第三章 图形的相似 章末检测 2026-2027学年 北师大版九年级上册数学

**基本信息** 初中数学“图形的相似”单元复习卷，覆盖比例性质、相似判定与性质等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，培养几何直观、推理能力及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|11题|比例性质（1）、相似图形判定（5）、位似变换（11）|基础概念辨析，突出几何直观| |填空题|6题|平行线分线段成比例（13）、黄金分割（15）、动态相似（16）|结合动态情境，考察空间观念| |解答题|1题|比例性质应用（18）|简单计算，巩固基础| |综合题|6题|位似作图（19）、相似应用（22）、运动型综合（23）、证明与计算（24）|实际情境（测树高22）、动态探究（23），培养推理与应用意识|

第三章 图形的相似 章末检测 一、单选题 1．若，则下列各式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．如果，且是和的比例中项，那么等于（　　） A． B． C． D． 3．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．1，1，2，3 B．1，2，3，4 C．2，3，4，5 D．2，3，6，9 4．如图，，若，则的值是（　　） A．2 B． C． D．3 5．下列命题中，是真命题的是（　　） A．正方形都相似 B．矩形都相似 C．等腰三角形都相似 D．直角三角形都相似 6．两个相似多边形的一组对应边分别是3cm和4.5cm，如果它们的周长之和是80cm，那么较大的多边形的周长是（　　） A．16cm B．32cm C．48cm D．52cm 7．如果点是线段AB的黄金分割点，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，DE∥BC， ＝ ，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离树底B端8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=3.2米，观察者目高CD=1.6米，则树AB的高度约为（　　） A．4.2米 B．4.8米 C．6.4米 D．16.8米 10． ABC~ ，若AB： =3：4，则 =（　　） A． B． C． D． 11．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点O在坐标原点，顶点A，B的坐标分别为（－2，－1），（－1.5，0）．△OCD与△OAB位似，位似中心是原点O，若点D的坐标为（4.5，0），则点C的坐标为（　　） A．（6，3） B．（－6，－3） C．（4，2） D．（－4，－2） 二、填空题 12．如果 ， 那么 　 　． 13．如图，两条直线被三条平行直线所截，DE=4，EF=6，AB=2，则AC=　 　. 14．如果四边形ABCD的四条边长分别为54cm、48cm、45cm、63cm，另一个和它相似的四边形的最长边长为21cm，那么这个四边形的最短边的长度为　 　. 15．我们把宽与长的比为黄金比的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形中，，，的平分线交边于点，则的长为　 　． 16．如图，在直角∆ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点M从点C出发沿线段CA向点A移动，连接BM，MN⟂BM交边AB于点N．若CM＝2，那么线段AN＝　 　；当点M从点C移动到AC的中点时，则点N的运动过程中路径长为　 　。 17．某户外遮阳棚如图1，其截面结构示意图如图2所示.支撑柱AB上地面，AB=120 cm，Р是支撑柱AB上一动点，伞杆CP可绕着中点E旋转，CD=CP=40 cm，斜拉杆AE可绕点A旋转，AE= CP．若∠APE=30°，则BP=　 　cm；伞展开长 PD==300cm，若A，C，D在同一条直线上，某时太阳光线恰好与地面垂直，则PD落到地面的阴影长为　 　cm. 三、解答题 18．已知a、b、c为三角形ABC的三边长，且 ， ，求三角形ABC三边的长． 四、综合题 19．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系. （1）以原点O为位似中心，将△ABC放大，使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为2∶1，请在给定的网格内画出△A1B1C1. （2）设点P（a，b）为△ABC内一点，请直接写出依上述变换后点P在△A1B1C1内的对应点P1的坐标是　 　. 20．如图，在5×5的方格纸中，已知格点ABC，请按要求画图. （1）在图1画一个格点DEF，使DEF与ABC相似，且DEF与ABC的周长比是2. （2）在图2画一个格点MNL，使MNL与ABC相似，且MNL与ABC的面积比是2. 21．梅涅劳斯定理 梅涅劳斯（ ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是： 如图（1），如果一条直线与 的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有 ． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程： 证明：如图（2），过点A作 ，交DF的延长线于点G，则有 ． 任务： （1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整； （2）如图（3），在 中， ， ，点D为BC的中点，点F在AB上，且 ，CF与AD交于点E，则 　 　． 22．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示． （1）请你通过画图确定灯泡所在的位置． （2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高． 23．如图，在 中， ， cm， cm，点P由点B出发沿BA的方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ.设运动的时间为t（s），其中 .解答下列问题： （1）AP=　 　，AQ=　 　；（用含t的代数式表示） （2）当t为何值时， ∽ ； （3）当P、Q在运动过程中， 能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由. 24．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F. （1）求证：△ABC∽△FCD； （2）过点A作AM⊥BC于点M，求DE：AM的值； （3）若S△FCD=5，BC=10，求DE的长. 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】比例的性质 【解析】【解答】解： 等式的两边都除以3b：， 故答案为：B． 【分析】先求出，再求解即可。 2．【答案】D 【知识点】比例线段 【解析】【解答】解：∵，b是a和c的比例中项， 即， ∴． 故答案为：D． 【分析】】根据比例中项的性质可得，再结合可得。 3．【答案】D 【知识点】比例线段 【解析】【解答】解：A、2×1≠1×3，故本选项不符合题意； B、1×4≠2×3，故本选项不符合题意； C.、2×5≠3×4，故本选项不符合题意； D、2×9=3×6，故本选项符合题意． 故答案为：D． 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案。 4．【答案】A 【知识点】平行线分线段成比例 【解析】【解答】∵BF=3DF，∴BD=2DF， ∵， ∴=， ∴==2， 故答案为：A. 【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得=，再将数据代入计算即可得到==2。 5．【答案】A 【知识点】相似图形；真命题与假命题 【解析】【解答】解：A、正方形的对应边成比例，且对应角都是直角，故A选项正确； B、矩形的对应角都是直角，但对应边不一定成比例，故B选项错误； C、等腰三角形对应的底角不一定相等，故C选项错误； D、直角三角形只有直角对应相等，其他两个角不一定对应相等，故D选项错误. 故答案为：A. 【分析】根据对应边成比例、对应角相等的多边形是相似多边形逐一判断即可. 6．【答案】C 【知识点】相似多边形的性质 【解析】【解答】由题可知，这两个相似多边形的相似比为 ， ∵相似图形的周长比等于相似比， ∴它们的周长之比为 ， ∴较大的多边形周长为 ， 故答案为：C. 【分析】根据相似图形的相似比等于周长比，从而计算即可. 7．【答案】D 【知识点】黄金分割 【解析】【解答】解：由于P为线段的黄金分割点， 且， 则， 故答案为：D． 【分析】由于P为线段的黄金分割点，且，即可得出答案。 8．【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵DE∥BC， ∴ ， ∴ ，故A选项错误，不符合题意； ，故B选项错误，不符合题意； ，故C选项正确，符合题意； ∴ ，故D选项错误，不符合题意. 故答案为：C. 【分析】易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例、相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方进行判断. 9．【答案】A 【知识点】相似三角形的应用 【解析】【解答】解：∵入射光线和反射光线与镜面的夹角相等且人和树均垂直于地面， ∴△CED∽△AEB， ∴ ，即： ， ∴AB=4.2 故答案为：A. 【分析】根据光的反射原理得出△CED∽△AEB，再根据相似三角形的性质列比例式，最后代值计算即可. 10．【答案】D 【知识点】相似三角形的性质 【解析】【解答】解：∵ ， ， ∴它们的相似比为 ， 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得， ， 故答案为：D． 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案。 11．【答案】A 【知识点】位似变换 【解析】【解答】顶点A，B的坐标分别为（－2，－1），（－1.5，0）．△OCD与△OAB位似，位似中心是原点O，若点D的坐标为（4.5，0） A点的对应点C的坐标为，即 故答案为：A． 【分析】根据题意先求出 A点的对应点C的坐标为 A点的对应点C的坐标为，再求解即可。 12．【答案】 【知识点】比例的性质 【解析】【解答】解： ， 设 则 故答案为： 【分析】根据比例的性质即可得出答案。 13．【答案】5 【知识点】平行线分线段成比例 【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l1， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 故答案为：5. 【分析】利用平行线分线段成比例定理，可得到比例式，结合已知线段的长求出BC的长，然后根据AC=AB+BC，代入计算求出AC的长. 14．【答案】15cm 【知识点】相似多边形的性质 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD与另一个四边形相似， ∴设另一个四边形的最短边的长度为x， ∴，解得：. ∴这个四边形的最短边的长度为15cm. 故答案为：15cm. 【分析】设另一个四边形的最短边的长度为x，根据相似多边形的性质得出“长边比等于短边比”，依此建立关于x的方程求解即可. 15．【答案】 【知识点】黄金分割 【解析】【解答】解：∵黄金矩形， ∴宽与长的比为黄金比，AD∥BC，AD=BC=2， ∴AB=BC=， ∵BE为的平分线， ∴∠ABE=∠CBE， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE=∠ABE， ∴AE=AB=， ∴DE=AD-AE=2-（）=． 故答案为：． 【分析】由黄金矩形的定义可得AD=BC=2，AB=BC=，再证明是等腰直角三角形，得出AE=AB=，即可得出答案。 16．【答案】； 【知识点】相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：（1）如图，作ND⊥AC 易得AB=10 易得 ∴ 设ND=x，则MD=3x 则AD=AC-CM-MD=6-3x 易得 ∴ ∴ ∴AN= （2）同（1）理，得出AN= 故答案为：；. 【分析】由三垂直，得出，得出，设出未知数，由平行，得出，得出方程，从而得出结果。 17．【答案】； 【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的应用 【解析】【解答】解：（1）如图，连接AC， ∵E为PC中点， AE= CP， ∴△PAC为直角三角形， ∵∠APE=30°，PC= ， ∴AC= ∴AP=. （2）如图，连结AC，作DF⊥BF， ∵A，C，D在同一条直线上 ， ∴AD⊥AB， ∴∠CAP=∠PAD=90° 设AC=a， 在直角三角形PAC和PAD中，由勾股定理得：PA2=PC2-AC2=PD2-AD2， ∴( )2-a2=3002-（a+）2， 整理，解得：a=， ∴AD=AC+CD=+=， ∴PD 落到地面的阴影长BF=AD= . 故答案为：；. 【分析】(1)连接AC，E为PC中点， AE= CP， 利用斜边中线等于斜边的一半逆定理可推出△PAC为直角三角形，在根据30°角所对直角边为斜边的一半求出AP，进而可求出BP长； （2）连接AC， A，C，D在同一条直线上得AD⊥AB，在直角三角形PAC和PAD中，由勾股定理得PA2=PC2-AC2=PD2-AD2，求出AC，进而求出AD，由 BF等于AD可得影长值. 18．【答案】解：由 ，得 ， ， 把 ， 代入 ， 得 ， 解得 ， ， ， 所以三角形ABC三边的长为： ， ， ． 【知识点】比例的性质 【解析】【分析】根据已知条件可得 ， ，再代入a+b+c=36 ，计算出c的值，即可求出 三角形ABC三边的长。 19．【答案】（1）解：如图，将点 的横纵坐标都乘以 ，即得到 的坐标，进而顺次连接 ，则△A1B1C1即为所求； （2）(-2a，-2b) 【知识点】作图﹣位似变换 【解析】【解答】解：（2）根据（1）的变换可知，将 的的横纵坐标都乘以-2，即 (-2a，-2b) 故答案为：(-2a，-2b). 【分析】（1）根据题意和网格纸的特点，得到位似图形与原图形位于O点的两侧，则知位似比为-2，然后将点A、B、C横纵坐标都乘以- 2，即得到A1， B1和C1的坐标，在平面直角坐标系中描出A1， B1和C1，再把这三点顺次连接起来即可； （2）根据（1）的变换方法，将P的的横纵坐标乘以-2，即可得出结果. 20．【答案】（1）解：如图所示： ，，，，， ∴， ∴△DEF∽△ABC， ∴△DEF与△ABC的周长比是2； （2）解：如图所示， ，，，，，， ∴， ∴△MNL∽△ABC， ∴△MNL与△ABC的面积比是2. 【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；作图﹣相似变换 【解析】【分析】（1）利用勾股定理分别求出BC，AC的长，再根据△DEF与△ABC相似，且△DEF与△ABC的周长比是2，可得到DE，EF，DF的长，再画出△DEF即可； （2）利用相似三角形的面积等于相似比的平方，利用勾股定理可得到MN，ML，NL的长，然后画出△MNL. 21．【答案】（1）解：补充的证明过程如下： ， ， （2）6 【知识点】平行线分线段成比例；定义新运算 【解析】【解答】解：（2）根据梅涅劳斯定理得 ， ∵点D为BC的中点， ， ， ， ， ∵ ， ， ∴AD⊥BC，BD=5， ∴在 中， ， ． 故答案为6． 【分析】（1）先求出 ， 再证明求解即可； （2）根据题意先求出 ， ，再求出AD⊥BC，BD=5，最后利用勾股定理计算求解即可。 22．【答案】（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置， 线段FH为小亮在灯光下形成的影子； （2）解：由已知可得， ＝ ， ∴ ＝ ， ∴OD＝4m． ∴灯泡的高为4m． 【知识点】相似三角形的应用 【解析】【分析】(1)连接CB并延长交DE与O，点O即为所求； (2)利用可得关系式 ＝ ， 即可求解。 23．【答案】（1）（5﹣t）cm；tcm （2）解：如图1， 当∠PQA＝90°时，△APQ∽△ABC， 则 ＝ ， 即 ， 解得：t＝ ； （3）解：△APQ能成为等腰三角形，理由如下： 分三种情况： ①如图3，当AP＝AQ时， 5﹣t＝t， 解得：t＝ ； ②如图4，当AP＝PQ时，过点P作PM⊥AC于M， 则∠AMP＝90°，AM＝QM＝ AQ＝ ， ∵∠ACB＝90°， ∴PM∥BC， ∴△APM∽△ABC， ∴ ＝ ， ∴ ， 解得：t＝ ； ③如图5，当QP＝AQ时，过点Q作QN⊥AB于N， 则∠ANQ＝∠ACB＝90°，AN＝NP＝ AP＝ （5﹣t）， ∵∠NAQ＝∠CAB， ∴△ANQ∽△ACB， ∴ ＝ ， ∴ ， 解得：t＝ ， 综上所述，当t的值为 或 或 时，△APQ能成为等腰三角形. 【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；线段的计算 【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝5（cm）， 由题意得：BP＝tcm，AQ＝tcm， ∴AP＝AB﹣BP＝（5﹣t）cm， 故答案为：（5﹣t）cm，tcm； 【分析】（1）首先由勾股定理求出AB，由题意得：BP＝tcm，AQ＝tcm，然后根据AP＝AB-BP可表示出AP； （2）当∠PQA＝90°时，△APQ∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例就可求出t的值； （3）①当AP＝AQ时，5-t＝t，求解可得t的值；②当AP＝PQ时，过点P作PM⊥AC于M，则AM＝QM= ，证明△APM∽△ABC，然后根据相似三角形的性质进行求解就可得到t的值；③当QP＝AQ时，过点Q作QN⊥AB于N，同理证明△ANQ∽△ACB，根据相似三角形的性质进行求解就可得到t的值. 24．【答案】（1）证明：∵D是BC边上的中点，DE⊥BC， ∴BD=DC，∠EDB=∠EDC=90°， ∵DE=DE， ∴△BDE≌△EDC（SAS）， ∴∠B=∠DCE， ∵AD=AC， ∴∠ADC=∠ACB， ∴△ABC∽△FCD； （2）解：∵AD=AC，AM⊥DC， ∴DM= DC， ∵BD=DC， ∴ ， ∵DE⊥BC，AM⊥BC， ∴DE∥AM， ∴ . （3）解：过点A作AM⊥BC，垂足是M， ∵△ABC∽△FCD，BC=2CD， ∴ ， ∵S△FCD=5， ∴S△ABC=20， 又∵BC=10， ∴AM=4. ∵DE∥AM， ∴ ∴ ， ∴DE= . 【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定（SAS） 【解析】【分析】（1）利用D是BC边上的中点，DE⊥BC可以得到∠EBC=∠ECB，而由AD=AC可以得到∠ADC=∠ACD，再利用相似三角形的判定定理，就可以证明题目结论； （2）根据相似三角形的性质和等腰三角形的性质定理，解答即可； （3）利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积，然后利用面积公式求出AM的值，结合 ，即可求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $