2026年九年级数学秋季开学·学情自测卷02（新教材人教版，范围：八下全册+九上一元二次方程～二次函数）

**基本信息** 以“嫦娥一号”探月、人工智能评分等科技情境和投篮轨迹、统计分析等生活问题为载体，覆盖一元二次方程、二次函数、平行四边形等核心知识，通过基础题（如方程化为一般形式）与动态几何探究题的梯度设计，精准检测开学学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程概念、平行四边形性质|第3题结合航天热点考查增长率模型，体现数学眼光| |填空题|6/18|抛物线平移、等腰三角形动态问题|第16题综合二次函数图像性质，培养推理意识| |解答题|8/72|二次函数应用、几何探究|第23题以投篮为背景构建抛物线模型，第24题通过矩形正方形迁移拓展，发展应用意识与创新思维|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：八下全册+九上一元二次方程~二次函数 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．（3分）将方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A．5，，6 B．，7，1 C．5，1，6 D．、、 2．（3分）在中，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．（3分）我国“嫦娥一号”探月卫星成功发射后，某航天科普网站的浏览量猛增.已知某年10月份该网站的浏览量为80万人次，第四季度总浏览量为350万人次.如果浏览量平均每月增长率为，则应列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（3分）已知点在二次函数的图象上，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 5．（3分）某校为选拔一名学生参加区级“经典诵读”比赛，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了测试，他们的平均成绩及方差如下表所示： 选手 甲 乙 丙 丁 平均成绩/分 92 95 95 92 方差 1.2 0.8 1.5 0.8 若要选出一名成绩好且状态稳定的同学参赛，最合适的人选是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．（3分）如图，的对角线，相交于点，点，分别是，的中点，若，，则的周长为（     ） A．18 B．19 C．20 D．21 7．（3分）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A． B． C． D． 8．（3分）函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A．   B．   C．   D．   9．（3分）如图，一次函数的图象与轴，轴相交于点和点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，则斜边所在的直线与轴的交点坐标是（     ） A． B． C． D． 10．（3分）如图1，在矩形中，，动点以的速度自A点出发沿折线方向运动至D点停止，动点以的速度自A点出发运动至D点停止，若点同时出发，运动时间为秒，记的面积为，且s与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（   ） A． B．3 C． D．4 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（3分）关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是______． 12．（3分）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大，这个多边形是________边形． 13．（3分）把抛物线向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线是___________． 14．（3分）如图，直线与 交点的横坐标为1，则关于、 的二元一次方程组的解为_____________． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形是矩形，点，的坐标为，，点是边的中点，点在边上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，则点的坐标为________． 16．（3分）已知抛物线（，，，为常数）．对称轴为直线，该抛物线与轴的一个交点在点和之间．则下列结论： ①； ②； ③一元二次方程的两根，则； ④对于任意实数，不等式恒成立； ⑤． 其中正确的说法有___________（填序号）． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。 17．（8分）计算和解方程 (1)计算：； (2)解方程：． 18．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 19．（8分）如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，在上，． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 20．（8分）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)根据图象直接写出不等式的解集是__________； (2)求直线的解析式； (3)点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线分别交直线和于点，，当 时，的值是__________． 21．（8分）如图，抛物线与y轴交于点． (1)m的值为 ； (2)当x满足 时，y的值随x值的增大而减小； (3)当x满足时，y的取值范围是 ； (4)点P为抛物线上一点，且，直接写出点P的坐标为 ． 22．（10分）随着科技的发展，人工智能逐渐走进了人们的生活，现对“豆包”、“DeepSeek”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取了个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低于分，用表示，共分成四组：：，：，：，：），下面给出了部分信息：“豆包”得分是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．“DeepSeek”得分在组中的数据是：，，，，，． “豆包”和“DeepSeek”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 DeepSeek “DeepSeek”得分的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：__________，__________； (2)定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第百分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出“豆包”得分的下四分位数是__________； (3)若本次调查有名用户对“豆包”进行了评分，有名用户对“DeepSeek”进行了评分，估计其中对这两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 23．（10分）某校学生为了参加学校组织的“投篮大赛”，利用课后时间积极地进行备赛训练．如图是小明训练投篮时的示意图，身高1.75米的小明将篮球从头顶上方0.25米处出手，已知篮筐中心到地面的距离为3.05米，当距出手处的水平距离为2.5米时，篮球达到最大高度为3.25米，篮球的轨迹示意图可近似看作抛物线的一部分，以小明起跳点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)小明投出球后，小刚在小明与篮筐之间跳起防守，已知小刚最高能摸到2.45米，则在球上升的过程中，小刚与小明的距离在什么范围内小刚才能在空中截住篮球？ (3)已知小明在距篮筐水平距离3.8米的位置，在只改变起跳高度的情况下，通过计算说明小明要竖直起跳多少米才能直接投中？ 24．（12分）探索发现 如图（1），在矩形中，点在边的延长线上，连接，作于点，交于点，连接交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 迁移拓展 如图（2），在正方形中，点，分别在边，上，过点作于点，，的延长线相交于点，射线交于点，若，，． (3)求的长； (4)直接写出的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数 学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、 单项 选择题 （ 本题共 1 0 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空题 （ 本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分． ） 1 1 ． ____________________ 1 2 ． ____________________ 1 3 ． ____________________ 1 4 ． ____________________ 1 5 ． ____________________ 1 6 ． ____________________ 三 、解答题 （ 本题共 8 小题，共 72 分．第1 7 - 18 题 每题 8 分， 第 19 -2 1 题每题8 分 ，第 22 -2 3 题每题 10分 ，第2 4 题 12分 ，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ） 1 7 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 8 ．（ 8 分） 1 9 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 8 分） 21 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22 ．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23 ．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 24 ．（ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：八下全册+九上一元二次方程~二次函数 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．（3分）将方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A．5，，6 B．，7，1 C．5，1，6 D．、、 2．（3分）在中，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．（3分）我国“嫦娥一号”探月卫星成功发射后，某航天科普网站的浏览量猛增.已知某年10月份该网站的浏览量为80万人次，第四季度总浏览量为350万人次.如果浏览量平均每月增长率为，则应列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（3分）已知点在二次函数的图象上，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 5．（3分）某校为选拔一名学生参加区级“经典诵读”比赛，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了测试，他们的平均成绩及方差如下表所示： 选手 甲 乙 丙 丁 平均成绩/分 92 95 95 92 方差 1.2 0.8 1.5 0.8 若要选出一名成绩好且状态稳定的同学参赛，最合适的人选是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．（3分）如图，的对角线，相交于点，点，分别是，的中点，若，，则的周长为（     ） A．18 B．19 C．20 D．21 7．（3分）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A． B． C． D． 8．（3分）函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A．   B．   C．   D．   9．（3分）如图，一次函数的图象与轴，轴相交于点和点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，则斜边所在的直线与轴的交点坐标是（     ） A． B． C． D． 10．（3分）如图1，在矩形中，，动点以的速度自A点出发沿折线方向运动至D点停止，动点以的速度自A点出发运动至D点停止，若点同时出发，运动时间为秒，记的面积为，且s与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（   ） A． B．3 C． D．4 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（3分）关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是______． 12．（3分）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大，这个多边形是________边形． 13．（3分）把抛物线向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线是___________． 14．（3分）如图，直线与 交点的横坐标为1，则关于、 的二元一次方程组的解为_____________． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形是矩形，点，的坐标为，，点是边的中点，点在边上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，则点的坐标为________． 16．（3分）已知抛物线（，，，为常数）．对称轴为直线，该抛物线与轴的一个交点在点和之间．则下列结论： ①； ②； ③一元二次方程的两根，则； ④对于任意实数，不等式恒成立； ⑤． 其中正确的说法有___________（填序号）． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。 17．（8分）计算和解方程 (1)计算：； (2)解方程：． 18．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 19．（8分）如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，在上，． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 20．（8分）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)根据图象直接写出不等式的解集是__________； (2)求直线的解析式； (3)点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线分别交直线和于点，，当 时，的值是__________． 21．（8分）如图，抛物线与y轴交于点． (1)m的值为 ； (2)当x满足 时，y的值随x值的增大而减小； (3)当x满足时，y的取值范围是 ； (4)点P为抛物线上一点，且，直接写出点P的坐标为 ． 22．（10分）随着科技的发展，人工智能逐渐走进了人们的生活，现对“豆包”、“DeepSeek”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取了个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低于分，用表示，共分成四组：：，：，：，：），下面给出了部分信息：“豆包”得分是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．“DeepSeek”得分在组中的数据是：，，，，，． “豆包”和“DeepSeek”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 DeepSeek “DeepSeek”得分的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：__________，__________； (2)定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第百分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出“豆包”得分的下四分位数是__________； (3)若本次调查有名用户对“豆包”进行了评分，有名用户对“DeepSeek”进行了评分，估计其中对这两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 23．（10分）某校学生为了参加学校组织的“投篮大赛”，利用课后时间积极地进行备赛训练．如图是小明训练投篮时的示意图，身高1.75米的小明将篮球从头顶上方0.25米处出手，已知篮筐中心到地面的距离为3.05米，当距出手处的水平距离为2.5米时，篮球达到最大高度为3.25米，篮球的轨迹示意图可近似看作抛物线的一部分，以小明起跳点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)小明投出球后，小刚在小明与篮筐之间跳起防守，已知小刚最高能摸到2.45米，则在球上升的过程中，小刚与小明的距离在什么范围内小刚才能在空中截住篮球？ (3)已知小明在距篮筐水平距离3.8米的位置，在只改变起跳高度的情况下，通过计算说明小明要竖直起跳多少米才能直接投中？ 24．（12分）探索发现 如图（1），在矩形中，点在边的延长线上，连接，作于点，交于点，连接交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 迁移拓展 如图（2），在正方形中，点，分别在边，上，过点作于点，，的延长线相交于点，射线交于点，若，，． (3)求的长； (4)直接写出的长． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C D C B D B C A C 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．且 12．七 13． 14． 15．或或 16．①②⑤ 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。 17．（8分） 【详解】（1）解： ；（4分） （2）解： 则或 解得，．（8分） 18．（8分） 【详解】（1）证明：整理原方程得，， ， 无论为何实数，总有，从而， 即． 无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（4分） （2）解：由（1）得方程整理得， 方程的两个实数根、， ，，， ， 解得．（8分） 19．（8分） 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，是平行四边形的对角线， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴．（4分） （2）解：当时，四边形为菱形，理由如下： 如图所示， ， 由（1）知， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形．（8分） 20．（8分） 【详解】（1）解：∵点是直线的交点， ∴将点代入中，得，解得， ∴点坐标为， 由图象可知，当时，， 当时，， ∴当时，．（2分） （2）解：由（1）知，点坐标为，且点是直线的交点， ∴将点代入中，得，解得， ∴直线的解析式为．（5分） （3）解：∵点，过点作轴的垂线分别交直线和于点，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当点在点的下方，如图所示， ， 则，解得； 当点在点的上方，如图所示， ， 则，解得； 综上所述，当时，的值为或．（8分） 21．（8分） 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点． ∴把代入得到 ， 故答案为：（2分） （2）解：由（1）得到抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y的值随x值的增大而减小； 故答案为：（4分） （3）∵抛物线的顶点坐标为，开口向下， ∴当时，y取得最大值为 ∵当时，， 当时，， ∴当x满足时，y的取值范围是， 故答案为：；（6分） （4）解：当时，， 解得， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 即或， 解得或或， ∴点P的坐标为或或． 故答案为：或或．（8分） 22．（10分） 【详解】（1）解：“豆包”得分出现次数最多的是， 众数． “DeepSeek”得分在组的用户数为：， 在组的用户数为：， 则“DeepSeek”得分从低到高排列后排在第和第的得分分别为，， 故．（4分） （2）方法1： 解：， 排在第5，6位数分别是，， “豆包”得分的下四分位数为． 方法2： 解：由数据可知，“豆包”得分这组数据的下四分位数为前个数据的中位数， ．（6分） （3）解：（人）（10分） 答：对这两款人工智能软件非常满意的总用户数约为人． 23．（10分） 【详解】（1）解：由题意可得抛物线顶点坐标为， （米）， 当时，， 设抛物线的解析式为， 把点代入， 解得， 抛物线的解析式为；（3分） （2）令，则， 解得． 要在球上升的过程中截住篮球， ， 在球上升的过程中，小刚与小明的距离在0.5米以内才能在空中截住篮球；（6分） （3）改变起跳高度只是对抛物线进行上下平移，而篮球飞行的抛物线形状不变， 设改变起跳高度后的抛物线解析式为 小明距篮筐水平距离为3.8米，篮筐中心到地面的距离为3.05米， 将点代入， 得， 解得， 小明要竖直起跳0.138米才能直接投中．（10分） 24．（12分） 【详解】(1)证明：， ∴ ， ， ， ∵四边形为矩形， ， ， （3分） (2)证明：如图，延长，交于点， ， ， ， ， ， ， ． ∵四边形为矩形， ，，， ，， ， ．（6分） （3）如图，延长，交于点， 在正方形中，， ， ， ， ， ∵ ∴， ， ， ， 垂直平分， 连接，，， 同理：， ， 为中位线， ， ， ．（9分） （4）解：如图，在（3）的条件下，延长交于， 由（3）可得垂直平分， ∴ ∵ ∴， ∵， 又∵ ∴， ，， ，． ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴ 设，， 在中，， ， 解得， ．（12分） ( 1 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 考生禁填： 缺考标记 ▣ 证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题 以上标记由监考人员用2B铅 必须用0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔 笔填涂 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 选择题填涂样例： 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[]【]【] 一、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。 在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1[A][B][C][D] S[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C]D] 6[A][B][C][D] 10[A[B][C]D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C]D] 8[A][B][C][D] 二、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.) 11. 12. 13 14. 15 16. 三、解答题（本题共8小题，共72分.第17-18题每题8分，第19-21 题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.) 17.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(8分) D E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) B 21.(8分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) Π 3.05米 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) D H E F MC N (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）: 2026年秋季九年级开学.学情自测卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： : 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 : 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：八下全册+九上一元二次方程~二次函数 第I卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 .: : 目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上， 1.(3分)将方程5x2-x=6化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是() A.5,-1,6B.-5,7,1 C.5,1,6 D.5、-1、-6 2.(3分)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2,则AC的长是() A.22 B.3W2 C.2W5 D.35 : 3.(3分)我国“嫦娥一号”探月卫星成功发射后，某航天科普网站的浏览量猛增.已知某年10月份该网站的 浏览量为80万人次，第四季度总浏览量为350万人次.如果浏览量平均每月增长率为x,则应列方程为 將 () : : : A. 801+x)2=350 B.80+80x2x=350 : 想 : C.80+80×2(1+x)=350 D.801+1+x)+1+x)2=350 .: : 4.(3分)已知点A(-3,片)，B(-1,),C(2,)在二次函数y=r2-2+m(a>0)的图象上，则片、y2、3 的大小关系为() A.<为<y2B.<<y2 C.3<y2< D.y2<y<3 5.(3分)某校为选拔一名学生参加区级“经典诵读比赛，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了测试，他 : 们的平均成绩及方差如下表所示： : : 试题第1页（共8页） : 6学科网·上好课 选手 甲 乙 内 丁 平均成绩/分 92 95 95 92 方差 1.2 0.8 1.5 0.8 若要选出一名成绩好且状态稳定的同学参赛，最合适的人选是() A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 6.(3分)如图，ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是OA,OC的中点，若BD+EF=30, DF=6,则ABOE的周长为() D B A.18 B.19 C.20 D.21 7.(3分)已知a,b是一元二次方程2x?+3x-1=0的两个实数根，则代数式b+2b+1的值等于() 3 A.-2 c D. 3 8.(3分)函数y=2-2x+1和y=ax+a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是() 9.(3分)如图，一次函数y=-二x+2的图象与x轴，y轴相交于点A和点B,以线段AB为直角边在第一 象限内作等腰直角△ABC,则斜边BC所在的直线与x轴的交点坐标是() B A A.(-10,0 B.(-8,0) C.(-6,0) D.（-4,0) 10.(3分)如图1，在矩形ABCD中，AB=4cm,AD=2cm,动点P以acn/s的速度自A点出发沿折线 A-B-C-D方向运动至D点停止，动点Q以1cm/s的速度自A点出发运动至D点停止，若点P、2同 试题第2页（共8页） 6学科网·上好课 时出发，运动时间为t秒，记△PAQ的面积为scm,且s与t之间的函数关系的图像如图2所示，则图 像中m的值为() s(cm2) D 2 m (s) 图1 图2 A.2.5 B.3 C.3.5 D.4 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.(3分)关于x的一元二次方程(a+2)x-3x+1=0有实数根，则a的取值范围是 12.(3分)一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形是 边形 13.(3分)把抛物线y=-2(x+5)-4向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线 是」 y=mx+n 14.(3分)如图，直线y=-x+3与y=r+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组 V=-x+3 的解为 y=mxin y=-x+3 15.(3分)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A,C的坐标为A(10,0) C(0,3),点E是边OA的中点，点F在BC边上运动，当△OEF是腰长为5的等腰三角形时，则点F的坐 标为 试题第3页（共8页） 16.(3分)已知抛物线y=ar+bx+c(a<0,a,b,c为常数).对称轴为直线x=-1,该抛物线与x轴 .. 的一个交点在点(-3,0)和(-4,0)之间.则下列结论： ①abc>0; ②2a-b=0: ③一元二次方程ar2+bx+c=0的两根5,5，则x+x2=2: 年 ④对于任意实数m,不等式a(m-1)+(-1)b≤0恒成立； ⑤(3a+c)(8a+c)<0. 张 其中正确的说法有 (填序号). 河 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。 17.(8分)计算和解方程 游 0)计算：压5- x5+20: (2)解方程：2x2-5x+3=0. 18.(8分)己知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)-m2=0. 世 (1)求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根： (2)若方程的两个实数根，B满足α2+B2=17,求m的值. 试题第4页（共8页） 19.(8分)如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在AC上，AE=CF. B 舒 (I)求证：DE=BF: (2)连接BE,DF,请添加一个条件，使四边形BEDF是菱形.（不需要说明理由） O % 20.(8分)如图，直线l:y=x-8与y轴交于点B,与x轴交于点A,与直线：y=-2x交于点C(a,-4) : :: 兴 (1)根据图象直接写出不等式-8≥-2x的解集是 (2)求直线AB的解析式： .. ·: (3)点D(m,O)是x轴正半轴上的一个动点，过点D作x轴的垂线分别交直线马和L2于点E,F,当EF=6 : 时，的值是 : .: 试题第5页（共8页） 可学科网·上好课 21.(8分)如图，抛物线y=-x+(m-1)x+m与y轴交于点(0,3) (1)m的值为； (2)当x满足时，y的值随x值的增大而减小： (3)当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是一： (4点P为抛物线上一点，且S。APB=8,直接写出点P的坐标为一 22.(10分)随着科技的发展，人工智能逐渐走进了人们的生活，现对豆包”、“DeepSeek”两款人工智能 软件进行调查评分，再从中各随机抽取了20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低于 80分，用x表示，共分成四组：A:80≤x<85,B:85≤x<90,C:90≤x<95,D:95≤x≤100)， 下面给出了部分信息：“豆包”得分是：82,86,87,88,89,90,91,92,93,93,93,94,94， 94,94,94,95,96,97,98.“DeepSeek”得分在C组中的数据是：91,92,94,94,94,94. “豆包”和DeepSeek”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 92 93 a DeepSeek 92 b 97 “DeepSeek”得分的扇形统计图 10% B 20% D 根据以上信息，解答下列问题： 试题第6页（共8页） 6学科网·上好课 (1)填空：a= ，b= (2)定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数， 记作0，前半部分数据的中位数记作m25,称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作m5,称为上 四分位数.根据定义，写出“豆包得分的下四分位数m25是 (3)若本次调查有1000名用户对“豆包'进行了评分，有1200名用户对DeepSeek”进行了评分，估计其中对 这两款人工智能软件非常满意(95≤x≤100)的总用户数. 23.(10分)某校学生为了参加学校组织的“投篮大赛”，利用课后时间积极地进行备赛训练.如图是小明 训练投篮时的示意图，身高1.75米的小明将篮球从头顶上方0.25米处出手，已知篮筐中心到地面的距离 为3.05米，当距出手处的水平距离为2.5米时，篮球达到最大高度为3.25米，篮球的轨迹示意图可近似 看作抛物线的一部分，以小明起跳点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系. 3.05米 (1)求抛物线的解析式： (2)小明投出球后，小刚在小明与篮筐之间跳起防守，己知小刚最高能摸到2.45米，则在球上升的过程中， 小刚与小明的距离在什么范围内小刚才能在空中截住篮球？ (3)己知小明在距篮筐水平距离3.8米的位置，在只改变起跳高度的情况下，通过计算说明小明要竖直起 跳多少米才能直接投中？ 试题第7页（共8页） :0 24.(12分)探索发现 如图(1)，在矩形ABCD中，点G在边DC的延长线上，连接BG,作DF⊥BG于点F,交BC于点E, 连接AF交BC于点H,BH=HF. 4 D 兵 MC入 (1) (2) 张 (1)求证：∠ADF=∠AFD: 外wm灬Q八"装 (2)求证：AB=CG. 江 迁移拓展 如图(2)，在正方形ABCD中，点E,F分别在边AB,CD上，过点D作DG⊥EF于点G,EF,BC 样 的延长线相交于点N,射线AG交BC于点M,若MN=GM,CF=1,DF=10. (3)求AE的长： (4)直接写出N的长. 世 试题第8页（共8页） 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数 学·全解全析 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．（3分）将方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A．5，，6 B．，7，1 C．5，1，6 D．、、 【答案】D 【分析】考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：∵方程化成一般形式是， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为、、． 故选：D． 2．（3分）在中，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形中角的性质可求得的长度，再根据勾股定理即可求得答案． 【详解】∵在中，，， ∴． ∴． 故选：C． 3．（3分）我国“嫦娥一号”探月卫星成功发射后，某航天科普网站的浏览量猛增.已知某年10月份该网站的浏览量为80万人次，第四季度总浏览量为350万人次.如果浏览量平均每月增长率为，则应列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查一元二次方程的实际应用．根据题意列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D 4．（3分）已知点在二次函数的图象上，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小． 求出抛物线的对称轴，求出关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答案． 【详解】解：， ∴二次函数的开口向上，对称轴是直线， ∴在对称轴的左侧随的增大而减小， 点关于直线的对称点是， ， ， 故选：C． 5．（3分）某校为选拔一名学生参加区级“经典诵读”比赛，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了测试，他们的平均成绩及方差如下表所示： 选手 甲 乙 丙 丁 平均成绩/分 92 95 95 92 方差 1.2 0.8 1.5 0.8 若要选出一名成绩好且状态稳定的同学参赛，最合适的人选是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】按平均成绩高、方差小的标准逐步筛选人选即可． 【详解】解：∵ 乙、丙的平均成绩均为95分，甲、丁的平均成绩均为92分，， ∴ 从乙、丙中进一步筛选． ∵ 乙的方差为0.8，丙的方差为1.5，， ∴ 乙的状态更稳定． 6．（3分）如图，的对角线，相交于点，点，分别是，的中点，若，，则的周长为（     ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】D 【分析】先借助平行四边形的性质得到和，再通过平行四边形的判定与性质证明四边形是平行四边形，从而得到，，计算即可（或通过全等三角形的判定与性质求解亦可）． 【详解】解：如图，连接，， 在中，，， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∴的周长为． 7．（3分）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查一元二次方程根的定义，以及一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，理解方程的根以及根与系数的关系是解答的关键．首先根据解的概念得到，变形得到，利用根与系数的关系得到，，然后代入整体求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ ∴ ． 故选：B． 8．（3分）函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A．   B．  C．   D．   【答案】C 【分析】考查了一次函数与二次函数的图象性质：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项正确； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的对称轴，故选项错误． 故选：． 9．（3分）如图，一次函数的图象与轴，轴相交于点和点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，则斜边所在的直线与轴的交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出一次函数与坐标轴的交点、的坐标，根据等腰直角三角形的性质，以及通过构造全等三角形，即可求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，最后令，即可求出与轴的交点坐标． 【详解】解：一次函数的图象与轴，轴相交于点和点， 令，则，解得， ∴， ∴； 令，则， ∴， ∴． ∵为等腰直角三角形，且为斜边， ∴，． 如图，过点作轴于点， ， ． ∵， ∴， ． ∵， ， 又∵， ∴， ∴， ． ∴， ∴点的坐标为． 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， 直线的解析式为， 令，则， 解得，， ∴斜边所在的直线与轴的交点坐标是． 10．（3分）如图1，在矩形中，，动点以的速度自A点出发沿折线方向运动至D点停止，动点以的速度自A点出发运动至D点停止，若点同时出发，运动时间为秒，记的面积为，且s与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，当点P在上运动时，，则，根据图2可得，当时，，求出，得出动点以的速度自A点出发沿折线方向运动至D点停止，且当时，点Q到达点D，当点P在上运动时，．当点P在上运动时，．将点代入即可求出． 【详解】解：当点P在上运动时，， 则， 根据图2可得，当时，，解得：， 即动点以的速度自A点出发沿折线方向运动至D点停止，且当时，点Q到达点D， 当点P在上运动时，． 当点P在上运动时，． 将点代入可得，解得：， 故选：C． 二、填空题（共18分） 11．（3分）关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是______． 【答案】且 【分析】主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．利用一元二次方程的根的判别式解答，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且． 故答案为：且． 12．（3分）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大，这个多边形是________边形． 【答案】七 【分析】设这个多边形的边数为，则该多边形的内角和为，外角和为，根据题目给出的数量关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为，根据题意得 ， 解得， 答：这个多边形是七边形． 13．（3分）把抛物线向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线是___________． 【答案】 【分析】考查了二次函数的平移规律，根据“左加右减，上加下减”进行分析，即可作答． 【详解】解：∵把抛物线向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度， ∴， 即平移后得到的抛物线是， 故答案为：． 14．（3分）如图，直线与 交点的横坐标为1，则关于、 的二元一次方程组的解为_____________． 【答案】 【详解】解：直线与交点的横坐标为1， 纵坐标为， 两直线交点坐标， 关于，的方程组的解为． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形是矩形，点，的坐标为，，点是边的中点，点在边上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，则点的坐标为________． 【答案】或或 【分析】根据点的坐标与线段的中点求出的长度，根据等腰三角形的性质与勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，点，的坐标为，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵是腰长为5的等腰三角形，， ∴当时， 在中，， ∴点的坐标为， 当时， 如图1所示，过点作交于点， ， ∴， 在中，， ∴， ∴点的坐标为； 如图2所示，过点作交于点， ， ∴， 在中，, ∴， ∴， ∴点的坐标为； 综上所述：点的坐标或或． 16．（3分）已知抛物线（，，，为常数）．对称轴为直线，该抛物线与轴的一个交点在点和之间．则下列结论： ①； ②； ③一元二次方程的两根，则； ④对于任意实数，不等式恒成立； ⑤． 其中正确的说法有___________（填序号）． 【答案】①②⑤ 【分析】考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴、与坐标轴的交点、根与系数的关系及函数的最值等知识． 根据对称轴为直线可得，判断②正确；由和与轴交点位置可得，从而，判断①正确；根据根与系数的关系可得，判断③错误；代入后不等式不恒成立，判断④错误；由函数值符号可得和，判断⑤正确． 【详解】解：∵对称轴为直线，∴，即，故，②正确； ∵，∴， ∵抛物线与轴的一个交点在点和之间，另一个交点关于对称轴对称，在之间， ∴两根之积，又，∴， 故，①正确； 由根与系数的关系，，故③错误； 将代入不等式：， ∵， ∴等价于，解为或，不恒成立，故④错误； 由函数值符号：当时，；当时，， ∴，故⑤正确． 故答案为：①②⑤． 三、解答题（共72分） 17．（8分）计算和解方程 (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： 则或 解得，． 18．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的根与系数的关系：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根; （1）先把方程，变形为，得出，即可得出答案； （2）先把方程，变形为，然后计算两根之和以及两根之积，代入求值的代数式计算即可． 【详解】（1）证明：整理原方程得，， ， 无论为何实数，总有，从而， 即． 无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由（1）得方程整理得， 方程的两个实数根、， ，，， ， 解得． 19．（8分）如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，在上，． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形，是平行四边形的对角线， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． (2)（答案不唯一） 【分析】（1）利用平行四边形的性质“对角线互相平分”以及等量代换证明； （2）根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等”证得四边形是平行四边形，根据菱形的判定得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：当时，四边形为菱形，理由如下： 如图所示， ， 由（1）知， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 20．（8分）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)根据图象直接写出不等式的解集是__________； (2)求直线的解析式； (3)点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线分别交直线和于点，，当时，的值是__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先找到两直线的交点坐标，再根据“符合条件的部分在交点的左侧，则小于交点的横坐标，在交点的右侧，则大于交点的横坐标”得出答案； （2）求出交点的坐标，再将点代入求解即可； （3）根据题意将点的坐标表示出来，再根据“横坐标相等的两点间的距离等于较大的纵坐标减去较小的纵坐标”求解． 【详解】（1）解：∵点是直线的交点， ∴将点代入中，得，解得， ∴点坐标为， 由图象可知，当时，， 当时，， ∴当时，． （2）解：由（1）知，点坐标为，且点是直线的交点， ∴将点代入中，得，解得， ∴直线的解析式为． （3）解：∵点，过点作轴的垂线分别交直线和于点，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当点在点的下方，如图所示， ， 则，解得； 当点在点的上方，如图所示， ， 则，解得； 综上所述，当时，的值为或． 21．（8分）如图，抛物线与y轴交于点． (1)m的值为 ； (2)当x满足 时，y的值随x值的增大而减小； (3)当x满足时，y的取值范围是 ； (4)点P为抛物线上一点，且，直接写出点P的坐标为 ． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或． 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求出二次函数的解析式和把二次函数的解析式化为顶点式是关键． （1）把代入即可得到答案； （2）根据抛物线的对称轴和开口方向进行解答即可； （3）根据二次函数的顶点坐标、当与当时的函数值进行解答即可； （4）求出，设，根据得到，解得或或，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点． ∴把代入得到 ， 故答案为： （2）解：由（1）得到抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y的值随x值的增大而减小； 故答案为： （3）∵抛物线的顶点坐标为，开口向下， ∴当时，y取得最大值为 ∵当时，， 当时，， ∴当x满足时，y的取值范围是， 故答案为：； （4）解：当时，， 解得， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 即或， 解得或或， ∴点P的坐标为或或． 故答案为：或或． 22．（10分）随着科技的发展，人工智能逐渐走进了人们的生活，现对“豆包”、“DeepSeek”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取了个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低于分，用表示，共分成四组：：，：，：，：），下面给出了部分信息：“豆包”得分是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．“DeepSeek”得分在组中的数据是：，，，，，． “豆包”和“DeepSeek”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 DeepSeek “DeepSeek”得分的扇形统计图    根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：__________，__________； (2)定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第百分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出“豆包”得分的下四分位数是__________； (3)若本次调查有名用户对“豆包”进行了评分，有名用户对“DeepSeek”进行了评分，估计其中对这两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 【答案】(1)， (2) (3)对这两款人工智能软件非常满意的总用户数约为人． 【分析】（1）根据众数定义求出的值；先求出“DeepSeek”得分中，组和组的用户数，结合组数据根据中位数的定义即可求出的值． （2）根据下四分位数的定义进行解答即可． （3）用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：“豆包”得分出现次数最多的是， 众数． “DeepSeek”得分在组的用户数为：， 在组的用户数为：， 则“DeepSeek”得分从低到高排列后排在第和第的得分分别为，， 故． （2）方法1： 解：， 排在第5，6位数分别是，， “豆包”得分的下四分位数为． 方法2： 解：由数据可知，“豆包”得分这组数据的下四分位数为前个数据的中位数， ． （3）解：（人） 答：对这两款人工智能软件非常满意的总用户数约为人． 23．（10分）某校学生为了参加学校组织的“投篮大赛”，利用课后时间积极地进行备赛训练．如图是小明训练投篮时的示意图，身高1.75米的小明将篮球从头顶上方0.25米处出手，已知篮筐中心到地面的距离为3.05米，当距出手处的水平距离为2.5米时，篮球达到最大高度为3.25米，篮球的轨迹示意图可近似看作抛物线的一部分，以小明起跳点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)小明投出球后，小刚在小明与篮筐之间跳起防守，已知小刚最高能摸到2.45米，则在球上升的过程中，小刚与小明的距离在什么范围内小刚才能在空中截住篮球？ (3)已知小明在距篮筐水平距离3.8米的位置，在只改变起跳高度的情况下，通过计算说明小明要竖直起跳多少米才能直接投中？ 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)在球上升的过程中，小刚与小明的距离在0.5米以内才能在空中截住篮球； (3)小明要竖直起跳0.138米才能直接投中． 【分析】考查了二次函数的实际应用. （1）设抛物线的解析式为，把点代入求解即可； （2）将代入计算即可； （3）设改变起跳高度后的抛物线解析式为 将点代入计算即可. 【详解】（1）解：由题意可得抛物线顶点坐标为， （米）， 当时，， 设抛物线的解析式为， 把点代入， 解得， 抛物线的解析式为； （2）令，则， 解得． 要在球上升的过程中截住篮球， ， 在球上升的过程中，小刚与小明的距离在0.5米以内才能在空中截住篮球； （3）改变起跳高度只是对抛物线进行上下平移，而篮球飞行的抛物线形状不变， 设改变起跳高度后的抛物线解析式为 小明距篮筐水平距离为3.8米，篮筐中心到地面的距离为3.05米， 将点代入， 得， 解得， 小明要竖直起跳0.138米才能直接投中． 24．（12分）探索发现 如图（1），在矩形中，点在边的延长线上，连接，作于点，交于点，连接交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 迁移拓展 如图（2），在正方形中，点，分别在边，上，过点作于点，，的延长线相交于点，射线交于点，若，，． (3)求的长； (4)直接写出的长． 【答案】(1)证明：， ∴ ， ， ， ∵四边形为矩形， ， ， (2)证明：如图，延长，交于点， ， ， ， ， ， ， ． ∵四边形为矩形， ，，， ，， ， ． (3) (4) 【分析】（1）根据等边对等角可得，设，得出 ， 根据四边形为矩形，由平行线的性质，即可得出，等量代换即可得证； （2）如图，延长，交于点，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （3）延长，交于点，证明垂直平分，连接，，，得出为中位线，即可求解； （4）在（3）的条件下，延长交于，证明，可得，，．在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，延长，交于点， 在正方形中，， ， ， ， ， ∵ ∴， ， ， ， 垂直平分， 连接，，， 同理：， ， 为中位线， ， ， ． （4）解：如图，在（3）的条件下，延长交于， 由（3）可得垂直平分， ∴ ∵ ∴， ∵， 又∵ ∴， ，， ，． ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴ 设，， 在中，， ， 解得， ． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $