4.3 四分位数和箱线图&4.4 数据的离散程度（题型专练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 本练习围绕四分位数、箱线图、方差、极差，分层设计从基础计算到综合应用，巩固数据描述与分析能力，体现数学眼光（数据抽象）、思维（逻辑推理）与语言（数据表达）的核心素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|四分位数计算、方差公式|选择题（如求第三四分位数）强化概念理解| |技能应用|箱线图绘制、方差计算|结合表格数据（如足球队服尺码）训练操作技能| |综合拓展|数据稳定性分析、实际决策|联系生活情境（外卖软件超时分析、学生成绩比较）培养数据分析与决策能力|

4.3 四分位数和箱线图&4.4 数据的离散程度 题型一 求四分位数 1．某校在第4届读书节活动中，八年级组织“经典咏传诵”比赛活动，参赛的6个队伍积分分别为95，84，91，90，88，85，则这组数据的（第三四分位数）是（     ） A．89 B．85 C．91 D．88 2．2026年“闽超杯”福建省城市足球联赛正如火如荼进行，某市参赛足球队22名队员的队服尺码统计如下，其下四分位数是（    ） 队服尺码（cm） 170 175 180 185 190 对应人数（人） 2 7 6 4 3 A．185 B．180 C．175 D．170 3．为了解我市入夏后气温变化情况，小明同学调查了月份每天的平均气温情况，并将数据进行统计分析，绘制成箱线图，则下列说法正确的是(     ) A．这组数据的第一四分位数是 B．这组数据的第三四分位数是 C．这组数据的中位数是 D．这组数据的最小值是，最大值是 4．某外卖平台为提高送外卖的效率，计划购买一款外卖导航．现有两家软件开发公司提供试用版的（简称“A软件”“B软件”），试用一段时间后，该外卖平台工作人员发现准点率基本相同，又从试用软件的超时订单中分别随机抽取60单进行统计，制作了使用A软件时超时时间的频数分布直方图（如图1）、使用软件超时时间的箱线图（如图2）． (1)根据图1的信息，估计使用A软件的超时订单中，超时时间的平均数； (2)该外卖平台后台数据显示，当超时超过7分钟，订单被用户投诉，差评的可能性大大增加，你建议该外卖平台选择哪个软件？并说明理由． 题型二 箱线图 1．甲、乙两家汽车零售店各9名销售人员10月份销售的汽车数量（单位：辆）如下： 甲公司： 13 4 2 10 2 8 11 7 14 乙公司： 8 5 3 11 9 12 8 7 9 (1)求甲公司汽车销量的四分位数； (2)根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙公司的箱线图，请在该图中绘制出甲公司的箱线图； 2．甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)直接写出甲组成绩的四分位数； (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)根据箱线图和四分位数可知甲组成绩的中位数和乙组 （填“相同”或“不相同”），但甲组成绩明显比乙组的波动 （填“大”或“小”）． 3．2026年3月16日，快舟十一号遥七运载火箭在酒泉卫星发射中心发射升空，将钧天一号卫星，东坡、、卫星，驭星三号、星，微瞳一号01星，西光壹号06星等8颗卫星顺利送入预定轨道，飞行试验任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）： 七年级：； 八年级：． 七、八年级抽取的学生的成绩分析表 年级 平均数 上四分位数 众数 七年级 85.5 70 八年级 (1)上述表中， ， ， ， ． (2)补全七年级的箱线图． (3)请结合七、八年级成绩分析，为学校提出进一步培养学生科学精神与理性思维的合理建议． 4．为了解某校八年级一班和二班学生的一分钟跳绳水平，现从两个班中各随机抽取8名学生的跳绳成绩（单位：次）进行统计分析，数据如下： 一班：155  165  165  175  177  180  182  190 二班：168  170  172  172  176  178  180  185 (1)计算八年级一班跳绳成绩的四分位数； (2)请画出八年级一班学生跳绳成绩的箱线图，并通过对比两个班级的箱线图，判断哪个班级的学生跳绳成绩更集中、更稳定． 题型三 方差 1．若一组数据的方差是3，则数据的方差是（    ） A．3 B．5 C．6 D．11 2．甲同学根据公式计算出了下列结论，乙同学说有一个结论是错误的，则错误的结论是（     ） A． B． C．众数为3 D．中位数为3 3．一组数据方差为4，若将每个数据都乘以2，新数据方差为________． 4．为了了解甲、乙两名同学近期数学学习的稳定性，老师调取了他们最近次数学单元测验的成绩（单位：分），具体数据如下表所示： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 乙 (1)根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是________分，乙的平均成绩是________分； (2)分别计算甲、乙两名同学次测验成绩的方差； (3)如果只能推荐一名同学去参加市级数学竞赛，你认为应该推荐哪位同学？请结合前两问的计算结果说明理由． 题型四 极差 1．去年的“植树节”时，文德中学八（1）班6个小组的植树棵数分别是：5，7，3，x，6，4．已知这组数据的众数是5棵，则该组数据的极差是（     ） A．5 B．4 C．3 D． 2．一组数据的极差是3，则另一组数据的极差是（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 3．一组数据：，，，，．这组数据的极差是________． 4．某校在八年级开展环保知识问卷调查活动，问卷一共道题，每一道题分，总分分，八年级（三）班的问卷得分情况统计图如下图所示： (1)扇形统计图中，_______； (2)根据以上统计图中的信息，问卷得分的极差是_______分，问卷得分的众数是______分，问卷得分的中位数是_______分； (3)请你求出该班同学的平均分． 题型一 利用方差判断稳定性 1．技术员分别从甲、乙两块地中随机抽取1000株麦苗，测得苗高的平均数相同，方差分别为，，检测结果是甲地小麦比乙地小麦长得整齐，则的值可能是（     ） A．16 B．15 C．14 D．13 2．如图是甲、乙两家快递公司一周的业务量的折线统计图．观察图形，若甲、乙两家公司这一周的业务量的方差分别是和，则__________（填“>”，“<”或“=”），可知业务量更稳定的是__________（填“甲”或“乙”）． 3．为了丰富校园文化生活，展示学生艺术风采，某中学举办了一场“校园十佳歌手”的初赛，比赛设定满分为分，参赛学生的成绩均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩（单位：分）： 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6 乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5 根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下统计表： 组别 平均数 中位数 众数 甲组 乙组 (1)在以上成绩统计表中， ， ． (2)通过计算说明，哪组队员发挥的更加稳定？ (3)小瑜推荐乙组队员参赛，你认为她的理由可能是什么？ 4．每年4月15日为全民国家安全教育日．某校为增强学生国家安全意识，组织七、八年级学生进行相关知识竞赛．从七、八年级学生的竞赛成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析． 【信息1】七、八年级抽取的学生竞赛成绩 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，92，94，95，96 【信息2】七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计表 统计量 平均数 众数 中位数 方差 七年级 85.5 90 154.6 八年级 87 92 62.8 【信息3】七、八年级抽取的学生竞赛成绩的箱线图 根据以上信息，回答下列问题： (1)________，________； (2)写出八年级抽取的学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，补全八年级的箱线图； (3)你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由． 1．在发生某公共卫生事件期间，某专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是：“连续14天，每天新增疑似病例不超过7人”．已知在过去14天，甲、乙两地新增疑似病例数据信息如下： 甲地：总体平均数为2，方差为2； 乙地：中位数为3，众数为4和5． 请你运用统计知识对数据分析并判断：甲、乙两地是否会发生大规模群体感染？请说明理由． （方差公式：） 2．某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下． 甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙组92，93，70，88，82，75，，80，，95．（，且，为正整数） 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 乙 80 90 93 (1)根据甲组数据，求，，． (2)观察图中乙组比赛成绩的箱线图求，． 3．立定跳远是一项集弹跳、爆发力、身体协调性和技术等于一体的体育运动，其等级评价表如下： 立定跳远等级 男生成绩 女生成绩 优秀 良好 及格 不及格 【收集数据】某校为调查八年级男生的立定跳远水平，在该年级中随机抽取了20名男生立定跳远的成绩（单位：），数据收集如下： 235 210 210 228 205 241 203 210 232 162 223 225 208 165 238 212 236 167 220 210 【整理数据】将以上数据进行整理： 成绩 立定跳远等级 人数 百分比 优秀 6 良好 及格 不及格 3 【描述数据】根据整理的数据绘制如下统计图： 【分析数据】根据上述图表，计算平均数、中位数、众数、方差、四分位数如下： 平均数 中位数 众数 方差 四分位数 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 212 211 210 206.5 211 请根据以上图表中的信息，完成下列问题： (1)______，______，______，______； (2)补全条形图和扇形图； (3)______，______； (4)若八年级男生共有180人，估计八年级男生立定跳远等级为优秀的有多少人？ (5)对于样本中的20个立定跳远成绩数据，有人认为根据组内离差平方和最小原则，分组数越多越好，也有人认为分组数不宜过多．请结合统计学知识，谈谈你的看法，并说明在本题中分为几组更合适，理由是什么． 4．福州本土生鲜超市日渐增多，配送服务遍布全城．各大生鲜超市为提升同城配货效率，设立分拣、扫码、称重、打包四道连续工序作为全套流程，完成四道工序用时越少说明员工的业务水平越好．现对甲、乙、丙三家超市每超市名员工进行调研． 【数据统计】 数据随机抽取乙组名员工单人完成全套流程的用时（单位：分钟） 、、、、、、、、、 数据甲、乙、丙三家超市员工全套流程用时绘制了箱线图如下： (1)根据数据，箱线图中的值为________；比较三家超市完成全套工序耗时的集中趋势或离散程度，不难发现：________超市员工完成全套工序业务水平整体最好，________超市员工完成全套工序耗时离散程度最小．（填“甲”、“乙”或“丙”） (2)【深度分析】 为了让顾客更快收到货品，缩短出货耗时，各大超市都在努力提升超市配货效率．丙超市安排名员工采用流水接力作业模式，即每个员工负责一道工序并交接给下一个员工．默契的工序衔接，能省去每道工序单独启动准备的时间，因此四人流水接力总耗时，少于四道工序单独由一人完成所耗时之和．在员工训练过程中，店长发现平均每次交接工序节约时间（单位：分钟）与交接工序训练时长（单位：小时）满足一次函数关系（其中），已知当时，；当时，，并且道工序流水作业总用时满足此公式：名员工完成全套工序流水接力作业用时总和一名员工单独完成四项工序用时三次交接总节约时间． ①求关于的函数表达式； ②已知丙超市的A仓库一名员工单独完成四道工序用时为分钟，则该仓库名员工完成全套工序流水作业用时总和（单位：分钟）与交接工序训练时长（单位：小时）之间的函数表达式为______________；（化简为的形式） ③丙超市B仓库一名员工单独完成四项工序用时比丙超市C仓库快7分钟，但由于员工培训时间太少，导致B仓库四名员工流水接力完成全套用时却比C仓库的流水接力用时慢分钟，且两个仓库的交接工序训练时长之和为小时．求B仓库交接工序训练时长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 四分位数和箱线图&4.4 数据的离散程度 题型一 求四分位数 1．某校在第4届读书节活动中，八年级组织“经典咏传诵”比赛活动，参赛的6个队伍积分分别为95，84，91，90，88，85，则这组数据的（第三四分位数）是（     ） A．89 B．85 C．91 D．88 【答案】C 【详解】解法一：首先，将这组数据从小到大排列，得： 数据个数 ∵ 计算第三四分位数位置 根据分位数计算规则，若不是整数，取大于的最小整数对应位置的数据为所求分位数 ∴ 大于的最小整数是，排列后第个数据为 即这组数据的第三四分位数是． 解法二：首先，将这组数据从小到大排列，得： 数据个数 ∴第三四分位为后三个数据的中位数， ∴这组数据的第三四分位数是． 2．2026年“闽超杯”福建省城市足球联赛正如火如荼进行，某市参赛足球队22名队员的队服尺码统计如下，其下四分位数是（    ） 队服尺码（cm） 170 175 180 185 190 对应人数（人） 2 7 6 4 3 A．185 B．180 C．175 D．170 【答案】C 【详解】解：方法一：∵总共有个数据，下四分位数对应分位数， ∴下四分位数位置， ∵不是整数， ∴根据规则向上取整，得下四分位数是排序后的第个数据， 将数据从小到大排列，前个数据为，接下来个数据为，即第到第个数据都是， ∴第个数据为， 即下四分位数为； 方法二：∵总共有个数据， ∴前半部分共个数据，，向上取整为6， ∴前半部分的中位数为第6个数据， 将数据从小到大排列，前个数据为，接下来个数据为，即第到第个数据都是， ∴第个数据为， 即下四分位数为． 3．为了解我市入夏后气温变化情况，小明同学调查了月份每天的平均气温情况，并将数据进行统计分析，绘制成箱线图，则下列说法正确的是(     ) A．这组数据的第一四分位数是 B．这组数据的第三四分位数是 C．这组数据的中位数是 D．这组数据的最小值是，最大值是 【答案】D 【详解】解：由箱线图可知，这组数据的第一四分位数是，A选项错误； 这组数据的第三四分位数是，B选项错误； 这组数据的中位数是，C选项错误； 这组数据的最小值是，最大值是，D选项正确． 4．某外卖平台为提高送外卖的效率，计划购买一款外卖导航．现有两家软件开发公司提供试用版的（简称“A软件”“B软件”），试用一段时间后，该外卖平台工作人员发现准点率基本相同，又从试用软件的超时订单中分别随机抽取60单进行统计，制作了使用A软件时超时时间的频数分布直方图（如图1）、使用软件超时时间的箱线图（如图2）． (1)根据图1的信息，估计使用A软件的超时订单中，超时时间的平均数； (2)该外卖平台后台数据显示，当超时超过7分钟，订单被用户投诉，差评的可能性大大增加，你建议该外卖平台选择哪个软件？并说明理由． 【答案】(1)分钟；（2）选B软件 【详解】（1）解：A软件超时时间平均数为：（分钟） （2）箱线图对比：A 软件极差、四分位距都大于 B 软件，B 软件超时时间分布更集中，极端长时间超时更少，配送时效更稳定， 则选B软件 题型二 箱线图 1．甲、乙两家汽车零售店各9名销售人员10月份销售的汽车数量（单位：辆）如下： 甲公司： 13 4 2 10 2 8 11 7 14 乙公司： 8 5 3 11 9 12 8 7 9 (1)求甲公司汽车销量的四分位数； (2)根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙公司的箱线图，请在该图中绘制出甲公司的箱线图； 【答案】(1)，，或，，；(2)图略 【详解】（1）解：解法一：共有9个数据，按从小到大排列为2 ，2 ，4 ， 7  ，8  ，10 ， 11  ，13，  14， 销售汽车数量最小值为2，最大值为14，中位数为8， ∴，，    ； 解法二：共有9个数据，按从小到大排列为2 ，2 ，4 ， 7  ，8  ，10 ， 11  ，13，  14， 销售汽车数量最小值为2，最大值为14，中位数为8， ∵， ∴第一四分位数为第3个数，即， ∵， ∴第三四分位数为第7个数，即， ∴，，； （2） 2．甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)直接写出甲组成绩的四分位数； (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)根据箱线图和四分位数可知甲组成绩的中位数和乙组 （填“相同”或“不相同”），但甲组成绩明显比乙组的波动 （填“大”或“小”）． 【答案】(1)，，；（2）图略；(3)相同，大 【详解】（1）解：（解法一）甲组成绩从小到大排序为：，共10个数据， 第二四分位数为中位数，为，即， 第一四分位数为前5个数的中位数，为70，即， 第三四分位数为后5个数的中位数，为96，即， 故甲组成绩的四分位数，，； （解法二）甲组成绩从小到大排序为：，共10个数据， ∵， ∴第一四分位数为第3个数，即， ∵， ∴第二四分位数为第5个数与第6个数的平均数，，即， ∵， ∴第三四分位数为第8个数，即， 故甲组成绩的四分位数，，； （2）解：甲组成绩从小到大排序为：， 其中最小值为60，最大值为100， 四分位数为，，， ； （3）解：由箱线图可知，甲组成绩的中位数和乙组成绩的中位数相同，均为90， 由箱线图可知，乙组成绩的箱线图更短，成绩更集中，且波动小，故甲组成绩明显比乙组的波动大． 3．2026年3月16日，快舟十一号遥七运载火箭在酒泉卫星发射中心发射升空，将钧天一号卫星，东坡、、卫星，驭星三号、星，微瞳一号01星，西光壹号06星等8颗卫星顺利送入预定轨道，飞行试验任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）： 七年级：； 八年级：． 七、八年级抽取的学生的成绩分析表 年级 平均数 上四分位数 众数 七年级 85.5 70 八年级 (1)上述表中， ， ， ， ． (2)补全七年级的箱线图． (3)请结合七、八年级成绩分析，为学校提出进一步培养学生科学精神与理性思维的合理建议． 【答案】(1)96，93，93，87(2)图略；(3)见解析 【详解】（1）解：八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 平均数，即； 八年级成绩中，93出现2次，故众数为93，即； （解法一）七年级成绩从小到大排序：，共12个数据， 中位数为， 上四分位数是后半部分的中位数，，即； （解法二）七年级成绩从小到大排序：，共12个数据， 由，可知上四分位数为第9个数据与第10个数据的平均数， 上四分位数为，即； （解法一）八年级成绩从小到大排序：，共12个数据， 中位数为， 上四分位数是后半部分的中位数，，即； （解法二）八年级成绩从小到大排序：，共12个数据， 由，可知上四分位数为第9个数据与第10个数据的平均数， 上四分位数为，即； 综上，，，，． （2） （3）由箱线图可知， 七年级成绩的中位数和八年级成绩的中位数相同，均为90； 七年级特点：极差较大，箱线图更长，说明七年级学生大部分学生成绩离散，波动强，成绩两极分化明显； 八年级特点：极差更小，箱线图更短，成绩集中度更高，低分学生更少，基础底线优于七年级；但顶尖高分人数少于七年级，高分突破能力偏弱； 故对七年级分层教学缩小成绩差距，同时保持对尖子生的培养； 八年级在夯实基础的同时，增设拓展探究项目拔高上限，借助实践活动整体培育学生理性思维与科学精神． 4．为了解某校八年级一班和二班学生的一分钟跳绳水平，现从两个班中各随机抽取8名学生的跳绳成绩（单位：次）进行统计分析，数据如下： 一班：155  165  165  175  177  180  182  190 二班：168  170  172  172  176  178  180  185 (1)计算八年级一班跳绳成绩的四分位数； (2)请画出八年级一班学生跳绳成绩的箱线图，并通过对比两个班级的箱线图，判断哪个班级的学生跳绳成绩更集中、更稳定． 【答案】(1)，，；(2)八年级一班学生跳绳成绩的箱线图 【详解】（1）解：中位数是第4、5个数的平均值： ， 下四分位数取前半段数据：155，165，165，175，为第2、3个数的平均值： ， 上四分位数取后半段数据：177，180，182，190，为第6、7个数的平均值： ， 所以一班四分位数：，，； 方法二： 下四分位数：位置， ，， ； 中位数：位置，，， ； 上四分位数：位置，，， ； （2） 由箱线图可知八年级一班箱体和须线比八年二班的长， 说明八年级一班的数据相对于八年级二班来说，更为分散，数据波动更大， 因此八年级二班的学生跳绳成绩更集中、更稳定． 题型三 方差 1．若一组数据的方差是3，则数据的方差是（    ） A．3 B．5 C．6 D．11 【答案】A 【详解】解：设原数据的平均数为． ∵原数据方差为3， ∴． 新数据的平均数为， 新数据的方差为 ． 2．甲同学根据公式计算出了下列结论，乙同学说有一个结论是错误的，则错误的结论是（     ） A． B． C．众数为3 D．中位数为3 【答案】A 【详解】解：由给出的方差公式可知，这组数据的平均数为，数据总个数， ∵ 平均数满足， ∴ ，故B结论正确； 将数据从小到大排序为， ∵ 出现次数最多， ∴ 众数为，故C结论正确； ∵ 个数据的中位数是排序后的第个数， ∴ 中位数为，故D结论正确； 计算方差得：，故A结论错误． 综上，故选A． 3．一组数据方差为4，若将每个数据都乘以2，新数据方差为________． 【答案】16 【详解】解：设原数据为，原数据的平均数为，原方差为， 由题意得 将每个数据乘以后，新数据为 新数据的平均数 新数据的方差 ． 4．为了了解甲、乙两名同学近期数学学习的稳定性，老师调取了他们最近次数学单元测验的成绩（单位：分），具体数据如下表所示： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 乙 (1)根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是________分，乙的平均成绩是________分； (2)分别计算甲、乙两名同学次测验成绩的方差； (3)如果只能推荐一名同学去参加市级数学竞赛，你认为应该推荐哪位同学？请结合前两问的计算结果说明理由． 【答案】(1)，；(2)甲的方差为，乙的方差为；(3)甲同学 【详解】（1）甲的平均成绩是分， 乙的平均成绩是分； （2）， ． （3）推荐甲同学，理由：因为甲、乙两名同学的平均成绩相同（都是90分），但甲的方差（2）远远小于乙的方差（50）．方差越小，数据的波动越小，说明甲同学的数学成绩更加稳定，发挥更可靠，所以推荐甲同学． 题型四 极差 1．去年的“植树节”时，文德中学八（1）班6个小组的植树棵数分别是：5，7，3，x，6，4．已知这组数据的众数是5棵，则该组数据的极差是（     ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】B 【详解】解：∵这组数据的众数是5， ∴， ∴极差为：． 2．一组数据的极差是3，则另一组数据的极差是（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【详解】解：一组数据的极差是3，不妨设第p个数据最大，第q个数据最小，则， 则在另一组数据中最大值一定是第p个数据，最小值一定是第q个数据， 则极差为． 故选：A． 3．一组数据：，，，，．这组数据的极差是________． 【答案】 【详解】解：这组数据的最大值为，最小值为，因此极差为. 4．某校在八年级开展环保知识问卷调查活动，问卷一共道题，每一道题分，总分分，八年级（三）班的问卷得分情况统计图如下图所示： (1)扇形统计图中，_______； (2)根据以上统计图中的信息，问卷得分的极差是_______分，问卷得分的众数是______分，问卷得分的中位数是_______分； (3)请你求出该班同学的平均分． 【答案】(1)；(2)，，；(3)． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：问卷得分的极差是（分），众数是分， 总人数为（人），分人数为（人），分的人数为（人）， ∴这组数据的第个数据均为分， ∴中位数是（分）， 故答案为：，，； （3）解：（分）， 答：该班同学的平均分为分． 题型一 利用方差判断稳定性 1．技术员分别从甲、乙两块地中随机抽取1000株麦苗，测得苗高的平均数相同，方差分别为，，检测结果是甲地小麦比乙地小麦长得整齐，则的值可能是（     ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】D 【详解】解：∵甲地小麦比乙地小麦长得整齐， ∴， ∵，， ∴， 四个选项中只有13满足． 2．如图是甲、乙两家快递公司一周的业务量的折线统计图．观察图形，若甲、乙两家公司这一周的业务量的方差分别是和，则__________（填“>”，“<”或“=”），可知业务量更稳定的是__________（填“甲”或“乙”）． 【答案】 乙 【详解】解：由折线统计图可知，甲公司业务量的折线起伏较大，数据波动较大，乙公司业务量的折线起伏较小，数据波动较小． 因为方差是用来衡量一组数据波动大小的量，数据波动越大，方差越大，数据波动越小，方差越小． 所以． 因为乙公司业务量的方差较小，所以乙公司的业务量更稳定． 3．为了丰富校园文化生活，展示学生艺术风采，某中学举办了一场“校园十佳歌手”的初赛，比赛设定满分为分，参赛学生的成绩均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩（单位：分）： 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6 乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5 根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下统计表： 组别 平均数 中位数 众数 甲组 乙组 (1)在以上成绩统计表中， ， ． (2)通过计算说明，哪组队员发挥的更加稳定？ (3)小瑜推荐乙组队员参赛，你认为她的理由可能是什么？ 【答案】(1)6；6；(2)乙组队员发挥的更加稳定；(3)推荐乙组队员参赛 【详解】（1）解：方法一：乙组数据排列为5，6，6，6，7，7，7，7，9，10，，取整数，第3个数据为6，则； 方法二：前5个数据的中位数即为； 将甲组数据排列为5，6，6，6，6，6，7，9，9，10，中位数是第5、6个数据的平均数，故； （2）乙组队员发挥的更加稳定，理由如下： 甲组数据的方差为 乙组数据的方差为 因为，即乙组的方差比甲组小， 所以乙组队员发挥的更加稳定； （3）因为两组的平均数相同，但乙组的中位数比甲组高，方差比甲组小，成绩更稳定，所以推荐乙组队员参赛 4．每年4月15日为全民国家安全教育日．某校为增强学生国家安全意识，组织七、八年级学生进行相关知识竞赛．从七、八年级学生的竞赛成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析． 【信息1】七、八年级抽取的学生竞赛成绩 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，92，94，95，96 【信息2】七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计表 统计量 平均数 众数 中位数 方差 七年级 85.5 90 154.6 八年级 87 92 62.8 【信息3】七、八年级抽取的学生竞赛成绩的箱线图 根据以上信息，回答下列问题： (1)________，________； (2)写出八年级抽取的学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，补全八年级的箱线图； (3)你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由． 【答案】(1)，；(2)，；图略；(3)八年级竞赛成绩较好 【详解】（1）解：由七年级的数据可得，出现的次数最多，故众数； 八年级共12个数据，且已经从小到大排列，则中位数是第6、7个数据的平均数， 故中位数； （2）解：∵八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，92，94，95，96； 方法一：前半部分为前6个数（70，77，79，81，88,89），中位数是，则下四分位数为，后半部分数据为（91，92，92，94，95，96），中位数是，则上四分位数为； 方法二：，那么第3，4个数据的平均数即为下四分位数，即； ，那么第9，10个数据的平均数即为上四分位数，即； 八年级的数据最大值为96，最小值为70，而中位数为90， （3）理由：因为八年级的平均数大于七年级的平均数，八年级的方差小于七年级的方差，说明八年级平均分更高，成绩更稳定． 所以八年级竞赛成绩较好． 1．在发生某公共卫生事件期间，某专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是：“连续14天，每天新增疑似病例不超过7人”．已知在过去14天，甲、乙两地新增疑似病例数据信息如下： 甲地：总体平均数为2，方差为2； 乙地：中位数为3，众数为4和5． 请你运用统计知识对数据分析并判断：甲、乙两地是否会发生大规模群体感染？请说明理由． （方差公式：） 【答案】甲地不会发生大规模群体感染，乙地不会发生大规模群体感染． 【详解】解：①甲地不会发生大规模群体感染， 理由如下： 由题意可知：样本容量，平均数为，方差为， 则由方差计算公式得：， 若甲地天中存在某一天新增疑似病例超过人，则最少为人， 由于， 所以没有一天新增疑似病例超过人， 故甲地不会发生大规模群体感染； ②乙地不会发生大规模群体感染， 理由如下： 由于样本容量， 所以中位数为中间两个数（即第，个数）的平均数， 因为中位数为，众数为和． 所以第，个数可能为，或，两种情况， 且和的个数只能都是三个， 若中间两个数为和， 则前面个数只能取，，这三个数， 从而有一个数至少出现三次， 于是这个数也是众数，不合题意； 若中间两个数都是， 因为众数为和， 所以较大的六个数恰好是和各有三个， 故这个数只能是： ，，，，，，，，，，，，，， 所以乙地不会发生大规模群体感染． 2．某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下． 甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙组92，93，70，88，82，75，，80，，95．（，且，为正整数） 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 乙 80 90 93 (1)根据甲组数据，求，，． (2)观察图中乙组比赛成绩的箱线图求，． 【答案】(1)，，；(2)或93、； 【详解】（1）解：将甲组成绩从小到大排列为： 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100         第一四分位数： 法一：，向上取整为第3个数据， ∴第一四分位数，         法二：∵甲组共有10个数据，第一四分位数为前5个数据的中位数， ∴第一四分位数， 第二四分位数： 法一：，为第5个数据， ∴第二四分位数，         法二：∵甲组共有10个数据，第二四分位数为第5个和第6个数据的平均数， ∴第二四分位数， 第三四分位数： 法一：，向上取整为第8个数据， 则第三四分位数； 法一：甲组共有10个数据，第三四分位数为后5个数据的中位数， ∴第三四分位数， （2）解：乙组共10个数据，由箱线图可得：乙组成绩最小值为70，最大值为96， 由表格知，乙组第一四分位数为80，第三四分位数为93， 则将乙组成绩从小到大排列后，第3个数据为80，第8个成绩为93， 第二四分位数（中位数）为90，即排序后第5、6个数的平均数为90， 将乙组成绩（除外）从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，95，96         若在第4个位置，则中位数为，不符合题意；         若在第5个位置，则中位数为，即，由于， 不符合题意         若在第6个位置，则中位数为，即，         若在第7个位置，则中位数为，此时，         当时，乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，92，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 当时，乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 因此，或93、； 3．立定跳远是一项集弹跳、爆发力、身体协调性和技术等于一体的体育运动，其等级评价表如下： 立定跳远等级 男生成绩 女生成绩 优秀 良好 及格 不及格 【收集数据】某校为调查八年级男生的立定跳远水平，在该年级中随机抽取了20名男生立定跳远的成绩（单位：），数据收集如下： 235 210 210 228 205 241 203 210 232 162 223 225 208 165 238 212 236 167 220 210 【整理数据】将以上数据进行整理： 成绩 立定跳远等级 人数 百分比 优秀 6 良好 及格 不及格 3 【描述数据】根据整理的数据绘制如下统计图： 【分析数据】根据上述图表，计算平均数、中位数、众数、方差、四分位数如下： 平均数 中位数 众数 方差 四分位数 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 212 211 210 206.5 211 请根据以上图表中的信息，完成下列问题： (1)______，______，______，______； (2)补全条形图和扇形图； (3)______，______； (4)若八年级男生共有180人，估计八年级男生立定跳远等级为优秀的有多少人？ (5)对于样本中的20个立定跳远成绩数据，有人认为根据组内离差平方和最小原则，分组数越多越好，也有人认为分组数不宜过多．请结合统计学知识，谈谈你的看法，并说明在本题中分为几组更合适，理由是什么． 【答案】(1)8；3；；(2) 见解析；(3)；230；(4)54人(5)见解析 【详解】（1）解：由表格数据可知，的有8人，的有3人， ∴，， ∵，， ∴，； （2）解： （3）解：方差； 20个数据从小到大排列：162 165 167 203 205 208 210 210 210 210 212 220 223 225 228 232 235 236 238 241， 后十位为212 220 223 225 228 232 235 236 238 241，则第三四分位数为（取中位数计算）：， ，则第三四分位数为（取百分数计算）：， ∴； （4）解：（人）， 答：估计八年级男生立定跳远等级为优秀的有54人； （5）解：看法：分组数增加时，每个组内的数据量会变少，组内数据的相似度会提升，组内离差平方和会持续降低，但组数过多会让各组数据过于零散，无法体现立定跳远成绩的分布规律，掩盖不同水平群体的特征，还会大幅增加数据处理的冗余度，失去分组统计的实际意义； 根据这组立定跳远数据的特征，分为组‌最为合适，理由如下： 这组数据的分布存在明显的低分段（）、中低分段（）、中高分段（）、高分段（），4组可以清晰对应不同运动水平的群体，既保证每组内成绩接近、组内离差平方和足够小，也能直观呈现整体的成绩分布特征． 4．福州本土生鲜超市日渐增多，配送服务遍布全城．各大生鲜超市为提升同城配货效率，设立分拣、扫码、称重、打包四道连续工序作为全套流程，完成四道工序用时越少说明员工的业务水平越好．现对甲、乙、丙三家超市每超市名员工进行调研． 【数据统计】 数据随机抽取乙组名员工单人完成全套流程的用时（单位：分钟） 、、、、、、、、、 数据甲、乙、丙三家超市员工全套流程用时绘制了箱线图如下： (1)根据数据，箱线图中的值为________；比较三家超市完成全套工序耗时的集中趋势或离散程度，不难发现：________超市员工完成全套工序业务水平整体最好，________超市员工完成全套工序耗时离散程度最小．（填“甲”、“乙”或“丙”） (2)【深度分析】 为了让顾客更快收到货品，缩短出货耗时，各大超市都在努力提升超市配货效率．丙超市安排名员工采用流水接力作业模式，即每个员工负责一道工序并交接给下一个员工．默契的工序衔接，能省去每道工序单独启动准备的时间，因此四人流水接力总耗时，少于四道工序单独由一人完成所耗时之和．在员工训练过程中，店长发现平均每次交接工序节约时间（单位：分钟）与交接工序训练时长（单位：小时）满足一次函数关系（其中），已知当时，；当时，，并且道工序流水作业总用时满足此公式：名员工完成全套工序流水接力作业用时总和一名员工单独完成四项工序用时三次交接总节约时间． ①求关于的函数表达式； ②已知丙超市的A仓库一名员工单独完成四道工序用时为分钟，则该仓库名员工完成全套工序流水作业用时总和（单位：分钟）与交接工序训练时长（单位：小时）之间的函数表达式为______________；（化简为的形式） ③丙超市B仓库一名员工单独完成四项工序用时比丙超市C仓库快7分钟，但由于员工培训时间太少，导致B仓库四名员工流水接力完成全套用时却比C仓库的流水接力用时慢分钟，且两个仓库的交接工序训练时长之和为小时．求B仓库交接工序训练时长． 【答案】(1)；丙；乙；(2)①；②；③B仓库交接工序训练时长为5小时 【详解】（1）解：数据1为乙组10名员工用时先从小到大排序：24.4，24.7，24.9，25.5，25.7，26，26.3，26.4，26.5，26.6， 共10个数据，箱线图矩形框下方横线代表下四分位数， 解法一：为前5个数的中位数，即为24.4，24.7，24.9，25.5，25.7的中位数，因此， 解法二：，所以为排序后的第3个数，因此； 业务水平越好，完成工序用时越少：丙箱线整体位置最低，用时最少，丙超市整体业务水平最好； 离散程度看箱线图箱体的总长度，长度越短数据越集中、离散程度越小：乙的箱线最短，乙超市耗时离散程度最小． （2）解：①设一次函数解析式： 已知两组对应值：；，代入得方程组： ， 解得，， 函数表达式：． ②公式：流水总用时单人独立总用时三次交接总节约时间， 单人独立用时26.4分钟，每次节约，三次共节约， 即， 将代入： ， 解析式：． ③设B仓库训练时长为，C仓库训练时长为， 训练时长和：， B单人独立用时比C快0.7分钟：， B流水总用时比C流水慢1.1分钟：， 对C：， 对B：， 代入列等式： ， 整理得， ， 解得，， 检验范围、均满足，符合题意． B仓库交接工序训练时长为5小时． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 四分位数和箱线图&4.4 数据的离散程度 题型一 求四分位数 1． C 2． C 3． D 4． (1)分钟；（2）选B软件 题型二 箱线图 1． (1)，，或，，；(2)图略 2． (1)，，；（2）图略；(3)相同，大 3． (1)96，93，93，87(2)图略；(3)见解析 4． (1)，，；(2)八年级一班学生跳绳成绩的箱线图 题型三 方差 1． A 2． A 3． 16 4． (1)，；(2)甲的方差为，乙的方差为；(3)甲同学 题型四 极差 1． B 2． A 3． 4． (1)；(2)，，；(3)． 题型一 利用方差判断稳定性 1． D 2． 乙 3． (1)6；6；(2)乙组队员发挥的更加稳定；(3)推荐乙组队员参赛 4． (1)，；(2)，；图略；(3)八年级竞赛成绩较好 1．甲地不会发生大规模群体感染，乙地不会发生大规模群体感染． 2． (1)，，；(2)或93、； 3． (1)8；3；；(2) 见解析；(3)；230；(4)54人(5)见解析 4． (1)；丙；乙；(2)①；②；③B仓库交接工序训练时长为5小时 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $