第三单元 用字母表示（二）（单元复习课件）数学北师大版六年级上册（新教材）

该小学数学单元复习课件系统梳理了用字母表示数量关系、探索规律、日历中的数量关系及花坛周长等核心内容，通过单元知识框架图将各知识点的意义、步骤、方法及易错点串联，帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于注重数学思维与语言表达，通过“知识点梳理-题型精讲-变式练习”模式，如探索规律时从递推法和构造法两种视角推导公式，培养学生抽象能力与推理意识。分层练习设计让不同学生巩固提升，教师可精准教学，提高复习效率。

单元复习课件 小学数学·六年级上册·北师大版 第三单元 用字母表示（二） 单元知识框架 01 知识点梳理 02 重难点题型精讲 03 变式巩固练习 04 单元知识框架 用字母表示（二） 1.用字母表示数量关系 2.探索规律（一） 3.探索规律（二） 用字母表示数的意义 构建数量关系的步骤 常见数量关系模型 易错点提示 发现规律的两种视角 利用规律解决问题（逆向思维） 探索规律的基本方法 用字母表示规律（代数式） 同一规律的多种表达形式 不同摆放方式的规律对比 探索规律的核心策略 数字处理机器（函数思想的萌芽） 日历中数字的基本排列规律 “十字形方框”中的数量关系（拓展应用） “2×2方框”中的数量关系 用字母表示数与代数推导 用字母表示数量关系（代数推导） 解决问题的策略：从特殊到一般 4.日历中的数量关系 5.花坛周长 单元知识框架 知识点1 用字母表示数量 关系 1 用字母表示数量关系 1、用字母表示数的意义 概括性：字母可以代表任意的数，也可以代表特定的未知数。 简洁性：用字母表示数量关系比用文字叙述更简明、易记，便于应用。 区分变量：在同一个问题中，不同的量通常用不同的字母表示（如投进球数用a，罚进球数用b），以避免混淆。 2、构建数量关系的步骤 （1）具体计算： 先根据具体数值算出结果； （2）寻找规律： 分析数量之间的运算逻辑； （3）符号表达： 用字母替换具体的数量，写出通用的公式。 知识点梳理 1 用字母表示数量关系 3、常见数量关系模型 （1）总分模型（累加型）： 场景：套圈游戏。 关系：总分 = A类分值×数量+ B类分值×数量。 表达式：若套中蓝色得2分（a次），橙色得5分（b次），则总分=2a+5b 。 （2）总价模型（单价×数量）： 场景：买早点。 关系：总金额 = 单价1×数量1 +单价2×数量2。 表达式：包子8元/屉（a屉），粥2元/碗（a碗），总额=8a+2a=10a 。这里也隐含了合并同类项的思想（虽然小学阶段可能不强调术语，但逻辑是一致的）。 知识点梳理 1 用字母表示数量关系 （3）行程模型（相遇问题）： 场景：两车相向而行。 关系：时间 = 总路程÷速度和。 表达式：路程140km ，速度分别为a和b ，则相遇时间t=140÷(a+b) 。 4、易错点提示 （1）对应关系要准确：在设未知数时，必须明确哪个字母代表哪个量。例如在坐船问题中，若a代表大船，b 代表小船，则总人数应为6a+4b 。如果写成6b+4a ，则意味着b是大船，a是小船，这与假设矛盾。 （2）运算顺序：在列综合算式时，要注意是否需要加括号。例如在行程问题求时间时，必须先算出速度和，再被路程除，所以必须写成140÷(a+b) ，不能写成140÷a+b 。 知识点梳理 【例1】王老师购买了12副乒乓球拍和1盒乒乓球。乒乓球拍每副m元，乒乓球每盒30元。 (1)王老师一共要付多少元？（用含有字母的式子表示） (2)当m＝80时，王老师一共要付多少元？ 【分析】（1）根据数量关系“总价＝单价×数量”，分别表示出乒乓球拍的总价和乒乓球的总价，再将两者相加即可得到总费用的代数式。 （2）将m＝80代入（1）小题得到的式子中，按照整数四则混合运算的顺序计算出具体数值。                重难点题型精讲 【例1】王老师购买了12副乒乓球拍和1盒乒乓球。乒乓球拍每副m元，乒乓球每盒30元。 (1)王老师一共要付多少元？（用含有字母的式子表示） (2)当m＝80时，王老师一共要付多少元？ 【详解】 （1）乒乓球拍的总价为： 12×m=12m（元） 乒乓球的总价为：30元 一共要付的钱数为：(12m+30)元 答：王老师一共要付(12m+30)元。                （2）当m=80时 12m+30 =12×80+30 =960+30 =990(元) 答：王老师一共要付990元。 重难点题型精讲 【练1 】为响应国家“全民阅读”号召，学校开展书香校园建设。四年级采购课外读物，已知采购科普书a本、文学书比科普书的3倍少b本。 (1)用含有字母的式子表示四年级一共采购图书的总本数。 (2)当a＝100，b＝105时，四年级一共采购多少本图书？ 【分析】（1）文学书的本数是科普书的3倍少b本，求一个数的几倍用乘法，即3a−b本，四年级一共采购图书的总本数等于科普书本数加文学书本数，列出式子并化简即可。 （2）将a=100，b=105代入第（1）题求出的含有字母的式子中，按照四则运算顺序计算出结果。 变式巩固练习 【练1 】为响应国家“全民阅读”号召，学校开展书香校园建设。四年级采购课外读物，已知采购科普书a本、文学书比科普书的3倍少b本。 (1)用含有字母的式子表示四年级一共采购图书的总本数。 (2)当a＝100，b＝105时，四年级一共采购多少本图书？ 【详解】（1）文学书的本数：3×a−b=3a−b 总本数：a+3a−b=(4a−b)本 （2）当a=100，b=105时 4a−b =4×100−105 =400−105 =295（本） 答：四年级一共采购295本图书。 变式巩固练习 知识点2 探索规律（一） 2 探索规律（一） 1、探索规律的基本方法 （1）列表法：将图形的序号（如三角形个数）与对应的数量（如小棒根数）列成表格，便于观察数据的变化趋势。 （2）画图法：通过画示意图，直观地看到图形是如何增加的（例如每次增加一个三角形，就增加两根小棒）。 （3）找不变量与变量：分析哪些部分是不变的（如第一个三角形），哪些部分是随序号变化的（如后续增加的三角形）。 2、发现规律的两种视角 针对“摆n个三角形需要多少根小棒”这一问题，教材展示了两种不同的思维路径，虽然结果一致，但思考逻辑不同： 知识点梳理 2 探索规律（一） （1）视角一：从“增量”角度思考（递推法） 思路：第1个三角形需要3根小棒，之后每增加1个三角形，只需要增加2根小棒（共用一条边）。 推导： 1个三角形：3 2个三角形：3+2 3个三角形：3+2+2=3+2×2 ... n 个三角形：3+2×(n−1) 含义解释：3 代表第一个三角形的根数，(n−1) 代表除了第一个之外剩下的三角形个数，每个需加2根。 知识点梳理 2 探索规律（一） （2）视角二：从“结构拆分”角度思考（构造法） 思路：把第一根小棒看作“地基”或“起始棒”，之后每一个三角形都由“上下两根”小棒搭建而成（或者看作先摆1根，后面每多一个三角形就多2根）。 推导： 1个三角形：1+2 2个三角形：1+2+2=1+2×2 3个三角形：1+2×3 ... n 个三角形：1+2n 含义解释：1 是起始的那1根，2n 表示n个三角形每个贡献了2根（这种理解方式更抽象，但公式更简洁）。 知识点梳理 2 探索规律（一） 3、用字母表示规律（代数式） 公式表达：小棒根数=3+2(n−1) 或小棒根数=1+2n 。 化简理解： 虽然教材主要展示未化简的形式以便理解来源，但学生应能理解3+2(n−1) 展开后即为3+2n−2=2n+1 ，两者是等价的。 4、利用规律解决问题（逆向思维） （1）正向应用：已知项数求总数 （2）逆向应用：已知总数求项数（解简易方程） 知识点梳理 【例2】(1)照这样的规律摆下去，第⑧个图形 一共有( )个圆点；第n个图形一共有 ( )个圆点。 (2)一共有99个圆点，对应第( )个图形。 【分析】（1）由图可知，第①个图形有1个圆点；第②个图形有（1＋2）个圆点；第③个图形有（2＋3）个圆点；第④个图形有（3＋4）个圆点；第⑤个图形有（4＋5）个圆点；……第n个图形有[（n－1）＋n]个圆点。 （2）一共有99个圆点，即当2n－1＝99时，求出n的值即可。 重难点题型精讲 【例2】(1)照这样的规律摆下去，第⑧个图形 一共有( )个圆点；第n个图形一共有 ( )个圆点。 (2)一共有99个圆点，对应第( )个图形。 【详解】（1）根据规律，第⑧个图形一共有7＋8＝15个圆点，第n个图形有[（n－1）＋n]＝（2n－1）个圆点。 （2）2n－1＝99 2n－1＋1＝99＋1 2n＝100 2n÷2＝100÷2 n＝50 15 2n－1 50 重难点题型精讲 【练2】 某科技公司用小木棒搭建“芯片电路模型”，搭1个电路单元用6根小棒，搭2个用11根，搭3个用16根（如图）。照这样计算，搭8个电路单元要用( )根小棒，搭n个电路单元要用( )根小棒。 【分析】搭1个电路单元用5×1＋1＝6（根）小棒，搭2个用5×2＋1＝11（根），搭3个用5×3＋1＝16（根），……，搭n个电路单元用5×n＋1＝（5n＋1）根小棒。 变式巩固练习 【练2】 某科技公司用小木棒搭建“芯片电路模型”，搭1个电路单元用6根小棒，搭2个用11根，搭3个用16根（如图）。照这样计算，搭8个电路单元要用( )根小棒，搭n个电路单元要用( )根小棒。 【详解】当n＝8时， 5n＋1 ＝5×8＋1 ＝40＋1 ＝41（根） 所以，搭8个电路单元要用41根小棒，搭n个电路单元要用（5n＋1）根小棒。 41 5n＋1 变式巩固练习 知识点3 探索规律（二） 3 探索规律（二） 1、探索规律的核心策略 （1）列表归纳法：将桌子张数（n）与对应的人数（m）列成表格，观察数字之间的倍数或加减关系。 （2）数形结合法：结合图形直观分析。 左右看： 无论拼多少张桌子，最左边和最右边始终各坐1人（共2人），中间每张桌子上下各坐1人（共2n人）。 整体减部分：假设桌子不拼在一起，总人数是4n ，每拼一次少坐2人，拼n−1 次就少坐 2(n−1) 人。 2、同一规律的多种表达形式 这是本课的难点与亮点。针对“n 张桌子拼在一起能坐多少人”这个问题，不同的思考角度会得出不同的代数式，但它们计算结果是相等的。 知识点梳理 3 探索规律（二） （1）视角一：基础 + 增量（笑笑的方法） 思路： 把第一张桌子看作基础（坐4人），后面每加一张桌子只增加2人（因为有一条边重合了）。或者更简单地看作：上下两边每张桌子坐2人（2n ），加上左右两端固定的2人。 公式：m=2n+2 （2）视角二：总量 - 损耗（淘气的方法） 思路：假设n 张桌子完全分开，总共能坐4n 人。但是桌子拼在一起时，每两个桌子之间会“损失”2个座位（接触面不能坐人）。 n 张桌子有 n−1 个接触面。 公式：m=4n−2(n−1) 知识点梳理 3 探索规律（二） 3、不同摆放方式的规律对比 （1）长边拼接（本课主要案例）： 每多一张桌子，增加 2 个座位。 公式：2n+2 （2）短边拼接（练一练案例）： 每多一张桌子，增加 4 个座位（上下各2个）。 公式推导：第1张坐6人，之后每次加4人。即6+4(n−1) 或简化为4n+2 。 结论：摆放方式改变，变量（斜率）也会改变，解题时需先观察图形特征。 知识点梳理 3 探索规律（二） 4、数字处理机器（函数思想的萌芽） （1）正向推导（求值）：已知输入a ，根据运算规则（如×2+1 ）求输出b 。 式子：b=2a+1 （2）逆向推导（解方程）：已知输出b ，反推输入a 。 知识点梳理 【例3】如下图，一张方桌能坐4人，2张方桌拼在一起能坐6人。 8张方桌拼在一起能坐( )人；n张方桌拼在一起能坐( )人。 【分析】观察图形，1张方桌坐4人，2张方桌坐2×2＋2＝6人，3张方桌坐2×3＋2＝8人，每增加1张方桌可以多坐2人，则n张方桌拼在一起，总人数为2n＋2。 【详解】当n＝8时 2n＋2 ＝2×8＋2 ＝16＋2 ＝18 n张方桌拼在一起能坐（2n＋2）人。 18 2n＋2 重难点题型精讲 【练3】用黑、白两种颜色的瓷砖按如图所示的规律，拼成若干个图案，则第9个图案中黑色瓷砖有( )块，白色瓷砖有( )块。 【分析】看图可知，第1个图案中黑色瓷砖有1块，白色瓷砖有4块，4＝1×3＋1；第2个图案中黑色瓷砖有2块，白色瓷砖有7块，7＝2×3＋1；第3个图案中黑色瓷砖有3块，白色瓷砖有10块，10＝3×3＋1……由此可知，第几个图案就有几块黑色瓷砖；白色瓷砖的块数＝第几个图案就用几×3＋1。 变式巩固练习 【练3】用黑、白两种颜色的瓷砖按如图所示的规律，拼成若干个图案，则第9个图案中黑色瓷砖有( )块，白色瓷砖有( )块。 【详解】9×3＋1 ＝27＋1 ＝28（块） 第9个图案中黑色瓷砖有9块，白色瓷砖有28块。 9 28 变式巩固练习 知识点4 日历中的数量关系 4 日历中的数量关系 1、日历中数字的基本排列规律 在标准的月历表中，数字的排列遵循特定的空间逻辑： （1）横向关系：同一行中，相邻的两个日期，右边的数比左边的数大 1。 （2）纵向关系：同一列中，相邻的两个日期，下面的数比上面的数大 7（因为一周有7天）。 2、“2×2方框”中的数量关系 对角线求和规律： 方框内对角线上的两个数之和相等。 知识点梳理 4 日历中的数量关系 3、用字母表示数与代数推导 设未知数：设方框左上角的数为a 。 （1）表示其他数： 根据日历的排列规律，可以用含a的式子表示其余三个数： 右上角的数：a+1 （比左边大1） 左下角的数：a+7 （比上面大7） 右下角的数：a+8 （即(a+1)+7 或(a+7)+1 ） （2）代数验证： 第一条对角线之和：a+(a+8)=2a+8 第二条对角线之和：(a+1)+(a+7)=2a+8 结论：无论a是多少，两条对角线的和始终相等，均为2a+8 。 知识点梳理 4 日历中的数量关系 4、“十字形方框”中的数量关系（拓展应用） 位置关系：设中间的数为y 。 左边的数：y−1 右边的数：y+1 上面的数：y−7 下面的数：y+7 求和规律：这5个数的和是中间数y的5倍。 推导：(y−1)+(y+1)+(y−7)+(y+7)+y=5y 。 知识点梳理 【例4】现将自然数1至2004按图中的方式排成一个 长方形阵列，用一个正方形框出9个数。 （1）图中的9个数的和是多少？ 【分析】（1）设中间数为x，则 9 个数可表示为x－8、x－7、x－6、x－1、x、x＋1、x＋6、x＋7、x＋8，其和为9x。图中中间数是24，因此和为9×24＝216。 【详解】（1）设中间的数为x，则另外8个数分别为x－8，x－7，x－6，x－1，x＋1，x＋6，x＋7，x＋8。 化简后得9个数的和为9x，本题中间数x=24，因此总和为9×24=216 答：图中的9个数的和是216。 重难点题型精讲 【例4】现将自然数1至2004按图中的方式排成一个 长方形阵列，用一个正方形框出9个数。 （2）能否使一个长方形框出的9个数的和为2007？ 若不可能，请说明理由；若可能，求出9个数中最大的数。 【分析】（2）依据是数阵的整除特性（9个数的和为9x，需为9的倍数）。 验证2007：2007÷9＝223，即中间数x＝223。 判断位置：223÷7＝31⋯⋯6，说明223在第32行第6列，符合数阵布局。 最大数：x＋8＝223＋8＝231。 重难点题型精讲 【例4】现将自然数1至2004按图中的方式排成一个 长方形阵列，用一个正方形框出9个数。 （2）能否使一个长方形框出的9个数的和为2007？ 若不可能，请说明理由；若可能，求出9个数中最大的数。 【详解】（2）因为9个数的和需为9的倍数，2007÷9＝223，中间数223在第32行第6列，符合布局，最大数为223＋8＝231，故可能，最大数是231。 答：能使一个长方形框出的9个数的和为2007，9个数中最大的数是231。 重难点题型精讲 【练4】（1）用一个长方形像图中那样任意圈出四 个数字，你发现了什么规律（写出两条规律即可）？ 【分析】（1）观察上下相邻的数之间的大小关系，得出规律； 【详解】（1）我发现圈出的4个数，每个数的个位数字相同，每相邻两个数之间相差10。（答案不唯一） 变式巩固练习 【练4】（2）如果长方形中最上面一个数字用a表 示，最下面一个数字是______（用a表示）。 【分析】（2）长方形中一共有4个数，最上面和最下面之间相差30，据此列式； 【详解】（2）41－11＝30，64－34＝30 若把长方形中最上面的一个数记为a，则最下面那个数是a＋30。 a＋30 变式巩固练习 【练4】（3）按这样的圈法，小丽圈出的四个数的 和是212，你知道她圈的是哪四个数吗？算一算写 出来。 【分析】（3）设小丽圈出的第一个数字为a，下面的数依次是a＋10、a＋20、a＋30，根据四个数相加等于212，列出方程，求出第一个数，再分别求出下面的数即可。 【详解】（3）解：设小丽圈出的第一个数字为a。 a＋（a＋10）＋（a＋20）＋（a＋30）＝212 4a＋60＝212 变式巩固练习 【练4】（3）按这样的圈法，小丽圈出的四个数的 和是212，你知道她圈的是哪四个数吗？算一算写 出来。 4a＝152 a＝38 a＋10＝38＋10＝48 a＋20＝38＋20＝58 a＋30＝38＋30＝68 答：她圈的是38、48、58、68。 变式巩固练习 知识点5 花坛周长 5 花坛周长 1、解决问题的策略：从特殊到一般 在解决未知量（如本题中未给出花坛具体半径）的问题时，通常采用以下思维路径： （1）尝试特值法：先假设一个具体的数值（例如假设半径r=2 、6 、10 等），代入公式进行计算，观察结果是否有规律。 发现无论半径是多少，只要路宽是1m ，周长增加量似乎都是2π 。 （2）归纳猜想：基于特值的计算结果，猜想这是一个普遍规律，与半径的具体大小无关。 （3）代数验证：为了证明猜想的普遍性，引入字母（变量）进行推导。 知识点梳理 5 花坛周长 2、用字母表示数量关系（代数推导） 设定变量： 设花坛（小圆）的半径为r 。 表示相关量： 原周长：C原=2πr 新半径：R=r+1（因为路宽1m) 新周长：C新=2π（r+1) 列式求解：求差值△C=C新－C原 知识点梳理 【例5】一块直径为12米的圆形草坪，周围有一条宽2米的 人行道，这条人行道的面积是多少平方米？ 【分析】人行道的面积相当于求圆环面积，用外圆面积减去内圆面积。内圆（草坪）直径是12米，根据圆环面积公式：S＝π（R2－r2）计算解答。 【详解】12÷2＝6（米） 6＋2＝8（米） 3.14×（82－62） ＝3.14×（64－36） ＝3.14×28 ＝87.92（平方米） 答：这条人行道的面积是87.92平方米。 重难点题型精讲 【练5】小夏想知道一卷空心 卷筒纸展开的总长度，设计 了一个实验方案（步骤如下） ，请你根据实验方案计算出卷筒纸展开后的总长度。 【分析】卷筒纸的横截面面积（圆环面积）＝纸的长度×纸的厚度。分别用外圆和内圆的直径除以2算出外圆和内圆的半径，根据圆环的面积公式S＝π（R2－r2）算出卷筒纸的横截面面积；然后用卷筒纸的横截面面积除以纸的厚度即可算出卷筒纸的长度。 变式巩固练习 【练5】小夏想知道一卷空心 卷筒纸展开的总长度，设计 了一个实验方案（步骤如下） ，请你根据实验方案计算出卷筒纸展开后的总长度。 【详解】14÷2＝7（厘米） 6÷2＝3（厘米） 3.14×（72－32） ＝3.14×（49－9） ＝3.14×40 ＝125.6（平方厘米） 125.6÷0.02＝6280（厘米） 答：卷筒纸展开后的总长度是6280厘米。 变式巩固练习 启发思维 快乐学习 $