2026年九年级数学秋季开学学情自测卷02（新教材北师大版，范围：九上第一、二、三章）

**基本信息** 2026年九年级开学数学学情自测卷聚焦北师大版九上前三章，通过基础题（如解方程）、创新题（如“镜像值”新定义）和应用题（如健身俱乐部会员问题）的梯度设计，考查抽象能力、推理意识和应用意识，适配开学学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程、菱形性质、位似|基础概念辨析，如第3题菱形周长计算| |填空题|6/18|相似比、韦达定理、折叠问题|空间观念考查，如第14题矩形折叠| |解答题|9/72|方程应用、位似作图、新定义“镜像值”|22题结合健身会员增长考查模型意识，24题新定义培养创新思维|

■■■■ 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选 准考证号 % 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 意事 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 1 1 1 内作答，超出区域书写的答案无 23 23 23 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 45 4 破。 6 5.正确填涂 678 456789 23456789 12345678 789 23456789 123456789 123456789 123456789 123456789 缺考标记 一、 选择题（每小题3分，共30分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][CI[D] 9[A][B][CI[D] 2[A][B][CI[D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C]D] 艾阙 3[A][B][C][D] 7[A][B][C]D] 4 [A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 15. 12 14. 16. 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每 题8分；第24,25题，每题12分；共9小题，共72分) 警 17.(6分) 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 19.(6分) C E〉 A D B 20.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) D G B 22.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) A 0 图1 0 A 0 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) C N<B O→M A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：新教材北师大版九上第一、二、三章 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，若点、分别是、的中点，，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．菱形的两条对角线长分别为、，则它的周长为（     ） A． B． C． D． 4．如图，与位似，点为位似中心，若，则（     ） A． B． C． D． 第2题 第4题 第6题 5．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 6．为了探究特殊化的问题解决策略，三个边长均为的正方形按如图所示的方式摆放，，分别是正方形对角线的交点，则重叠部分的面积和为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，点E在边上，以为对角线作，则的长度的最小值为（     ） A．5 B．6 C．6.5 D．10 8．如图，菱形的边长为，，点从点出发，沿匀速运动，终点为，设点运动的路程为，的面积为（不妨设当点与点或点重合时，），则关于的函数图象大致是（     ） A．B．C． D． 9．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 10．已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11．若，且面积比为，则其对应边上的高的比为_______． 12．已知菱形的两条对角线的长分别为和，则菱形的面积为________． 13．若是一元二次方程的两实数根，则的值是___________． 14．如图，一块矩形纸片，长，宽，将这块矩形纸片沿对角线对折（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），得到，则______． 第14题 第15题 15．如图，中，是的延长线上一点，与交于点，．若的面积为，则的面积为_______． 16．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解方程 (1)； (2) 18．在的网格图中，已知和点． (1)以点M为位似中心，位似比为2，画出的位似图形； (2)写出的各顶点坐标． 19．如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． (1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求矩形的周长． 20．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围；(2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 21．如图，在中，D为边一点，E为边中点，过C作交的延长线于点F，延长与延长线交于点G． (1)求证：．(2)若，求的长． 22．健身运动已成为一种时尚，各种健身俱乐部应运而生，某健身俱乐部2020年有会员200人，其中男、女会员人数之比为． (1)求该健身俱乐部2020年男、女会员各有多少名？ (2)预计今后两年该俱乐部男、女会员的人数每年分别按k人和（）人递增，这样到2022年该俱乐部男、女人数之比将变为． ①求k的值； ②2020年该俱乐部每个男、女会员的年会费分别为1000元和900元，若每个男会员的年会费每年增加300元，每个女会员的年会费每年以相同的百分数递增，这样2022年该俱乐部全体女会员年会费总量将达到2020年全体男会员年会费总量的．问2022年该俱乐部每个女会员的年会费是否与男会员的年会费相等？ 23．如图1，在平行四边形中，，，，，相交于点，且，，连接． (1)求的长； (2)求证：； (3)如图2，设与相交于点，连接，求的长． 24．对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于；当时，代数式的值等于，我们就称和都是这个代数式的“镜像值”． (1)代数式的镜像值是________； (2)判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； (3)关于的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数的值． 25．如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A，B的坐标分别为，，动点M从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点A运动，同时点N以相同速度从点B出发，沿线段向终点C运动，过点N作，交于点P，连接，设运动时间为t秒． (1)求直线的解析式． (2)用含t的代数式表示P的坐标 （直接写出答案）． (3)是否存在t的值，使以P，A，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $: 2026年秋季九年级开学学情自测卷 ·: : 数学 : (考试时间：120分钟试卷满分：120分) : 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 ·: : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：新教材北师大版九上第一、二、三章 :: 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) : : 1.下列方程是关于x的一元二次方程的是() A.+x=1 B.3(x+1)=2(c+1) C.ax2+bx+c=0 D.x(x+2)=x2-1 O 2.如图，在△ABC中，若点D、E分别是AB、AC的中点，S△ADE=1,则S。Bc=() A.2 B.3 C.4 D.6 : : 3.菱形的两条对角线长分别为6cm、8cm,则它的周长为() A.14cm B.20cm C.28cm D.40cm 將 : : : 4.如图，△ABC与△ABC'位似，点O为位似中心，若OC:OC'=2:3,则S△c:SABc=（) : 拟 : A.2:3 B.3:2 C.4:9 D.9:4 .: .: O D 第2题 第4题 第6题 : 5.已知矩形的两条邻边长是方程x2-10x+24=0的两个根，则矩形的周长是() : A.10 B.12 C.20 D.24 : : : : 6.为了探究特殊化的问题解决策略，三个边长均为1cm的正方形按如图所示的方式摆放，A,A分别是 试题第1页（共8页） : 6学科网·上好课 正方形对角线的交点，则重叠部分的面积和为() A. B.1cm2 C.4 1 cm2 D.2cm2 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12,AB=13,点E在边AC上，以AB为对角线作口ADBE,则DE 的长度的最小值为() A.5 B.6 C.6.5 D.10 8.如图，菱形ABCD的边长为4，∠A=150°，点P从点A出发，沿A→B→C→D匀速运动，终点为D, 设点P运动的路程为x,△APD的面积为y(不妨设当点P与点A或点D重合时，y=O),则y关于x的函 数图象大致是() D B D. 04812x 04812 4812 04812 9.如图，在△ABC中，AB=4,AC=3,BC=5,P为边BC上一动点，PE⊥AB于E,PF⊥AC于F, 则EF的最小值为() E 6 A.5 B.12 e D.5 10.已知关于x的一元二次方程m2+br+1=0的两根之差为2，则代数式12a-b的最大值为() A.-8 B.-2 C.4 D.10 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11.若△ABC△A'BC',且面积比为4：25，则其对应边上的高的比为 12.己知菱形的两条对角线的长分别为2√14cm和4√21cm,则菱形的面积为 cm2. 试题第2页（共8页） 6学科网·上好课 13.若5，七是一元二次方程x2-4x-7=0的两实数根(x≠x3),则xx2+2x,+2x2的值是 14.如图，一块矩形纸片ABCD,长BC=8cm,宽CD=6cm,将这块矩形纸片沿对角线BD对折（折痕 与折叠后得到的图形用虚线表示)，得到△BDE,则EF=_ D B 第14题 第15题 15.如图，口ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F,CD=2DE.若△DEF的面积为1， 则口ABCD的面积为 16.已知a,b是一元二次方程x+2x-1=0的两根，则3d-2b+2的值是 a 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题， 每题12分；共9小题，共72分) 17.解方程 (1)3x(x-1)=2(x-1): ②x2-x-}0 18.在13×13的网格图中，已知△ABC和点M(1,2). 0 (1)以点M为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似图形△AB'C'; (2)写出△AB'C'的各顶点坐标， 试题第3页（共8页） 19.如图，△ABC是等腰三角形，AC=BC,点D、E分别是AB、AC的中点，连接DE并延长至点F, .. 使EF=DE,连接CD、CF、AF. F B 兵 (1)求证：四边形ADCF是矩形；(2)若∠B=60°，AC=6,求矩形ADCF的周长. 张 江 20.已知关于x的一元二次方程x2-4x-m+5=0有两个实数根. (1)求实数m的取值范围；(2)若x1,是该方程的两个根，且满足x+x=-2,求m的值. O 游 21.如图，在△ABC中，D为AB边一点，E为AC边中点，过C作CF∥AB交DE的延长线于点F,延长 世 CB与ED延长线交于点G. E G (I)求证：△ADE≌△CFE.(2)若GD=4,DE=8,BD=2,求AD的长. 试题第4页（共8页） 22.健身运动已成为一种时尚，各种健身俱乐部应运而生，某健身俱乐部2020年有会员200人，其中男、 女会员人数之比为4：1. (1)求该健身俱乐部2020年男、女会员各有多少名？ (2)预计今后两年该俱乐部男、女会员的人数每年分别按k人和(k+4)人递增，这样到2022年该俱乐部 男、女人数之比将变为3：1. : .: ①求k的值： ②2020年该俱乐部每个男、女会员的年会费分别为1000元和900元，若每个男会员的年会费每年增加300 元，每个女会员的年会费每年以相同的百分数递增，这样2022年该俱乐部全体女会员年会费总量将达到 : 2020年全体男会员年会费总量的56%.问2022年该俱乐部每个女会员的年会费是否与男会员的年会费相 等？ % .: 23.如图1，在平行四边形ABCD中，AB=AD,AC=24,BD=18,AC,BD相交于点O,且CE∥BD, : BE‖AC,连接OB. O O D 斟 图1 图2 (I)求AB的长： (2)求证：OE=AD; (3)如图2，设BC与OE相交于点P,连接DP,求DP的长， . : ： .: O .: 试题第5页（共8页） 可学科网·上好课 24.对于关于x的代数式+bx+c,若存在实数，使得当x=m时，代数式的值等于-m,则称为这 个代数式的“镜像值”.例如：对于代数式x2,当x=0时，代数式的值等于0；当x=-1时，代数式的值等 于1，我们就称0和-1都是这个代数式的“镜像值”. (1)代数式x2-x-1的镜像值是 (2)判断代数式x2-3x+3是否有镜像值.若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由： (③)关于x的代数式云-(2a+)x子，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数a的 值. 25.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A,B的坐标分别为(3,0)，(3,4)，动点M从点 O出发，以每秒1个单位的速度沿线段OA向终点A运动，同时点N以相同速度从点B出发，沿线段BC向 终点C运动，过点N作NWP⊥BC,交AC于点P,连接MP,设运动时间为t秒. C N-B ◇ O→M A衣 (1)求直线AC的解析式. (2)用含t的代数式表示P的坐标（直接写出答案）. (3)是否存在t的值，使以P,A,M为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请 说明理由. 试题第6页（共8页） 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：新教材北师大版九上第一、二、三章 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，若点、分别是、的中点，，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．菱形的两条对角线长分别为、，则它的周长为（     ） A． B． C． D． 4．如图，与位似，点为位似中心，若，则（     ） A． B． C． D． 第2题 第4题 第6题 5．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 6．为了探究特殊化的问题解决策略，三个边长均为的正方形按如图所示的方式摆放，，分别是正方形对角线的交点，则重叠部分的面积和为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，点E在边上，以为对角线作，则的长度的最小值为（     ） A．5 B．6 C．6.5 D．10 8．如图，菱形的边长为，，点从点出发，沿匀速运动，终点为，设点运动的路程为，的面积为（不妨设当点与点或点重合时，），则关于的函数图象大致是（     ） A．B．C． D． 9．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 10．已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11．若，且面积比为，则其对应边上的高的比为_______． 12．已知菱形的两条对角线的长分别为和，则菱形的面积为________． 13．若是一元二次方程的两实数根，则的值是___________． 14．如图，一块矩形纸片，长，宽，将这块矩形纸片沿对角线对折（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），得到，则______． 第14题 第15题 15．如图，中，是的延长线上一点，与交于点，．若的面积为，则的面积为_______． 16．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解方程 (1)； (2) 18．在的网格图中，已知和点． (1)以点M为位似中心，位似比为2，画出的位似图形； (2)写出的各顶点坐标． 19．如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． (1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求矩形的周长． 20．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围；(2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 21．如图，在中，D为边一点，E为边中点，过C作交的延长线于点F，延长与延长线交于点G． (1)求证：．(2)若，求的长． 22．健身运动已成为一种时尚，各种健身俱乐部应运而生，某健身俱乐部2020年有会员200人，其中男、女会员人数之比为． (1)求该健身俱乐部2020年男、女会员各有多少名？ (2)预计今后两年该俱乐部男、女会员的人数每年分别按k人和（）人递增，这样到2022年该俱乐部男、女人数之比将变为． ①求k的值； ②2020年该俱乐部每个男、女会员的年会费分别为1000元和900元，若每个男会员的年会费每年增加300元，每个女会员的年会费每年以相同的百分数递增，这样2022年该俱乐部全体女会员年会费总量将达到2020年全体男会员年会费总量的．问2022年该俱乐部每个女会员的年会费是否与男会员的年会费相等？ 23．如图1，在平行四边形中，，，，，相交于点，且，，连接． (1)求的长； (2)求证：； (3)如图2，设与相交于点，连接，求的长． 24．对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于；当时，代数式的值等于，我们就称和都是这个代数式的“镜像值”． (1)代数式的镜像值是________； (2)判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； (3)关于的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数的值． 25．如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A，B的坐标分别为，，动点M从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点A运动，同时点N以相同速度从点B出发，沿线段向终点C运动，过点N作，交于点P，连接，设运动时间为t秒． (1)求直线的解析式． (2)用含t的代数式表示P的坐标 （直接写出答案）． (3)是否存在t的值，使以P，A，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 Q A A A B Q 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11.2:5 12.28V6 13.1 7 14.4cm 15.12 16.17 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题， 每题12分；共9小题，共72分) 17.【详解】(1)解：3x(x-1)=2(x-) 3x(x-1)-2(x-1)=0 （x-1)3x-2)=0 x-1=0或3x-2=0 2 X=l,i3月3分 (②解：2-5x-日0 a=l,b=-5,c=- 6-4ac=j-4xi=4>0 V3±2 2×1 1 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 与=3 2,5=52 2 2 6分 18.【详解】(1)如图，△AB'C即为所求： .3分 (2)A(3,6),B'(5,2),C"(11,4) 6分 19.【详解】()证明：：点E是AC的中点， .AE =CE, EF =DE, ∴.四边形ADCF是平行四边形， 1分 :点D为等腰△ABC的底边AB的中点， .CD⊥AB,即∠ADC=90°， .四边形ADCF是矩形3分 (2)解：，△ABC是等腰三角形，AC=BC,∠B=60°， ∴△ABC是等边三角形， .AB=AC=6,4分 点D是AB的中点， MD=24B=3, ∠ADC=90°， ..CD=AC2-AD2=33, ∴.矩形ADCF的周长=2(AD+CD)=6+6N5 6分 2 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.【详解】(1)解：一元二次方程x2-4x-m+5=0有两个实数根， .△=16-4(5-m)20」 解得m之1； 2分 (2)解：，x2是该方程的两个根， .x+x2=4,xx2=5-m」 X+=(化+x-2x=4-2(5-m）=m2-2,4分 解得m=4,m,=-2, 由(1)可知：m≥1， .=4. 6分 21.【详解】(1)证明：CF∥AB, ∠A=LECF,∠ADE=∠F, .E为AC边中点， .AE=CE, 2分 ,在△ADE和△CFE中， [∠A=∠ECF ∠ADE=LF, AE=CE :.△ADE≌aCFE(AAS): 4分 (2)解：，△ADE≌△CFE,DE=8, :.CF=AD,DE=EF=8, GD=4,DE=8 :EG=GD+DE=12,FG=GD+DE+EF=20. :CF∥AB .△BDG∽aCFG，, .6分 BD DG CF-FG' .BD=2, 24 ·CF20' 3 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴CF=10 .AD=10 ），.8分 22.【详解】(1)解：设该健身俱乐部2020年有女会员x人，则有男会员4x人. 依据题意，得4x+x=200, 解得，x=40, 4x=160, 答：该健身俱乐部2020年有男会员160人，女会员40人.2分 160+2k3 (2)解：①依据题意得：40+2(k+4)1, 解得：k=4, 经检验k=4是所列方程的根， 故k=4； 5分 ②设每个女会员的年会费每年增长的百分数为y, 40+2×(4+4)×900(1+y)=160×1000×56%, 整理得(1+y}=16 9 7 解得为=3，少=3（不合题意，舍去）， 11 2022年女会员每人年会费： 9001+=1600（元）， 2022年男会员每人年会费：1000+300×2=1600（元）， .2022年该俱乐部每个女会员的年会费与男会员的年会费相等.8分 23.【详解】(1)解：在平行四边形ABCD中，AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形， AC=24,BD=18,AC,BD相交于点O, oA-号4C=12,0B=号BD=9,ACLBD∠A0B=0 .AB=VOA2+0B2=V122+92=15. 2分 (2)证明：CE‖BD,BEI‖AC, ·.四边形OBEC为平行四边形.（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） :四边形ABCD是菱形 4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠BOC=90°，AD=BC, ∴四边形OBEC为矩形.（一个角是直角的平行四边形是矩形）， :.OE=BC, ..OE=AD; 4分 (3)解：过点D作DH⊥BC于点H, 根据菱形的面积，得2AC-BD=BC,DH, )×24×18=150 解得DH=72 ,6分 72 54 .BH=√BD2-DH2 182 B 5 :四边形ABCD是菱形，四边形OBEC为矩形， BC-AB=15,BP=1BC-15 2 2’ ∴.PH=BH-BP= 541533 5210: 2 .DP=DH2+PH 72)2 3 3v97 5+10 2 8分 24.【详解】(1)解：设代数式x2-x-1的镜像值为m,根据定义得m2-m-1=-m, 整理得m2-1=0, 解得m=1,m2=-1, 即代数式x2-X-1的镜像值是1和-1.… 2分 (2)代数式x2-3x+3没有镜像值， 理由：设代数式x2-3x+3的镜像值为m, 根据定义得m2-3m+3=-m, 整理得， m2-2m+3=0, 5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 计算根的判别式△=(-2)2-4×1×3=-8<0， 方程没有实数根， 代数式x2-3x+3没有镜像值.… 5分 (3)解：设代数式a心2-(2a+l)x-4的镜像值为m, 根据定义得amr-(2a+l)m-4 5 整理得am-2am-4=0, :a为正整数，代数式有两个镜像值， a0方附是-元=次方程，月4=(2-4a(引4如+5如>0， 方程的两个根为m,m2, -b+b2-4ac_-b-Vb2-4acb2-4ac b2-4ac 4月8分 5 则两个根差的绝对值为m-m2 2a 2a a =Va2 :两个镜像值的差为整数，a是正整数， 5 y4+是正整数， a :a为正整数， :0<3s5, a 即4<4+3s9. a :满足条件的整数平方只有g:即4+=9， a 得a=1,符合要求 正整数a的值为l.… .12分 25.【详解】(1)解：，四边形OABC为矩形， .AO∥BC,OC∥AB 点A,B的坐标分别为(3,0)，(3,4)， ∴点C(0,4), .1分 设直线AC的解析式为：y=c+b 6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [0=3k+b 由题意可得： b=4, k=- 解得： 3 b=4 4 直线C的解析式为：y写+4：4分 (2)延长NP,交OA于点G,可得出PG1OA, N←B C O→MGA衣 动点运动t秒后， ∴.BN=OM=t, .CW=3-t, 点A,C的坐标分别为(3,0)，(0,4)， .0A=3,OC=4, .AC=V02+0C2=5,6分 .PG∥OC, ∴△APG∽△AC0, PG AG AP OC-OA AC' PG t AP .4=35’ 则PG=,AP 5 3 3 ，4, P点的坐标为3-63： 8分 (3)当∠AMP=∠AOC=90°时，且∠CAO=∠PAM,则△APM∽△ACO, 7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AM AP AO AC' 5 3-1. 35 .10分 当∠APM=∠AOC=90°时，且∠CAO=∠PAM,则△APM△AOC, AP AM AO-AC' 5 3-t-3, 53 .ts 27 34 327 综上所述：1-2或34： 12分 8 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学•全解全析 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：A、方程分母含有未知数，是分式方程，不符合一元二次方程定义，故选项不符合题意； B、对去括号、移项、合并同类项，得，符合一元二次方程定义，故选项符合题意； C、未说明，当时方程不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、对去括号、移项、合并同类项，得，是一元一次方程，故选项不符合题意． 2．如图，在中，若点、分别是、的中点，，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】解：点、分别是、的中点， 为的中位线， ，， ， ， ， ． 3．菱形的两条对角线长分别为、，则它的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，菱形的对角线、相交于O，且，， ∴，，，， 在中，， ∴菱形的周长为． 4．如图，与位似，点为位似中心，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵与位似， ∴， ∴， ∴． 5．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】C 【详解】解：设矩形两条邻边长分别为，， ，是方程的两个根， 由根与系数的关系得． 矩形的周长为． 6．为了探究特殊化的问题解决策略，三个边长均为的正方形按如图所示的方式摆放，，分别是正方形对角线的交点，则重叠部分的面积和为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， ，， ， 在和中， ， ， ， 重叠部分的面积和为正方形面积的一半，即． 7．如图，在中，，，，点E在边上，以为对角线作，则的长度的最小值为（     ） A．5 B．6 C．6.5 D．10 【答案】A 【详解】解：如图，设交于点， ∵在中，，，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴由垂线段最短可得，当时，取最小值，此时线段最短， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．如图，菱形的边长为，，点从点出发，沿匀速运动，终点为，设点运动的路程为，的面积为（不妨设当点与点或点重合时，），则关于的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如下图所示，过点作，交的延长线于点， 则， ， ， ， ，， ①当，即点在上时，； ②当，即点在上时，； ③当，即点在上时，， 综上所述，， 函数图象如下图所示： 9．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，如图： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，取得最小值，即取得最小值， ∵， ∴，即的最小值为． 10．已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 【答案】C 【详解】解：设方程的两根分别为，． 由根与系数的关系得，． ∵ 两根之差为2， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 整理，得，即． 将代入，得 ， 配方得． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴代数式的最大值为4． 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11．若，且面积比为，则其对应边上的高的比为_______． 【答案】 【详解】解：∵，且面积比为， ∴相似比为， ∴对应边上的高的比为． 12．已知菱形的两条对角线的长分别为和，则菱形的面积为________． 【答案】 【详解】解：菱形的面积为． 13．若是一元二次方程的两实数根，则的值是___________． 【答案】 【详解】解：对于方程可得 ， ∴． 14．如图，一块矩形纸片，长，宽，将这块矩形纸片沿对角线对折（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），得到，则______． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠的性质可知：，，， ∴，，， ∵与交于点， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 15．如图，中，是的延长线上一点，与交于点，．若的面积为，则的面积为_______． 【答案】 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ，，即， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 16．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 【答案】17 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两根， ∴， 则原式 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解方程 (1)； (2) 【详解】（1）解： 或 ∴，； 3分 （2）解： ∴， 6分 18．在的网格图中，已知和点． (1)以点M为位似中心，位似比为2，画出的位似图形； (2)写出的各顶点坐标． 【详解】(1)如图，即为所求： 3分 (2)，， 6分 19．如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的周长． 【详解】(1)证明：∵点E是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 1分 点D为等腰的底边的中点， ，即， 四边形是矩形 3分 （2）解：∵是等腰三角形，，， 是等边三角形， ， 4分 点D是的中点， ， ， ， 矩形的周长． 6分 20．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； 2分 （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴，， ∴， 4分 解得，， 由（1）可知：， ∴． 6分 21．如图，在中，D为边一点，E为边中点，过C作交的延长线于点F，延长与延长线交于点G． (1)求证：． (2)若，求的长． 【详解】(1)证明：∵， ∴， ∵E为边中点， ∴， 2分 ∵在和中， ， ∴； 4分 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 6分 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8分 22．健身运动已成为一种时尚，各种健身俱乐部应运而生，某健身俱乐部2020年有会员200人，其中男、女会员人数之比为． (1)求该健身俱乐部2020年男、女会员各有多少名？ (2)预计今后两年该俱乐部男、女会员的人数每年分别按k人和（）人递增，这样到2022年该俱乐部男、女人数之比将变为． ①求k的值； ②2020年该俱乐部每个男、女会员的年会费分别为1000元和900元，若每个男会员的年会费每年增加300元，每个女会员的年会费每年以相同的百分数递增，这样2022年该俱乐部全体女会员年会费总量将达到2020年全体男会员年会费总量的．问2022年该俱乐部每个女会员的年会费是否与男会员的年会费相等？ 【详解】（1）解：设该健身俱乐部2020年有女会员x人，则有男会员4x人． 依据题意，得， 解得，， ， 答：该健身俱乐部2020年有男会员160人，女会员40人． 2分 （2）解：①依据题意得：， 解得：， 经检验是所列方程的根， 故； 5分 ②设每个女会员的年会费每年增长的百分数为y， ， 整理得 ， 解得 ，（不合题意，舍去）， 2022年女会员每人年会费：（元）， 2022年男会员每人年会费：（元）． ∴2022年该俱乐部每个女会员的年会费与男会员的年会费相等． 8分 23．如图1，在平行四边形中，，，，，相交于点，且，，连接． (1)求的长； (2)求证：； (3)如图2，设与相交于点，连接，求的长． 【详解】（1）解：在平行四边形中，， 四边形是菱形， ，，，相交于点， ，，，， ． 2分 (2)证明：， 四边形为平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 四边形是菱形， ， 四边形为矩形．（一个角是直角的平行四边形是矩形）， ， ； 4分 （3）解：过点D作于点H， 根据菱形的面积，得， ， 解得， ， 6分 四边形是菱形，四边形为矩形， ， ， ． 8分 24．对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于；当时，代数式的值等于，我们就称和都是这个代数式的“镜像值”． (1)代数式的镜像值是________； (2)判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； (3)关于的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数的值． 【详解】（1）解：设代数式的镜像值为，根据定义得， 整理得， 解得， 即代数式的镜像值是和． 2分 (2)代数式没有镜像值， 理由：设代数式的镜像值为， 根据定义得， 整理得， ， 计算根的判别式， 方程没有实数根， 代数式没有镜像值． 5分 （3）解：设代数式的镜像值为， 根据定义得， 整理得， 为正整数，代数式有两个镜像值， ，方程是一元二次方程，且， 方程的两个根为， 则两个根差的绝对值为， 8分 两个镜像值的差为整数，是正整数， 是正整数， 为正整数， ， 即， 满足条件的整数平方只有，即， 得，符合要求 正整数的值为． 12分 25．如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A，B的坐标分别为，，动点M从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点A运动，同时点N以相同速度从点B出发，沿线段向终点C运动，过点N作，交于点P，连接，设运动时间为t秒． (1)求直线的解析式． (2)用含t的代数式表示P的坐标 （直接写出答案）． (3)是否存在t的值，使以P，A，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵点A，B的坐标分别为，， ∴点， 1分 设直线的解析式为：， 由题意可得：， 解得：， ∴直线的解析式为：； 4分 （2）延长，交于点G，可得出， ∵动点运动t秒后， ∴， ∴， ∵点A，C的坐标分别为，， ∴， ∴， 6分 ∵， ∴， ∴， ∴， 则，， ∴P点的坐标为； 8分 （3）当时，且，则， ∴， ∴ ∴， 10分 当时，且，则， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 12分 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 3 分，共 1 8 分） 11 ． ______________ 13 ． ________________ 15 ． ________________ 12 ． ______________ 1 4 ． ________________ 16 ． ________________ 三、解答题（ 第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分； 共9小题，共72分） 17. （ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 8 ．（ 6 分） 1 9 ．（ 6 分） 20 ．（ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21 ．（ 8 分） 22 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 24 ．（1 2 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 25 ．（1 2 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $