗？请你用画树状图或列表的方法，说明是否公平；如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平． 【详解】解：该游戏不公平，理由如下： 小贝和小晶用两个转盘做游戏，画树状图如下： ∵共有12种等可能事件，小贝赢即商是负整数的有6种等可能结果， 小晶赢即商为正数有5种等可能结果， ∴，， ∴， ∴该游戏不公平； 修改规则如下：若这两数的商为负整数，则小贝赢，否则小晶赢． 2．（2025·镇江·模拟）如图，甲转盘中两个扇形的面积不相等，其中小扇形的圆心角等于120°，大小扇形内分别标有数字1，2；乙转盘中四个扇形的面积相等，四个扇形内分别标有数字1，2，3，4．转动甲、乙转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所指扇形中的两个数字相加（当指针指向扇形的交线时，重新转动转盘）．若规定两个数字的和为5时小明赢，两个数字的和为4时小丽赢，则这个规定对小明、小丽两人是否公平？ 【详解】解：这个规定对小明、小丽两人公平， 列表如下： 1 2 2 1 2 3 3 2 3 4 4 3 4 5 5 4 5 6 6 由表可知：共有12种等可能结果，其中和为5的有3种结果，和为4的有3种结果， ∴小明赢的概率＝小丽赢的概率， ∴这个规定对小明、小丽两人公平． 题型一 概率与统计图的综合应用题 1．（2025·仪征市·期末）转动如图所示的圆形转盘（转盘中各个扇形的面积相等），转盘停止时，指针随机指向一个扇形． 转动次数 8 24 40 80 160 获得“看电影”的次数 2 10 16 28 60 （1）转动一次指向“零食”的概率为　　，“文具”所占的圆心角度数总和为　　； （2）将扇形上的文字项目重新填写，在八个面上分别写上“看电影”“打篮球”“唱歌”三种项目，经过多次转动后得到数据见上面表格，根据表格估算： ①八个扇形中写有“看电影”的面数为　　； ②转动转盘800次，估计转得“看电影”的次数约为　　次． 【详解】解：（1）由题意可知：共有8种等可能的结果，其中转动一次指向“零食”的结果有1种， ∴转动一次指向“零食”的概率为， “文具”所占的圆心角度数总和为360°135°， 故答案为：，135°； （2）①由题意可得：八个扇形中写有“看电影”的面数为83（面）， 故答案为：3面； ②800300（次）， ∴转动转盘800次，估计转得“看电影”的次数约为300次， 故答案为：300． 1．（2024·丹徒区·期末）一只不透明袋子中，装有红球、黄球、蓝球、白球若干（数量见下表），这些球除颜外都相同． 颜色 红 黄 蓝 白 数量/个 300 200 90 10 （1）搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是　　； （2）搅匀后先任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球． ①如何求两次都摸到红球的概率呢？ 【解决问题】小明设计了一个转盘（将转盘二等分），如图1，显然，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在标有“红球”区域的概率为.小明利用这个转盘，任意转动转盘2次，从而解决了上面的问题，即两次都摸到红球的概率为　　； ②如何求两次都摸到黄球的概率呢？请在图2中设计一个转盘（画出示意图）； ③猜想：摸到的球恰好是1个红球和1个黄球的概率为　　． 请在图3中设计一个转盘（画出示意图），并通过将这个转盘任意转动2次，用画树状图或列表的方法计算概率，验证你的猜想； ④摸到的球恰好是1个蓝球和1个白球的概率为　　（直接写出结果）． 【详解】解：（1）p， 故答案为：； （2）①列表法如图： ∴p， 故答案为：； ②摸一次黄球的概率p， 示意图如下： ③猜想：， 证明：列表如下： ∴P， 故答案为：； ④参考上述方法，将一个圆分成60份，其中红色占30份，黄色占20份，蓝色占9份，白色占1份， ∴等可能事件共有60×60＝3600（种），其中一蓝一白的事件有9+9＝18（种）， ∴p， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$